LE CARRE 5*5 BIMAGIQUE

LE CARRE 5*5 BIMAGIQUE

Données :

Carré 5 5 constitués de nombres entiers positifs tous distincts ligne colonne_,

Nb : bimagique implique que les lignes, les colonnes, les deux grandes diagonales du carré 55 admettent la même somme de leurs termes et la même somme des carrés de leurs termes

1,1 _1,2 _1,3 _1,4 _1,5

2,1 _2,2 _2,3 _2,4 _2,5

3,1 _3,2 _3,3 _3,4 _3,5

4,1 _4,2 _4,3 _4,4 _4,5

5,1 _5,2 _5,3 _5,4 _5,5 Soit : β entiers positifs distincts

5 5 5 5

, , , ,6

1 1 1 1

i j i j i i i i m

j i i i

    _ S

   

   

   

5 5 5 5

2 2 2 2

, , , ,6

1 1 1 1

i j i j i i i i m

j i i i

    _ K

   

   

   

Le présent document a pour but de répondre à une question posée par Christian Boyer, alors président du club Pierre de Jumièges, à son club : « Faire un carré 5*5 bimagique ou prouver que ce n’est pas possible ». La réponse figure en conclusion du document.

Le présent document est une tentative de réaliser le carré 5 5 bimagique en se basant sur une analyse des possibilités de réalisation.

Sommaire

GENERALITES ... 4

Préliminaires : Vocabulaire ... 5

1) RESOLUTION DES EQUATIONS DU 3^ème DEGRE ET 4^ème DEGRE PAR LA METHODE DES COMPOSANTES SYMETRIQUES ... 6

1 .1) Généralités ... 6

1.2) Equation du 3^ème degré : solution générale ... 7

1.2.1) Solution dans le corps des complexes ... 7

1.2.2) Equation à coefficients réels ... 8

1.3) Equation du 4^ème degré ... 10

1.3.1) Résolution par la transformation symétrique ... 10

1.3.2) Variante quand les coefficients des équations sont des réels (ainsi que y₃₁,y₃₂,y₃₃) ... 12

1.3.3) Restriction des solutions aux entiers ... 13

1.3.4) Equation centrée ... 14

1.3.5) Equation centrée dont les racines sont des valeurs opposées aux racines du paragraphe précédent ... 16

2) ANALYSE DU CARRE BIMAGIQUE ... 18

2.1) équations du 5ème degré représentatives des lignes, colonnes, grandes diagonales du carré ... 18

2.2) équations des écarts ... 19

2.3) Cœur et Noyau du carré ... 22

3) CARRE BIMAGIQUE 5 × 5 : CONSTRUCTION. ... 25

3.1) Construction d’un noyau bimagique type ... 25

3.2) Détermination des nombres du complément ... 27

3.2.1) Boucle 1 ... 27

3.2.2) Relations de synthèse de boucle 1 ... 29

3.2.3) Boucle 2 ... 31

3.2.4) Relations de synthèse de boucle 2 ... 33

3.3) Conclusion relative aux boucles 1 et 2 ... 34

3.4) Méthode de construction du carré bimagique ... 34

3.5) Décompte des contraintes et des inconnus ... 36

4) PROPRIETES DU CARRE ... 38

4.1) propriété « magique » du carré ... 38

4.1.1) Boucle 1 ... 38

4.1.2) Boucle 2 ... 39

4.1.3 Conclusion ... 39

4.2) propriété « bimagique » du carré ... 40

4.2.1) Boucle 1 ... 40

4.2.2) Boucle 2 ... 41

4.2.3) Conclusion ... 42

5) APTITUDE DU CARRE AUX PROPRIETES MAGIQUE ET BIMAGIQUE ... 42

5.1) Aptitude du noyau à la propriété magique ... 42

5.1.1) première vérification ... 43

5.1.2) modification de la composition des nombres ... 44

5.2) Aptitude du noyau à la propriété bimagique ... 46

5.2.1) Première vérification ... 46

5.2.2) Modification de la composition des nombres ... 47

5.3) Conclusion ... 49

6) CAS OU r1, r2, r3, r4 SONT NULS ... 51

6.1) construction des équations du 4^ème degré ... 51

6.2) Particularité des nombres complémentaires du noyau (quand r1, r2, r3, r4 sont nuls) . 54 6.2.1) Couplage des nombres complémentaires ... 54

