A456 - Cubes d’enfants
L’aîné des petits enfants de Diophante a des talents de bricoleur arithméticien. Il dispose d’une collection de 15 cubes tous différents dont les arêtes sont des nombres entiers compris entre 1cm et 15 cm. Il fabrique deux pyramides en empilant pour chacune d’elles 4 cubes dans un ordre décroissant de volume puis il colle les surfaces communes aux cubes pris 2 à 2 (voir figure ci-après).
Il calcule le volume exprimé en et la surface exprimée en de chacune d’elles et constate que pour l’une et l’autre le volume a une valeur qui est double de celle de la surface.
Comparer les hauteurs des deux pyramides.
Solution
Considérons une pyramide formée de 4 cubes de taille croissante et de côtés respectifs a, b, c, d tels que a<b<c<d.
Le volume d’une telle pyramide se calcule simplement par :
3 3 3 3
v=a +b +c +d
La surface de la pyramide est la somme des surfaces des 4 faces latérales des 3 petits cubes et des 6 faces du plus gros (on comprend cette propriété en regardant la pyramide du dessus) :
2 2 2 2
4 4 4 6
s= a + b + c + d La pyramide vérifiant la relation v = 2s, on écrit donc :
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3 2 2 2 2
3 2 3 2 2 3 2 3
2 4 4 4 6
8 8 8 12
a b c d a b c d
a a b b c c d d
+ + + = + + +
− + − = − + −
Pour trouver des solutions dans 1; 15, on évalue chacun des deux membres de cette équation diophantienne en fonction des valeurs respectives de a, b (avec 1≤a<b≤13), puis de c, d (avec 3≤c<d≤15).
(
a3−8a2) (
+ b3−8b2) (
8c2−c3) (
+ 12d2−d3)
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 c 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
b d
2 -31 4 173
3 -52 -69 5 220 239
4 -71 -88 -109 6 261 280 291
5 -82 -99-120 -139 7 290 309 320 317
6 -79 -96 -117 -136 -147 8 301 320 331 328 305
7 -56 -73 -94-113 -124-121 9 288 307 318 315 292 243
8 -7 -24 -45 -64 -75 -72 -49 10 245 264 275 272 249 200 119
9 74 57 36 17 6 9 32 81 11 166 185 196 193 170 121 40 -79
10 193 176 155 136 125 128 151 200 281 12 45 64 75 72 49 0 -81 -200 -363
11 356 339 318 299 288 291 314 363 444 563 13 -124-105 -94 -97-120 -169 -250 -369 -532 -745 12 569 552 531 512 501 504 527 576 657 776 939 14 -347 -328 -317 -320 -343 -392 -473 -592 -755 -968 -1237 13 838 821 800 781 770 773 796 845 926 1045 1208 1421 15 -630 -611 -600 -603 -626 -675 -756 -875 -1038 -1251 -1520 -1851
On remarque que les valeurs des deux membres s’égalisent dans les cinq cas coloriés en bleu et en vert ci-dessus.
En rétablissant l’inégalité b<c, il ne reste que les deux solutions suivantes :
a 1 3
b 6 5
c 10 7
d 11 13
a+b+c+d 28 28
On remarque enfin que, dans les deux cas, la hauteur de la pyramide, donnée par h = a+b+c+d, vaut 28 cm.
