LE CARRE 5*5 BIMAGIQUE

LE CARRE 5*5 BIMAGIQUE

Données de base :

Carré 5 5 constitués de nombres entiers positifs tous distincts ligne colonne_,

Nb : bimagique implique que les lignes, les colonnes, les deux grandes diagonales du carré 55 admettent la même somme de leurs termes et la même somme des carrés de leurs termes

1,1 _1,2 _1,3 _1,4 _1,5

2,1 _2,2 _2,3 _2,4 _2,5

3,1 _3,2 _3,3 _3,4 _3,5

4,1 _4,2 _4,3 _4,4 _4,5

5,1 _5,2 _5,3 _5,4 _5,5 Soit : β entiers positifs distincts

5 5 5 5

, , , ,6

1 1 1 1

i j i j i i i i

j i i i

    _ S

   

   

   

5 5 5 5

2 2 2 2

, , , ,6

1 1 1 1

i j i j i i i i

j i i i

    _ K

   

   

   

Le présent document a pour but de répondre à une question posée par Christian Boyer, alors président du club Pierre de Jumièges, à son club : « Faire un carré 5*5 bimagique ou prouver que ce n’est pas possible ». La réponse figure en conclusion du document.

Le présent document est une tentative de réaliser le carré 5 5 bimagique en se basant sur une analyse des possibilités de réalisation.

Sommaire

1) GENERALITES ... 3

1.1) contexte ... 3

1.2) Vocabulaire ... 4

2) ANALYSE DU CARRE BIMAGIQUE ... 5

2.1) Cœur du carré ... 5

2.2) Compléments du coeur ... 6

2.3) Détermination des nombres du complément ... 6

2.3.1) Boucle 1 ... 6

2.3.2 Relations de synthèse de boucle 1 ... 8

2.3.3) Boucle 2 ... 10

2.3.4) Relations de synthèse de boucle 2 ... 12

2.3.5) Remarques relatives aux boucles 1 et 2 ... 14

2.4) Décompte des contraintes et des inconnus ... 15

3 CONCLUSION ... 18

1) GENERALITES

1.1) contexte

De façon générale, les considérations relatives aux nombres du carré bimagique se situent ici dans l’ensemble des réels ainsi que dans le sous ensemble des entiers relatifs et dans le sous ensemble des entiers naturels.

On utilisera le critère topologique suivant : pour résoudre un problème, il faut autant de relations linéairement indépendantes que d’inconnus. Quand il y a plus de relations indépendantes que d’inconnus, on affirmera que le problème n’est pas soluble. Quand il y a moins de relations indépendantes que d’inconnus, il y a de multiples solutions.

Prenons par exemple une équation polynomiale du 4^ème degré à 4 coefficients: cette équation dépend de 4 coefficients ; chaque coefficient est lui-même une équation en fonction des racines de l’équation. Il y a 4 coefficients, c’est à dire 4 équations qui sont des expressions indépendantes correspondant aux 4 inconnus ; alors l’équation polynomiale du 4^ème degré peut s’écrire et se résoudre.

Par notion d’indépendance, on utilise le fait que la relation ne peut être reconstituée par une combinaison linéaire d’autres équations portées au même niveau de degré. Le fait de trouver une équation plus complexe permettant de retrouver l’intégralité de l’équation dont on veut prouver l’indépendance, est une preuve d’indépendance ; parce que la combinaison linéaire qui reconstitue l’équation dont on veut prouver l’indépendance, induit une nouvelle expression de même degré en supplément des autres équations.

1.2) Vocabulaire

 Carré magique : carré dont toutes les lignes, les colonnes et les grandes diagonales sont composées d’entiers positifs distincts ayant la même somme S.

 Carré bimagique : carré magique dont toutes les lignes, les colonnes et les grandes diagonales sont composées d’entiers positifs distincts dont la somme K des carrés est la même.

 Cœur du carré 5 5 : partie du carré formé par la ligne 3, la colonne 3, les deux grandes diagonales et qui ont en commun le nombre _3,3 et qui est composé d’entiers positifs distincts

 Complément : ce sont les nombres    _1,2, _1,4, _5,2, _5,4 d’une part et    _2,1, _4,1, _2,5, _4,5 d’autre part qui complètent le cœur pour former le carré

 Propriétés magiques : ce sont les propriétés attachées à l’égalité des sommes des termes de lignes, colonnes, grandes diagonales.

