Approche du carré 5*5 bimagique

(1)

Annexe bis à l’Annexe du document « Le carré 5*5 bimagique »

**Approche du carré 5*5 bimagique**

En hommage aux calculs d’approche du carré 5*5 bimagique

Le présent propos a pour objectif de présenter la meilleure approche du carré 5*5 bimagique que je connaisse, approche que l’on doit à Philippe Fondanaiche du site « Diophante » et qui illustre les propos de l’annexe du document « Le carré 5*5 bimagique ».

Cette approche consiste à étoffer le carré ci-dessous en utilisant les nombres fournis par Philippe Fondanaiche qui sont :

2 2 2 2 2 2 2 2

4938 2909 5274 2243 5379 1978 5715 430 32846125 ou encore :

2 2 2 2 2 2 2 2

5855 4460 6220 3935 6980 2335 7255 1240 54172625

Le carré en question est celui présenté à l’Annexe du document « Le carré 5*5 bimagique », à savoir :

k3

 ₁_,₂ h₁ ₁_,₄ k₄

1 ,

2 h₃ k₁ h₄ ₄_,₁

h2 k₂ 0 __k₂ __h₂

1 ,

4 h₄ k₁ h₃ ₂_,₁

k4 ₁_,₄ h₁ ₁_,₂ k₃

(2)

1) propriété bimagique du carré

Boucle 1 :

Les relations de boucle bimagiques kl₁ kl₅ kc₂ kc₄ s’écrivent :

2 2 2 2 2 2

1 3 4 2 3 4

h k k k h h Boucle 2 :

Les relations de boucle bimagiques kc₁kc₅ kl₂ kl₄ s’écrivent :

2 2 2 2 2 2

2 3 4 1 3 4

h k k k h h

Dont la différence est h₁²h₂² k₂²k₁² ou h₁²k₁² h₂²k₂² Qui est incluse dans h₁²k₁² h₂²k₂² h₃²k₃² h₄²k₄²

Dont la somme est :



h1²k1²

 

 h2²k2²



2



h3²k3²

 

2 h4²k4²



Les grandeurs h², k² sont réglées par

2 2 2 2

1 2 2 1

h h k k

2 2 2 2

2 3 3 2

h h k k

2 2 2 2

3 4 4 3

h h k k

2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 2 4 3 1 2 4

2h h h 2h 2k k k 2k

        

soit :

2 2

1 1

2 2

3 3

2 2

4 4

1 1 0 0 1 1 0 0

0 1 1 0 0 1 1 0

0 0 1 1 0 0 1 1

1 1 2 2 1 1 2 2

h k

     

   

   

         

   

   

     

   

           

       

et

2 2

1 1

2 2

3 3

2 2

4 4

2 1 2 2

1 2 2 2

1 1 1 2

1 1 2 1

h k

 

     

      

   

      

     

   

et

2 2

1 1

2 2

3 3

2 2

4 4

2 1 2 2

1 2 2 2

1 1 1 2

1 1 2 1

k h

 

     

      

   

      

     

   

Ces dernières relations sont involutives (l’inverse de la matrice de transformation est égale à cette même matrice)

(3)

Si nous formons la somme h² + k², il vient :

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

2 2 2 2

4 4 4 4

1 1 2 2 1 1 2 2

h k k h

   

           

             

        

             

           

       

2 2 2 2

1 2 3 4

2 2 1

k k k k 2K

     et ₁² ₂² ₃² ₄² 1

2 2

h h h h 2K

    

Exemple

Envisageons la première proposition de Philippe Fondanaiche des nombres suivants :

2 2 2 2 2 2 2 2

4938 2909 5274 2243 5379 1978 5715 430 32846125 nombres qui vérifient la relation :

 

4938 2909 5274 2243   2 5379 1978 5715 430    2 13097112 soit :

4938 2909 7847 4938 2909 2029

5274 2243 7517 5274 2243 3031

5379 1978 7357 5379 1978 3401

5715 430 6145 5715 430 5285

h k

           

           

     

           

           

On a :

2 2 2 2

61575409 4116841 65692250

56505289 9186961 65692250

54125449 11566801 65692250

37761025 27931225 65692250

h k h k

     

     

   

     

     

On vérifie

61575409 2 1 2 2 4116841

56505289 1 2 2 2 9186961

54125449 1 1 1 2 11566801

37761025 1 1 2 1 27931225

 

     

      

     

      

     

et

4116841 2 1 2 2 61575409

9186961 1 2 2 2 56505289

11566801 1 1 1 2 54125449

27931225 1 1 2 1 37761025

 

     

      

     

      

     

et

(4)



