A RITHMÉTIQUE DES ENTIERS RELATIFS

A RITHMÉTIQUE DES ENTIERS RELATIFS

1 D

1.1 R

Définition (Divisibilité, diviseur, multiple) Soienta,b∈Z. On dit quea divise b, ou queaest undiviseur de b, ou quebestdivisible par a, ou quebest unmultiple de a, s’il existe un entierk∈Zpour lequel b=ak. Cette relation se note : a|b.

Pour touta∈Z, l’ensemble des multiples dean’est autre que l’ensembleaZ=

ak| k∈Z . Quant à l’ensemble des diviseurs dea, il sera noté div(a)dans ce cours, mais il ne s’agit pas d’une notation universelle.

Deux remarques en passant : div(a) =div |a|

et poura6=0 : max div(a) =|a|.

Il est important de savoir lier les relations | et¶. Pour tousa,b∈N^∗—ON EXCLUT0,ATTENTION: a|b =⇒ a¶b.

Exemple div(0) =Z, div(8) =

±1,±2,±4,±8 et div(12) =

±1,±2,±3,±4,±6,±12 .

Théorème (Propriétés de la relation de divisibilité) Soienta,b,c,d∈Z.

(i) Relation d’ordre : La relation de divisibilité | est une relation d’ordre surNMAIS elle est seulement réflexive et transitive surZcar : a|b et b|a ⇐⇒ |a|=|b| ⇐⇒ a=b ou a=−b.

(ii) Combinaisons linéaires : Sid|aetd|b: d(au+bv) pour tousu,v∈Z.

(iii) Produit : Sia|betc|d: ac|bd et en particulier : a^k b^k pour toutk∈N.

Que peut-on dire deaetbquand on sait qu’ils ont les mêmes diviseurs, i.e. que div(a) =div(b)? Le cas échéant : a|b et b|a, donc|a|=|b|d’après (i).

Démonstration

(i) Faisons l’hypothèse quea|betb|a. Ainsib=aketa=blpour certainsk,l∈Z, doncb=bkl.

— Sib=0 : a=bl=0 donc|a|=|b|.

— Si au contraireb6=0 : kl=1, donc soitk=l=1, soitk=l=−1. Bref : a=±b, i.e.|a|=|b|. (ii) Par hypothèse : a= d k et b = d l pour certains k,l ∈Z, donc : au+bv= d(ku+vl) et

ku+vl∈Z pour tousu,v∈Z, et enfind

(au+bv).

(iii) Par hypothèse : b=ak et d=cl pour certainsk,l∈Z, donc : bd= (ac)(kl) et kl∈Z, doncac|bd.

1.2 R

Définition (Relation de congruence modulo un entier) Soienta,b,n∈Z. On dit quea est congru à b modulo nsi n(b−a), i.e. s’il existe un entierk∈Zpour lequela=b+kn. Cette relation se note : a≡b[n].

Les relations de congruence généralisent la relation de divisibilité : n|a ⇐⇒ a≡0[n].

Fondamentale dans les deux sens, cette petite équivalence nous permettra de passer du vocabulaire de la divisibilité à celui des congruences et réciproquement.

Théorème (Propriétés de la relation de congruence modulo un entier) Soienta,a^′,b,b^′,m,n∈Z.

(i) Relation d’équivalence : La relation≡ [n]est une relation d’équivalence surZ.

(ii) Somme : Sia≡b[n]eta^′≡b^′ [n]: a+a^′≡b+b^′[n].

(iii) Produit : Sia≡b[n]eta^′≡b^′[n]: aa^′≡bb^′[n], et en particulier : a^k≡b^k[n] pour toutk∈N.

(iv) Multiplication/division par un entier non nul : Simest non nul : a≡b[n] ⇐⇒ ma≡mb[mn].

Démonstration L’assertion (i) a été prouvée au chapitre « Relations binaires ».

(ii) Par hypothèse,ndiviseb−aetb^′−a^′, donc aussi(b+b^′)−(a+a^′)par somme, donca+a^′≡b+b^′[n].

(iii) Remarque : bb^′−aa^′ = b(b^′−a^′) +a^′(b−a). Or par hypothèse, ndivise b−a et b^′−a^′, donc égalementb(b^′−a^′) +a^′(b−a) =bb^′−aa^′par combinaison linéaire, doncaa^′≡bb^′[n].

