A623 – Partition sous contraintes [*** à la main ]
Trouver le plus petit nombre possible k d’entiers positifs distincts de somme S ≤ 2015 tels que :
- 2 d’entre eux et 2 seulement sont divisibles par 2, - 3 d’entre eux et 3 seulement sont divisibles par 3, - 5 d’entre eux et 5 seulement sont divisibles par 5, - 7 d’entre eux et 7 seulement sont divisibles par 7, - 11 d’entre eux et 11 seulement sont divisibles par 11,
Parmi tous les ensembles de k entiers qui respectent ces conditions, donner l’ensemble dont la somme S des termes est minimale
Source : d’après Championnat International FFJM 2015
Solution proposée par Marie-Christine Picquet
Pour trouver k minimum , il faut regrouper 11 nombres dont la somme N< 182, puisque 11 x 182 < 2015 .
Parmi ces 11 nombres , un maximum doit posséder un facteur 7.
Avec k = 14 et N = 139 on obtient :
1620 = 11 x [ 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 2x7 + 3x5 + 3x7 + 5² + 5x7 ] + 7 + 5x7 + 7² = 11 x 139 + 7 + 35 + 49
1620 = 7 + 11 + 22 + 33 + 35 + 49 + 55 + 77 + 121 + 154 + 165 + 231 + 275 + 385
On peut réduire le nombre de termes k à 13 en remplaçant 2 par 4x7 à l'intérieur des crochets [...], ce qui donne pour k = 13 une somme S = 1857 < 2105.
1857 = 11 x [ 1 + 3 + 5 + 7 + 11 + 2x7 + 3x5 + 3x7 + 5² + 4x7 + 5x7 ] + 7 + 5x7 Soit S = 11 + 33 + 55 + 77 + 121 + 154 + 165 + 231 + 275 + 385 + 7 + 35
