A439
Combien de cubes élémentaires ont au moins une face colorée lorsqu’on peintf faces d’un cube de côtéc?Lorsqu’on peint :
• 1 face, il y en ac2.
• 2 faces opposées, il y en a2c2.
• 2 faces ayant une arête en commun, il y en a2c2−c.
• 3 faces dont deux opposées, il y en a3c2−2c.
• 3 faces ayant un sommet commun, il y en a3c2−3c+ 1.
• 4 faces telles que les deux faces non peintes sont opposées, il y en a4c2−4c.
• 4 faces telles que les deux faces non peintes ont une arête en commun, il y en a4c2−5c+ 2.
• 5 faces, il y en a5c2−8c+ 4.
• 6 faces, il y en a6c2−12c+ 8.
Dressons le tableau des valeurs possibles:
c\f 1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1
2 4 6 ou 8 7 ou 8 8 8 8
3 9 15 ou 18 19 ou 21 23 ou 24 25 26
4 16 28 ou 32 37 ou 40 46 ou 48 52 56
5 25 45 ou 50 61 ou 65 77 ou 80 89 98
6 36 66 ou 72 [91]ou 96 116 ou 120 136 152 7 49 [91]ou 98 127 ou 133 163 ou 168 193 218 8 64 120 ou 128 169 ou 176 218 ou 224 260 296 9 81 153 ou 162 217 ou 225 281 ou 288 337 386 10 100 190 ou 200 271 ou 280 352 ou 360 424 488 11 121 231 ou 242 331 ou 341 431 ou 440 521 602 12 144 276 ou 288 397 ou 408 518 ou 528 628 728 13 169 325 ou 338 469 ou 481 613 ou 624 745 866 14 196 378 ou 392 547 ou 560 716 ou 728 872 1016 15 225 435 ou 450 631 ou 645 827 ou 840 1009 1178 Ainsi, la seule possibilité est 91 cubes élémentaires (entre crochet dans le tableau) correspondant à un grand cube de côté 7 avec 2 faces ayant une arête en com- mun peintes en rouge et un petit cube de coté 6 avec 3 faces ayant un sommet commun peintes en bleu.
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