D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html
National, 1999 SUJET Dans cet exercice, n désigne un entier naturel non nul.
On considère la suite
( )
un définie par : 20
2 3 2
t n n
u t e dt
t
= +
+ . 1a. Soit la fonction définie sur [0 ;2] par ( ) 2 3
2 t t
ϕ = t + + .
Etudier les variations de cette fonction sur [0 ;2]. En déduire que, pour tout réel t dans [0 ;2] :
3 ( ) 7
2≤ϕ t ≤ 4.
b. Montrer que, pour tout réel t dans [0 ;2], on a : 3 ( ) 7
2 4
t t t
n n n
e ≤ϕ t e× ≤ e .
c. Par intégration, en déduire que, 3 2 1 7 2 1 2n en − ≤un ≤ 4n en − . d. On rappelle que
0
lim h 1 1
h
e h
→ − = . Montrer que si
( )
u possède une limite L alors L est compris entre 3 et n 7/2.2a. Vérifier que pour tout t de [0 ;2], on a 2 3 2 1
2 2
t
t + = −t
+ + . En déduire l’intégrale 2
0
2 3 2
I t dt
t
= +
+ . b. Montrer que pour tout t de [0 ;2], on a 1 2
t
n n
e e
≤ ≤ . En déduire que I u≤ n ≤e In2 . c. Montrer que la suite
( )
u est convergente et déterminer sa limite L. nOn pose 2
0
2 3 2
t n n
u t e dt
t
= +
+ .
1a. Soit ϕ( )t =2tt++23 sur I = [0 ;2].
Cette fonction est dérivable et
( )2
'( ) 1 0
t 2
ϕ = t >
+ donc cette fonction est croissante sur I. Elle conserve donc le sens des inégalités et par conséquent 0≤ ≤t 2 ϕ( )0 ≤ϕ( )t ≤ϕ( )2 cad 32 ≤ϕ( )t ≤74 (retenir la méthode qui consiste à démontrer un encadrement par l’étude d’une fonction).
1b. Une exponentielle est toujours positive donc d’après 1a, pour tout t de I, 32ent ≤ϕ( )t ent ≤74ent. 1c. En passant à l’intégrale sur [0 ;2] l’encadrement ci-dessus, on obtient 2 2 ( ) 2
0 0 0
3 7
2 4
t t t
n n n
e dt≤ ϕ t e dt≤ e dt. Une primitive de t→ent est t→nent et on trouve finalement 3 2 1 7 2 1
2 4
n n
n e − ≤un ≤ n e − .
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1d. Rappelons que lim0 1 1
h h
e h
→ − = (redémontrer le) et supposons que la suite tend vers L.
2 2
2 1 1
1 2 2
1
h h
n n
n e e
n e h
n
− = −
− = = → car quand n tend vers l’infini, h tend vers 0.
Ainsi, en passant à la limite l’encadrement obtenu en 1c, 3 7 L 2
≤ ≤ (ce n’est pas le théorème des gendarmes mais le théorème de comparaison).
2a. 2 3 2( 2 1) 2 1
2 2 2
t t
t t t
+ = + − = −
+ + +
Par linéarité de l’intégrale, 2 2 2 [ ]20 ( ) 02
0 0 0
2 3 1
2 2 ln 2 4 ln(2)
2 2
I t dt dt dt t t
t t
= + = − = − + = −
+ + (car ln 4 – ln 2 = ln
(4/2) ).
2b. La fonction t→etnest croissante sur [0 ;2] (comme composée..) et donc sur [0 ;2], 1 2
t
n n
e e
≤ ≤ .
La fonction ϕ est positive sur [0 ;2] (car supérieure à 3/2) donc en multipliant chaque membre on obtient ( )t ( )t etn ( )t e2n
ϕ ≤ϕ ≤ϕ .
On passe ensuite à l’intégration : I u≤ n ≤Ie2ncar e2n est une constante.
2c. Là, on applique le théorème des gendarmes : les membres de gauche et de droite tendent tout deux vers I, donc on peut affirmer que la suite converge et qu’elle converge vers I.
Merci à ma collègue pour ce corrigé.