A456 Cubes d’enfants [** à la main]
Solution
Si l’on désigne par a,b,c et d les arêtes des 4 cubes utilisés pour l’une quelconque des deux pyramides avec a > b > c > d, on a la relation suivante qui exprime que le volume de la pyramide est le double de sa surface :
) 4d 4c 4b 2(6a d
c b
a3 3 3 3 2 2 2 2 .Il en résulte la relation (R) :a2(a-12)b2(b-8)c2(c-8)d2(d8)0
Les 4 termes a2(a-12),b2(b-8),c2(c-8)et d2(d8) ne peuvent pas être tous nuls car les arêtes sont des entiers distincts. De même 3 termes ne peuvent pas être nuls car le 4ème serait aussi nul.
Si 2 termes sont nuls, le seul cas possible est a = 12 , b ou c ou d = 8 et il reste une équation de la forme x2(x-8)y2(y-8)0 avec x >8 et y < 8 . Les valeurs de x sont 9,10,11,13,14 et 15 et celles de y 7,6,5,4,3,2.
On vérifie aisément qu’il n’y a pas de solution car x2(x-8) y2(y-8) quels que soient x et y.
Si un seul terme est nul, on a deux équations possibles :
1) x2(x-12)y2(y-8)z2(z-8)0 avec x > y > z pouvant prendre les valeurs dans {1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,13,14,15}.
L’un des termes est négatif et les deux autres sont positifs ou bien deux termes sont négatifs et le troisième est positif.
Si le seul terme négatif est x2(x-12), alors x <12 et y > z > 8. On vérifie qu’il n’y a pas de solution.
Si le seul terme négatif est y2(y-8), il en est de même de z2(z8). Contradiction.
Si le seul terme négatif est z2(z8), alors x >12 et y >8 et manifestement le premier membre de l’équation ne peut jamais être nul.
Si les deux termes négatifs sont x2(x-12)et y2(y-8), le troisième l’est également.
Contradiction.
Si les deux termes négatifs sont x2(x-12)et z2(z-8), alors x < 12, y > 8 et z < 8.
Manifestement le premier membre de l’équation ne peut jamais être nul.
Si les deux termes négatifs sont y2(y-8)et z2(z-8), alors x>12, y < 8 et z < 8.Là encore on vérifie aisément que le premier membre de l’équation ne peut jamais être nul.
2) x2(x-8)y2(y-8)z2(z8)0 avec x > y > z pouvant prendre les valeurs {1,2,3,4,5,6,7,9,10,11}
Avec la même démarche que précédemment, on arrive à la conclusion qu’il n’y a pas de solution avec cette deuxième équation.
Les 4 termes sont donc non nuls et les cubes figurant dans les deux pyramides n’ont pas d’arête égale à 8 ou 12.
Dès lors parmi les 4 termes, l’un d’eux au moins est négatif.
Examinons d’abord le cas où il s’agit de a2(a-12). Si a11, alors a2(a-12)-121. Nécessairement le deuxième terme est positif, sinon il serait impossible d’avoir (R) quels que soient c et d. Les seules valeurs possibles de b sont 9 et 10.
Le couple a=11 et b=9 ne mène à aucune solution possible en c et d car le premier membre de R est toujours négatif quels que soient c et d.
Le couple a=10 et b=9 aboutit aussi à une impasse car a2(a-12)b2(b-8)= -119 et le premier membre reste toujours < 0.
A l’inverse le couple a = 11 et b = 10 donne a2(a-12)b2(b-8) = 79 et on a la solution unique c = 6 et d = 1 qui annule bien le premier membre de (R) .
On détient ainsi les dimensions de la première pyramide.
Les valeurs résiduelles possibles des arêtes des cubes qui appartiennent à la deuxième pyramide sont alors : {2,3,4,5,7,9,13,14,15}. La recherche des quatre derniers cubes s’en trouve ainsi simplifiée.
Le premier terme a2(a-12) est positif. La seule valeur possible est a = 13 car pour a14, 12)
- (a
a2 196*2 = 392 et les trois autres termes < 0 ne peuvent pas annuler la premier membre de (R) .
Il s’agit donc de résoudre l’équation b2(b-8)c2(c-8)d2(d8) = -169 avec 2d < c < b
7 .
Le balayage des valeurs possibles est assez rapide et on obtient l’unique solution b = 7, c = 5 et d = 3.
Conclusion : les arêtes de la première pyramide sont égales à 11, 10, 6 et 1. Celles de la seconde à 13, 7, 5 et 3. Les deux pyramides ont même hauteur égale à 28.