 Propriétés bimagiques : ce sont les propriétés attachées à l’égalité des sommes des carrés des termes de lignes, colonnes, grandes diagonales.

On suppose que le carré bimagique existe et on en fait une analyse.

2) ANALYSE DU CARRE BIMAGIQUE

On désigne les nombres du carré suivant les lignes et colonnes selon la méthode matricielle :

1,1 _1,2 _1,3 _1,4 _1,5

2,1 _2,2 _2,3 _2,4 _2,5

3,1 _3,2 _3,3 _3,4 _3,5

4,1 _4,2 _4,3 _4,4 _4,5

5,1 _5,2 _5,3 _5,4 _5,5

2.1) Cœur du carré

On appelle « coeur » du carré bimagique l’amorce de ce carré composé de :

 Ligne 3

 Colonne 3

 Grande diagonale 1

 Grande diagonale 2

1,1 _1,3 _1,5

2,2 _2,3 _2,4

3,1 _3,2 _3,3 _3,4 _3,5

4,2 _4,3 _4,4

5,1 _5,3 _5,5

Tous ces groupes de 5 nombres ont en commun le nombre _3,3 et sont caractérisés par les propriétés du carré, c'est-à-dire composés d’entiers positifs distincts, dont la somme est la même S, dont la somme des carrés est la même K.

Par exemple en prenant la ligne 3 : Propriété dite magique :

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 S

      Propriété dite bimagique

2 2 2 2 2

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 K

     

2.2) Complément du coeur

On désigne par complément du cœur les nombres complémentaires du cœur suivants :

1,2 _1,4

2,1 _2,5

4,1 _4,2 _4,5

5,2 _5,4

D’une part les nombres    _1,2, _1,4, _5,2, _5,4 qui seront dits de boucle 1, D’autre part les nombres    _2,1, _4,1, _2,5, _4,5 qui seront dits de boucle 2

2.3) Détermination des nombres du complément

Supposons que le carré bimagique existe.

Imaginons que l’on résolve partiellement le carré « 5 par 5 » bimagique ligne colonne_, en réalisant d’abord le cœur du carré, c'est-à-dire la ligne 3, la colonne 3, les deux grandes diagonales. Cette résolution partielle reste à compléter par les nombres du complément du coeur, d’une part    _1,2, _1,4, _5,2, _5,4 (en jaune) dits de boucle 1, d’autre part    _2,1, _4,1, _2,5, _4,5 (en bleu) dits de boucle 2.

1,1 _1,2 _1,3 _1,4 _1,5

2,1 _2,2 _2,3 _2,4 _2,5

3,1 _3,2 _3,3 0 _3,4 _3,5

4,1 _4,2 _4,3 _4,4 _4,5

5,1 _5,2 _5,3 _5,4 _5,5

2.3.1) Boucle 1

- On s’intéresse d’abord aux grandeurs :    _1,2; _1,4; _5,2; _5,4 (en jaune) du noyau basique

 Considérons les nombres de la ligne 1 :     _1,1; _1,2; _1,3; _1,4; _1,5 . Chacune des grandeurs  _1,2; _1,4est déterminée par les relations suivantes :

1,2 1,4 S ( 1,1 1,3 1,5) sl1

        Puis

2 2 2 2 2

1,2 1,4 K ( 1,1 1,3 1,5) kl1

       

En portant la première relation au carré, la deuxième relation permet d’écrire :



²



1,2 1,4 1 1

1

2 sl kl

   

Ainsi, connaissant la somme _1,2_1,4 sl₁ et le produit 1,2 1,4



1² 1



1

2 sl kl

    , _1,2 et

1,4sont déterminés comme solution de l’équation du second degré



1,2



1,4



² 1



1² 1



1 0

sl 2 sl kl

         

2

1,2 1,4 1 1 1

, 1 2

2 sl kl sl

   ^   ^

 Considérons les grandeurs de la ligne 5 :     _5,1; _5,2; _5,3; _5,4; _5,5 . Chacune des grandeurs  _5,2; _5,4est déterminée par les relations suivantes :

5,2 5,4 S ( 5,1 5,3 5,5) sl5

        Puis

2 2 2 2 2

5,2 5,4 K ( 5,1 5,3 5,5) kl5

       

En portant la première relation au carré, la deuxième relation permet d’écrire :