6.2.2) Conséquences sur les relations de boucle magiques ... 57

6.2.3) Conséquences sur les relations de boucle bimagiques ... 58

6.2.4) Conséquences sur les relations de synthèse ... 60

6.3) Vérification des relations de boucles ... 61

6.3.1) Boucles magiques ... 61

6.3.2) Boucles bimagiques ... 61

6.3.3) Relations de synthèses ... Erreur ! Signet non défini. 6.4) Modification de l’ordre des nombres : noyau 2 ... 64

6.4.1) Boucles magiques ... 64

6.4.2) Boucles bimagiques ... 64

6.4.3) Relations de synthèse ... 69

6.4.4) Conclusion ... 72

6.5) Autre tentative ... 74

7) CONCLUSION ... 74

GENERALITES

De façon générale, les considérations relatives aux nombres du carré bimagique se situent ici dans l’ensemble des réels ainsi que dans le sous ensemble des entiers relatifs et dans le sous ensemble des entiers naturels.

La résolution des équations polynomiales du 3^ème et 4^ème degré est traitée initialement dans l’ensemble des complexes et cette résolution sera adaptée à l’ensemble des réels.

La résolution des équations du 4^ème degré dans l’ensemble des réels revêt ici une importance particulière car la première difficulté trouvée réside dans une contradiction ne permettant pas de résoudre les propriétés de boucle par ces équations.

On utilisera le critère topologique suivant : pour résoudre un problème, il faut autant de relations linéairement indépendantes que d’inconnus. Quand il y a plus de relations indépendantes que d’inconnus, on affirmera que le problème n’est pas solvable. Quand il y a moins de relations indépendantes que d’inconnus, il y a de multiples solutions.

Prenons par exemple une équation polynomiale du 4^ème degré : cette équation dépend de 4 coefficients ; si 4 relations indépendantes permettent de déterminer chacun des 4 coefficients, alors cette équation peut s’écrire et se résoudre.

Préliminaires : Vocabulaire

 Carré magique : carré dont toutes les lignes, les colonnes et les grandes diagonales sont composées d’entiers positifs distincts ayant la même somme Sm.

 Carré bimagique : carré magique dont toutes les lignes, les colonnes et les grandes diagonales sont composées d’entiers positifs distincts dont la somme Km des carrés est la même.

 Cœur du carré 5 5 : partie du carré formé par la ligne3, la colonne3, les deux grandes diagonales et qui ont en commun le nombre _3,3 et qui est composé d’entiers positifs distincts

 Noyau du carré : c’est le cœur du carré quand _3,3 0 et qui est composés d’entiers, positifs ou négatifs, distincts.

 Noyau basique : c’est le noyau du carré quand la somme des termes de la ligne3 ou de la colonne3 ou des deux grandes diagonales est nulle.

 Complément: le complément comporte tous les nombres du carré qui ne font pas partie du cœur ou du noyau. On verra plus loin, qu’il se décompose en 2 boucles, la boucle 1 :   _1,2, _1,4, _5,2, _5,4 et la boucle 2 :   _2,1, _4,1, _2,5, _4,5. Le complément du cœur ou du noyau partage les lignes 1,2,4,5 les colonnes 1,2,4,5 du carré.

 Carré initial : c’est le carré composé du noyau et de son complément

Nota : le carré bimagique est un ensemble ordonné puisque la permutation de deux nombres détruit sa propriété bimagique. Pour caractériser l’ordre, on se place au point central du carré

3,3 et on ordonne les nombres sous le regard de _3,3 comme point central.

Contexte : on suppose que le carré bimagique existe et on en fait une analyse.

L’étude est basée sur les connaissances de résolution des équations polynomiales (équations du 3^ème degré, du 4^ème degré et 5^ème degré) par les composantes symétriques.