(iv) a≡b[n] ⇐⇒ n(b−a) ^m⇐⇒⁶⁼⁰ mnm(b−a) ⇐⇒ ma≡mb[mn].

Exemple 2³⁴⁵+5⁴³²est divisible par 3.

Démonstration 2³⁴⁵+5⁴³²≡(−1)³⁴⁵+ (−1)⁴³²≡ −1+1≡0[3].

Exemple Pour toutn∈Zimpair : n²≡1[8].

Démonstration Soitn∈Zimpair, disonsn=2k+1 pour un certaink∈Z.

Alors : n²=4k²+4k+1=4k(k+1) +1. Orkouk+1 est pair car ces deux entiers sont consécutifs, donc k(k+1)est pair aussi : k(k+1)≡0[2]. A fortiori : 4k(k+1)≡0[8], et enfinn=4k(k+1) +1≡1[8].

Un point de vue utile à présent sur les congruences. Pour un entiern ∈Ndonné, raisonner modulo n²+1 revient à considérer, en un sens, que «n²=−1 »,MAISpas vraiment en fait, seulement au sens d’une congruence : n²≡ −1

n²+1 . Par exemple : n⁴−3n³+2n²+1≡ n²2

−3n×n²+2n²+1≡(−1)²−3n×(−1) +2×(−1) +1≡3n n²+1

.

Si on raisonne maintenant modulo n−2, on peut considérer que «n=2 » intuitivement, mais à proprement parler : n≡2[n−2]. Dans ce cas, pour toutk∈N: n^k≡2^k[n−2], et si on additionne ces relations après les avoir multipliées par des entiers, on en tire que pour tout polynômePà coefficients entiers : P(n)≡P(2) [n−2]. En d’autres termes, si on considère que «n=2 », alors il faut aussi considérer que «P(n) =P(2)».

1.3 I

Définition (Nombre premier, nombre composé) Soitp∈N. On dit quepestpremiersip6=1 et si les seuls diviseurs positifs depsont 1 etp. On dit quepestcomposésip6=1 et sipn’est pas premier.

L’ensemble des nombres premiers est souvent notéP.

Il n’est pas inutile de connaître la liste des premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. . . Nous étudierons plus loin un procédé mécanique — mais coûteux — pour les déterminer tous.

Le résultat suivant est un théorème d’EXISTENCEfacile à démontrer. Nous aurons plus tard un théorème d’UNICITÉ, mais nettement plus difficile à obtenir.

Théorème (Existence de la factorisation première) Tout entier naturel non nul est un produit de nombres premiers.

Dans cet énoncé lapidaire, on considère 1 comme le produit de 0 nombre premier et tout nombre premier comme le produit d’1 nombre premier — soi-même.

Démonstration Par récurrence forte.

• Initialisation : 1 n’est divisible par aucun nombre premier, c’est le produit de zéro d’entre eux.

• Hérédité : Soitn¾2. Faisons l’hypothèse que tout entier naturel non nul strictement inférieur ànest un produit de nombres premiers. Qu’en est-il den? Deux cas possibles — soitnest premier, soitnest composé.

Sinest premier, c’est terminé, il est produit de nombres premiers. Et s’il est composé ? Il s’écrit dans ce cas : n= a b où aet bsont deux diviseurs positifs de nstrictement inférieurs àn. Par hypothèse de récurrence,aetbsont des produits de nombres premiers, doncnaussi par produit.

Théorème (Infinité de l’ensemble des nombres premiers) L’ensemblePdes nombres premiers est infini.

Démonstration Raisonnons par l’absurde en supposantPfini et notonsp₁, . . . ,p_rla liste complète des nombres premiers. Posons ensuiteN=p₁. . .p_r+1. Cet entierN, au moins égal à 2, est un produit de nombres premiers d’après le théorème précédent, donc est divisible par p_k pour un certain k ∈ ¹1,rº. En particulier, p_k divise N−p₁. . .p_r=1, doncp_k=1 — contradiction.

Le crible d’Ératosthènepermet une détermination simple de tous les nombres premiers inférieurs à un seuil donné et repose sur la remarque suivante. Si un entiern∈N^∗est composé et si nous notonsple plus petit de ses diviseurs premiers : n=pk pour un certaink∈N^∗, mais comme alors tout diviseur premier dekest supérieur ou égal àp, en particulierk¾p, et donc : n=pk¾p², i.e.p¶pn. En résumé :

Tout entierCOMPOSÉn∈N^∗possède un diviseur premier inférieur ou égal àp n.

