Math Sup CC01 CORRECTION

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Math Sup

CC01

CORRECTION

Math Sup ICAM Toulouse CC01-Correction

EXERCICE 1

Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x, par : f ( x ) = ln ( 1 + e⁻^x).

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O i j; ;

 → →

 

 . 1. a) Déterminer les limites de f en – ∞ et + ∞.

( ) ^{( )} ( ) ^{( )}

lim 1 e ^x d'où lim ; lim 1 e ^x 1 d'où lim 0.

x ⁻ x f x x ⁻ x f x

→−∞ + = +∞ →−∞ = +∞ →+∞ + = →−∞ =

b) Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.

f est dérivable sur ℝ comme composée de fonctions dérivables et :

( )

^e

, ' 0

1 e

x

x f x − ₋x

∀ ∈ = <

ℝ + . On en déduit que la fonction f est strictement décroissante sur ℝ.

X −∞ +∞

f ’(x) –

f +∞

0

2. Pour tout réel x, on note : g(x) = f(x) + x.

a) Déterminer la limite de g en – ∞.

( ) ( ( ) ) ( ) ( )

, ln e ^x e^x 1 ln e^x 1 ln e^x 1

x g x ⁻ x x x

∀ ∈ℝ = + + = − + + + = + ; d’où : ^lim

( )

⁰

x g x

→−∞ =

On dit que C admet pour asymptote en – ∞ la droite D d’équation y = – x.

b) Déterminer le signe de g sur ℝ; en déduire la position de C par rapport à D.

( ) ( )

, ln e^x 1 0

x g x

∀ ∈ℝ = + > , donc ∀ ∈^x ℝ^,^{f x}

( )

>−^x ; on en déduit que la courbe C se situe au- dessus de la droite D.

3. Soit a un nombre réel non nul. On note M et N les points de C d’abscisses respectives a et – a.

a) Vérifier que : f (a) – f ( – a ) = – a.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

e 1+e

( )

ln 1+e ln 1+e ln 1+e ln ln e

1 e 1 e

a a

a

a a a

a a

f a f a a

− −

−     −

− − = − =  + =  + = = − En déduire que la droite (MN) garde une direction ( « pente ») constante , à préciser.

La fonction f étant strictement décroissante, le réel a étant non nul, les points M et N sont distincts.

Le coefficient directeur de la droite (MN) est donné par :

( ) ( ) ( )

M N

1.

2 2

f a f a

y y a

x x a a a

− −

= = = −

− − −

b) Montrer que l’on a : f ’ (a) + f ’ (– a) = – 1.

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

e 1 e e 1 e

e e e 1 e 1

' ' 1

1 e 1 e 1 e 1 e 1 e e 1

a a a a

a a a a a a

f a f a

− −

− − −

− + − +

− − − − − −

+ − = + = = = −

+ + + + + + +

(2)

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Math Sup ICAM Toulouse CC01 - correction

En déduire que les tangentes à C en M et N se coupent sur l’axe des ordonnées.

Equation de la tangente en M : y = f ’(a) (x – a) + f(a) ; Equation de la tangente en N : y = f ’(-a) (x + a) + f(-a)

Les tangentes s’interceptent au point d’abscisse x tel que : f ’(a) (x – a) + f(a) = f ’(-a) (x + a) + f(-a)

( ) ( )

(

^f^' ^a ^f^' ^{a x}

)

^{a f}

(

^'

^{( )}

^a ^f^'

⁽

^a

⁾ )

^f

⁽

^a

⁾

^{f a}

^{( )}

^a

⁽

¹

^{) (}

^a

⁾

⁰

⇔ − − = + − + − − = × − − − =

On a montré que f ’ est strictement négative, comme a n’est pas nul on ne peut donc pas avoir f ’(a) – f ’(-a) = 0.

On en déduit que les tangentes s’interceptent au point d’abscisse 0, à savoir sur l’axe des ordonnées.

Esquisser C et D (unité 4 cm), et illustrer les résultats précédents sur C pour a = 1.