PS, pour mémoire

La méthode des composantes symétriques est issue des travaux de Lagrange sur les équations polynomiales. Elle consiste à exprimer les coefficients des équations dans l’espace symétrique, espace vectoriel de dimension égale au degré de l’équation polynomiale, où apparaît de façon évidente la solution, qui par transformation inverse est restituée dans l’espace d’origine. La solution d’une équation polynomiale est dans l’espace symétrique l’ensemble des vecteurs que l’on peut constituer à partir des mêmes composantes (factorielle fois le degré de l’équation polynomiale). Pour mémoire, un vecteur est un ensemble ordonné par ligne sur une colonne.

1) RESOLUTION DES EQUATIONS DU 3

^ème

DEGRE ET 4

^ème

DEGRE PAR LA METHODE DES COMPOSANTES

SYMETRIQUES 1 .1) Généralités

Formules de transformation utilisées pour passer de l’ensemble d’origine à l’ensemble symétrique et réciproquement. Les ensembles sont les espaces vectoriels comprenant les vecteurs dont les composantes sont les racines de l’équation polynomiale.

Transformation directe d’ordre p : _{Y }



_^{ i 1q1}



_{X où e}^j2p

Transformation inverse d’ordre p : X ¹



^{i 1q 1}



Y p  ^{ }



Où i est l’indice de ligne, q l’indice de colonne (i,q1,...,p) et j 1

Sommaire

1,2) Equation du 3^ème degré ... 7 1,3) Equation du 4^ème degré ... 10

1.2) Equation du 3

^ème

degré : solution générale

1.2.1) Solution dans le corps des complexes FORMALISME

On écrit l’équation du troisième degré sous la forme suivante :

3 2

1 2 3 1 2 3

(xx)(xx )(xx )x a x a x a 0 où a₁  x₁ x₂ x₃ , a₂x x_{1 2}x x_{2 3}x x_{3 1} , et a₃x x x_{1 2 3},

et dont les racines sont x x x₁, ₂, ₃.

TRANSFORMATION SYMETRIQUE

Les calculs se situent dans l’ensemble des complexes

La méthode de résolution consiste à utiliser la transformation régulière des composantes symétriques suivante : aux trois grandeurs complexesx₁,x₂,x₃ on fait correspondre les trois autres y₁,y₂,y₃ de l’espace complexe dit symétrique telles que :





































































































3 2 1

2 2

3 2 1

3 2 1

2 2

3 2 1

1 1

1 1 1 3 1 1

1

1 1 1

y y y x

x x t inversemen et

x x x y

y y















 où ³

2

 e^j .

RESOLUTION

Dans l’espace symétrique des « y », transformé de l’espace des « x », on calcule à l’aide des formules de la transformation décrite ci avant, les grandeurs suivantes en les exprimant en fonction des coefficients a a a₁, ₂, ₃:

1 1 2 3 1

y    x x x a

2 2 2 2

2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2

(1) y y x x x (x x x x x x)a 3a m

3 3 3

2 3 1 1 2 3

(2) y y 2a 9a a 27a n

L’expression des y1, y2, y3 - transformés respectivement des x1, x2, x3 – s’obtient, en fonction des coefficients a a a₁, ₂, ₃, en résolvant le système précédent. Posons Y₂  y₂³ et Y₃  y₃³ . L'équation (2) d'une part et l'équation (1) élevée au cube d'autre part, s'écrivent:

n Y Y₂  ₃ 

3 3

2Y m

Y 

Si Y et Y_{2 3} ne sont pas nuls, la solution de ces deux dernières équations est celle de l'équation du deuxième degré en λ suivante:

(3) ²nm³0 Le discriminant de cette équation est : n²4m³.

Exprimé en fonction des a a a₁, ₂, ₃, il est égal à: 27 4



a a1³ 318a a a1 2 327a3²a a1² 2²4a2³



ou sous forme réduite, au coefficient 27 près :  4a a₁³ ₃18a a a_{1 2 3}27a₃²a a₁² ₂²4a₂³ On pose

1

D 2. Les deux racines de l’équation (3) sont :

 

1 2

n D

  ^ et

 

2 2

  n D^ Les expressions recherchées des y₁, y₂, y₃ sont :

 La solution donnée par l’équation :

1 1

y a

 Une solution λ de l’équation (3), (λ = λ1 ou λ2), dont une racine cubique est solution de l’équation (2) ; on prend ici:

1 3

2 2

n D

y    k

 Une solution satisfaisant à la fois à l’équation (1) et à l’équation (2)

1 3

2

y m mk

y

   (ou

1 3

3 2

y n D 

   ) Les trois valeurs, x₁, x₂ et x₃ sont alors :

  

¹



1 1 2 3 1

1 1

3 3

x  y y y  a  k mk^



²

 

^{2 1}



2 1 2 3 1

1 1

3 3

x  y y  y  a k mk^



²

 

^{2 1}



3 1 2 3 1

1 1

3 3

x  y  y y  a  kmk^ Les racines sont : x x x₁, ₂, ₃.

