Entiers relatifs, arithm´ etique
1 G´ en´ eralit´ es
1.1 Multiples et diviseurs
D´efinition. Soitpa, bq P Z2. On dit quebest un diviseurdea(ou queaest un multipledeb) si et seulement si
DqP Z t.q.aqb
On note b|a, et on lit «b divise a». On notebZl’ensemble des multiples deb.
Propri´et´e.
(a) b|aetb|a1 ùñ b| pa a1q
(b) b|a ùñ b| paq
(c) c|b etb|a ùñ c|a
(d) b|aeta|b ùñ a b
(e) a|0 et 1|apour touta.
Remarque. La relation de divisibilit´e, restreinte `aN, est une relation d’ordre partiel.
1.2 Division euclidienne Th´eor`eme.
Soit pa, bq P Z2 tel queb0.
Il existe un unique couplepq, rq P Z2 tel que :
#
abq r 0¤r |b| .
q s’appelle lequotient et r lereste de la division euclidienne deapar b.
Remarque. Avec les notations pr´ec´edentes,b|a ðñ r0.
Extension. Pour tout nP Z, on d´efinit la relation suivante :
aRb ðñ n|ab
C’est une relation d’´equivalence appel´eecongruence modulo n. On note en g´en´eral abpnqou abpnq. Extension. On appelle une classe d’´equivalence l’ensemble des entiers relatifs congrus modulon`a un mˆeme entier relatif. Ainsi, modulo2, il y a deux classes d’´equivalence0et 1.
L’ensemble des classes d’´equivalences, est not´e Z{nZ. Il est fini de cardinal n, et est muni d’une structure d’anneau, voire parfois de corps fini. Son ´etude est essentiel dans la compr´ehension d’objet math´ematiques complexes.
On montre facilement queabpnq ðñ rarbo`uraetrbsont les restes deaetbdans la division euclidienne par n.
On montre aussi facilement que les lois usuelles sont compatibles avec les congruences : Siabpnqetcdpnq, alors a cb dpnq,acbdpnq etakbkpnq.
2 Diviseurs communs de deux entiers
2.1 Algorithme d’Euclide
Lemme.Soit aetb entiers non nuls, b¤a.
On effectue la division euclidienne de aparb: il existe un unique couplepq, rq tel que :
#
abq r 0¤r b
Pour n entier, notonsDpnq l’ensemble des diviseurs den.
Alors Dpaq XDpbq Dpbq XDprq Th´eor`eme.
Soit pa, bq P Z2. Il existe un unique entier positif dtel que l’ensemble des diviseurs communs deaet
b soit l’ensemble des diviseurs ded.
ds’appelle de plus grand commun diviseurde aetb, et est not´e pgcdpa, bq oua^b.
Remarque.
> gcd(49,56);
7
Exemple. Calculer 162^207.
2.2 Somme de multiples de deux entiers D´efinition. Pour pa, bq P Z2, on note :
aZ bZ txP Z t.q.Dpu, vq P Z2, xau bvu
Th´eor`eme.
Pour pa, bq P Z2, notonsdpgcdpa, bq. On a : aZ bZ dZ Remarque.
Exemple.
3 Entiers premiers entre eux
3.1 Th´eor`eme de B´ezout
D´efinition. On dit que deux entiers relatifs a etb sontpremiers entre eux ou´etrangers si et seulement si leur P.G.C.D. est 1.
Remarque.
Propri´et´e. Tout rationnel admet une forme diteirr´eductible a
b o`u aetb sont ´etrangers.
Th´eor`eme (de B´ezout).
a etbsont ´etrangers si et seulement s’il existe pu, vq P Z2 tel queau bv1.
Exemple.
Remarque. La d´ecomposition de B´ezout s’obtient par l’algorithme d’Euclide, comme dans le paragraphe pr´e- c´edent : c’en est un cas particulier avecd1.
Exemple.
3.2 Cons´equences
Corollaire (Th´eor`eme de Gauss). Pour pa, b, cq P Z3, on a : a|bc a^b1
*
ùñ a|c Corollaire. Pourpa, b, cq P Z3, on a :
a|c b|c a^b1
,.
- ùñ ab|c Corollaire. Pourpa, b, cq P Z3, on a : a^c1
b^c1
*
ùñ ab^c1
3.3 Caract´erisation du P.G.C.D.
Th´eor`eme.
Soit pa, bq P Z2,dP N.da^b ðñ Dpa1, b1q P Z2 t.q.
$'
&
'%
aa1d bb1d a1^b11
3.4 Multiples communs de deux entiers Th´eor`eme.
Soit pa, bq P Z2. Il existe un unique entier positifm tel que l’ensemble des multiples communs `aaet
b soit l’ensemble des multiples dem.
m s’appelle deplus petit commun multiple de aetb, et est not´e ppcmpa, bq ou a_b.
Remarque. On a donc aZ XbZ mZ.
Propri´et´e. Sidetm sont respectivement les P.G.C.D. et P.P.C.M. de aetb, on aabmd etma1b1d.
