A439 - Peintures sur cubes
Je dispose de deux cubes dont les côtés s’expriment en nombres entiers de centimètres 15. Je peins en rouge faces du plus grand et en bleu 1 faces du plus petit ( 0). Je découpe les deux cubes en cubes élémentaires de 1 centimètre de côté et j’obtiens le même nombre de petits cubes ayant au moins une face peinte de chacune des deux couleurs. Déterminer la dimension de chaque cube et la position relative des faces qui ont été peintes en rouge et en bleu.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Soit un cube de 1 centimètres de côté. Calculons le nombre de petits cubes colorés en fonction de , du nombre et de la configuration des faces peintes :
• 1 seule face permet d’obtenir ² cubes élémentaires avec de la peinture,
• 2 faces adjacentes permettent d’en obtenir 2² ,
• 2 faces opposées, 2²,
• 3 faces ayant un sommet commun, 3² 3 1,
• 3 faces disposées en U, 3² 2,
• 4 faces telles que les 2 autres soient adjacentes, 4² 5 2,
• 4 faces telles que les 2 autres soient opposées, 4² 4,
• 5 faces, 5² 8 4,
• 6 faces, 6² 12 8.
On fait ensuite varier de 2 à 15 pour dresser le tableau suivant :
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 ² 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
2 2² 6 15 28 45 66 91 120 153 190 231 276 325 378 435 2² 8 18 32 50 72 98 128 162 200 242 288 338 392 450 3 3² 3 1 7 19 37 61 91 127 169 217 271 331 397 469 547 631 3² 2 8 21 40 65 96 133 176 225 280 341 408 481 560 645 4 4² 5 2 8 23 46 77 116 163 218 281 352 431 518 613 716 827 4² 4 8 24 48 80 120 168 224 288 360 440 528 624 728 840 5 5² 8 4 8 25 52 89 136 193 260 337 424 521 628 745 872 1009 6 6² 12 8 8 26 56 98 152 218 296 386 488 602 728 866 1016 1178
La seule possibilité compatible avec le scénario de l’énoncé est : 91 petits cubes élémentaires avec de la peinture rouge et 91 petits cubes élémentaires avec de la peinture bleue. Cela correspond à la configuration initiale suivante:
• Deux faces adjacentes peintes en rouge dans le plus grand cube de côté ,
• Trois faces ayant un sommet commun peintes en bleu dans le plus petit cube de côté .