Nota : les 3 racines de l’équation du 3^ème degré sont une solution unique. Les diverses options de calcul de x x x₁, ₂, ₃ permettent de créer les 6 (3!) vecteurs X de dimension 3 possibles.

EQUATION A COEFFICIENTS a a a₁, ₂, ₃COMPLEXES et RACINES COMPLEXES La méthode de résolution s’applique directement. Quelque soit la racine de l’équation (3) et quelque soit la racine cubique solution de l’équation (2), on aboutit aux mêmes solutions dans un ordre différent.

1.2.2) Equation à coefficients réels

1.2.2.1) Généralités

Quand les coefficients a a a₁, ₂, ₃ sont réels,  est le discriminant de l’équation du troisième degré car il permet de discriminer sur la nature (réelle ou complexe) des solutions.

Si  est négatif, alors y₂ et y₃ sont complexes (donc conjugués) et x₂ et x₃ sont réels.

Si  est positif, alors y₂ et y₃ sont réels et x₂ et x₃ sont complexes conjugués.

Si  est nul, alorsy₂ et y₃, sont égaux et réels et x₂ et x₃ sont aussi égaux et réels.

Sens des coefficients m et n

Quand on met l'équation de base sous sa forme réduite en changeant x en (X+a1/3) , il vient:

   

3 2 3 3

1 2 1 1 2 3

1 1

3 2 9 27

3 27 3 27

m n

X  a  a X  a  a a  a X  X 

m et n ont donc un sens bien particulier: si on appelle l'équation réduite "X³a X^*₂ a^*₃ 0",

*

2 3

a m et ^*₃ 27

a  n sont les coefficients de centrage de l'équation initiale

3 2

1 2 3 0

x a x a x a  quand a₁^*0, c'est à dire quand X₁ X₂ X₃ 0

1.2.2.2) a a a₁, ₂, ₃réels et racines réelles

Ce cas correspond au discriminant réel négatif: δ < 0. On peut alors poser

3 2

' 4

D  j   j m n et, en prenant les racines cubiques correspondant à k = 0 de la phase à 2kπ/3 près, les solutions en y deviennent :

3 1

2 2

'

 

 n D

y et ³

1

3 2

'

 

 n D y

En posant n j 4m³n² e^j et en notant que ³

2 m

  , les valeurs de x₁,x₂,x₃ peuvent s’exprimer sous la forme classique de cosinus en prenant la bonne valeur de θ :

1 1

1 2 cos

3 3

x  a   m     

2 1

1 2

2 cos

3 3 3

x  a   m    

3 1

1 4

2 cos

3 3 3

x  a   m     Les racines sont : x x x₁, ₂, ₃.

Quand le discriminant est nul (δ = 0), il vient _{2 3} ³ 2

y  y  n , d’où ₁ ¹ ₁ 2³

3 2

x a n

   

  et

2 3 1 3

1

3 2

x x  a  n

 

 . Les valeurs de x₁,x₂,x₃ sont encore réelles.

1.2.2.3) a a a₁, ₂, ₃ réels et deux racines complexes conjuguées

C'est le cas quand le discriminant est positif: δ > 0. On peut alors poser D  et les solutions en y deviennent :

1 3

2 2

n D

y   

   et

1 3

3 2

y n D 

   y2 et y3 sont réels et en posant

2

3

2 y

u y 

 et

2

3

2 y

v y 

 où u et v sont donc des grandeurs réelles, les valeurs de x₁,x₂,x₃ peuvent s’exprimer sous la forme classique mettant en évidence les deux racines conjuguées x₂ et x₃ :

 

1 1

1 2

x 3 a  u ₂ 1 ₁ 3 3

x  a  u jv  ₃ 1 ₁ 3 3

x  a  u jv  Les racines sont : x x x₁, ₂, ₃.

