J’ai trois cartes. Sur chacune d’elles, figure une colonne de trois nombres réels positifs ou nuls dont la somme est égale à 2. Montrer que je peux mettre ces cartes dans un certain ordre de telle sorte que la somme du premier nombre de la première carte, du deuxième nombre de la deuxième carte et du dernier nombre de la troisième carte est comprise dans un intervalle compris entre 1 et 3 (bornes incluses).
Pour les plus courageux: même énigme avec 4 cartes, 4 nombres réels positifs ou nuls écrits en colonne et de somme égale à 3, somme des 1ier, 2ième, 3ième et 4ième nombres appartenant à l'intervalle fermé [1,4].
Il y a six façons de ranger les trois cartes : il y a six sommes possibles, que l’on peut grouper par 3 :
a1+b2+c3, a2+b3+c1, a3+b1+c2 de somme 6 a1+b3+c2, a2+b1+c3, a3+b2+c1 de somme 6
Si la propriété énoncée était fausse, on ne pourrait, dans chaque groupe, avoir trois sommes inférieures à 1, ni plus d’une supérieure à 3 : il y en aurait exactement deux inférieures à 1, la troisième étant donc supérieure à 4 : quitte à renommer les cartes, nous pouvons supposer que dans le premier groupe cette dernière est a1+b2+c3>4, avec a1<b2<c3 ; alors c3>1, donc dans le second groupe a2+b1+c3>4, et en sommant : a1+a2+b1+b2+2c3 >8 or a1+a2≤2, b1+b2≤2, c3≤2, d’où contradiction.