²



5,2 5,4 5 5

1

2 sl kl

   

Ainsi, connaissant la somme _5,2_5,4 sl₅ et le produit 5,2 5,4



5² 5



1

2 sl kl

    de  _5,4, _5,2,

5,4 et _5,2sont déterminés comme solution de l’équation du second degré



5,2



5,4



² 5



5² 5



1 0

sl 2 sl kl

        

2

5,2 5,4 5 5 5

, 1 2

2 sl kl sl

   ^   ^

- associons les deux équations

          

      

4 3 2 2

1,2 1,4 5,2 5,4 1 5 1 5 1 5

2 2 2 2

1 1 5 5 5 1 1 1 5 5

1 2

1 1

2 4 0

sl sl sl sl kl kl

sl kl sl sl kl sl sl kl sl kl

          



          

 

         

 Considérons les grandeurs de la colonne 2 :  _1,2; _2,2; _3,2; _4,2;_5,2 Chacune des grandeurs  _1,2; _5,2est déterminée par les relations suivantes :

1,2 5,2 S ( 2,2 3,2 4,2) sc2

        Puis,

2 2 2 2 2

1,2 5,2 K ( 2,2 3,2 4,2) kc2

       

En portant la première relation au carré, la deuxième relation permet d’écrire :



²



1,2 5,2 2 2

1

2 sc kc

   

Ainsi, connaissant la somme _1,2_5,2 sc₂ et le produit 1,2 5,2



2² 2



1

2 sc kc

    de  _1,2, _5,2,

1,2 et _5,2sont déterminés comme solution de l’équation du second degré



1,2



5,2



² 2



2² 2



1 0

sc 2 sc kc

        

2

1,2 5,2 2 2 2

, 1 2

2 sc kc sc

   ^   ^

 Considérons les grandeurs de la colonne 4 :  _1,4; _2,4; _3,4; _4,4;_5,4 Chacune des grandeurs  _1,4; _5,4est déterminée par les relations suivantes :

1,4 5,4 S ( 2,4 3,4 4,4) sc4

        Puis

2 2 2 2 2

1,4 5,4 K ( 2,4 3,4 4,4) kc4

       

En portant la première relation au carré, la deuxième relation permet d’écrire :



²



1,4 5,4 4 4

1

2 sc kc

   

Ainsi, connaissant la somme _1,4_5,4 sc₄ et le produit 1,4 5,4



4² 4



1

2 sc kc

    de _5,4,_1,4,

5,4 et _1,4 sont déterminés comme solution de l’équation du second degré



1,4



5,4



² 4



4² 4



1 0

sc 2 sc kc

        

2

1,4 5,4 4 4 4

, 1 2

2 sc kc sc

   ^   ^

Nota :

L’existence des nombres du complément en tant que nombres réels implique que les différents discriminants des équations du 2^ème degré soient positifs :

Boucle 1 :



2kl1sl1²

 

, 2kl5sl5²

 

, 2kc2sc2²

 

, 2kc4sc4²



0 C'est-à-dire si : sl₁ 2kl₁, sl₅  2kl₅, sc₂  2kc₂, sc₄  2kc₄

- associons les deux dernières équations

        

      

4 3 2 2

1,2 1,4 5,2 5,4 2 4 2 4 2 4

2 2 2 2

2 2 4 4 4 2 2 2 4 4

1 2

1 1

2 4 0

sc sc sc sc kc kc

sc kc sc sc kc sc sc kc sc kc

          



 

            

 

         

2.3.2 Relations de synthèse de boucle 1

Reprenons les deux dernières équations de quatrième de gré en :



^{  1,2}



^{  1,4}



^{  5,2}



^{  5,4}



^{0 et}



^{  1,2}



^{  5,2}



^{  1,4}



^{  5,4}



^0

Elles sont deux équations identiques et ont donc des coefficients égaux, ce qui se traduit par : (11) sl₁sl₅sc₂sc₄

(12) kl₁kl₅kc₂kc₄

(13) sl sl sl1 5



1sl5

 

 kl sl1 5kl sl5 1



sc sc sc2 4



2sc4

 

 kc sc2 4kc sc4 2



ou



sl1²kl sl1



5



sl5²kl sl5



1



sc2²kc2



sc4



sc4²kc4



sc2

(14)



sl1²kl1



sl5²kl5

 

 sc2²kc2



sc4²kc4



Ces relations présentent les propriétés d’indépendance entr’elles.