1.3) Equation du 4

^ème

degré

1.3.1) Résolution par la transformation symétrique L’équation s’écrit :



xx1



xx2



xx3



xx4



x⁴a x1 ³a x2 ²a x a3  40 où

1 1 2 3 4

2 1 2 2 3 3 4 4 1 1 3 2 4

3 1 2 3 2 3 4 3 4 1 4 1 2

4 1 2 3 4

a x x x x

a x x x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x x x a x x x x

   

     

   



Les transformés des coefficients dans l’espace symétrique d’ordre 4 deviennent :

1 1

a  y

2 2

2 1 3 2 4

8a 3y y 2y y

   

3 2 2 2

3 1 1 3 2 4 3 2 4

16a  y y y 2y y y y y

   

4 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2

4 1 2 4 3 1 1 2 4 3 3 2 4 2 4 2 4 3

256a  y 2 2y y y y 4y y y y y y y 2y y 4y y y En reportant les expressions évidentes dans les suivantes il vient :

2 2

3 2 2 4 3 1 8 2

y  y y  a  a A



^{2 2}



³

3 2 4 16 3 8 2 1 2 1

y y y  a  a a  a B

4 4 4 2 2 2 2 4

3 2 4 2 2 4 4 3 2 4 256 4 64 3 1 16 2 1 3 1

y y y  y y  y y y  a  a a  a a  a C

On peut exprimer 2y y_{2 4} et y₂²y₄² en fonction de y₃ dans la dernière équation, on obtient l’équation dite résolvante (au sens de Lagrange) :

     

²

6 2 4 4 2 2 2 3

3 3 1 8 2 3 3 1 16 2 1 16 1 3 16 2 64 4 3 8 3 4 2 1 1 0

y  a  a y  a  a a  a a  a  a y  a  a a a  de la forme :

 

y3^{2 3}c y1

 

3^{2 2}c2

 

y3²  c3 0 et de racines y₃₁²,y₃₂² ,y₃₃² où

 

2 2 2 2

1 31 32 33 3 1 8 2

c  y y y  a  a  A

 

2 2 2 2 2 2 4 2 2 2

2 31 32 32 33 33 31 1 2 1 1 3 2 4

3 16 16 16 64 1

c y y y y y y  a  a a  a a  a  a 4 A C

 

^{2 2}

2 2 2 3

3 31 32 33 8 3 4 2 1 1

2 c  y y y  a  a a a     B

La résolution de cette équation donne y₃² (soity₃₁² ou y₃₂² ou y₃₃² ) ; on déduit :

2 2

2 4

3

y y B

  y

2

2 4 3

2y y  A y d’où :

1 2 2

2 4 3

3

y y B A y

y

 

     

  et

1 2 2

2 4 3

3

y y B A y

y

 

     

 

soit en optant pour les signes positifs

1 1

y a

1 1

2 2

2 2

2 3 3

3 3

1 2

B B

y A y A y

y y

 

   

 

         

 

¹²

y3 solution de la résolvante

1 1

2 2

2 2

4 3 3

3 3

1 2

B B

y A y A y

y y

    

 

         

Dans l’espace symétrique la solution de l’équation sont les vecteurs :

1 2 3 4

y Y y

y y

  

 

  

   Dans l’espace d’origine la solution sont les vecteurs X transformés des Y

 

 

 

 

1 1 1 3 2 4

2 2 1 3 2 4

3 3 1 3 2 4

4 4 1 3 2 4

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1 1 1

4 4

1 1

x y a y y y

x j j y a y j y y

x y a y y y

x j j y a y j y y

  

 

    

 

           

    

 

         

 

         

      

     

 

 

 

 

1 2 2

1 1 3 3

3

1 2 2

2 1 3 3

3

1 2 2

3 1 3 3

3

1 2 2

4 1 3 3

3

1 4 1 4 1 4 1 4

x a y B A y

y

x a y j B A y

y

x a y B A y

y

x a y j B A y

y

   

 

       

   

 

        

 

 

 

       

 

 

 

         les racines sont : x x x x₁, ₂, ₃, ₄

La solution s’applique sur le corps des complexes.

