A533. Cubes en tous genres, petits et grands
P1 : Trouver tous les couples d'entiers naturels (n, a) avec a qui peut prendre l'une des valeurs 2,3,4,5,6,7 et 9 tels que n! + a est un cube [Nota : n! désigne la factorielle de n].
P2 : Quel est le plus petit entier naturel dont le cube se termine par 7 chiffres identiques ? Existe-t-il un entier dont le cube se termine par 2009 chiffres identiques ?
P3 : On considère une suite de nombres réels telle que pour tout entier n, la somme des cubes des n premiers termes est égale au carré de leur somme. En déduire que pour tout n, la somme des n premiers termes est un nombre triangulaire.
P1 : Trouver tous les couples d'entiers naturels (n, a) avec a qui peut prendre l'une des valeurs 2,3,4,5,6,7 et 9 tels que n! + a est un cube [Nota : n! désigne la factorielle de n].
! ࢇ ࢞
࢞ 0 1 7 8 2 1 1 7 8 2 2 2 6 8 2 3 6 2 8 2 4 24 3 27 3 5 120 5 125 5 6 720 9 729 9
P2 : Quel est le plus petit entier naturel dont le cube se termine par exactement 7 chiffres identiques ? Existe-t-il un entier dont le cube se termine par 2009 chiffres identiques ?
1.
1 576 942
ଷ= 3 921 454 323 268 888 888 2.
ܰ = 10
− 1
ܰ
ଷ= ሺ10
− 1ሻ
ଷ= 10
ଷ− 3. 10
ଶ+ 3. 10
− 1 = ሺ10
− 3ሻ. 10
ଶ+ 2. 10
+ 10
− 1 2. 10
+ 10
− 1 est égal à 2 suivi de ݊ fois le chiffre 9
ሺ10
− 3ሻ. 10
ଶse termine par 2݊ fois le chiffre 0, donc ܰ
ଷse termine par 2 suivi de ݊ fois le chiffre 9 Pour répondre à la question, on prend : ݊ = 2009 .
Le cube de 10
ଶଽ− 1 se termine par exactement 2009 fois le chiffre 9, le chiffre précédent étant 2.
l
P3 : On considère une suite de nombres réels telle que pour tout entier n, la somme des cubes des n premiers termes est égale au carré de leur somme. En déduire que pour tout n, la somme des n premiers termes est un nombre triangulaire.
Un nombre triangulaire est de la forme :
ሺାଵሻ ଶOn raisonne par récurrence :
Avec déjà une contrainte sur le premier terme de la suite :
ݑଵଷ
=
ݑଵଶfl ݑଵ= 0 ݑ ݑଵ= 1ەۖ
۔
ۖۓሺ1ሻ:ݑ ଷ
ଵ
= ൭ ݑ
ଵ
൱
ଶ
ሺ2ሻ: ݑ
ଵ
=ሺ + 1ሻ 2
ݑଷ= ݑାଵଷ + ݑଷ
ଵ
=ݑାଵଷ + ൭ ݑ
ଵ
൱
ଶ
= ൭ ݑ
ାଵ ଵ
൱
ଶ
=
ାଵ ଵ
൭ݑାଵ+ ݑ
ଵ
൱
ଶ
=ݑାଵଶ + ൭ ݑ
ଵ
൱
ଶ
+ 2ݑାଵ ݑ
ଵ
On égalise les membres en rouge, on simplifie, et pose ݔ = ݑାଵ et on utilise (2) ; on obtient : ݔଷ= ݔଶ+ ሺ + 1ሻݔ, dont les racines sont 0, − ݁ݐ + 1
ݑ=
ାଵ ଵ
ݏ݅ ݔ = 0 ሺ + 1ሻ
2 + 0 =ሺ + 1ሻ
2 = Nombre triangulaire de rang p ݏ݅ ݔ = − ሺ + 1ሻ
2 − =ሺ − 1ሻ
2 = Nombre triangulaire de rang p-1 ݏ݅ ݔ = + 1 ሺ + 1ሻ
2 + + 1 =ሺ + 1ሻሺ + 2ሻ
2 = Nombre triangulaire de rang p+1
