Q1 :
En analysant toutes les différences possibles dans la liste des 26 premiers nombres cubiques,
(1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576)
on constate que 2014 ne peut pas être la différence de deux cubes.
2015=143−93 est l'entier le plus proche qui s'écrit comme différence de deux cubes.
Q2 :
33n+2=(3n)3+(2⋅3n)3 et 23n+1=(2n)3+(2n)3
Donc pour p = 3 les n seront de la forme 3m + 2 pour p = 2 les n seront de la forme 3m + 1
Il faudrait encore montrer qu'il n'y pas d'autres p qui vérifient la condition.
Q3 :
Le nombre des chiffres de n3 est donné par [log10(n3)]+1 ( [] désigne la partie entière)
Donc la somme des chiffres de n3 sera plus petite ou égale à ([log10(n3)]+1)⋅9
Pour x≥57 , x > ([log10(x3)]+1)⋅9
Il suffit donc de chercher la solution parmi les nombres positifs plus petits que 57 Tableau des nombres égaux à la somme des chiffres de leur cube
nombre son cube
1 1
8 512
17 4913
18 5832
26 17576
27 19683
27 est le plus grand nombre qui est égal à la somme des chiffres de son cube
