A439. Peintures sur cubes $
Je dispose de deux cubes dont les côtés s’expriment en nombres entiers de centimètres 15.
Je peins en rouge k faces du plus grand et en bleu k+1 faces du plus petit (k > 0). Je découpe les deux cubes en cubes élémentaires de 1 centimètre de côté et j’obtiens le même nombre de petits cubes ayant au moins une face peinte de chacune des deux couleurs. Déterminer la dimension de chaque cube et la position relative des faces qui ont été peintes en rouge et en bleu.
Solution de Jérôme Pierard
Posons :
- C le côté du cube
- F le nombre de faces peintes - A le nombre d’arêtes communes - S le nombre de sommets communs
Il y a arête commune si deux au moins des faces apparentes sont peintes et sommet commun si ses trois faces apparentes sont peintes.
Le nombre de cubes unitaires ayant au moins une face peinte est égal à : (F x C^2) – (A x C) + S
Le tableau suivant montre les résulats selon le côté, le nombre de faces peintes et consécutivement d’arêtes communes et de sommets communs
faces peintes (F) 1 2 2 3 3 4 4 5 6 nombre de cubes
unitaires en surface
arêtes communes (A) 0 0 1 2 3 4 5 8 12
sommets communs (S) 0 0 0 0 1 0 2 4 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 6 8 7 8 8 8 8 8
3 9 18 15 21 19 24 23 25 26 26
4 16 32 28 40 37 48 46 52 56 56
5 25 50 45 65 61 80 77 89 98 98
6 36 72 66 96 91 120 116 136 152 152
7 49 98 91 133 127 168 163 193 218 218
8 64 128 120 176 169 224 218 260 296 296
9 81 162 153 225 217 288 281 337 386 386
10 100 200 190 280 271 360 352 424 488 488
11 121 242 231 341 331 440 431 521 602 602
12 144 288 276 408 397 528 518 628 728 728
13 169 338 325 481 469 624 613 745 866 866
14 196 392 378 560 547 728 716 872 1016 1016
15 225 450 435 645 631 840 827 1009 1178 1178
On observe que la seule possibilité satisfaisant les conditions de l’énoncé correspond à : - 1 cube composé de 6 cubes unitaires de côté dont 3 faces sont peintes ayant chacune
une arête commune deux à deux et donc un sommet commun
- 1 cube composé de 7 cubes unitaires de côté dont 2 faces sont peintes ayant une arête commune