Nous pouvons en déduire la liste de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à 100. On part d’une liste des entiers de 2 à 100, dont on va peu à peu rayer les entiers composés et dont ne resteront vierges à la fin que les nombres premiers.

• L’entier 2 est premier, c’est notre point de départ. On raye tous ses multiples hormis lui-même, car ceux-ci sont composés.

• Le premier entier non rayé est alors 3. Il est forcément pre- mier car s’il était composé, il aurait un diviseur premier strictement inférieur — ici 2 — et on l’aurait déjà rayé. On raye tous les multiples de 3 hormis lui-même, car ceux-ci sont composés.

• Même chose avec 5, même chose avec 7. Le premier entier non rayé est alors 11. Or tout entier compris entre 2 et 100 possède un diviseur premier inférieur ou égal àp

100=10, donc en fait en rayant les entiers que nous avons rayés, nous avons rayés tous les entiers composés compris entre 2 et 100. Les entiers non rayés restants sont exactement tous les nombres premiers de la liste étudiée.

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 ^{62 63 64 65 66} 67 ^{68 69 70} 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1.4 D

Théorème (Théorème de la division euclidienne) Soienta∈Zetb∈N^∗. Il existe un et un seul couple(q,r)∈Z×N pour lequel : a=bq+r et 0¶r¶b−1 (ou encore : 0¶r<b). On appellealedividendede la division euclidienne deaparb,bsondiviseur,qsonquotientetrsonreste. Par ailleurs : q=ja

b k

et r≡a[b].

Le théorème de la division euclidienne est un résultat d’EXISTENCEet d’UNICITÉ, voilà l’essentiel.

On peut le reformuler en termes de congruences : ∀a∈Z, ∃!r∈¹0,b−1º, a≡r[b], ce qui signifie que tout entier relatifaest congru modulobà un unique entierrCOMPRIS ENTRE0ET b−1. L’ensemble quotient deZpar la relation

≡ [b]est donc l’ensemble¦

bZ,bZ+1, . . . ,bZ+b−1©

à béléments noté généralement Z

bZ. Par exemple, on peut ramener a=433 à l’un des entiers 0, 1, 2, 3 ou 4 modulob=5. Précisément : 433

|{z}

a

= 5

|{z}

b

× 86

|{z}

q

+ 3

|{z}

r

donc 433≡3[5].

Démonstration

• Existence : L’idée de la preuve est simple. Siaest positif, on lui retranchebune fois, deux fois, trois fois. . . jusqu’à ce queaait presque complètement fondu, c’est-à-dire jusqu’au moment où le résultat est compris entre 0 etb−1. Siaest négatif, on fait pareil mais en ajoutantbau lieu de le retrancher.

L’ensembleD= (a+bZ)∩Nest une partie non vide deNcar il contienta=a−b×0 sia¾0 eta−ba sia<0. Cet ensemble possède ainsi un plus petit élémentr, et par définition deD: a=bq+r pour un certainq∈Z. Se peut-il qu’on aitr¾b? Si c’était le cas,a−b(q+1) =r−bserait un élément deD strictement plus petit quer=minD— impossible. Conclusion : 0¶r¶b−1.

• Unicité : Soient(q,r)et(q^′,r^′)deux couples de division euclidienne deaparb. Aussitôt|r^′−r|<b, mais par ailleurs : b(q−q^′) =r^′−r, donc : b× |q−q^′|< b, donc|q−q^′|<1. Commeq−q^′ est un entier, cela veut dire queq=q^′, et en retour : r=a−bq=a−bq^′=r^′.

• Pour finir : 0¶r=a−bq<b, donc : a

b−1<q¶ a

b, donc en effetq=ja b k

.

3 4 7

− 3 0 (0) 4 7

− 4 5 2

5 6 9 Ainsi, le couple(q,r)de la division euclidienne deaparbse calcule à partir deapar une série d’additions/soustractions, mais pour diviser 1000 par 3, sommes-nous vraiment obligés d’effectuer 333 soustractions ? Oui et non.

