des entiers relatifs

Leçon 6 Multiplications _{et divisions}

des entiers relatifs

l. Activités Activité I

a- on

calcule le produit de deux nombresnaturers comme celui-ci :

5x3-5+5+5+5=15. .

^.

Compléter

le

calcul suivant:

3x2=

3xl:

3x0_

3x(-l)_

3x(-2)=

3x(-3)_

b.

On a:

(-3) x ₃ :

_{C3) + C3)}

_{+ (-3)} :

_-g

Sur ce

modèle,

compléter le calcul suivant :

a)

_C3)

x 4: _{c) iî}

x

(-4):

b)

_{C5) x}

4: _d)

_{7 x}

_(-5):

c-

Après le

ealcul

ci-dessus, compléter la phrase suivante

:

_I

Le

produit

_de deux entiers

relatifs

de signes contraires est ..

Activité

2

a.

Compléter

le

calcul suivant:

(-3)xl=

(._3) x _{0 =}

(-3)

" (-l)

₌

(-3)

x

(-2)

₌

b-

Après le

calcul

ci-dessus, compléter ra phrase suivante :

Le produit de deux entiers

relatifs

de même signe est ..

Activité

3

l.

On a: 15

:5

_{x 3}

_{donc 15+5:3 ou}

₁₅

_-:3

Compléter le calcul suivant:

a) l2:3 ^x ... donc l2+3: _{... ou} 12+

b) 25:5 x... donc 25+5:... ou 25+

c) 12:

^(-3)

^x ... donc l2

⁺

(-3):

. .

.

^ou

d) 20:(-5) x... donc'20+(-5):...

ou

e) (-l2):{x... donc (-12):4:.-.

ou

f) (-18):9x... donc (-18)+9:...

ou

g)

(-36)

:

_(-4)

" ... ^donc

^...

^{* (-4)} : _...

_ou

h) (-24):(-8)x... donc ...*(-8):...

^ou

2- Après le calcul ci-dessus, compléter les phrases suivantes:

. _Le

_{quotient de} deux entiers

relatifs

de même signe est

'Le

^{quotient de} deux entiers relatifs de signes contraires est

2. Essentiel

1. Multiplications

des entiers

relatifs

Règle:

Pour multiplier deux entiers relatifs, on multiplie leur distaûce âzéro et on applique la règle des signes

ci-dessous:

^I

' ^Le

^{produit de} deux entiers relatifs

de

même signe est un nombre

positif.

' ^Le

^{produit de deux entiers relatifs de signes} contraires est un nombre négatif.

La règle des signes résulte.de ces définitions :

+ par *

donne

* - par -donne f

+ par

- donne -

- par *donne

-

-5

Exemples

: 7x5:35 9*(-3):-27

(-8) " ^(-3):24

(-4) " 6:

^-24

Corollaires

" Le produit de

deux

entiers relatifs égaux est appelé

"

le carré

"

de ce nombre

Soit a un entier

relatif,

le produit axa se note a2 et se

lit "

a au carré

"

Exemple :

82: 8x8 : 64 (-5)' : _{(-5) t (-5):25}

.

_{Pour tout}

entier relatif

a, on

a a'>

0

2. Propriété

'La multiplication

des entiers

relatifs

est commutative et associative Quelques

soient

les entiers relatifs a, b et c

Ona: axb:bxa

a x

b x c :ar

_(b

r.):

(a

x

_b) x _ç

. ^{Exemples: a) l5 x2:2x15:30}

b) (-8) x{: _{l,x (-8):}

_-32

c) 5x ^(-3) "0: ^{[5" (-3)]} "0: Jx [(-3)x6]

: _(-15)

"6:5x ^(-18):

^-90

d)

^{5 x} 4 x7

::u

r;^)": ; ":;::]

e) (-l 0)x(-3)x(-4) : [(-10)x(-3)]'(-4) : (-10)x[(-3)x(-a)]

:

₃₀

" (-4): (_10)"t2:

^_120

3. Multiplication

de plusieurs

entiers

relatifs

'

Le produit de plusieurs entiers relatifs non nuls est

positif

si le nombre

des

facteurs négatifs est pair ou zéro.

'

^{Le produit} est négatif si le nombre des facteurs négatifs est impair.

Exemples:

A : _(-20) xJx

(-2)

"

^{C4) x5}

:

_-2400

car le

nombre

des facteurs négatifs est

impair (3)

B

: _{3" (-2)}

"

^(-5)

"

^C4)

" (-l)

^x6

:

₇₂₀

car.le

nombre

des facteurs négatifs est

pair (4)

4. Divisions

des

entiers

relatifs Règle

Pour diviser

deux

entiers relatifs, on divise leur distance âzéro et on applique la même règle de la multiplication.

.

Le quotient de deux entiers

relatifs

^de même signe est un nombre

positif.

