Bases d’un espace vectoriel
¦ Eest unK-espace vectoriel.
Qu’est-ce qu’une base deE? C’est une famille finie deEqui est à la fois libre et génératrice deE. B L’écritureE=Vect(e1, . . . ,en) ne suffit pas à établir que (e1, . . . ,en) est une base deE.
B La notion de « base canonique » n’existe que dans les espaces vectoriels suivants :
• DansKn, il s’agit de la baseB=
10 0... 0
,
01 0... 0
, . . . ,
00 ... 01
;
• DansKn[X], il s’agit de la baseB=(1,X,X2, . . . ,Xn) ;
• DansMnp(K), il s’agit de la baseB=(Ei j)1ÉiÉn
1ÉjÉp oùEi j est la matrice deMnp(K) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé en ligneiet colonnejqui est égal à 1.
Quel est le lien entre la dimension deEet les bases deE? Il faut garder à l’esprit que :
• Si on sait queE est de dimensionn, alors pour montrer que (e1, . . . ,en) est une base deE, il suffit de démontrer que cette famille est libre (ou génératrice deE) ;
• Si on a démontré qu’une famille (e1, . . . ,en) est libre et génératrice deE, alors c’est une base de Eet on peut en déduire que dimE=n.
Comment utiliser une base deE? Tout d’abord, siB=(e1, . . . ,en) est une base deE, alors pour tout vecteurx∈E, il existe un uniquen-uplet (x1, . . . ,xn)∈Kntel quex=x1e1+ · · · +xnen. On note :
Matr nd B(x)= µx1
... xn
¶
(c’est le vecteur des coordonnées dexdansB)
L’unicité de cette décomposition permet de procéder par identification : deux vecteursxet y de E sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées dansB. Les autres applications usuelles :
• SoientF etGdes sous-espaces vectoriels deE,B1une base deF,B2une base deGetBla famille obtenue en réunissant les éléments deB1etB2. On a l’équivalence :
Best une base deE ≺===Â E=F⊕G 1
• SoientB=(e1, . . . ,en) une base deEetFunK-espace vectoriel. Siv1, . . . ,vnsont des éléments deF, alors il existe une unique application linéaire f :E →F telle que, pour touti∈ 1,n,
f(ei)=vi. On en déduit en particulier que :
— Si f :E→F etg:E→F sont deux applications linéaires et si pour touti∈ 1,n, on a f(ei)=g(ei), alorsf etgsont égales ;
— Sif :E→Fest une application linéaire et si pour touti∈ 1,n, on af(ei)=0, alorsf est l’application nulle.
Quelles sont les « formules de changement de base » ? SoientB=(e1, . . . ,en) etB0=(e10, . . . ,e0n) deux bases deE. La matrice de passage deBàB0est la matrice :
P=PB,B0=MatB0,B(idE)=MatB(B0)
En d’autres termes,P est la matrice dont laj-ème colonne représente les coordonnées du vecteur e0j exprimé dans la baseB. On a les résultats suivants :
• Pourx∈E, MatB(x)=PMatB0(x) ;
• Pourf ∈L(E), MatB0(f)=P−1MatB(f)P.
Qu’appelle-t-on une « base adaptée » ? Il y a deux situations :
• SiFest un sous-espace vectoriel deE, une base deEadaptée àFest une base (e1, . . . ,en) deE telle que (e1, . . . ,ep) soit une base deF(p=dimF) ;
• SiFetGsont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires deE, une base deEadaptée à la décompositionE=F⊕Gest une baseBobtenue en réunissant les éléments d’une base deF et d’une base deG.
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