A623 – Partition sous contraintes [*** à la main ]
Trouver le plus petit nombre possible k d’entiers positifs distincts de somme S ≤ 2015 tels que :
- 2 d’entre eux et 2 seulement sont divisibles par 2, - 3 d’entre eux et 3 seulement sont divisibles par 3, - 5 d’entre eux et 5 seulement sont divisibles par 5, - 7 d’entre eux et 7 seulement sont divisibles par 7, - 11 d’entre eux et 11 seulement sont divisibles par 11,
Parmi tous les ensembles de k entiers qui respectent ces conditions, donner l’ensemble dont la somme S des termes est minimale
Source : d’après Championnat International FFJM 2015 Solution proposée par Bernard Vignes
k = 13 et S = 1893
On a évidemment k≥11.
Théoriquement on peut avoir 11 entiers tous divisibles par 11 et 7 d’entre eux divisibles par 7.
Ces derniers sont donc des multiples de 77 et on ne peut en retenir au maximum que deux pairs et trois divisibles par 3.
Les cinq plus petits 77,154,231,308,385 ont pour somme 1155. L’entier 6*77 = 462 est alors exclu si l’on retient 154 et 308. Les suivants sont 7*77 539 et 11*77 = 847. La somme des 7 entiers multiples de 77 dépasse alors 2015.
Il y a donc au moins 12 entiers dont 11 sont divisibles par 11 parmi lesquels 6 sont divisibles par 7 et le 12ème est divisible par 7 sans être divisible par 11.
Si l’on retient 6 multiples de 77, leur plus petite somme est 1155 + 539 = 1694 avec 2 d’entre eux divisibles par 2, un seul divisible par 3 et un seul divisible par 5.
Il est impossible de trouver les six autres entiers dont la somme est au plus égale à 321.
Conclusion : k = 13
