A439 : Peinture sur cube
Je dispose de deux cubes dont les côtés s’expriment en nombres entiers de centimètres 15. Je peins en rouge k faces du plus grand et en bleu k+1 faces du plus petit (k > 0). Je découpe les deux cubes en cubes élémentaires de 1 centimètre de côté et j’obtiens le même nombre de petits cubes ayant au moins une face peinte de chacune des deux couleurs. Déterminer la dimension de chaque cube et la position relative des faces qui ont été peintes en rouge et en bleu.
Pour un grand cube de n cm de coté, le nombre de cubes élémentaires ayant au moins un coté peint, sera égal à :
- pour une face (I) : n2
- pour deux faces adjacentes (IIa) : 2n2-n
- pour deux faces opposées (IIb) : 2n2
- pour trois faces formant trièdre (IIIa) : 3n2-3n+2
- pour trois faces dont deux opposées (IIIb) : 3n2-2n
- pour quatre faces sauf deux adjacentes (IVa) : 4n2-5n+2
- pour quatre faces sauf deux opposées (IVb) : 4n2-4n
- pour cinq faces (V) : 5n2-8n+4
- pour six faces (VI) : 6n2-12n+8
ce qui permet de dresser le tableau ci-dessous :
n I IIa IIb IIIa IIIb IVa IVb V VI
2 4 6 8 7 8 8 8 8 8
3 9 15 18 19 21 23 24 25 26
4 16 28 32 37 40 46 48 52 56
5 25 45 50 61 65 77 80 89 98
6 36 66 72 91 96 116 120 136 152
7 49 91 98 127 133 163 168 193 218 8 64 120 128 169 176 218 224 260 296 9 81 153 162 217 225 281 288 337 386 10 100 190 200 271 280 352 360 424 488 11 121 231 242 331 341 431 440 521 602 12 144 276 288 397 408 518 528 628 728 13 169 325 338 469 481 613 624 745 866 14 196 378 392 547 560 716 728 872 1016 15 225 435 450 631 645 827 840 1009 1178
En comparant les valeurs figurant sur les lignes consécutives, on constate que seul 91 peut répondre à la question (218 figure également sur deux lignes consécutives mais avec 4 et 6 faces coloriées).
On a donc peint en rouge deux faces adjacentes d’un cube de 7cm de coté et en bleu trois faces formant trièdre (ayant un sommet commun) d’un cube de 6cm de coté.