La relation (11) est dite magique puisqu’elle reprend les équations d’égalité des sommes des nombres des lignes (lignes 1 et 5) et des colonnes (colonnes 2 et 4).

La relation (12) est dite bimagique puisqu’elle reprend les équations d’égalité des sommes des carrés des nombres des lignes (lignes 1 et 5) et des colonnes (colonnes 2 et 4).

La relation (13) est indépendante des relations (11) et (12).

 En effet si on les multiplie (11)*(12) pour obtenir un degré conforme à celui de (23), on obtient :

       

1 1 5 5 1 5 2 2 4 4 2 4

sl kl kl sl kl kl sc kc kc sc kc kc

Relation manifestement indépendante de (13) puisque la soustraction de ces deux équations redonne une nouvelle équation de même degré.

 Si on effectue (11)³, on obtient :



sl1sl5

 

³ sc2sc4



³

Relation manifestement indépendante de (13)

Et en combinant ces deux derniers résultats, on ne peut pas obtenir de façon indépendante la relation (13).

Pour retrouver les termes de l’équation(13), il faut faire (11)³ – 3*(11)*(12) ; en soustrayant à cela l’équation 3*(13), on obtient :

   

3 3 3 3

1 5 3 1 1 5 5 2 4 3 2 2 4 4

sl sl  kl sl kl sl sc sc  kc sc kc sc

Relation tout aussi indépendante des équations (11) et (12) que l’équation (13) La relation (13) est donc indépendante des relations (11) et (12).

La relation (14) est indépendante des relations (11) et (12) et (13).

 En effet si on les multiplie (11)²*(12) pour obtenir un degré conforme à celui de (14), on obtient :

     

     

2 2

1 1 5 5 1 5 1 5 1 5

2 2

2 2 4 4 2 4 2 4 2 4

2

2

sl kl kl sl kl kl sl sl kl kl

sc kc kc sc kc kc sc sc kc kc

      

    

Relation manifestement indépendante de (14)

 si on effectue (11)*(13), on obtient :

    

    

2

1 5 1 5 1 5 5 1 1 5

2

2 4 2 4 4 2 2 4 2 4

sl sl sl sl kl sl kl sl sl sl

sc sc sc sc sc kc sc kc sc sc

    

   

Relation manifestement indépendante de (14)

 si on effectue (11)⁴, on obtient :



sl1sl5

 

⁴ sc2sc4



⁴

Relations manifestement indépendante de (14)

 si on effectue (12)², on obtient :



kl1kl5

 

² kc2kc4



²

Relations manifestement indépendante de (14)

Et en combinant ces quatre derniers résultats, on ne peut pas obtenir de façon indépendante la relation (14)

Pour retrouver les termes de l’équation (14), il faut faire (11)⁴ + 3*(12)² – 6*(11)²*(12) ; en soustrayant à cela l’équation 6*(14), on obtient :

4 4 2 2 2 2 2 2

1 5 1 5 1 5 1 1 5 5 1 5 1 5 1 5

4 4 2 2 2 2 2 2

2 4 2 4 2 4 2 2 5 4 2 4 2 4 2 4

4 ( ) 6 6 12 ( ) 3 3

4 ( ) 6 6 12 ( ) 3 3

sl sl sl sl sl sl sl kl sl kl sl sl kl kl kl kl

sc sc sc sc sc sc sc kc sc kc sc sc kc kc kc kc

         

        

Relation tout aussi indépendante des équations (11) et (12) et (13) que l’équation (14).

La relation (14) est donc indépendante des relations (11) et (12) et (13).

2.3.3) Boucle 2

- On s’intéresse ensuite aux grandeurs :    _2,1; _2,5; _4,1; _4,5 (en mauve)

 Considérons les grandeurs de la ligne 2 :  _2,1; _2,2; _2,3; _2,4;_2,5 . Chacune des grandeurs  _2,1; _2,5est déterminée par les relations suivantes :

2,1 2,5 S ( 2,2 2,3 2,4) sl2

        Puis

2 2 2 2 2

2,1 2,5 K ( 2,2 2,3 2,4) kl2

       

En portant la première relation au carré, la deuxième relation permet d’écrire :



²



2,1 2,5 2 2

1

2 sl kl

   

