CORRECTION EXERCICES 29 ET 30 DU COURS DU MERCREDI 15 MARS
Ex 29 page 205.
1. On peut tracer les courbes à la calculatrice. On obtient :
est la partie colorée.
Pour utiliser le cours, il faut savoir quelle fonction est inférieure à l autre (dans le théorème du cours qui permet de calculer l aire entre deux courbes, il faut que g( x) f( x) sur l intervalle).
On commence par définir les fonctions Soit f la fonction définie sur +* par f (x ) 1
x et g la fonction définie sur +* par g (x) x.
est la courbe de g et est la courbe de f. (elle s appelle car c est une hyperbole) On cherche sur quels intervalles f( x) g( x) et f (x ) g (x )
f (x ) g (x ) 1
x x 1 x ² (on multiplie chaque membre par x qui est positif ici) f (x ) g (x ) x 1 car x est positif
De même, f (x ) g( x) x 1.
On a donc 1
x x pour x ]1
[ et 1
x x pour x ]0 1[.
On retrouve bien cela sur le graphique.
On va donc calculer d abord l aire de la partie gauche de (pour x entre 0,5 et 1 puisqu on a prouvé que l intersection était bien pour x 1) puis l aire de la partie droite (pour x entre 1 et 2).
Aire de la partie gauche (de 0,5 à 1) : Sur [0,5 1], on a montré que x 1
x donc l aire de la partie gauche est A
1
0,5 1
1x
x dx On va utiliser une primitive de 1
x x : à l aide du tableau du cours, on a ln(x ) 1
2 x² est une primitive de 1
x x.
Alors A
1
ln( x) 1
2 x ²
0,5 1
ln(1) 1
2 1²
ln(0,5) 1
2 0,5² 1
2 ln(2) 1
8 ln(2) 3 8 car ln(0,5) ln
1
2
ln(2)
Aire de la partie droite (de 1 à 2) : Sur [0,5 1], on a montré que 1
x x donc l aire de la partie gauche est A
2
1 2
x
1x
dx A
2
1
2 x² ln(x )
1 2
12
2² ln(2)
12
1² ln(1) 2 ln(2) 1 2
3
2 ln(2) Aire de :
L aire de est A
1 A2ln(2) 3 8
3
2 ln(2) 9
8 .
Ex 30 page 205.
2. 0.
a.
C est la courbe de la fonction f définie par f (x ) 2xe
x².
x étant positif, f (x ) 0 donc la courbe C est au dessus de l axe des abscisses.
Alors ( )
0
2xe
x²dx
2xe
x²est presque de la forme u e
uavec u (x ) x² et donc u (x ) 2 x On écrit donc 2 xe
x²( 2 xe x²) où 2xe x² est de la forme u e
u. Une primitive de 2xe
x² est e
x² (car une primitive de u e
u est e
u).
est de la forme u e
u. Une primitive de 2xe
x²est e
x²(car une primitive de u e
uest e
u).
Une primitive de f est donc la fonction F définie sur + par F( x) e
x². On a alors ( )
e
x²0
e
²( e0) e ² 1 1
e ².
1 1
e ².
b.
On pose X ².
lim X et lim
X
e
X0 donc lim e
²0 et donc lim ( ) 1 Interprétation : l aire du domaine sous la courbe de f entre 0 et est 1.
A( ) est l aire de la partie colorée
