A1717 – Du rififi chez les phi (1er épisode) [*** et ***** à la main]
La fonction phi appelée indicatrice d'Euler est la fonction qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n.
Q₁ Déterminer toutes les solutions des équations :
1ère équation : phi(n) = 32, 2ème équation : phi(n) = 256,3ème équation : phi(n) = 1024 [***]
Q₂ Pour les très courageux : pour m ≤ 2³², déterminer en fonction de m le nombre de solutions de l’équation phi(n) = 2m [*****]
Solution proposée par Daniel Collignon
Si n = Prod(i>=1, p_i^q_i) avec q_i>=1 et p_i une suite extraite de la suite des nombres premiers Alors phi(n) = Prod(i>=1, phi(p_i^q_i)) = Prod(i>=1, p_i^(q_i - 1)*(p_i - 1))
Si phi(n) = 2^k, alors :
* p_1=2 est possible puisque 2^(q_1 - 1)
* p_i impair est possible si q_i=1 et p_i = 1 + 2^q
pour que p_i soit premier il est nécessaire que q soit une puissance de 2 Démonstration :
Écrivons q=j*2^d avec j impair
Posons c=2^(2^d), de sorte que p_i = 1 + c^j D'où p_i = (1+c)*(somme(z=0..j-1, (-1)^z*c^z)
Comme 1+c > 2 divise p_i premier, alors p_i = 1+c = 1+2^q, d'où c=2^q, ou encore q=2^d, CQFD.
Réciproquement :
si F_k = 2^(2^k)+1 est un nombre premier (dit de Fermat), alors phi(Fk) = Fk - 1 = 2^(2^k) si n=2^p avec p>=1, alors phi(n) = phi(2^p) = 2^(p-1)
Nous avons ainsi montré l'équivalence : phi(n) est une puissance de 2 ssi n est le produit d'une puissance de 2 (éventuellement 2^0 = 1) et d'un nombre fini (éventuellement nul) de nombres de Fermat premiers
distincts.
Remarque : le polygone régulier à n côtés est alors constructible à la règle et au compas
Les connaissances actuelles sont les suivantes : F0=3, F1=5, F2=17, F3=257 et F4=65537 sont premiers, contrairement à F5, …, F32.
Q1
phi(n)=32 pour n=51, 64, 68, 80, 96, 102, 120
phi(n)=256 pour n=257, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 816, 960, 1020
phi(n)=1024 pour n=1285, 2048, 2056, 2176, 2560, 2570, 2720, 3072, 3084, 3264, 3840, 4080
Q2
Dans tous les cas il y a la solution n=2^(m+1).
Pour 0=<m=<31, il y a m+2 solutions à l'équation phi(n)=2^m.
n=j*2^k avec k fixé tel que 0=<k=<m :
- Si k=0, alors j est le produit du ou des nombres premiers de Fermat dont les rangs correspondent à ceux des 1 dans l'écriture binaire de m
- Sinon, j est le produit du ou des nombres premiers de Fermat dont les rangs correspondent à ceux des 1 dans l'écriture binaire de m-k+1 avec 1=<m-k+1=<31
Pour 32=<m=<2^32, il y a 32 solutions à l'équation phi(n)=2^m.
n=j*2^k avec k fixé tel que m-30=<k=<m : alors j est le produit du ou des nombres premiers de Fermat dont les rangs correspondent à ceux des 1 dans l'écriture binaire de m-k+1 avec 1=<m-k+1=<31
Références :
https://oeis.org/A000010 https://oeis.org/A058213
