1
§ TESTS D’HYPOTHÈSES
§ TEST de STUDENT
§ ANALYSE de VARIANCE – ANOVA
§ UTILISATION DE STATISTICA
§ ANALYSE des RÉSIDUS
§ COMPARISONS MULTPLES (post hoc)
§ TRANSFORMATION RÉPONSE
§ NOMBRE de RÉPÉTITIONS
§ AUTRES SUJETS
• effet de dispersion
• test non paramétrique
• bloc
chapitre 2
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Chapitre 2
Expériences avec un facteur
2
Méthode des tests d’hypothèses
Exemple 2.1 procédé de gravure (électronique) (« wet etching ») enlèvement du silicium sur des « wafers » variable de réponse Y : taux d’enlèvement du procédé comparaison de 2 solutions (1 facteur à 2 modalités) données : Y n = 10 moyenne solution 1 : 9.9 10.6 9.4 10.3 9.3
10.0 9.6 10.3 10.2 10.1 9.97 solution 2 : 10.2 10.0 10.6 10.2 10.7
10.7 10.4 10.4 10.5 10.3 10.04
données n = 5 répétitions X i 1 2 3 4 5 moyenne 15 1 7 7 15 11 9 9.8 20 2 12 17 12 18 18 15.4 25 3 14 18 18 19 19 17.6 30 4 19 25 22 19 23 21.6 35 5 7 10 11 15 11 10.8
Exemple 2.2 recherche nouvelle composition de fibres synthétique tissus
§ facteur X : % coton varie entre 15 et 35
§ réponse Y : force de tension tissu
§ 5 modalités de X fixées : 15 20 25 30 35
Boîte à moustaches: taux etch
Median 25%-75%
Min-Max
1 2
type s olution 9.2
9.4 9.6 9.8 10.0 10.2 10.4 10.6 10.8
taux etch
différence significative ?
Box Plot (Ex-2.2-tens ion tis s us .s ta 10v*25c)
Mean Mean±S E Mean±S D Outli ers E xtre me s
15 20 25 30 35
X 4
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
Y
différences
significatives ?
3
Ex 2.1 procédure à employer Test t de Student
- cadre pour des expériences de comparaison simple : 1 facteur variant à 2 modalités
- utilisable dans tous les plans expérimentaux avec plusieurs facteurs variant à 2 modalités
Ex 2.2 procédure ANOVA ANALYSIS OF VARIANCE - avec 1 facteur variant avec k modalités (niveaux) (k>=2) - p facteurs (p >=2) variant avec plusieurs modalités
- on ne peut pas appliquer le test t à toutes les paires - analyse de la variance : décomposition de la variabilité - ANOVA est la méthode générale employée pour analyser
toutes les expériences industrielles et scientifiques - si les écarts sont significatifs: identifier lesquels avec les
méthodes des comparaisons multiples
chapitre 2
Méthode des tests d’hypothèses
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y 1 = ∑ y 1j /n1 moyennes y 2 = ∑ y 2j / n2
S 1 2 = ∑ (y 1j – y 1 ) 2 /( n1 - 1) S
2 2 = ∑ (y 2j – y 2 ) 2 /(n2 -1)
variances
1 facteur à 2 modalités : test t Student (1/6)
modalité a1 facteur A modalité a2
y 11 y 12 … y 1 n1 échantillon y 21 y 22 … y 2 n2
σ 2 = [(n 1 – 1)s 1 2 + (n 2 – 1)s 2 2 ] / (n 1 + n 2 - 2) estimation erreur expérimentale σ
décision basée sur écart y 1 - y 2
facteur A affecte t-il la variable de réponse Y?
