S´erie 1: Notation asymptotique

S´erie 1: Notation asymptotique

Exercice 1: Montrer que sif(n) = (n+ 1)² alors f(n) = O(n²).

Solution: Nous savons que

n+ 1 ≤2n,∀n≥1

−→ (n+ 1)² ≤(2n)²,∀n ≥1

−→ (n+ 1)² ≤4(n)²,∀n ≥1.

d’o`u le r´esultat en choisissant c= 4 etn0 = 1.

Exercice 2: Montrer que T(n) = 3n³ + 2n² =O(n3).

Solution: Nous savons que

2(n)² ≤2(n)³,∀n ≥1

−→ 3(n)³+ 2(n)² ≤3(n)³+ 2(n)³,∀n ≥1

−→ (3n)³+ 2(n)² ≤5(n)³,∀n≥1

d’o`u le r´esultat en choisissant c= 5 etn0 = 1.

Exercice 3: Montrer que la fonction 3n³+ 2n² = Ω(n³).

Solution: Nous savons que

3(n)³+ 2(n)² ≥3(n)³∀n ≥0 d’o`u le r´esultat en choisissant c= 3 etn₀ = 0.

Exercice 4: Montrer que 3n n’est pas en O(2ⁿ).

Solution: Proc´edons par l’absurde. Supposons que 3n = O(2ⁿ). Il existe alors c et n₀ telles que :

2ⁿ ≤c.(3n),∀n≥n₀. 1

Cela revient `a dire que

c≥(3/2)ⁿ,∀n≥n₀.

Mais (3/2)ⁿ croit ind´efiniment avec n, donc il n’existe aucune constante c qui peut ˆetre un majorant de cette quantit´e quelle que soit la valeur den. Par cons´equent, l’hypoth`ese pos´ee est fausse.

Exercice 6: Soient deux modules de complexit´e respectives O(f(n)) et O(g(n)) o`u f(n) =

n⁴ si n est pair n² si n est impair.

et

g(n) =

n² sin est pair, n³ sin est impair.

D´eterminer la complexit´e de ces deux modules s’ils sont ex´ecut´ees s´equentiellement.

Solution: La r`egle de la somme doit ˆetre appliqu´ee directement.

0(max(f(n), g(n)) =

n⁴ sin est pair, n³ sin est impair.

Exercice 8: Lesquelles des assertions suivantes sont vraies ? Justifez votre r´eponse.

1. n² =O(n³) 2. n³ = Ω(n²).

3. 2ⁿ⁺¹ =O(2ⁿ).

4. (n+ 1)! = Ω(2ⁿ).

Solution:

1. nous avonsn² ≤n³,∀n≥0. En choisissant donc c= 1 et n₀ = 0, la relation est vraie. (on peut facilement montrer que l’inerve est fausse).

2. Nous avons bienn³ ≥n²,∀n ≥0. En choisissant doncc= 1 et n₀ = 0, la relation est bien vraie.

3. Nous avons bien 2ⁿ⁺¹ ≤2.2ⁿ,∀n≥ 0. En choisissant donc c= 2 et n₀ = 0, la relation est bien vraie.

4. Nous avons bien (n+ 1)!≥n!,∀n≥0. En choisissant donc c= 1 et n₀ = 0, la relation est bien vraie.

2

Exercice 9: Classer es fonctions suivantes par ordre croissant de complexit´e:

n,√

n,logn,log logn,log²n, n/logn,log 2n,√

nlog²n,17.

Solution: Il est plus simple de proc´eder `a l’aide de la r`egle de la division pour la d´efinition de la notation O et la r`egle L’Hˆopital (les r´eponses sont donn´ees dans l’ordre croissant des complexit´es).

1. Il est clair que 17 est la plus petite complexit´e.

2. Posons y= logn

n→∞lim

log logn

logn = lim

n→∞

logy y = 0 Par cons´equent,

log logn=O(logn) 3.

n→∞lim logn

log²n = lim

n→∞

1 y = 0 Par cons´equent,

logn =O(log²n) 4.

n→∞lim log²n

√n = lim

n→∞

(2 logn)/n 1/2√

n

= lim

n→∞

(4 logn)

√n

= lim

n→∞

√(8 n = 0.

Par cons´equent,

log²n=O(√ n) 5.

n→∞lim

√n

√nlog²n = lim

n→∞

1

log²n = 0

Par cons´equent, √

n=O(√

nlog²n)

3

6.

n→∞lim

√nlog²n

n/logn = lim

n→∞

log³n

√n Par cons´equent,

log²n=O(√ n) 7.

n→∞lim

nlogn

n = lim

n→∞

1 logn = 0

4