On donne : f(1) ≃0,3, et ln(2) ≃0,7.

EXERCICE 2

Soit n∈ℕ, n≥2. Pour tout réel positif x , on note ⁿ x le réel positif a tel que aⁿ = x.

On donne n réels strictement positifs a a₁, ₂,...,a et on pose : _n

1

1 1

1 1 1 1

, ,

n n n

k n k

k

k k k

u a v a

n = = w n = a

=

∑

=

∏

=

∑

^.

Les nombres u, v, et w sont respectivement les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique des n nombres a a₁, ₂,...,a . _n

1. Montrer que ∀ ∈n ℕ,n≥ ∀ ∈2, x ℝ^*₊: ^ln

( )

ⁿ x ¹^{ln et}x ⁿ ¹ n¹

n x x

= = .

( ) ( ( ) ) ^{( )}

, 2, * , ln ⁿ ln ⁿ ⁿ ln

n n x ₊ n x x x

∀ ∈ℕ ≥ ∀ ∈ℝ × = = , d’où : ^ln

( )

ⁿ^x ⁼¹_n^ln

^{( )}

^x ^;

( )

* 1 1 1

, 2, ,

n

n n n

n n x

x x x

+

 

∀ ∈ℕ ≥ ∀ ∈ℝ   = = , donc par définition de la « racine n-ième » : 1 1

n

nx = x .

2. Montrer que : ∀ ∈x ℝ^*₊, ln

( )

x ≤ −x 1.

La fonction u définie sur ℝ^*₊ par u(x) = x – 1 – ln(x) est dérivable sur son domaine comme somme de

fonctions dérivables et : ^* 1 1

, '( ) 1 x

x u x

x x

+

∀ ∈ℝ = − = − .

La fonction u est donc strictement décroissante sur ]0 ; 1] et strictement croissante sur

[

^1;+∞

[

; elle admet un minimum pour x = 1, qui vaut 0. On en déduit que u est une fonction positive, et par suite, que ∀ ∈x ℝ^*₊,x− ≥1 lnx.

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3. Montrer que : v≤u; on note (*) cette inégalité.

^1;

^,ln ^a^k ^a^k ^1,

k n

u u

 

∀ ∈  ≤ − d’où en sommant les inégalités :

( ( ) ) ( )

1 1 1 1 1

1 1 1

1 1

ln ln ln ln ln

ln ln 0 ln ln 1ln ln ln ln

n n n n n

k k

k k k

k k k k k

n n n

k k k

a a

n a u a n a n u nu

u u u u

a n u a n u a u v u

n

= = = = =

= = =

 

 ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ − ≤ ×

 

 

     

  

⇔  − ≤ ⇔  ≤ ⇔  ≤ ⇔ ≤

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∏ ∏ ∏

Ainsi, par croissance de la fonction exponentielle : v≤u. 4. En utilisant l’inégalité (*), montrer que : w≤v.

L’inégalité (*) est vraie pour toute famille de réels strictement positifs. En l’appliquant pour la famille

1 1 1

1 , 2 ,..., _n

a⁻ a⁻ a⁻ , on obtient : ¹

1

0 1

n

n k

k

a w

−

=

<

∏

≤ ^{, d’où :}

1 1

1 1 1

1 1 ⁿ

n k

n n n k

n k k

k k

w a v

a⁻ a ⁻ ⁼

= =

≤ = =

∏

=

∏ ∏

5. En appliquant l’inégalité (*), montrer que :

* 1

, ! 2

n n

n n +

∀ ∈ℕ ≤ .

On prend : ∀ ∈k

^1;n

^,ak =k^.L’inégalité (*) donne :

( )

1

1 1 1

! 2 2

n n

k

n n n

n k

n ₌ n

+ +

≤

∑

= = ^.