Ainsi, connaissant la somme _2,1_2,5sl₂ et le produit 2,1 2,5



2² 2



1

2 sl kl

    de  _2,1, _2,5,

2,1 et _2,5sont déterminés comme solution de l’équation du second degré



2,1



2,5



² 2



2² 2



1 0

sl 2 sl kl

        

2

2,1 2,5 2 2 2

, 1 2

2 sl kl sl

   ^   ^

 Considérons les grandeurs de la ligne 4 :  _4,1; _4,2; _4,3; _4,4;_4,5 . Chacune des grandeurs  _4,1; _4,5est déterminée par les relations suivantes :

4,1 4,5 S ( 4,2 4,3 4,4) sl4

        Puis

2 2 2 2 2

4,1 4,5 K ( 4,2 4,3 4,4) kl4

       

En portant la première relation au carré, la deuxième relation permet d’écrire :



²



4,1 4,5 4 4

1

2 sl kl

   

Ainsi, connaissant la somme _4,1_4,5sl₄ et le produit 4,1 4,5



4² 4



1

2 sl kl

    de  _4,1, _4,5,

4,1 et _4,5sont déterminés comme solution de l’équation du second degré



4,1



4,5



² 4



4² 4



1 0

sl 2 sl kl

        

2

4,1 4,5 4 4 4

, 1 2

2 sl kl sl

   ^   ^

- associons les deux dernières équations Il vient :

     ^{     }

      

4 3 2 2

2,1 2,5 4,1 4,5 2 4 2 4 2 4

2 2 2 2

2 2 4 4 4 2 4 4 2 2

1 2

1 1

2 4 0

sl sl sl sl kl kl

sl kl sl sl kl sl sl kl sl kl

          



 

            

 

         

 Considérons les grandeurs de la colonne 5 :     _1,5; _2,5; _3,5; _4,5; _5,5 Chacune des grandeurs  _2,5; _4,5est déterminée par les relations suivantes :

2,5 4,5 S ( 1,5 3,5 5,5) sc5

        Puis,

2 2 2 2 2

2,5 4,5 K ( 1,5 3,5 5,5) kc5

       

En portant la première relation au carré, la deuxième relation permet d’écrire :



²



2,5 4,5 5 5

1

2 sc kc

   

Ainsi, connaissant la somme _2,5_4,5 sc₅ et le produit 2,5 4,5



5² 5



1

2 sc kc

    de  _2,5, _4,5,

2,5 et _4,5sont déterminés comme solution de l’équation du second degré



2,5



4,5



² 5



5² 5



1 0

sc 2 sc kc

        

2

2,5 4,5 5 5 5

, 1 2

2 sc kc sc

   ^   ^

 Considérons les grandeurs de la colonne 1 :     _1,1; _2,1; _3,1; _4,1; _5,1 Chacune des grandeurs  _2,1; _4,1est déterminée par les relations suivantes :

2,1 4,1 S ( 1,1 3,1 5,1) sc1

        Puis

2 2 2 2 2

2,1 4,1 K ( 1,1 3,1 5,1) kc1

       

En portant la première relation au carré, la deuxième relation permet d’écrire :



²



2,1 4,1 1 1

1

2 sc kc

   

Ainsi, connaissant la somme _2,1_4,1sc₁ et le produit 2,1 4,1



1² 1



1

2 sc kc

    de  _2,1, _4,1,

2,1 et _4,1 sont déterminés comme solution de l’équation du second degré



2,1



4,1



² 1



1² 1



1 0

sc 2 sc kc

        

2

2,1 4,1 1 1 1

, 1 2

2 sc kc sc

   ^   ^

Nota :

L’existence des nombres du complément en tant que nombres réels implique que les différents discriminants des équations du 2^ème degré soient positifs :

Boucle 2 :



2kl2sl2²

 

, 2kl4sl4²

 

, 2kc1sc1²

 

, 2kc5sc5²



0 C'est-à-dire si : sl₂  2kl₂, sl₄  2kl₄, sc₁ 2kc₁, sc₅ 2kc₅

- associons les deux dernières équations Il vient :

          

      

4 3 2 2

2,5 4,5 2,1 4,1 1 5 1 5 1 5

2 2 2 2

1 1 5 5 5 1 1 1 5 5

1 2

1 1

2 4 0

sc sc sc sc kc kc

sc kc sc sc kc sc sc kc sc kc

          



 

            

 

         

