A623. Partition sous contrainte s
Trouver le plus petit nombre possible k d’entiers positifs distincts de somme ≤ 2015 tels que : - 2 d’entre eux et 2 seulement sont divisibles par 2,
- 3 d’entre eux et 3 seulement sont divisibles par 3, - 5 d’entre eux et 5 seulement sont divisibles par 5, - 7 d’entre eux et 7 seulement sont divisibles par 7, - 11 d’entre eux et 11 seulement sont divisibles par 11,
Parmi tous les ensembles de k entiers qui respectent ces conditions, donner l’ensemble dont la somme des termes est minimale
Source : d’après Championnat International FFJM 2015 . Essai de solution :
Sans la restriction '' Somme ≤ 2015'', on aurait k=11.
Le tableau qui suit comporte 11+7+5+3+2 = 28 cases blanches.
Les nombres écrits pour la première fois ne sont pas en italiques. Ceux qui sont écrits pour la deuxième ou troisième fois sont en italique.
Il est impossible de placer dans la première ligne 7 multiples de 77 dont au plus deux nombres pairs et au plus trois multiples de 3 car 77(1+2+3+4+5+7+9) = 2389 > 2015.
On peut placer dans la première ligne 4 multiples de 77, 4 multiples de 5 et le nombre requis de multiples de 2 et de 3. Puis, dans la deuxième ligne, trois autres multiples de 7 dont aucun n'est multiple de 2 ni 3, et dont un seul est multiple de 5 :
11 11 77 154 231 55 275 110 99 165 121 539
7 77 154 231 539 7 35 49
5 55 275 110 165 35
3 231 99 165
2 154 110
On obtient 14 nombres pour un total de 1928
On va remplacer 55 et 539 de somme 594, par 385 et 143 de somme 528 < 594
11 11 77 154 231 385 275 110 99 165 121 143
7 77 154 231 385 7 35 49
5 385 275 110 165 35
3 231 99 165
2 154 110
On obtient encore14 nombres, mais pour un total de 1862.
Il semble que k = 14, mais j'ignore si on peut avec d'autres nombres obtenir un total inférieur à 1862.