Line Plot (Spreadsheet1 10v*601c)
-3.00 3.00
-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45
phi(x)
Y Y ~ N (μ 1 , σ 2 )
μ 1 σ
Line Plot (Spreadsheet1 10v*601c)
-3.00 3.00
-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45
phi(x)
Y ~ N(μ 2 , σ 2 )
Hypothèse nulle H 0 : μ1 = μ2 Hyp. Alternative
H 1 : μ1 ≠ μ2
Y σ
μ 2
5
test de comparaison effet du facteur A différence des moyennes
écart type (différences des moyennes )
Statistique t de Student
y 1 – y 2
σ [1/n 1 + 1/n 2 ] 0.5
loi Student avec df = n 1 + n 2 - 2 degrés de liberté
t =
t =
t « près de zéro » supporte
H 0 : pas de différence - le facteur A n’affecte pas Y
t « très différente de zéro » supporte
H 1 : le facteur A affecte la moyenne de Y
t est un rapport signal / bruit
t distance entre les moyennes en unités d’écart types
1 facteur à 2 modalités : test t Student (2/6)
chapitre 2
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6
§ procédure objective pour décider si t est « grand »
§ En 1908, W. S. Gosset (pseudonyme Student ) obtient la distribution t
appelé « Student »
§ Tables
§ logiciel statistique
« p-value »
distribution Student
df = 1 df =2 df =30 df >= 30
Student
≈ normale
1 facteur à 2 modalités : test t Student (3/6)
7
Ex 2.1 : analyse Solution 1 2 y 9.97 10.40 S 0.42 0.23
p -value = risque rejeter une hypothèse nulle H 0 vraie Interprétation : si p est « petit »
(disons < 0.05) on rejette H o
1 facteur à 2 modalités : test t Student (4/6)
Box & W hisker Plot: Y-taux etch
Median 25%-75%
Min-Max
1 2
X-type solution 9.2
9.4 9.6 9.8 10.0 10.2 10.4 10.6 10.8
Y-taux etch
T-tests; Grouping: X-type solution Group 1: 1 Group 2: 2
Mean Mean t-value df p Valid
N
Valid N
Std Dev.
Std
Dev. F-ratio p
Y-taux
etch 9.97 10.40 - 2.8278 18 0.011 10 10 0.42 0.23 3.3354 0.087
application 1 : les moyennes sont différentes car p = 0.011
application 2 : les variances sont égales car p = 0.087 test F de Fisher F = s 1 2 / s 2 2
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1 facteur à 2 modalités : test t Student (5/6)
UTILISATION DE STATISTICA
9
Méthode des intervalles de confiance
L ≤ θ ≤ U avec P ( L ≤ θ ≤ U ) = 1 – α 1 – α : coefficient de confiance
μ 1 - μ 2 : ( y 1 - y 2 ) ± σ * t df , 1 – α/2 * (1/n 1 + 1/n 2 ) 0.5
df = n 1 + n 2 - 2
percentile (1 – α /2) distribution Student avec df degrés de liberté
Application
Intervalle de confiance pour la différence entre 2 moyennes μ 1 - μ 2
intervalle de confiance pour un paramètre θ
Ex 2-1 μ 1 - μ 2 : (- 0.76 , - 0.10)
avec coefficient de confiance de 95%
1 facteur à 2 modalités : test t Student (6/6)
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10 Ex-2.2 – tension tissus
recherche nouvelle composition de fibres synthétique tissus
§ facteur X : % coton varie entre 15 et 35
§ réponse Y : force de tension tissu
§ 5 modalités X = 15 20 25 30 35
§ n = 5 répétitions
Expériences avec un facteur
Box Plot (Ex-2.2-tens ion tis s us .s ta 10v*25c)
Mean Mean±S E Mean±S D Outli ers E xtre me s
15 20 25 30 35
X 4
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
Y
données n = 5 répétitions
X i 1 2 3 4 5 moyenne
15 1 7 7 15 11 9 9.8
20 2 12 17 12 18 18 15.4
25 3 14 18 18 19 19 17.6
30 4 19 25 22 19 23 21.6
35 5 7 10 11 15 11 10.8
11
§ traitements à comparer : k modalités du facteur
§ méthode d’assignation complètement aléatoire : les k traitements sont assignés aux N unités sans aucune restriction (au hasard)
§ préférable: choisir des tailles égales n i = n n = ? meilleure comparaison entre les traitements
§ effets fixes - aussi cas avec effets aléatoires
§ hypothèse nulle H 0 : μ 1 = μ 2 = …. = μ k
pas de différences entre les moyennes de groupes
Tableau des données
modalité observations moyennes variances
a 1 y 11 y 12 y 13 …y 1 n1 y 1 . s 1 2 a 2 y 21 y 22 y 23 …y 2 n2 y 2 . s 2 2 a i y i1 y 12 y i3 …y i ni y i . s i 2
a k y k1 y k2 y k3 …y k nk y k. s k 2
Toutes y..
