E50060. Cubes à la découpe
a) On veut découper un cube en N cubes. Montrer que c’est impossible si les cubes du découpage sont tous de tailles différentes.
b) Sans la condition du a), pour quelles valeurs deN est-ce possible ? c) On doit découper à la scie un grand cube en n3 petits cubes identiques.
Quel est le nombre minimum de coupes, si l’on peut changer la disposition après chaque coupe ?
Solution
a) Après découpe, le cube est posé, reconstitué, sur le sol. Soit C le plus petit des cubes touchant le sol. Il ne pourrait pas être bordé de cubes plus grands s’il était sur le bord. Il est intérieur à cette face inférieure du grand cube, et les quatre cubes plus grands qui le bordent sur ses faces verticales laissent au-dessus de lui un “puits”. Ce puits carré à son tour doit être rempli de cubes plus petits que C, et parmi eux un plus petit de ceux posés sur C ; et ainsi de suite, d’où un empilement de cubes de plus en plus petits, “montée infinie” incompatible avec un nombre finiN de cubes.
b) On peut couper un cube en 8 cubes de côté moitié ; dans un cube de côté 3, on peut découper un cube de côté 2 et 27−8 = 19 cubes de côté 1, soit 20 cubes ; dans un cube de côté 4, on peut découper un cube de côté 3 et 64−27 = 37 cubes de côté 1, soit 38 cubes.
A partir d’un découpage enM cubes, on peut donc subdiviser un des cubes pour obtenirN =M+ 7,N =M+ 19 ouN =M+ 37 cubes. Par un choix convenable de ces subdivisions, on obtient N cubes quand N = 1 + 7A+ 19B+ 37C avecA, B, C entiers (≥0). Ceci est possible pour toutN >70. Il y a 40 valeurs deN, de 2 à 70, où le découpage en N cubes est impossible.
c) Considérons une direction de coupe. En commençant par le plan de coupe le plus proche du plan médiateur, on obtient deux blocs qui pourront être superposés pour les coupes suivantes ; si par exemple n= 7, une première coupe donnera 4 + 3, puis on aura (2 + 2) + (2 + 1) en une même seconde coupe, et enfin lesnmorceaux de dimension 1 par la troisième coupe.
Cela demandek coupes si 2k est la puissance de 2 égale ou immédiatement supérieure àn. Pour les trois directions de coupe, il faut au total 3kcoupes.