Tâchons de le comprendre sur la division de 347 par 5. Dans un premier temps, on retranche en apparence 6×5=30 de 34, mais en réalité, c’est 60×5=300 qu’on retranche de 347. Dans un second temps, on retranche 9×5=45 de 47. Au total, on a donc effectué 69 soustractions mais en deux fois seulement — d’abord 60, puis 9. Le reste obtenu est 2. Conclusion :

DIVISER,C’EST SOUSTRAIRE.

Pour un ordinateur, un grand nombre de soustractions n’est pas un problème. Pour nous autres cerveaux c’en est un.

Nous compensons en apprenant et en utilisant les tables de multiplication, car ça nous le faisons vite et bien. C’est grâce aux tables de multiplication que nous avons trouvé les chiffres « 6 » et « 9 » du quotient dans l’exemple précédent.

On s’intéresse dans l’exemple qui suit à la premièreéquation diophantiennede ce chapitre. On appelle ainsi toute équation à inconnues entières construite à partir des seules opérations d’addition et de multiplication — par exemple, les équations : 2x+3y=5 ou : x³+2= y⁴ d’inconnue(x,y)∈Z².

Exemple Soientx,y,z∈Ztrois entiers solutions de l’équation de Fermat: x³+y³=z³. Alors l’un des entiersx, you zest divisible par 3.

x[9] x²[9] x³[9]

1 1 1

2 4 8≡ −1

4 16≡ −2 −8≡1 5≡ −4 16≡ −2 8≡ −1

7≡ −2 4 −8≡1

8≡ −1 1 −1

Démonstration Supposons par l’absurde que nixniynizn’est divisible par 3. Le reste de la division euclidienne dexpar 9 est alors l’un des entiers 1, 2, 4, 5, 7, 8 — on peut rejeter les cas 0, 3 et 6. Le tableau ci-contre montre que : x³≡ ±1[9], et bien sûr de même : y³≡ ±1[9] et z³≡ ±1[9].

Or par hypothèse : x³+ y³ ≡ z³ [9]. À gauche, on a modulo 9 soit : 1+1=2, soit : 1−1=0, soit : −1+1=0, soit : −1−1=−2, et à droite : ±1. Impossible !

Exemple Le reste de la division euclidienne de 2⁶⁵³⁶²par 7 est 2.

Démonstration La démonstration de ce résultat seraitTRÈS longue si on appliquait l’algorithme précédent comme un rustre, car l’entier 2⁶⁵³⁶²possède près de 20000 décimales. Heureusement : 2³≡8≡1[7]. C’est l’idée-phare de cet exemple — dénicher, si elle existe, la première puissance de 2 congrue à 1 modulo 7. Une fois qu’on en a trouvé une, c’est facile, on peut « raisonner modulo 3 dans l’exposant » car pour toutk,r∈N: 2^3k+r≡1^k×2^r≡2^r [7]. En l’occurrence, ici : 65362≡1[3], donc 2⁶⁵³⁶²≡2¹≡2[7].

2 PGCD, PPCM

Définition (Diviseur/multiple commun) Soienta₁, . . . ,a_r∈Z.

• Diviseur commun : On appellediviseur commun de a₁, . . . ,a_r tout entier relatif qui divise à la foisa₁, . . . ,a_r.

• Multiple commun : On appellemultiple commun de a₁, . . . ,a_rtout entier relatif divisible à la fois para₁, . . . ,a_r.

Exemple Les diviseurs communs de 12 et 18 sont±1,±2,±3 et±6 car : div(12)∩div(18) =

±1,±2,±3,±4,±6,±12 ∩

±1,±2,±3,±6,±9,±18 =

±1,±2,±3,±6 .

Les multiples communs de 12 et 18 sont tous les multiples de 36 : 12Z∩18Z=36Z, mais nous ne chercherons pas à le justifier pour le moment.

2.1 PGCD

Définition-théorème (PGCD de deux entiers) Soienta,b ∈Z deux entiers dont l’un au moins est non nul. On appelleplus grand commun diviseur(ouPGCD)de a et bet on notea∧ble plus grand élément au sens de la relation¶ de l’ensemble des diviseurs communs deaetb. En résumé : a∧b=max€

div(a)∩div(b)Š . On pose par ailleurs : 0∧0=0.

Démonstration Pour justifier l’existence dea∧b dans le cas oùaest non nul, remarquons simplement que l’ensemble des diviseurs communs deaet bcontient 1 et est majoré par|a|. Cet ensemble est donc une partie non vide majorée deZ, donc possède un plus grand élément.