y i . = ∑ y ij
y .. = ∑ ∑ y ij
y i . = y i . / n i N = ∑ n i y.. = y.. / N SS i = ∑ (y ij - y i . ) 2 s i 2 = SS i ⁄ (n i – 1)
Line Plot (Spreadsheet1 10v*601c)
-3.00 3 .00
-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45
phi(x)
Line Plot (Spreadsheet1 10v*601c)
-3.00 3 .00
-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45
phi(x)
Line Plot (Spreadsheet1 10v*601c)
-3 .0 0 3 .00
-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45
phi(x)
μ
1μ
2μ
ka 1
a 2
a k
Expériences avec un facteur
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Modèle
Y i j = μ + τ i + ε i j i = 1, 2,. ….,k j = 1, 2, …, n i μ : effet général
τ i : effet différentiel traitement i
∑ τ i = 0
ε i j : erreur ~ N(0,σ 2 )
~ : notation pour distribuée comme
Autres modèles
Modèle à moyennes : Y i j = μ i + ε i j μ i = μ + τ i
Modèle polynomial si facteur est quantitatif (A = X) par exemple : Y = β 0 + β 1 X + β 2 X 2 + ε
Expériences avec un facteur
13
Analyse de la variance - ANOVA
SS tot = ∑∑(y ij – y .. ) 2 variabilité totale
∑∑(y ij – y .. ) 2 = ∑∑[(y ij – y i. ) + (y i. – y .. )] 2
= ∑n i (y i. – y .. ) 2 + ∑∑(y ij – y i. ) 2
SS trait = ∑n i (y i. – y .. ) 2 inter variabilité
SS erreur = ∑∑(y ij – y i. ) 2 intra variabilité
SS tot = SS trait + SS erreur
∑ (y i. – y.. ) ∑ (y ij – y i .) = 0
0
Expériences avec un facteur
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14
Tableau d’analyse de la variance
distribution de référence pour F 0 : distribution F de Fisher avec df 1 = k – 1 degrés de liberté au numérateur
et df 2 = N - k degrés de liberté au dénominateur Test de H 0 : μ 1 = μ 2 = …. = μ k
Rejet de H 0 au seuil (risque) α si F 0 > F α, df1, df2
Source Somme Carrés (SS) Deg. lib.(df) Carré Moyen (MS) F
Traitements SS trait = ∑ n i ( y i. – y .. ) 2 k – 1 MS trait =SS trait / ( k-1)
Erreur SS erreur = ∑∑( y ij – y i. ) 2 N – k MS erreur =SS erreur / (N-k)
Totale SS tot = ∑∑ (y ij – y .. ) 2 N – 1
SS: Sum of Square df: degree of freedom MS: Mean Square
MS trait MS erreur
F 0 =
Expériences avec un facteur
15
§ si X1 suit une loi Khi-deux avec df1 ddl X2 suit une loi Khi-deux avec df2 ddl X1 et X2 sont indépendantes
alors
(X1/df1) / (X2/df2) suit une loi F (df1,df2 )
§ t 2
df = F (1, df ) : carré Student
= Fisher F( df1 = 1, df2 = df )
Distribution F de Fisher
la distribution F est employée dans TOUTES les analyses de plans d’expériences
Expériences avec un facteur
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Ex. 2.2 : analyse avec STATISTICA
Basic Statistics and Tables ou Statistics… ANOVA…
Expériences avec un facteur
17
Ex. 2.2 : analyse avec STATISTICA
avec Basic Statistics and Tables SS
effect
df effect
MS effect
SS error
df error
MS
error F p
Y 475.76 4 118.94 161.20 20 8.06 14.76 0.000009
Plot of Means and Conf. Intervals (95.00%) Y
Y
15 20 25 30 35
X 0
5 10 15 20 25 30
Values
différences significatives
lesquelles ? méthode des comparisons multiples Expériences avec un facteur
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18
Ex. 2.2 : analyse avec STATISTICA Post-hoc : comparaisons multiples
LSD – Scheffé - Newman&Keuls Duncan - Tukey
Méthode recommandée: Tukey Honest Significant Differences HSD
comparisons de toutes les différences entre les paires de modalités
Tukey HSD test; Variable: Y
marked differences are significant at p < 0.05000
moy {1}
9.8
{2}
15.4
{3}
17.6 {4}
21.6 {5}
10.8
15 {1} 0.0386 0.0027 0.0001 0.9798
20 {2} 0.0386 0.7373 0.0190 0.1164
25 {3} 0.0027 0.7373 0.2102 0.0092
30 {4} 0.0001 0.0190 0.2102 0.0002
35 {5} 0.9798 0.1164 0.0092 0.0002
Expériences avec un facteur
19
Ex. 2.2 : analyse avec STATISTICA
avec Statistics… ANOVA…
Expériences avec un facteur
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Ex. 2.2 : analyse avec STATISTICA avec Statistics… ANOVA…
Univariate Results for Each DV (Ex-2.2-tension tissus.sta) Degr. Of
freedom Y SS
Y MS
Y F
Y p Intercept 1 5655.04 5655.04 701.62 0.000000
X 4 475.76 118.940 14.76 0.000009
Error 20 161.20 8.060
Total 24 636.96
Expériences avec un facteur
X; LS Means Current effect: F(4, 20)=14.757, p=.00001
Effective hypothes is decomposition Vertical bars denote 0.95 confidence intervals
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
Y
21
analyse des résidus
§ vérifier les hypothèses de base après ajustement d’un modèle
§ HYPOTHESES de BASE COMMENT?