Nota : les racines de l’équation forment une solution unique.

Quelque soit les options prises sur les signes des valeurs lors du passage des puissances moitié ( ¹²



.e^{j 2k }



¹² .e e^{j2 jk}

   

   ^   ), on aboutit aux mêmes formules, restituées dans un ordre différent.

1.3.2) Variante quand les coefficients des équations sont des réels (ainsi que y₃₁,y₃₂,y₃₃)

On se place dans le cas où le discriminant de l’équation résolvante est négatif et que les coefficients de la résolvante (c₁,c₂,c₃) sont réels, et s’expriment en fonction des carrés de

31, 32, 33

y y y , et sont donc positifs ;



3 1² 8 2



1 0

A a  a  c



^{2 2}



^{3 2 2 2}

3 2 4 16 3 8 2 1 2 1 2 3 2 31 32 33

y y y  B a  a a  a   c   y y y

Choisissons l’option y₃  y₃₃ de même signe que B, ainsi que B 2 y y y₃₁² ₃₂² ₃₃² Il vient : ₂² ₄² _{31 32}

33

2 0

y y B y y

  y   

31, 32

y y doivent être de même signe, soit +, soit -, que nous prenons positifs.

on notera que



y2²y4²







y2y4



y2y4



 



3y33⁴ 2Ay33² C



¹² impose un choix de signes simultanés de [



y2y4



et



y2y4



], soit +, soit -, que nous prenons positifs.

L’expression

1 2 2 3 3

B A y

y

 

   

  peut s’écrire en fonction des racines de l’équation résolvante :

 

   ^{ }  ^{ }

1

1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 31 32 31 32 33 33 31 32 31 32 31 32

3

2 2

B A y y y y y y y y y y y j y y

y

 

            

 

 

l’expression

1 2 2 3 3

B A y

y

 

   

  peut s’écrire en fonction des racines de l’équation résolvante :

 

   ^{ }  ^{ }

1

1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 31 32 31 32 33 33 31 32 31 32 31 32

3

2 2

B A y y y y y y y y y y y y y

y

 

            

 

 

Les racines de l’équation du 4^ème degré peuvent donc s’écrire en fonction des racines de l’équation résolvante du 3^ème degré en ayant donné à y₃₃ le signe de B et le signe + à

31, 32

y y , puis encore en appelant la grandeur g y₃₁y₃₂y₃₃ :

 

 

 

 

1 1 31 32 33

2 1 31 32 33

3 1 31 32 33

4 1 31 32 33

1 4 1 4 1 4 1 4

x a y y y

x a y y y

x a y y y

x a y y y

   

   

   

   

 

 

 

 

1 1

2 1 32

3 1 33

4 1 31

1 4

1 2

4

1 2

4

1 2

4

x a g

x a g y

x a g y

x a g y

 

  

  

  

Nota : les 4 racines de l’équation du 4^ème degré forment une solution unique ; ces racines ne dépendent donc pas des choix de signe. Les divers choix, (y₃₁²ou y₃₂² ou y₃₃² , les différents signes) permettent de créer les 24 (4 !) vecteurs X possibles constitués à partir des 4 racines de l’équation du 4^ème degré. Chaque vecteur est un ensemble ordonné et l’ordre des racines qui le composent, dépend d’une convention adoptée comportant divers choix, choix de l’une des 6 valeurs provenant de la résolvante ( y₃  y₃₁;y₃₂;y₃₃) et, pour chacune de ces valeurs, du choix de signe adopté pour réalisery3



y2²y4²



  B 2 y y y31 32^{2 2} 33² ; soit au total 24 vecteurs.

Les formules de résolution permettent de voir que y₃₁,y₃₂,y₃₃ doivent être réels pour que

1, 2, 3, 4

x x x x le soient.

Une fois la convention de signe faite, la solution proposée concerne toutes les 4 racines des équations du 4^ème degré à racines réelles dans l’ensemble des réels.

Dans l’espace symétrique il y a 4! = 24 vecteurs solutions ; la convention adoptée permettant d’obtenir l’un de ces vecteurs, permet d’accéder à la solution de l’équation du 4^ème degré (4 valeurs) sur l’ensemble des réels.