Exemple 12∧18=6 car d’après l’exemple précédent : div(12)∩div(18) =

±1,±2,±3,±6 .

Exemple Pour tousa,b∈Z: a∧b=|a| ∧ |b|, a∧b=b∧a, a∧1=1 et a∧0=|a|. Démonstration Pour(a,b)6= (0, 0): div(a)∩div(b) =div |a|

∩div |b|

, div(a)∩div(b) =div(b)∩div(a), div(a)∩div(1) =div(a)∩

±1 =

±1 et div(a)∩div(0) =div(a)∩Z=div(a).

Théorème (Idée fondamentale de l’algorithme d’Euclide) Pour tousa,b,n∈Z, sia≡b[n]: a∧n=b∧n.

En particulier, pour tousa∈Zetb∈N^∗, si on noterle reste de la division euclidienne deaparb: a∧b=b∧r, et la preuve ci-dessous montre en passant que : div(a)∩div(b) =div(b)∩div(r).

Démonstration Supposonsa≡ b[n], i.e.b =a+knpour un certaink∈Z. Tout diviseur commun deaet ndivise aussi a+kn = b etn, et inversement, tout diviseur commun de b etn divise aussia= b−knetn.

Conclusion : div(a)∩div(n) =div(b)∩div(n). Le résultat demandé est dès lors établi dans le cas oùn6=0 car ces deux intersections ont le même maximum, et le résultat est une évidence pourn=0.

Exemple Pout toutn∈Z: (3n+1)∧(2n+5) =

13 sin≡4[13]

1 sinon.

Démonstration (3n+1)∧(2n+5) = (n−4)∧(2n+5) car 3n+1≡n−4[2n+5]

= (n−4)∧13 carn≡4[n−4].

Théorème (Diviseurs communs et diviseurs du PGCD pour deux entiers) Soienta,b∈Z. Les diviseurs communs deaetbsont exactement les diviseurs dea∧b: div(a)∩div(b) =div(a∧b).

Démonstration Nous allons mettre en œuvre dans cette preuve un algorithme de calcul du PGCD qu’on appelle l’algorithme d’Euclide.

• Algorithme d’Euclide : Soienta,b∈Ndeux entiers pour lesquels 0¶b¶a. On définit une suite d’entiers naturelsr₀,r₁,r₂. . . de la manière suivante.

— Au départ, on poser₀=aetr₁=b.

— Ensuite, pourk∈N,TANT QUE r_k+16=0, on noter_k+2le reste de la division euclidienne der_kparr_k+1, ce qui implique en particulier quer_k+2<r_k+1.

À l’issue de cette construction : r₀¾r₁>r₂>. . .¾0, et comme il n’existe qu’un nombreFINId’entiers naturels entre 0 etr₀, on obtient forcémentr_N=0 pour un certainN∈N^∗— l’algorithme se termine. Or, en vertu de l’idée fondamentale de l’algorithme d’Euclide :

a∧b=r₀∧r₁=r₁∧r₂=. . .=r_N−1∧r_N =r_N−1∧0=r_N−1 et : div(a)∩div(b) =div(r₀)∩div(r₁) =div(r₁)∩div(r₂) =. . .=div(r_N−1)∩div(r_N)

=div(r_N−1)∩div(0) =div(r_N−1)∩Z=div(r_N−1) =div(a∧b).

• Extension au cas général : Dans le cas général de deux entiersaet bquelconques, on se ramène au cas où 0¶ b ¶ ade la manière suivante. On peut supposer aet b positifs cara∧b =|a| ∧ |b|, et on peut supposerb¶acara∧b=b∧a.

L’algorithme d’Euclide est un algorithme de calcul effectif du PGCD de deux entiers relatifs. Dans le cas principal où 0¶b¶a, il a été montré en particulier quea∧b=r_N−1oùr_N−1est le dernier entier non nul de la lister₀,r₁,r₂. . .

a∧best leDERNIER RESTE NON NULde la suite des restes successifsr₀,r₁,r₂. . .

Exemple 1542∧58=2.

Démonstration Il s’agit seulement d’effectuer quelques divisions euclidiennes : 1542=26×58+34,

58=1×34+24, 34=1×24+10, 24=2×10+4, 10=2×4+2 et 4=2×2+0. Dernier reste non nul