2.3.4) Relations de synthèse de boucle 2

Relations de synthèse Les équations :



  2,1



  2,5



  4,1



  4,5



0 et



  2,5



  4,5



  2,1



  4,1



0 sont identiques et ont donc des coefficients égaux, ce qui se traduit par :

(21) sc₁sc₅sl₂sl₄ (22) kc₁kc₅kl₂kl₄

(23) sc sc sc1 5



1sc5

 

 sc kc1 5sc kc5 1



sl sl sl2 4



2sl4

 

 sl kl2 4sl kl4 2



ou



sc1²kc sc1



5



sc5²kc sc5



1 



sl2²kl2



sl4



sl4²kl4



sl2 (24)



sc1²kc1



sc5²kc5

 

 sl2²kl2



sl4²kl4



Ces relations présentent les propriétés d’indépendance entr’elles.

La relation (21) est dite magique puisqu’elle reprend les équations d’égalité des sommes des nombres des colonnes (colonnes 1 et 5) et des lignes (lignes 2 et 4).

La relation (22) est dite bimagique puisqu’elle reprend les équations d’égalité des sommes des carrés des nombres des colonnes (colonnes 1 et 5) et des lignes (lignes 2 et 4).

La relation (23) est indépendante des relations (21) et (22).

 En effet si on les multiplie (21)*(22) pour obtenir un degré conforme à celui de (23), on obtient :

       

1 1 5 5 1 5 2 2 4 4 2 4

sc kc kc sc kc kc sl kl kl sl kl kl Relation manifestement indépendante de (23)

 Si on effectue (21)³, on obtient :



sc1sc5

 

³ sl2sl4



³

Relation manifestement indépendante de (23)

Et en combinant ces deux derniers résultats, on ne peut pas obtenir de façon indépendante la relation (23).

Pour retrouver les termes de l’équation(23), il faut faire (21)³ – 3*(21)*(22) ; en soustrayant à cela l’équation 3*(23), on obtient :

   

3 3 3 3

1 5 3 1 1 5 5 2 4 3 2 2 4 4

sc sc  kc sc kc sc sl sl  kl sl kl sl

Relation tout aussi indépendante des équations (21) et (22) que l’équation (23) La relation (23) est donc indépendante des relations (21) et (22).

La relation (24) est indépendante des relations (21), (22) et (23).

 En effet si on multiplie (21)²*(22) pour obtenir un degré conforme à celui de (23), on obtient :

     

     

2 2

1 1 5 5 1 5 1 5 1 5

2 2

2 2 4 4 2 4 2 4 2 4

2

2

sc kc kc sc kc kc sc sc kc kc

sl kl kl sl kl kl sl sl kl kl

      

    

Relation manifestement indépendante de (24)

 si on effectue (21)*(23), on obtient :

    

    

2

1 5 1 5 1 5 5 1 1 5

2

2 4 2 4 2 4 4 2 2 4

sc sc sc sc sc kc sc kc sc sc

l sl sl sl sl kl sl kl sl sl

    

   

Relation manifestement indépendante de (24)

 Si on effectue (21)⁴, on obtient :



sc1sc5

 

⁴ sl2sl4



⁴

Relation manifestement indépendante de (24)

 Si on effectue (22)² , on obtient :



kc1kc5

 

² kl2kl4



²

Relation manifestement indépendante de (24)

Et en combinant ces quatre derniers résultats, on ne peut pas obtenir de façon indépendante la relation (24)

Pour retrouver les termes de l’équation (24), il faut faire (21)⁴ + 3*(22)² – 6*(21)²*(22) ; en soustrayant à cela l’équation 6*(24), on obtient :

4 4 2 2 2 2 2 2

1 5 1 5 1 5 1 1 5 5 1 5 1 5 1 5

4 4 2 2 2 2 2 2

2 4 2 4 2 4 2 2 5 4 2 4 2 4 2 4

4 ( ) 6 6 12 ( ) 3 3

4 ( ) 6 6 12 ( ) 3 3

sc sc sc sc sc sc sc kc sc kc sc sc kc kc kc kc

sl sl sl sl sl sl sl kl sl kl sl sl kl kl kl kl

         

        

Relation tout aussi indépendante des équations (21) et (22) et (23) que l’équation (24).

La relation (24) est donc indépendante des relations (21) et (22) et (23).