La convention adoptée est un choix initial figé. Utiliser plusieurs conventions de signe pour un même calcul dans l’ensemble des réels conduirait à opérer en mélangeant les lignes matricielles, et conduirait à des confusions.

On peut opérer avec plusieurs conventions à condition de rester dans l’espace vectoriel à 4 dimensions. Mais le carré bimagique 5*5 ne le permet pas du fait du mélange des propriétés en lignes, colonnes, diagonales.

1.3.3) Restriction des solutions aux entiers

On a vu que les racines réelles s’obtiennent quand le discriminant de l’équation résolvante est négatif

On se pose la question nouvelle de savoir quand l’espace des solutions devient celui des entiers naturels.

Puisque les solutions de l’équation du 4^ème degré dans l’espace des réels sont :

 

 

 

 

1 1 31 32 33

2 1 31 32 33

3 1 31 32 33

4 1 31 32 33

1 4 1 4 1 4 1 4

x a y y y

x a y y y

x a y y y

x a y y y

   

   

   

   

si l’on veut que x x x x₁, ₂, ₃, ₄N , c'est-à-dire soient des entiers positifs, il faut notamment que a₁ soit plus grand que la plus importante valeur négative composée par les termes en

31, 32, 33

y y y . Et il faut que les termes y₃₁,y₃₂,y₃₃ soient en outre des entiers relatifs.

1.3.4) Equation centrée

1) Effectuons le changement de variable ¹ 4

x X a dans l’équation du 4ème degré :

4 3 2

4 3 2 1 1 1 1

1 2 3 4 1 2 3 4 0

4 4 4 4

a a a a

x a x a x a xa X   a X   a X   a X  a 

       

Il vient :

   

4 2 2 3 2 4

1 2 3 2 1 1 4 3 1 2 1 1

1 1 1 1 3

3 8 8 4 0

8 8 4 16 256

X  a  a X  a  a a a X  a a a  a a  a  ou

4 2

8 16 256 0

A B C

X  X  X  

les paramètres A,B,C sont, chacun à une constante prés, les coefficients de l’équation centrée.

Quand on rapproche cette équation de la formulation généralex⁴ a x₁ ³a x₂ ²a x₃ a₄ 0, il vient :

1 1 0

a  y 

2

3 2 2 4 8 2

y  y y   a A



^{2 2}



3 2 4 16 3

y y y  a B

4 4 4 2 2 2

3 2 4 2 2 4 4 3 2 4

y y y  y y  y y y C

On peut exprimer 2y y_{2 4} et y₂²y₄² en fonction de y3 dans la dernière équation, on obtient l’équation dite résolvante (au sens de Lagrange) :

 

²

6 4 2 2

3 3 3

1 0

4 2

y Ay  A C y   B 

 

de racines y₃₁²,y₃₂²,y₃₃² et de forme

 

y3^{2 3}c y1

 

3^{2 2}c2

 

y3²  c3 0 où

2 2 2

1 31 32 33

c  y y y  A

 

2 2 2 2 2 2 2

2 31 32 32 33 33 31

1

c y y y y y y  4 A C

2

2 2 2

3 31 32 33

2 c  y y y     B

La résolution de cette équation donne y₃² (soity₃₁² ou y₃₂² ou y₃₃² ) ; on déduit :

2 2

2 4

3

y y B

  y

2

2 4 3

2y y  A y d’où :

1 2 2

2 4 3

3

y y B A y

y

 

     

  et

1 2 2

2 4 3

3

y y B A y

y

 

     

 

Affectons y₃₃ à y₃ en lui donnant le signe de B (B16a₃) et optons pour les valeurs positives y₃₁et y₃₂ (de B 2 y y y₃₁² ₃₂² ₃₃² ), ainsi que pour les valeurs positives des racines carrées qui suivent.

l’expression

1 2 2 3 3

B A y

y

 

   

  peut s’écrire en fonction des racines de l’équation résolvante :

 

   ^{ }  ^{ }

1

1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 31 32 31 32 33 33 31 32 31 32 31 32

3

2 2

B A y y y y y y y y y y y j y y

y

 

            

 

 

l’expression

1 2 2 3 3

B A y

y

 

