BTS-REVISION-FOURIER

(1)

Thème : Séries de Fourier TP MATHEMATIQUES BTSGO 2008/2009.

Exercice 1 (8 points)

1- Soit n un entier naturel. On appelle In l'intégrale :In



₀^^{/ 2}^{sin cos 2}t



nt dt



Calculer ^I_n. Vérifier que ¹ ₂

n 1 4

I  n

 .

2 - On considère un signal modélisé par la fonctionudéfinie sur R par ( )u t  sint . a) Montrer que la fonction u est  -périodique et paire.

b) Tracer, dans un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonction u, pour t [ , 2 ] (unité graphique : 2 cm).

c) On note ^a_net ^b_n les coefficients de Fourier de u. Prouver, sans calcul, que ^b_n ^⁰. Calculer ^a_n.

d) On admet queusatisfait aux conditions de Dirichlet. Ecrire le développement en série de Fourier de u. 3 - On suppose que le signal uest une tension appliquée aux bornes d'un circuit électrique. On note Ueff

la tension efficace associée àu. Le carré de Ueff est alors : ² ^{/ 2} ²

/ 2

1 ( )

U eff ^ u t

 





a) Calculer U²_eff .

b) Construire, pour n variant de 0 à 4, le diagramme en bâtons donnant, en fonction de n, l'amplitude a_n de l'harmonique de rang n.

c) La formule de Parseval permet d'écrire : ² ²0 ² 1

1

eff 2 n

n

U a ^a



 



Compte tenu du diagramme précédent, on décide de ne pas prendre en compte, dans l'égalité de Parseval, les harmoniques de rang supérieur ou égal à 3. On obtient une approximation du carré de l'intensité efficace : ^V^eff² ^^a²⁰^¹₂



â¹²^â²²^â³²^â²⁴



En donner une approximation décimale à 10^4 près.

La comparaison des deux valeurs trouvées en a) et c) justifie, pour le calcul du carré de la valeur efficace, l'abandon des harmoniques de rang supérieur ou égal à 3.

Exercice 2 .

Soit la fonction f de R dans R , de la variable t, telle que : ^{( ) 1 cos}



^0;



2 f t t pour t

f est périodique de période



   





1° Représenter graphiquement f sur [  ; 2 ].

2° Calculer fe la valeur efficace de f.

3° Justifier que f satisfait aux conditions de Dirichlet.

4° soit ₀

 

1

( ) _ncos 2 _nsin 2

n

f t a ^ a nt b nt



 



 le développement en série de Fourier associé à f.

Montrer que ^a_n ^⁰ pour n1. Calculer ^a₀. Calculer ^b_n.

5° Comparer les valeurs prises par f et par S, pour les valeurs de la variable t_4

et t0 6° Soit maintenant : ^{( ) 1} ^{8 sin 2} ² ^{sin 4}

3 15

g t t t



 

    

Calculer ^g_e la valeur efficace de g en utilisant la formule de Parseval.

Comparer ^g_e avec ^f_ela valeur efficace de f trouvée à la question 2°..

(2)

Exercice 1 1.)

/ 2

0

sin cos 2

In x nx dx







^{, (}^{n N}^ ). on sait que : ^sin( ^{)cos( )} ¹



^sin(( ⁾ ^sin( ⁾



mx nx 2 m n x  m n x

^{/ 2} ^{/ 2}   ^{/ 2}  

0 0 0

1 1

sin cos 2 sin(1 2 ) sin(1 2 ) sin(1 2 ) sin(2 1)

2 2

In x nx dx n x n x dx n x n x dx

  









   



  

/ 2 / 2

0 0

1 1 1

sin cos2 cos(1 2 ) cos(2 1)

2 1 2 2 1

In x nx dx n x n x

n n

      





         

In ¹₂ _{1 2}¹ ^{cos(1 2 )}n ₂ ₂¹ ₁ ^cos(2n ¹⁾₂ _{1 2}¹ ^{cos(1 2 )0}n ₂¹ ₁ ^cos(2n ¹⁾⁰

n n n n

 

           

                    

cos(1 2 ) cos cos cos sin 0

2 2 2 2

cos(1 2 ) cos(2 1) 0

2 2

cos(2 1) cos cos cos sin sin 0

2 2 2 2

n n n sin n

n n

n n n n

      

 

      

  

            

  

       

¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ^{1 2} ^{1 (2} ¹⁾ ¹ ₂² ¹ ₂

2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 (2 1)(2 1) 2 4 1 1 4

n

n n

I n n n n n n n n

           

                   . 2.^{u t}⁽ ^^⁾^ ^sin(^t^^⁾ ^{ }^sin^t ^ ^sin^t ^^{u t}^{( )}et ^{u t}^{( )}^{ } ^{sin( )}^{  }^t ^sin^t ^ ^sin^t ^^{u t}^{( )} ; Donc ^uest bien^{ }périodique et paire.

b. lorsque ^t^^{[0; ]}^ : ^{u t}^{( )}^ ^sin^t ^^sin^t puisque ^sin^t^⁰sur ^{[0; ]}^ .sur cet intervalle la courbe C associée à u est la courbe représentative de la fonction sinus .comme u est ^{ }périodique, la courbe représentative sur ^[^^{ }^{;2 ]}est obtenue par translation de i

puis de ide l’élément C.

