A456 : Cubes d’enfants
Si a, b, c, d sont les cotés des cubes en cm (avec a<b<c<d), le volume total est égal à V=a3+b3+c3+d3, et la surface à S=4(a2+b2+c2)+6d2.
Donc V-2S=(a3-8a2)+(b3-8b2)+(c3-8c2)+(d3-12d2) Nous pouvons donc dresser le tableau ci dessous :
n3-8n2 n3-12n2
1 -7 -11 -7
2 -24 -40
3 -45 -81 -45
4 -64 -128
5 -75 -175 -75
6 -72 -216 -72
7 -49 -245 -49
8 0 -256
9 81 -243
10 200 -200 200
11 363 -121 -121
12 576 0
13 845 169 169
14 1176 392
15 1575 675
On doit donc obtenir une somme nulle en additionnant trois nombres de la deuxième colonne et un de la troisième : en évaluant les sommes cumulées de la deuxième colonne, on peut éliminer pour la troisième (cube de base) les cubes 15 et 14 qui ont une contribution positive trop forte pour être compensée , ainsi que les cubes inférieurs ou égaux à 10, qui donnent des sommes négatives.
Il est alors facile de trouver les deux solutions (3,5 ,7,13 et 1,6,10,11) et de constater que 3+5+7+13=1+6+10+11=28. Les deux pyramides ont même hauteur.