   

  peut s’écrire en fonction des racines de l’équation résolvante :

 

   ^{ }  ^{ }

1

1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 31 32 31 32 33 33 31 32 31 32 31 32

3

2 2

B A y y y y y y y y y y y y y

y

 

            

 

 

soit en ayant opté pour les signes positifs

1 0

y 

   

1 1

2 2

2 2

2 3 3 31 32 31 32

3 3

1 1

2 2

B B

y A y A y y y j y y

y y

 

   

 

              

 

¹²

3 33

y  y solution de la résolvante

   

1 1

2 2

2 2

4 3 3 31 32 31 32

3 3

1 1

2 2

B B

y A y A y y y j y y

y y

 

   

 

               Dans l’espace d’origine la solution sont les vecteurs X transformés des Y

31 32 33

1 1

31 32 33

2 2

31 32 33

3 3

31 32 33

4 4

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1 1 1

4 4

1 1

y y y

X y

y y y

X j j y

y y y

X y

y y y

X j j y

  

 

    

 

          

    

 

         

 

         

      

     

les racines sont : X X₁, ₂,X₃,X₄

Nota : les solutions de l’équation sont uniques. Quelque soit les options prises sur les signes des valeurs lors du passage des puissances moitié ( ¹²



.e^{j 2k }



¹² .e e^{j2 jk}

   

   ^   ), on

aboutit aux mêmes formules, restituées dans un ordre différent.

4 2

8 16 256 0

A B C

X  X  X   s’écrit avec les dernières notations :

 

 

4 2 2 2 2

31 32 33 31 32 33

4 4 4 2 2 2 2 2 2

31 32 33 31 32 32 33 33 31

1 1

8 16 2

1 2 0

256

X y y y X y y y X

y y y y y y y y y

    

 

       

1.3.5) Equation centrée dont les racines sont des valeurs opposées aux racines du paragraphe précédent

la formulation générale de l’équation du 4^ème degré dont les racines sont les opposées de celle précédemment considérée est, en conservant les mêmes valeurs des coefficients :

4 3 2

1 2 3 4 0

x a x a x a xa  ; cette dernière est centrée quand a₁0 . Pour cela posons ¹

4

xX a , l’équation devient :

   

4 2 2 3 2 4

1 2 3 2 1 1 4 3 1 2 1 1

1 1 1 1 3

3 8 8 4 0

8 8 4 16 256

X  a  a X  a  a a a X  a a a  a a  a 

4 2

8 16 256 0

A B C

X  X  X  

En conservant les grandeurs précédentes, on a :

1 1 0

a  y 

2

3 2 2 4 8 2

y  y y   a A



^{2 2}



3 2 4 16 3

y y y  a  B

4 4 4 2 2 2

3 2 4 2 2 4 4 3 2 4

y y y  y y  y y y C

On peut exprimer 2y y_{2 4} et y₂²y₄² en fonction de y3 dans la dernière équation, on obtient l’équation dite résolvante (au sens de Lagrange) :

 

²

6 4 2 2

3 3 3

1 0

4 2

y Ay  A C y B 

 

de racines y₃₁²,y₃₂²,y₃₃² et de forme

 

^y₃^{2 3c y}₁

 

₃^{2 2c}₂

 

^y₃^{2  c}₃ ^{0 où}

2 2 2

1 31 32 33

c  y y y  A

 

2 2 2 2 2 2 2

2 31 32 32 33 33 31

1

c y y y y y y  4 A C

2

2 2 2

3 31 32 33

2 c  y y y  B

La résolution de cette équation donne y₃² (soity₃₁² ou y₃₂² ou y₃₃² ) ; on déduit :

2 2

2 4

3

y y B y

  

2

2 4 3

2y y  A y d’où :

1 2 2

2 4 3

3

y y B A y

y

 

     

  et

1 2 2

2 4 3

3

y y B A y

y

 

     

 

Affectons y₃₃ à y₃ en donnant à y₃₃ le signe de B ( ^{31 32 33} _{31 32}

33 33

2y y y 2

B y y

y y



   

  ) et

comme 2y y_{31 32} 0, optons pour les valeurs négatives simultanées y₃₁et y₃₂ que nous