Par ailleurs, même si la boucle 2 possède des nombres communs à la boucle 1, elle inclut des nombres distincts de ceux de la boucle 1, ce qui rend les relations de boucle 2 indépendantes de celles de boucle 1.

2.3.5) Remarques relatives aux boucles 1 et 2

Ainsi, on note que dans le carré bimagique si le coeur est déterminé, c'est-à-dire si on connaît la ligne3, la colonne 3, les deux grandes diagonales du carré bimagique, alors les autres nombres du complément du noyau sont déterminés ; à savoir :

les nombres complémentaires des lignes 1 et 5 et colonnes 2 et 4 (boucle 1), les nombres complémentaires des colonnes 1 et 5 des lignes 2 et 4 (boucle 2).

.

La détermination des 4 nombres complémentaires de boucle 1 ne nécessiterait que 2 équations du second degré ou une seule équation du 4^ème degré ; or la conjecture nous donne généreusement 4 équations du second degré ou 2 équations du 4^éme degré.

Et dito relativement aux 4 nombres complémentaires de boucle 2.

De ce fait, la détermination des 8 inconnus (4 nombres complémentaires de boucle 1 plus 4 nombres complémentaires de boucle 2) formant le complément du noyau est reportée entièrement sur la connaissance des nombres du coeur.

2.4) Décompte des contraintes et des inconnus

Faisons un décompte global des inconnus et des relations indépendantes du carré constitués de ses 25 nombres.

Les inconnus

Le carré est constitué de 25 nombres, 25 inconnus.

Les relations indépendantes

Pour résoudre ce carré nous disposons des équations suivantes :

Les équations correspondant aux prescriptions magiques et bimagiques, dites équations du socle :

[1] Somme des nombres de ligne 1 = Somme des nombres de ligne 2 [2] Somme des nombres de ligne 2= Somme des nombres de ligne 3 [3] Somme des nombres de ligne 3 = Somme des nombres de ligne 4 [4] Somme des nombres de ligne 4= Somme des nombres de ligne 5

[5] Somme des nombres de ligne5 = Somme des nombres de grande diagonale1 [6] Somme des nombres de colonnes 1 = Somme des nombres de colonnes 2 [7] Somme des nombres de colonnes 2 = Somme des nombres de colonnes 3 [8] Somme des nombres de colonnes 3 = Somme des nombres de colonnes 4 [9] Somme des nombres de colonnes 4 = Somme des nombres de colonnes 5

[10] Somme des nombres de colonnes 5 = Somme des nombres de grande diagonale 1

[11] Somme des nombres de grande diagonale 1 = Somme des nombres de grande diagonale 2 [12] Somme du carré des nombres de ligne 1 = Somme du carré des nombres de ligne 2 [13] Somme du carré des nombres de ligne 2= Somme du carré des nombres de ligne 3 [14] Somme du carré des nombres de ligne 3 = Somme du carré des nombres de ligne 4 [15] Somme du carré des nombres de ligne 4= Somme du carré des nombres de ligne 5 [16] Somme du carré des nombres de ligne 5 = Somme du carré des nombres de grande diagonale1

[17] Somme du carré des nombres de colonnes 1 = Somme du carré des nombres de colonnes 2

[18] Somme du carré des nombres de colonnes 2 = Somme du carré des nombres de colonnes 3

[19] Somme du carré des nombres de colonnes 3 = Somme du carré des nombres de colonnes 4

[20] Somme du carré des nombres de colonnes 4 = Somme du carré des nombres de colonnes 5

[21] Somme du carré des nombres de colonnes 5 = Somme du carré des nombres de grande diagonale 1

[22] Somme du carré du carré des nombres de grande diagonale 1 = Somme du carré des nombres de grande diagonale 2

soit 22 équations du socle

plus les équations de synthèse relatives au complément

[23] relation de synthèse (11) de boucle 1 [24] relation de synthèse (12) de boucle 1 [25] relation de synthèse (13) de boucle 1 [26] relation de synthèse (14) de boucle 1 [27] relation de synthèse (21) de boucle 2 [28] relation de synthèse (22) de boucle 2 [29] relation de synthèse (23) de boucle 2 [30] relation de synthèse (24) de boucle 2 Mais

Les relations [23] et [27] [notées relations de synthèse (11) et (21)] sont issues des relations magiques et sont donc dépendantes,

Les relations [24] et [28] [notées relations de synthèse (12) et (22)] sont issues des relations bimagiques et sont donc dépendantes,

Cependant

Les relations [25] et [26] complémentaires de boucle 1 [notées relations de synthèse (13) et (14)] sont indépendantes des relations [23] et [24] [notées relations de synthèse (11) et (12)]

et des relations de synthèse de boucle 2 comme on l’ a vu au § 2.3.4 .