1 - « bon » modèle? ………. R 2 et R 2 ajusté
2- distribution normale? ………… résidus sur échelle gaussienne (normale) (q-q plot)
3 - variance constante? ………… tests de Hartley / Cochran / Bartlett Levene
4 - données aberrantes? (‘outliers’) … résidus vs résidus ‘deleted’
5 - observations indépendantes? ….. test Durbin-Watson
§ Si hypothèses de base violées ou certaines formes réponse
- transformation de la réponse Y : Box-Cox Y λ - 2 < λ < 2 λ = ? - test non paramétrique de Kruskall-Wallis
Expériences avec un facteur
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22
Analyse des résidus
Tests of Homogeneity of Variances Hartley Cochran Bartlett df p
Y 2.605 0.278 0.934 4 0.9198
Levene's Test for Homogeneity of Variances Effect: X Degrees of freedom for all F's: 4, 20
MS MS F p
Y 1.37 2.13 0.64 0.6372
Norm al Prob. Plot; Raw Res iduals Dependent variable: Y
(Anal ys is s a mp le)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Res idual -3 .0
-2 .5 -2 .0 -1 .5 -1 .0 -0 .5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Expected Normal Value
.01 .05 .15 .35 .55 .75 .95 .99
Predicted vs . Res idual Values Dependent variable: Y
(Anal ys is s a mp le)
8 10 12 14 16 18 20 22 24
Predicted Values -5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Raw Residuals Raw Res iduals vs. Deleted Res iduals
Dependent variable: Y (Anal ysis s a mp le)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Raw Residuals -6
-4 -2 0 2 4 6 8
Deleted residuals
résidus sur échelle probabilité gaussienne
résidus vs prédites
résidus vs résidus ‘deleted’
points alignés
points bande horizontale
Expériences avec un facteur
23
si facteurs quantitatifs : modèle de régression
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
X 6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
Y
Y = - 39.99 +4.59*x - 0.0886*x 2 Expériences avec un facteur
chapitre 2
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TRANSFORMATION RÉPONSE Y
Transformation de Box Cox si l’écart type de Y σ = ET(Y) est proportionnel à la moyenne μ = E(Y) : σ α μ α
examen de log (Y i ) versus log (s i ) : pente α
Transformation pour stabiliser la variance: Y ’ = h(Y) cas relation transformation Y’
Y ~ Binomiale (attribut) σ 2 α μ(1-μ) Y ’ = arcsin(Y 0.5 )
Box-Cox σ α μ α λ = 1- α Y ’ = Y λ - 2 ≤ λ ≤ 2
σ constant α = 0 λ = 1 Y ’= Y pas de transformation
σ α μ 0.5 (comptages Poisson) α = 0.5 λ = 0.5 Y ’ = Y 0.5 σ α μ α = 1 λ = 0 Y ’ = log(Y)
σ α μ 1.5 α = 1.5 λ = -0.5 Y ’ = Y - 0.5 σ α μ 2 α = 2 λ = -1 Y ’ = Y -1
Expériences avec un facteur
25
expériences avec plusieurs facteurs :
n entre 2 et 5 est généralement suffisant nombre de répétitions : n = ?