' ^Le

^{quotient de deux entiers}

^relatifs

^{de signes} contraires est un nombre négatif.

Soient deux entiers relatifs a et b

tel

que b

*0,

on a ^:

Si

a et b ont le même signe alors (a-:b) > 0

Si

a et b sont de signes contraires

alors

(a+b)

!

⁰

Exemples : (28) ^-+7

:4 _(-24)

+-3

:

-8

(_27):(_9)

:3 _{t2:(_{):}

_3

5. Division

euclidienne

La

division euclidienne est la

division

_{de deux} entiers naturels tel que le

quotient

et le reste sont des entiers naturels ou zéro.

Soient deux entiers nafurels a et b

tel

que

a)

b, on a : a

:

_bxq +

r

avecr<b

Exemples:

342|;

t6

22 fn

_{On a}

_{: 342: l6x2l}

_{+ 6}

6

6. Divisibilité

On dit

que a est

divisible

par b si le reste de la division euclidienne de a

par b

est nul (zéro).

Soient deux entiers naturels a et b, a est divisible par b, on a :

a =

bxq

a est un

multiple

de b

b est un diviseur de

a

^I

Exemple : 36À_

0lt

On dit

que 36 est

divisible

par 4, on

a:36:4x9

On

a la relation :

a est un

multiple

de

b

équivaut

a

b est un diviseur de a

Il

existe un entier naturel non

nul

k tel que

a: ^{bx k}

Critère

de la

divisibilité

I

) ^Critère

^{de la}

divisibilité

par 2

Pour

qu'un nombre soit divisible par 2,11fautet

il suffit

^que le chiffre de ses unités soit zéro ou un chiffre

pair

: 2,

4,6 ou8

5.

4. Calculer

les expressions suivantes ^:

A: ^(-8)

^x

(-2)x(-5)x4

B: (-25)x{x(-2)x5

ç :

_J

x(-3)x[(-2)x(-

_I

0)x(-4)]

Compléter des

pointillés a) 3x ...:-6

b) (-2) x ...:

^-30

c) ...x(-l):27

d) ^{(-5) x} ...:-25

Le

schéma ci-contre montre la

multiplication

Sur ce modèle, compléter les schémas ci-dessous

e) (-4) x _... :

₀

f) 4"...x(-8):64

g) (-4) " ^{(-3) x ...:72}

h) ^(-13) " ^{:S x ...x} ll ^x (-/):9 P:

(-4)2xl(-3)x22x61 B

:1 52x8x(-t)2lx(

-2)x(-4)2 F =(-2)21 x32x

[4x(-

^{I I} )]

g) 36-12

h)

(-4s)

* (-5)

i)

⁰⁺

(-7) ^j) 0:e

i) 49: ... :

_-7

j) ...:4 : _-t2

k) -56: ... :7

l) 42-... -

^-6

.6.

7. Calculer

^:

a) ^(-10)+2 b) 24:

^(-8)

c)

^(- 16) + (-8)

d)

3+ (-3)

e) (-27): (-9)

f) I2+(-r)

e) ...

⁺

(-4):

-3

0 ^{... +(-3):}

⁵

g) -..+4:

^-5

8.

Compléter par les nombres qui manquent.

a) "':3:-9

b) (-22)+...:

I I

c) (-8):. ..:4

d)

^(- l2)+ ...

- -2 h)

-36 -:. . .

:

₉

9.

Compléter le tableau suivant :

b a

X

-56

-16 45 60 32

v -7 4

-l

I ^,| -12

X:Y -9

-

_{J 9 -8}

10.

Trouver

la valeur de

x vérifiant

l'égalité suivante :

a) (-26)

^-:-

x:

¹³

b) x+-8:-3 c)

¹⁴

: x:2

d) (-4e) : (-7): x

11.

Calculer

^:

a) 1500:10

b) 3

4O2

000+ I

000

c) l0

000

+ I

000

d)

200 000 ^-:102

a) 4284:6 b)

12 572

+

₁₂

c)

³ 574

:35

e)

x

-: (-6) :6

D

²⁰

+x:-5

g) x: ^{(-8) :}

^-3

h)

-36 ^-:-

x:3

e)

30 400 +

(-100)

0

^(-3200)

^{+ (-10)}

g)

(-s000; +(-10)2

h)

(-34 000) --19e

12.

Effectuer

la division euclidienne.

d)

^{96 277}

⁺⁷⁹ e)

63 043

+

₁₉

e)

71 050 + ₉₂

6 630

-:

₈₅

12 765 -" 66 42 584

-"

₁₆

1176; 459;

^18015;

s) h) h)

13. Parmi les nombres suivants, lesquels sont divisibles par

2,3,4,5,

6, ^g ou 9 ? (sans calculer)

144; 60; 1932; 22 526; ^4+I;SZS;

12;23;2450; 12546; 245;

343.