/2 3/4  5/4 3/2 7/4 2 -/4

-/2 -3/4 - -5/4 -3/2 -7/4

-2 0 /4

1

x y

c. comme la fonction u est paire , on sait que les coefficients de Fourier associés aux termes en sin(nt) sont nuls .Donc b_n 0.

0

 

0

 

0 0

1 2 1 1 1 2

sin sin sin cos 1 1

2 2

a t dt tdt tdt t

  



_     













     puisque la fonction f est paire

^{/ 2}

 

^{/ 2}

 

/ 2 0

2 2

sin cos 2 2 sin cos 2

an t nt dt t nt dt

 

 _ 

 

   

 

 

puisque la fonction à intégrer est paire .

Donc ⁴ ¹ ₂

n 1 4

a   n

 .

d. u satisfait aux conditions de Dirichlet , on donc écrire le développement en série de Fourier de u :

2

1

2 4 1

( ) cos(2 )

1 4

n

S t nt

  n





 



 ^.

3.

/ 2 / 2 / 2

2 2

/ 2 / 2 / 2

1 1 1 cos 2 1 sin 2 1 2 1

sin 0 0

2 2 4 4 4 4 2

e

t t t

U tdt dt

  

       

   

             

   

 

(3)

b. a₀ ²

 ; 1

4 1 4 4

1 4 3 3

a   

    

 ;

2

4 1 4 4

1 16 15 15

a   

    

 ;

3

4 1 4 4

1 36 35 35

a   

    



4

4 1 4 4

1 64 63 63

a   

    

 .

c. ² ⁴₂ ^{1 16}₂ ¹⁶ ₂ ^0,4490

2 9 225

Ve

  

 

    

  .

Exercice 2

 











 



j



j

i



cost

1.a) la fonction ^t^cos^t est une fonction de référence dont le graphique est connu .le graphique de la fonction f sur ^{[0; ]}^ s’obtient à partir de celui de la fonction ^t^cos^tsur^{[0; ]}^ , noté C par translation de vecteur j

, on obtient le graphique de la fonction f sur ^{[0; ]}^ , noté Cf. Puisque f est périodique de période^ , on effectue une translation de vecteur ipuis une translation de ipour obtenir le graphique de f sur [ ;2 [.

b. la valeur efficace fe de la fonction f de période ^T  est donnée par :

2 2 2 2

0 0 0

1 1 1

( ) (1 cos ) (1 cos 2cos )

fe ^ f t dt ^ t dt ^ t t dt

  









 



  . Pour calculer cette intégrale , on utilise

la formule trigonométrique ^cos² ¹^{(1 cos 2 )}

t2  t et on obtient : ²

0

1 3 1

( cos 2 2cos ) 2 2

fe ^ t t dt





 

2 1 3 1 3

sin 2 2sin 0

2 4 2

fe   



 

     

  ; donc ³

e 2

f  .

c. montrons que la fonction f est continue ,dérivable sur R . en effet : la fonction f est somme de deux fonctions définies, continues, dérivables et des dérivées continues sur ^{[0; ]}^ donc f est définie , continue, dérivable et de dérivée continue sur ^{[0; ]}^ .En ^t^^ : ^{lim ( )} lim (1 cos( )) 1 1 0 ( )

t f t t t f

_ _ ^

        et f(^) 0 existe dans ^R . Pour tout ^t^^{[0; ]}^ : ^{f t}^{'( )}^{ }^sin^t et ^{lim '( )} lim ( sin( )) 0 '( )

t f t t t f

_ _ ^

      .ainsi f'(^) 0

existe dans R .Par conséquent la fonction f est continue, dérivable par morceaux sur l’intervalle fermé [0; ] , d’amplitude ^ .Donc f est continue dérivable sur R .