1² 2² 3² 4²



1 2 2 65692250

16  h h  h  h 



1² 2² 3² 4²



1 2 2 65692250

16  k k  k  k  le noyau du carré est donc :

3401 ₁_,₂ 7847 ₁_,₄ 5285

1 ,

2 7357 2029 6145 ₄_,₁

7517 3031 0 3031 7517

1 ,

4 6145 2029 7357 ₂_,₁

5285 ₁_,₄ 7847 ₁_,₂ 3401

Avec S0 et K=2 65692250

Ce noyau vérifie les relations magique et bimagique

2) Résolution des nombres du complément

Calculons les nombres du complément en s’en tenant à la propriété magique :

   

 

1,2

1 3401 7847 5285 7357 3031 6145 490

 2          

   

 

1,4

1 3401 7847 5285 7357 3031 6145 1329

 2         

   

 

2,1

1 3401 7517 5285 7357 2029 6145 6321

 2         

   

 

4,1

1 3401 7517 5285 7357 2029 6145 5152

 2           Soit le carré qui vérifie la propriété magique

3401 3891 7847 2072 5285

6321 7357 2029 6145 5152

7517 3031 0 3031 7517

5152 6145 2029 7357 6321

5285 2072 7847 3891 3401

Mais la condition bimagique devient :

Ligne1 ou Colonne2 : 103079776 au lieu de (Ligne 3 ou Colonne3) 131384500 Ligne2 ou Colonne1 : 162501460 au lieu de (Ligne 3 ou Colonne3) 131384500 La condition bimagique n’est pas respectée

(5)

Calculons les nombres du complément en s’en tenant à la propriété bimagique :

2 2

1,2 1,4 30311065

  

2 2

2,1 4,1 35381185

  

1,2  5059 4773

1,4  2172 2744

2,1 5796 5439

4,1 1337 2408

4 solutions sont possibles ; exploitons la première (5059 et 2172 ; 5796 et 1337) D’où le noyau du carré

3401 5059 7847 2172 5285

5796 7357 2029 6145 1337

7517 3031 0 3031 7517

1337 6145 2029 7357 5796

5285 2172 7847 5059 3401

Où la somme des termes de ligne3, colonne3, grandes diagonales est nulle

Mais celle des termes de ligne1 est ssl₁ = 6392, celle de colonne2 ssc₂ = 4706, celle de colonne1 ssc1 = 4942, celle de ligne2 ssl2 = -18606

La condition magique n’est pas respectée

Calculons maintenant les nombres du complément en s’en tenant à la fois aux propriétés magique et bimagique :

boucle1

Pour mémoire, les formules relatives aux nombres complémentaires de boucle1, sont :

2

1,2 1,4 1 1 1

, 1 2

2 sl kl sl

   ^   ^ et _5,2 _5,4 1 ₅ ₅ ₅²

, 2

2 sl kl sl

   ^   ^

2

1,2 5,2 2 2 2

, 1 2

2 sc kc sc

   ^   ^ et _1,4 _5,4 1 ₄ ₄ ₄²

, 2

2 sc kc sc

   ^   ^

1,2 4289,84265278929 2875,77967923111

1,4 -3450,84265278929 4694,77967923111

5,2 1,4

   3450,84265278929 -4694,77967923111

5,4 1,2

   -4289,84265278929 -2875,77967923111

(6)

On obtient donc 2 valeurs différentes pour chaque  (au lieu d’une valeur unique) Boucle2

2

2,1 4,1 1 1 1

, 1 2

2 sc kc sc

   ^   ^ et _2,5 _4,5 1 ₅ ₅ ₅²

, 2

2 sc kc sc

   ^   ^

2

2,1 2,5 2 2 2

, 1 2

2 sl kl sl

   ^   ^ et _4,1 _4,5 1 ₄ ₄ ₄²

, 2

2 sl kl sl

   ^   ^

2,1 -4700.5+2098.59661440688i 5736,5 3900,8767..i

4,1 -4700.5-2098.59661440688i 5736,5 3900,8767..i

2,5 4,1

   4700.5+2098.59661440688i 5736,5 3900,8767..i

4,5 2,1

   4700.5-2098.59661440688i 5736,5 3900,8767..i

On obtient donc 2 valeurs différentes pour chaque  (au lieu d’une valeur unique)

Nota : Un développement similaire peut être effectué avec les nombres suivants

2 2 2 2 2 2 2 2

5855 4460 6220 3935 6980 2335 7255 1240 54172625

 

5855 4460 6220 3935   2 6980 2335 7255 1240    2 25294500

3) Extension du noyau en vue d’obtenir les nombres du complément

Pour étendre le noyau, on envisage de le doter d’une somme de ligne, de colonne, de diagonale S non nulle et de ce fait, d’une somme des carrés correspondant de K.