EXERCICE 3

1. Enoncer la formule du binôme de Newton.

( )

²

( )

0

; , : .

n n k n k

k

a b n a b n a b

k

−

=

  

∀ ∈^ℂ ∀ ∈^ℕ + =

∑

   

2. Soient n∈ℕ,x∈ℝ. Calculer les sommes suivantes à l’aide de la formule du binôme de Newton.

a)

0

2

n k k

S n

= k

  

=

∑

    ^{= 3}ⁿ ( avec a = 2 et b = 1)

b)

( ) ( ( ) ) ( )

0 0

1 2

1 1

n k n

k

n k k

k

n x x x x

T n x x

k

k =

=

  

= −

  

=

∑

    −

∑

    = − + (avec a = x – x² et b = 1)

c) 0 0

( )

!

! !

n

k n

k

k n U k n

k k n

= k =

  

=

∑

  =

∑

− . Si n = 0 : U = 0 ; sinon le terme pour k = 0 étant nul on a :

( ) ( )

( )

1 1

1

1 0 0

1

! 1 !

1 ! ! ! 1 ! 2

n n n

n

k i i

n

n n

U n n n

i

k n k i n i

− −

−

= = =

 − 

× −  

=

∑

− − =

∑

− − =

∑

 = × (avec a = b = 1)

d) ¹

0 0 1 0

0

2 2 1

n k n

k n

a b somme

k i k

géométr n

i

u n

k

q e i

i

V k

i

k i

+

= = = = =

= =

  

= −

  

=

∑∑

   

∑∑

   

= ∑ =

(4)

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EXERCICE 4

Soit n∈ℕ^*. On définit les trois sommes un, vn, et Sn par :

2

1 1 1

1 1

, et

n n n

k k k k

u v k S

k v

= = =

=

∑

=

∑

=

∑

1. En calculant de deux façons différentes

( ( )

³ ³

)

0

1

n

k

k k

=

+ −

∑

(somme télescopique

( ( )

³ ³

) ⁽ ⁾

³ ³

⁽ ⁾

³

0 0 0

1 1 1

n n n

k k k

k k k k n

= = =

+ − = + − = +

∑ ∑ ∑

et développement

( )

(

³ ³

) ⁽

²

⁾

² ²

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

0 0 0 0 0 0

3 1

1 3 3 1 3 3 1 3 1

2

n n n n n n

k k k k k k

k k k k k k k n n n

= = = = = =

+ − = + + = + + = + + + +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

^),

montrer que *

(

1 2

)(

1

)

, ⁿ 6

n n n

n v + +

∀ ∈ℕ = :

( )

( ) ( )

3

( )( )

2 2

0 0

3 1 1 2 1

3 1 1

2 6

n n

k k

n n n n n

k n n k

= =

+ + +

+ + + = + ⇔ =

∑ ∑

2. Déterminer les réels a, b et c vérifiant

( )( )

* 1

, 1 2

1 1

1 4

1 2

1 2 1 1

a b c

n n n n n n n n n n

∀ ∈ = + +

+ + + = + −

+

+ +

ℕ

3. Montrer que : ^* ₂ ₁

1

1 1

, 1

2 1 2

n

n n

k

n u u

k ⁺

=

∀ ∈ = − −

∑

+ ℕ

2 1

* 2 1

1 1 1 0

indices pairs indices impairs (de 2 à 2 ) (de 1 à 2 +1)

1 1 1 1 1 1 1 1

, 1 1

2 2 1 2 2 1 2 2 1

n n n n n n

n n

k k k k k k k

n n

n u u

k k k k k k

+ +

= = = = = = =

∀ ∈ = = + = + + = + +

+ + +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

0 1 1

ℕ

D’où le résultat.

4. Exprimer, pour n∈ℕ^*, Sn à l’aide des termes de la suite (un).

( )( )

1

*

1 1 1 1 2 1

1 2 1 1 2 1

1 6 1 1 4 1 1 1

, 6 6 4

1 2 1 1 2 1 2 1

6 1 4 1 1 18 6 24 18

2

n n n n n n

n

k k k k k i k

n n n n n n n n

n S

v k k k k k k k k k

S u u u u u u u

+

= = = = = =

+ + + +

 

   

∀ ∈ = = + + =  + + − + =  + − + 

  

  

=  + − −  − − = + − +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

ℕ