D’après le théorème de Dirichlet , on sait qu’en tout point t où la fonction f est continue , la série de Fourier Associée à f converge vers f(t) et en tout point ^où f n’est pas continue , la série de Fourier associée à f

1 2 3 4

-10 0

y

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0,6 0,63

0,42

0,08 0,04 0,02

(4)

converge vers ¹ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ 2f ^  f ^  .

d. Calcul de a0 : 0 0

 

0

1 1 1

( ) (1 cos ) sin 1

a f t dt t dt t t

T

   

  





 



   

Calcul de an : ² ² 2 T

 

    .

0 0 0

1 2 2 2

( )cos( ) (1 cos )cos(2 ) cos(2 ) cos cos(2 )

an f t n t dt t nt dt nt dt t nt dt

T

    

 

  





 



 







Pour la seconde intégrale , on linéarise cos( )cos( ) ¹



cos( ) cos( )



a b 2 a b  a b

 

cos( )cos(2 ) 1 cos(1 2 ) cos(1 2 )

t nt 2  n t  n t , comme n est un entier naturel , ^{1 2}^ ⁿ^⁰et ^{1 2}^ ⁿ^⁰, d’où le

résultat : ₀ ₀ ₀

 

0

2 2 2 1 2 1

cos(2 ) cos cos(2 ) sin(2 ) cos(1 2 ) cos(1 2 )

2 2

an nt dt t nt dt nt n t n t dt

n

   

 









    



  

 

0 0

2 1 1

sin(2 ) cos(1 2 ) cos(1 2 ) 2

2 1 1 1 1

sin(2 ) sin(1 2 ) sin(1 2 ) 0

2 1 2 1 2

an nt n t n t dt

n

nt nt nt

n n n

 

      

   

           



 

car pour k entier ^sin(^{k }^{) 0}.

Calcul de bn : b_n ¹ f t( )sin(n t dt) ² ₀ (1 cos )sin(2 )t nt dt ² ₀ sin(2 )nt dt ² ₀cos sin(2 )t nt dt T

    

 

  





 



 







Pour la seconde intégrale , on linéarise cos( )sin( ) ¹



sin( ) sin( )



a b 2 a b  a b

 

cos( )sin(2 ) 1 sin(1 2 ) sin(1 2 )

t nt 2  n t  n t , comme n est un entier naturel , ^{1 2}^ ⁿ^⁰et ^{1 2}^ ⁿ^⁰, d’où

0 0

2 1 1 1 1

cos(2 ) cos(1 2 ) cos(1 2 )

2 1 2 1 2

1 1 1 1 1

cos(1 2 ) cos(1 2 ) cos0 cos0

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 1 2 (1 2

n

b nt n t nt

n n n

b n n

n n n n

b n n n n n n

n n

b

 



 



   

          

 

           

   

              

  

 ) 2 1 2 1 2₂ 2 4 ₂ 8₂

(1 2 )(1 2 ) 1 4 1 4 (4 1)

n n n n

n n  n  n  n

         

      

 

Conclusion : a0 1 ; an ⁰ et 2

8 (4 1)

n

b n

 n

  pour ⁿ¹.

e . d’après c) , on peut écrire pour les points des intervalles où f est continue : ^t^R ^



^{k k}^, ^



, ^{f t}^{( )}^^{S t}^{( )}. ₄^R ^



^{k k}^, ^



, ^{( )} ^{( )}

4 4

f  _S  .

^t^⁰est un point où f n’est pas continue , donc d’après le Théorème de Dirichlet on sait que : ⁽⁰⁾ ¹ ^{(0 )} ^{(0 )} ¹



^{0 2}



¹

2 2

S  f ^  f ^    et on a : ^S^{(0) 1}^ et ^f^{(0) 2}^

f. pour tout ^t^{ }



^{k k}^^, ^



, on a : ₀

 

₂

1 1

( ) cos( ) sin( ) 1 8 sin(2 )

4 1

n n

f t a a n t b n t n nt

  n



 

 

    

 



soit ^{( ) 1} ⁸ ^{sin 2} ^{2sin(4 )} ^...

3 15

t t

f t 

 

     ,on déduit que g apparaît comme le développement de la série de Fourier associé à f , tronquée à l’harmonique de rang n = 2 . La formule de PARSEVAL donne le carré de la valeur efficace de f en fonction de coefficients de Fourier de f .

2 2 2 2 2

0 0

1

1 1

( ) ( )

e 2 n n

n

f f t dt a a b

 



   



 

, on conserve que les harmoniques de rang n =2 et on obtient :

(5)

2 2 2 2

0 1 1 1 2

2 2

fe a  b  b , donc

2 2

1 8 1 16 32 128

1 1

2 3 2 15 9 225

ge    

            ; ge ^1,19et fe^{1, 22}. L’écart entre ces deux valeurs numériques justifie le fait que les physiciens ne conservent ici dans le développement en série de Fourier de f que le fondamentale et les deux premiers harmoniques .