Pour cela, on va augmenter les nombres du noyau de p (hors _3,3) et à chaque valeur de p , on envisagera une extension de _3,3 de valeur m.

3.1) Formulation

Etat initial : S = 0 et K = K₀

 Prenons par exemple la ligne 1 caractérisée initialement par sl10 0



1,11,31,5



et kl10 K0



1,1² 1,3² 1,5²



.

La résolution des nombres du complément de cette ligne _1,2 et _1,4 (qui donne

2

1,2 1,4 10 10 10

, 1 2

2 sl kl sl

   ^   ^), fait apparaître la grandeur ql₁₀ 2 kl₁₀sl₁₀² . On va considérer à la suite la grandeurql₁₀  2 kl₁₀sl₁₀² . Puisqu’on s’intéresse à des nombres entier, ql doit être positif.

(7)

Et ainsi de suite pour les colonnes 1, 2, 4, 5.

Quand on introduit p en supplément des nombres du noyau (hors _3,3) :

* S devient S_p 4p et sl1_p 4p



1,1 p 1,3 p 1,5 p



 p sl10,

* K devient K_p K₀4p² et

^kl¹^p ^^K⁰^⁴^p²^^_



^^1,1^ ^p

 

²^ ^^1,3^^p

 

²^ ^^1,5^^p



²^_^^kl¹⁰^ ^p²^^{2 .}^{p sl}¹⁰

* ql10 devient ql₁_p  2 kl₁_psl₁²_p, soit : ql₁_pql₁₀ p²2 .p sl₁₀

Quand en outre on rajoute m en supplément de _3,3 0, ces dernières grandeurs deviennent :

* S devient S_pm4pm et sl₁_pm   p m sl₁₀,

* K devient K_pm K_pm²K₀4p²m² et

2 2 2

1_pm 1_p 10 2 . 10

kl kl m kl p m  p sl

* ql10 devient ql₁_pm  2 kl₁_pmsl₁²_pm, soit : ql1_pm ql10p²m²2



p m sl



102pm, ou

 

²

 

1_pm 10 2 10

ql ql  p m  p m sl On note que, si m p, ql₁_pm ql₁₀

Par ailleurs, on doit toujours avoir ql₁_pm 0.

Quand m0, il y a une valeur minimale de p = p₀ qui rend ql₁_p 0 Quand p > p₀, m peut alors varier entre 0 et p – p₀.

L’expression de ql₁_pm met en évidence qu’elle peut être traitée en fonction d’un seul paramètre global tel que



pm



 p0q, soit : ql1_pm ql10



p0q



²2



p0q sl



. 10 ou, en notant ql_{1 0}_p ql₁₀p₀²2p sl₀. ₁₀ :

 

2

1_pm 1 0_p 2 0 10

ql ql q  q p sl

où q est un entier qui varie de 0 jusqu’à la valeur maximale utile.

Cette démarche est extrapolable aux lignes 5, 2 et 4 ainsi qu’aux colonnes 1, 2, 4, 5.

3.2) Boucle 1 : Recherche d’une valeur de ₁_,₂

2 ,

1 est une valeur commune à la ligne 1 et à la colonne 2.

A la ligne 1, il vient : 1,2



1 1



1

2 sl ql

   , A la colonne 2, il vient : ^ ^¹



^sc ^ ^qc



^,

(8)

Soit : sl₁ ql₁ sc₂ qc₂

que l’on peut écrire : sl₁sc₂  qc₂ ql₁, ou :

 

10 20 2 1

sl sc   qc ql

La recherche consiste à obtenir des solutions en nombres entiers en fonction du paramètre q.

3.3) Boucle 2 : Recherche d’une valeur de ₂_,₁

1 ,

2 est une valeur commune à la ligne 2 et à la colonne 1.

A la ligne 2, il vient : 2,1



2 2



1

2 sl ql

   , A la colonne 1, il vient : 2,1



1 1



1

2 sc qc

   ,

Soit : sl₂ ql₂ sc₁ qc₁

que l’on peut écrire : sl₂sc₁  qc₁ ql₂ , ou :

 

20 10 1 2

sl sc   qc ql

La recherche consiste à obtenir des solutions en nombres entiers en fonction du paramètre q.