> lcm(15,12);
60
4 Nombres premiers
4.1 D´efinition
D´efinition. Soit pP N. On dit quep estpremier si et seulement sip1 et p a pour seuls diviseurs positifs 1 et p.
4.2 Propri´et´es Th´eor`eme.
Soit pP Navec p¥2. Sont ´equivalentes :
(i) p est premier.
(ii) p est premier avec tout entier qu’il ne divise pas.
(iii) p est premier avec tout entiernP t1, . . . , p1u
Corollaire. Pourpa, b, pq P Z3, ppremier p|ab
*
ùñ p|aou p|b Remarque. Crible d’Erathost`ene.
Voir aussihttp: // pagesperso-orange. fr/ therese. eveilleau/ pages/ truc_ mat/ pratique/ textes/ crible_ an. htm
Lemme.Tout entier n¡1 poss`ede un diviseur premier.
Propri´et´e. Tout entiern¡1 non premier admet un diviseur premierp tel quep2 ¤n.
Cons´equence. Pour montrer qu’un nombre n est premier, il suffit de v´erifier qu’il n’est divisible par aucun
nombre premier p tel quep2 ¤n.
Exemple.
> isprime(113);
true
Th´eor`eme.
Il existe une infinit´e de nombres premiers.
Remarque.
4.3 D´ecomposition en facteurs premiers
Th´eor`eme (D´ecomposition en facteurs premiers).
Tout entier n¡1 s’´ecrit comme le produit de facteurs premiers. Cette d´ecomposition est unique, `a
l’ordre pr`es.
Remarque.
> ifactor(90480);
4
(2) (3) (5) (13) (29)
4.4 Extension
5 Algorithmes.
5.1 Algorithmes d’Euclide 5.2 Test de primalit´e
5.3 D´ecomposition en facteurs premiers 5.4 Algorithme de B´ezout
Divisibilit´e,divisioneuclidienne 23.1MontrerquepourtoutnPN : pn1q| 2n n arithmetique_8.tex 23.2MontrerquepourtoutnPN,225|42n2 15n16.arithme- tique_13.tex 23.3OneffectuedansNunedivisioneuclidienne,dontonsait quelediviseurest45etleresteestlecarr´eduquotient.Quelestle dividende?arithmetique_21.tex 23.4Soitnentier.Soitaetbentierstelsquea¥3,b¥2et a1bqrestladivisioneuclidiennedea1parb.´ Ecrirela divisioneuclidiennedeabn 1parbn1 .arithmetique_20.tex 23.5Soitpa,b,cqPN3 .Onnoteqlequotientdansladivisioneu- clidiennedecparaetq1 lequotientdansladivisioneuclidiennedeq parb.Quelestlequotientdansladivisioneuclidienntdecparab? arithmetique_19.tex 23.6MontrerquepourtoutnPN,11|3n344n2.arithmetique_14.tex P.G.C.D.etautres 23.7 (a)D´eterminerdedeuxmani`eresdiff´erenteslepgcdetleppcmde 1176et198. (b)R´esoudredansZ2 l’´equation: 1176u198vpgcdp1176,198q arithmetique_1.tex 23.8Soitpa,bqPN2 deuxentiersdistincts.OnposeSab, Pab,Dpgcdpa,bqetMppcmpa,bq.
(a)Montrerquesipestpremier,alors: pp|aetp|bqðñpp|Setp|Pq (b)ComparerDetpgcdpS,Mq. (c)R´esoudredansN2 lessyst`emes: # ab510 D30
# ab510 M2160 arithmetique_11.tex 23.9R´esoudredansN2 : pgcdpa,bqppcmpa,bqb9 arithmetique_5.tex 23.10R´esoudredansN2 : # ab84 ppcmpa,bqppgcdpa,bqq2 arithmetique_4.tex 23.11R´esoudredansN2 : # ab56 ppcmpa,bq105 arithmetique_3.tex 23.12R´esoudredansN2 :
$ ' &20 b a pgcdpa,bq12 ' % ppcmpa,bq420 arithmetique_2.tex
Premiersentreeux 23.13Montrerquesiaetbsont´etrangers,abetablesontaussi. arithmetique_23.tex 23.14D´emontrerquesinestpair,alors5n3etn1sont ´etrangers.Lorsquenestimpair,quepeut-ondiredupgcdde5n3 etn1?arithmetique_25.tex 23.15MontrerquepourtoutnPN,2n1et9n4sont´etrangers. arithmetique_24.tex Divers 23.16 (a)Montrerquepourkentier,si2k 1estpremier,alorsilexisten telquek2n . (b)
´ Etudierlar´eciproque. n2 (c)OnnoteF21.Montrerquesinm,alorsFetFnnm sont´etrangers. arithmetique_7.tex 23.17 2 (a)MontrerquepourtoutaPNetpp,qqPN: pqpq a1eta1divisenta1 n (b)Pourn¥2,onposeM21.MontrerquesiMestpremier,nn alorsnestpremier.Quepenserdelar´eciproque? arithmetique_6.tex
