A623 – Partition sous contraintes [*** à la main ]
Trouver le plus petit nombre possible k d’entiers positifs distincts de somme S ≤ 2015 tels que :
- 2 d’entre eux et 2 seulement sont divisibles par 2, - 3 d’entre eux et 3 seulement sont divisibles par 3, - 5 d’entre eux et 5 seulement sont divisibles par 5, - 7 d’entre eux et 7 seulement sont divisibles par 7, - 11 d’entre eux et 11 seulement sont divisibles par 11,
Parmi tous les ensembles de k entiers qui respectent ces conditions, donner l’ensemble dont la somme S des termes est minimale
Source : d’après Championnat International FFJM 2015
Solution proposée par Daniel Collignon
Avec 11 nombres, 7 seraient un multiple de 7*11.
Or 11*7*(1+2+3+4+5+6+7) > 2015.
Avec 12 nombres, au moins 6 seraient un multiple de 7*11.
Il reste alors peu de marge avec les multiples de 5*11.
Avec 13 nombres, c'est possible : somme = 1857 avec
11*(1+3+11) = 165 11*5*(1+3+5) = 495 11*7*(1+2+3+4+5) = 1155 7*(1+5) = 42