n dépend de
alpha (α ) : taux de fausse détection
risque de rejeter une hypothèse vraie beta (β ) : taux de manque de détection
risque de ne pas rejeter une hypothèse fausse 1 – β : puissance du test
σ : erreur expérimentale
∆ = λ σ : écart de moyenne à détecter λ = ∆/σ : facteur de proportionnalité
en pratique 0.5 < λ < 3
k : nombre de modalités (groupes) à comparer n : nombre de répétitions de chaque sous groupe (modalité)
n = F(α , β, σ, λ , k )
Expériences avec un facteur
chapitre 2
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26
nombre de répétitions n
k = 2 n
alpha 0.10 0.05 0.01
beta 0.10 0.05 0.10 0.05 0.10 0.05
λ 0.5 70 88 86 * * *
1.0 18 23 23 27 32 38
1.6 8 10 10 12 14 16
2.0 6 7 7 8 10 11
3.0 3 4 4 5 6 6
k = 3 n
alpha 0.10 0.05 0.01
beta 0.10 0.05 0.10 0.05 0.10 0.05
λ 0.5 85 * * * * *
1.0 22 27 27 32 37 43
1.6 10 12 11 14 16 18
2.0 7 8 8 9 11 12
3.0 4 4 5 5 6 7
* : > 100
k = 4 n
alpha 0.10 0.05 0.01
beta 0.10 0.05 0.10 0.05 0.10 0.05
λ 0.5 70 88 86 * * *
1.0 25 30 30 36 40 47
1.6 11 13 13 15 17 20
2.0 7 9 9 10 12 13
3.0 4 5 5 5 6 7
Expériences avec un facteur
27
nombre de répétitions n * : > 100 Expériences avec un facteur
chapitre 2
k = 6 n
Alpha 0.10 0.05 0.01
Beta 0.10 0.05 0.10 0.05 0.10 0.05
λ 0.5 * * * * * *
1.0 29 35 34 41 46 53
1.6 12 15 14 17 19 22
2.0 8 10 10 11 13 15
3.0 4 5 5 6 7 8
k = 7 n
Alpha 0.10 0.05 0.01
Beta 0.10 0.05 0.10 0.05 0.10 0.05
λ 0.5 * * * * * *
1.0 31 37 36 43 48 56
1.6 13 15 15 18 19 23
2.0 9 10 10 12 13 15
3.0 5 5 5 6 7 8
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nombre de répétitions n Expériences avec un facteur * : > 100
k = 8 n
Alpha 0.10 0.05 0.01
Beta 0.10 0.05 0.10 0.05 0.10 0.05
λ 0.5 * * * * * *
1.0 32 39 38 45 50 38
1.6 13 16 16 18 21 24
2.0 9 11 11 12 14 16
3.0 5 5 6 6 7 8
k = 9 n
Alpha 0.10 0.05 0.01
Beta 0.10 0.05 0.10 0.05 0.10 0.05
λ 0.5 * * * * * *
1.0 33 40 40 47 52 60
1.6 14 17 16 19 21 25
2.0 9 11 11 13 14 16
29
Statistics … Power Analysis
1-Way ANOVA: Sam ple Size Calculation 1-Way ANOVA (Fixed Effects ) N vs . RMSS E (Alph a = 0.0 5, G rou ps = 2 , P owe r = 0.9 )0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
Root Mean Square Standardized Effect (RMSSE) 0
10 20 30 40 50
Required Sample Size (N)
1-Way ANOVA: Sam ple Size Calculation 1-Way ANOVA (Fixed Effects ) N vs . RMSS E (Alph a = 0.0 5, G rou ps = 5 , P owe r = 0.9 )
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1. 6
R oot Mean Square Standardized Effect (RMSSE) 0
5 10 15 20
Required Sample Size (N)
1-Way ANOVA: Sam ple Size Calculation 1-Way ANOVA (Fixed Effects ) N vs . RMSSE (Alpha = 0.05, Groups = 10, Power = 0.9)
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
Root Mean Square Standardized Effect (RMSSE) 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11
Required Sample Size (N)
K = 2
K = 5 K = 10
nombre de répétitions n
Expériences avec un facteur
chapitre 2
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AUTRES SUJETS
§ effets de dispersion - Montgomery 7 ième ed. p. 7 analyse faite avec Y = log(s) s: écart type
§ ANOVA non paramétrique: test de Kruskall-Wallis Montgomery 7 ième ed. p. 112
analyse faite avec les rangs: r ij = rang(Y ij )
§ autres méthodes d’assignation avec 1 facteur Montgomery 7 ième ed. chapitre 4 – pp.121-161 présence de facteurs secondaires connus et contrôlés
- plans en blocs randomisés: 1 facteur secondaire RCBD: Randomized Complete Block Design - plans en carrés latins: 2 facteurs secondaires - plans en blocs incomplets équilibrés
