Des Matériaux (3ème édition) Corrigé des exercices
Chapitre 4 – Matériaux sous contrainte
E
XERCICE4-10
a) Force à la rupture
La contrainte locale
σ
ydéveloppée à la pointe de la fissure est égale à:
⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ + σ
=
σ r
2 a
a
1
y (1)
où
σ
a est la contrainte appliquée.À la rupture,
σ
ydoit être la résistance théorique à la traction :
10
E
y
≅
σ
(2)En combinant les équations (1) et (2) et en réarrangeant, on obtient:
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝
⎛ +
≅ σ
r 2 a 1
1 10
E
a
Avec les données numériques:
2 3 10 1
m 10 2 , 0
m 10 2 6
r
2 a
9 26
>>
×
× =
= × −−
Donc, on peut écrire l'équation (2) de façon simplifiée :
r 2 a
1 10
E K
1 10
E
t
a ≅ =
σ Æ
20 MPa
10 3 2 x 1 10
GPa 70
a 2
≅
≅ × σ
Par définition,
σ
a =F/S
oùF
est la force appliquée etS
la section de la tige (ici 10 mm2). Donc, on obtient :F
=σ
aS
= 20 MPa x 10 x 10-6 m2 = 200 NF = 200 N
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Des Matériaux (3ème édition) Corrigé des exercices b) Énergie élastique emmagasinée juste avant à la rupture
Le matériau étant fragile, il ne subit qu'une déformation élastique avant rupture et l'énergie
W
élemmagasinée par unité de volume de matériau est celle représentée par l'aire sous la droite élastique
σ
= f(ε
).E 2 1 2
W 1
2 a a
él
= σ ε σ
=
Le volume
V
de la tige égal àlS
, l'énergieW
emmagasinée avant rupture sera:2 E
S V 1
W W
2 a él
= σ
=
Avec les données, on obtient (en système SI)
( ) 2 , 857 x 10 J
10 x 70 x 2
10 x 10 x 1 , 0 x 10 x
W 20
39 2 6
6 − −
=
=
W = 2,8x10
-3J
c) Caractéristiques de l’énergie élastique emmagasinée juste avant à la rupture
Cette énergie est une énergie purement élastique et est entièrement restituable à la rupture.
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