4) Grandeurs caractéristiques initiales

3401 ₁_,₂ 7847 ₁_,₄ 5285

101073435 839 30311065 59918209

1 ,

2 7357 2029 6145 ₄_,₁ _96003315 ₁₁₄₇₃ _35381185 _-60867359 7517 3031 3,3⁰ 3031 7517



² ^sl⁰ ^kl⁰ ^ql⁰

1 ,

4 6145 2029 7357 ₂_,₁ _96003315 _-11473 _35381185 _-60867359 5285 ₁_,₄ 7847 ₁_,₂ 3401

101073435 -839 30311065 59918209 96003

315

101073 435

2



¹⁰¹⁰⁷³435

960033 15 -9401 -1819 sc0 1819 9401 35381

185

303110 65

kc0 303110 65

353811 85 -

17616 431

573133 69

qc₀

573133 69

- 176164 31

(9)

5) Recherche des grandeurs q

0

et q

5.1) Valeur initiale q₀

la valeur ql₀ ou qc₀ la plus négative est celle de ql₂₀ ou ql₄₀ : -60867359. Pour rendre cette valeur positive, il nous faut adopter une valeur de q telle que :ql₄₀q²2 .q sl₄₀0

Soit : q₀ = 25348 Alors le noyau devient :

21947 ¹^,² ₃₃₁₉₅ ₁_,₄ ₂₀₀₆₃ ₂₆₁₈₇ _715366113 _744973257

1 ,

2 ₁₇₉₉₁ ₂₇₃₇₇ ₁₉₂₀₃ ₂_,₅ ₃₆₈₂₁ 1259537497 1163288953

32865 28379 0 22317 17831 sl0 kl0 ql0

1 ,

4 ₃₁₄₉₃ ₂₃₃₁₉ ₃₂₇₀₅ ₄_,₅ ₁₃₈₇₅ _96267081 ₁₈₅₃₇

30633 ⁵^,² ₁₇₅₀₁ ₅_,₄ ₂₈₇₄₉ ₂₄₅₀₉ _630298225 _659905369

15947 23529 sc₀ 27167 34749 20130

9193

5806

16145 kc0 76504 8193

115449 5385 14831

1577

607618 449

qc₀ ⁷⁹²⁰⁵

0497

110149 7769

Toutes les valeurs de ql₀, qc₀ sont alors positives. A partir de cette valeur de q = q₀ on peut rechercher l’extension en nombres entiers du carré.

5.2) valeur de ₁_,₂ et ₂_,₁

2 ,

1 : Relation de boucle 1 : sl10sc20  



qc2 ql1



Cette relation démarre avec q0 = 25348

 

10 20 839 1819 2658

sl sc    

2 1 744973257 607618449 2644, 28

qc ql   

2 1 744973257 607618449 51944,11606

qc ql   

On retient la première proposition à 2644,28 qu’il faut porter à 2658

On doit donc augmenter q pour obtenir 2658 ; la meilleure approximation est obtenue avec q = 28882 et donne 2657,9988 (selon Excel) ; la valeur n’est pas entière.

1 ,

2 : Relation de boucle 2 : sl20sc10  



qc1 ql2



Cette relation démarre avec q0 = 25348

 

20 10 11473 9401 20874

sl sc    

1 2 148311577 1163288953 21928, 698

qc  ql   

(10)

1 2 148311577 1163288953 46285,34611

qc  ql   

On retient la première proposition à 21928, 698 qu’il faut porter à 20874

On doit donc augmenter q jusqu’à 36015, ce qui donne 20874 (valeur entière selon Excel) Cette augmentation de q n’est malheureusement pas synchrone avec celle de boucle 1 et correspond à deux valeurs distinctes de q.

Il n’y a donc pas de solution globale du carré.

6) De l’impossibilité de résolution

Pour ce paragraphe, on se reportera au document principal « penta_5_5_h_carré bimagique » On a pu espérer que le noyau du carré bimagique que l’on a construit à partir des nombres fournis par Philippe Fondanaiche, permettrait d’obtenir enfin ce carré.

Ce noyau remplit les conditions relatives aux équations 13 et 23 mais pas celles relatives aux équations 14 et 24, ce qui fait que la constitution du carré ne peut aboutir.

On peut penser que l’on serait capable de trouver la solution des 24 nombres (25 moins ₃_,₃ ) répondant aux 22 équations du socle et au 2 équations 13 et 23 ; mais cela ne peut générer un carré bimagique sans satisfaire les équations 14 et 24. Ce n’est donc pas possible.

On ne peut générer qu’une meilleure approximation de carré bimagique par exemple en relâchant une contrainte comme la somme bicarrée de l’une des diagonales, par exemple : S = 1405 K = 508369 (sauf diagonale 1)

262 364 78 184 517 186 532 280 325 82 568 178 205 294 160 253 222 538 76 316 136 109 304 526 330