PBID: Partially Incomplete Block Design taille du bloc < nombre traitements
chapitre 7
notes
cours
Expériences avec un facteur
31
§ Facteur « nuisible » ou secondaire : a probablement un effet sur la réponse Y mais il ne présente aucun intérêt en soi
§ Facteur nuisible typique : lots de matière première, opérateurs, pièces d’équipement, temps, unités expérimentales, …
§ Stratégie : contrôler /minimiser l’impact des facteurs nuisibles blocage de essais
§ Beaucoup d’expériences industrielles implique le blocage
§ Absence de blocage
peut conduire l’expérience à un échec
manque de détection des effets des facteurs primaires
Plans en blocs
Expériences avec un facteur
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connu contrôlable méthode de contrôle
oui …… oui ………… 1. bloquer les essais
plans en blocs – chapitre 7 oui ……. mesurable …. 2. analyse de covariance :
enlever effet sur la réponse non …… non ………. 3. randomiser les essais
« block what you can and randomize what you cannot »
blocs : peuvent être définis par plusieurs facteurs nuisibles par exemple, plans en carrés latins
Que faire avec des facteurs nuisibles ?
Expériences avec un facteur
33 mesure dureté Rockwell
§ type pointe : facteur primaire
§ comparaison des pointes:
différentes ?
§ matériau = facteur secondaire
§ matériau = bloc
§ éliminer influence facteur bloc avant de comparer pointes type matériau (bloc)
pointe m1 m2 m3 m4
type A 7.69 10.77 15.75 12.82 B 10.61 9.81 12.03 12.22 C 12.22 13.02 13.55 15.36 D 13.18 14.65 14.96 17.15
§ matériau représente un facteur secondaire (nuisible)
§ blocage avec le type de matériau est nécessaire
§ Plan en blocs complètement aléatoire
« Randomized Complete Block Design » = RCBD
assignation des pointes (traitements) au hasard (aléatoire) à l’intérieur de chaque bloc (restriction)
versus
assignation sans restriction = complètement aléatoire
Exemple : 1 facteur secondaire – plan en blocs aléatoires Expériences avec un facteur
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étude de 4 additifs essence A – B – C – D facteur principal réponse : Y = consommation (m/g)
facteurs blocs : voiture v1–v2–v3-v4 conducteur : c1–c2–c3–c4 plan en carré latin 4 x 4
voiture
conducteur v1 v2 v3 v4
c1 A / 21 B / 26 D / 20 C / 25
c2 D / 23 C / 26 A / 20 B / 27 c3 B / 15 D / 13 C / 16 A / 16 c4 C / 17 A / 15 B / 20 D / 20
seulement 16 des 4 x 4 x 4 = 64 combinaisons de Additif x Voiture x Cond
propriétés chaque ligne (conducteur) – 4 additifs présents chaque colonne (voiture) – 4 additifs présents
facteur principal / y Exemple : carré latin 4 x 4 - 2 facteurs secondaires
Expériences avec un facteur
35
§ nombre k d’unités chaque bloc ( taille du bloc)
plus petit que nombre a de traitements du facteur : k < a cause fréquente : manque de matériel expérimental
§ Exemple bloc (matière première) trait 1 2 3 4
1 - 73 71 74 2 67 - 72 75 3 68 73 - 75 4 72 75 75 -
a = 4 traitements b = 4 blocs k = 3 unités par blocs
§ N = nombre total d’observations = b k = a r
a : nombre de traitements k : nombre d’unités chaque bloc b : nombre de blocs r : nombre répétitions traitement
§ BIBD : Balanced Incomplete Bloc Design
- chaque traitement apparaît le même nombre de fois
- chaque paire de traitements apparaît le même nombre de fois
Exemple : plans en blocs incomplets Expériences avec un facteur
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