Comme elles ne peuvent être reliées aux équations du socle que par les relations [23] et [24]

[notées relations de synthèse (11) et (12)], elles sont donc indépendantes des relations du socle. Ce point est explicité à la suite.

Boucle 1

Les relations de synthèse (13) et (14) sont indépendantes des égalités de lignes et colonnes.

Les relations de synthèse (13) et (14) sont formées à partir des mêmes variables sl, sc, kl, kc que celles des relations de synthèse (11) et (12) et s’exprime exclusivement à partir de ces variables.

Les relations (11) et (12) découlent des égalités respectivement de la somme des nombres de ligne et de colonne, de la somme du carré des nombres de ligne et de colonne et sont les seules issues de ces égalités qui s’exprime exclusivement à partir des variables sl, sc, kl, kc

(11) sl₁sl₅sc₂sc₄ et (12) kl₁kl₅ kc₂kc₄

Les relations (11) et (12) étant indépendantes des relations (13) et (14), ces dernières sont donc indépendantes des relations du socle de ligne et colonnes.

Les relations (11), (12), (13), (14) sont indépendantes des égalités respectivement de la somme des nombres des grandes diagonales, de la somme du carré des nombres des grandes diagonales.

En effet, quand on introduit ces dernières, on introduit des relations nouvelles.

Par exemple, quand on additionne les sommes de deux grandes diagonales, il vient :

11 22 33 44 55 15 24 33 42 51 2S

          

qui, si on l’exprime en fonction des variables sl, sc, kl, kc des relations (11), (12), (13), (14), devient, par exemple :

boucle 1 : ^{1 5 2 4 33 1}



^{1,3 5,3 3,4 3,2}



sl sl sc sc  S  2    

Ce sont des équations nouvelles qui ne peuvent s’exprimer exclusivement à partir des variables sl, sc, kl, kc.

Dito relativement à la relation bimagique kl₁kl₅kc₂kc₄

Puisque l’introduction des égalités relatives aux grandes diagonales ne permettent pas d’exprimer les relations en fonction exclusive des variables sl, sc, kl, kc, elles sont indépendantes des relations (11), (12), (13), (14).

Boucle 2

Les relations [29] et [30] complémentaires de boucle 2 [notées relations de synthèse (23) et (24)] sont indépendantes des relations [27] et [28] [notées relations de synthèse (21) et (22)]

et des relations de synthèse de boucle 1 comme on l’ a vu au § 2.3.4.

Comme elles ne peuvent être reliées aux équations du socle que par les relations [27] et [28]

[notées relations de synthèse (21) et (22)], elles sont donc indépendantes de toutes les autres.

Dito paragraphe précédent.

sommes de deux grandes diagonales, par exemple :

 

1 5 2 4 33 3,1 3,5 2,3 4,3

1

sc sc sl sl  S  2    

Donc globalement 26 relations indépendantes pour 25 inconnus. Cela fait plus de relations indépendantes que d’inconnus. Le problème est insoluble.

3 CONCLUSION

L’analyse des liens entre les différents nombres du carré, plus précisément les nombres du cœur et du complément à ce coeur, fait apparaître 8 équations que l’on peut ajouter aux 22 équations constituant le socle des prescriptions magique et bimagique des nombres du carré ; de ces 8 équations, 4 reprennent les équations du socle mais 4 autres en sont indépendantes. Il y a donc au total 26 équations indépendantes alors qu’il n’y a que 25 inconnus, ce qui rend la résolution impossible.

L’aspect délicat de ce propos est l’indépendance de ces 4 dernières équations vis-à-vis des 22 autres du socle. L’affirmation de ce propos se fonde sur le fait que les 8 équations qui se rajoutent au socle sont constituées de coefficients d’équations du 4^ème degré qui par nature sont des termes indépendants les uns des autres (quand les 4 racines sont différentes) : même si 4 de ces 8 équations reprennent les équations du socle, les 4 autres en sont indépendantes.

Aussi on ne voit pas de résolution possible du carré 5*5 bimagique.