E679 – Les premiers serpentiformes [*** à la main]
On considère trois tableaux carrés de côté n = 3,4,5 qui ont 9,16 et 25 cases que l’on remplit respectivement avec les entiers de 1 à 9, de 1 à 16 et de 1 à 25. Dans quel(s) tableau(x) est-il possible de ranger ces entiers de sorte que la somme des entiers contenus dans deux cases adjacentes quelconques est toujours un nombre premier.
Nota : lorsqu’une solution au moins existe dans un tableau de côté n , on donnera celle qui minimise la somme des nombres contenus dans le carré de côté n – 2 au centre du tableau.
Solution proposée par Daniel Collignon
Dans le carré 3x3, les 5 nombres impairs sont nécessairement sur les 5 cases de même couleur (au sens du coloriage d'un échiquier) sous peine de générer un nombre pair.
Alors les 4 nombres pairs occupent les 4 cases de la couleur opposée, mitoyennes à la case centrale.Mais il est aisé de vérifier que leur intersection est vide puisque les candidats possibles sont :
2 : 1,3,5,9 4 : 1,3,7,9 6 : 1,5,7 8 : 3,5,9 Carré 4x4 :
Cherchons à minimiser le carré central à l'aide de 1,2,3,4 Voici l'exemple d'une grille 4x4
05 06 11 08 12 01 02 15 07 04 03 14 16 13 10 09 Carré 5x5 :
Existe-t-il un carré 3x3 de somme 46 (1...10 sauf 9) ?
Non car avec le même raisonnement que précédemment les 4 nombres impairs occupent les 4 cases mitoyennes à la case centrale ; mais leur intersection est vide puisque les candidats possibles sont :
1 : 2,4,6,10 3 : 2,4,8,10 5 : 2,6,8 7 : 4,6,10
Avec la somme 47, je suis parvenu au carré 3x3 suivant : 07 06 05
04 01 02 09 10 03
Voici l'exemple d'une grille 5x5 19 12 11 18 13
22 07 06 05 24 25 04 01 02 17
16 03 10 09 14 15 08 21 20 23
