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France, 1999, Intégration

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html

National, 1999 SUJET Dans cet exercice, n désigne un entier naturel non nul.

On considère la suite

( )

un définie par : 2

0

2 3 2

t n n

u t e dt

t

= +

+ . 1a. Soit la fonction définie sur [0 ;2] par ( ) 2 3

2 t t

ϕ = t + + .

Etudier les variations de cette fonction sur [0 ;2]. En déduire que, pour tout réel t dans [0 ;2] :

3 ( ) 7

2≤ϕ t ≤ 4.

b. Montrer que, pour tout réel t dans [0 ;2], on a : 3 ( ) 7

2 4

t t t

n n n

e ≤ϕ t e× ≤ e .

c. Par intégration, en déduire que, 3 2 1 7 2 1 2n en − ≤un ≤ 4n en − . d. On rappelle que

0

lim h 1 1

h

e h

− = . Montrer que si

( )

u possède une limite L alors L est compris entre 3 et n 7/2.

2a. Vérifier que pour tout t de [0 ;2], on a 2 3 2 1

2 2

t

t + = −t

+ + . En déduire l’intégrale 2

0

2 3 2

I t dt

t

= +

+ . b. Montrer que pour tout t de [0 ;2], on a 1 2

t

n n

e e

≤ ≤ . En déduire que I une In2 . c. Montrer que la suite

( )

u est convergente et déterminer sa limite L. n

On pose 2

0

2 3 2

t n n

u t e dt

t

= +

+ .

1a. Soit ϕ( )t =2tt++23 sur I = [0 ;2].

Cette fonction est dérivable et

( )2

'( ) 1 0

t 2

ϕ = t >

+ donc cette fonction est croissante sur I. Elle conserve donc le sens des inégalités et par conséquent 0≤ ≤t 2 ϕ( )0 ϕ( )t ϕ( )2 cad 32 ϕ( )t 74 (retenir la méthode qui consiste à démontrer un encadrement par l’étude d’une fonction).

1b. Une exponentielle est toujours positive donc d’après 1a, pour tout t de I, 32ent ϕ( )t ent 74ent. 1c. En passant à l’intégrale sur [0 ;2] l’encadrement ci-dessus, on obtient 2 2 ( ) 2

0 0 0

3 7

2 4

t t t

n n n

e dt ϕ t e dt e dt. Une primitive de tent est tnent et on trouve finalement 3 2 1 7 2 1

2 4

n n

n e − ≤un n e .

(2)

D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html

1d. Rappelons que lim0 1 1

h h

e h

− = (redémontrer le) et supposons que la suite tend vers L.

2 2

2 1 1

1 2 2

1

h h

n n

n e e

n e h

n

=

− = = car quand n tend vers l’infini, h tend vers 0.

Ainsi, en passant à la limite l’encadrement obtenu en 1c, 3 7 L 2

≤ ≤ (ce n’est pas le théorème des gendarmes mais le théorème de comparaison).

2a. 2 3 2( 2 1) 2 1

2 2 2

t t

t t t

+ = + − = −

+ + +

Par linéarité de l’intégrale, 2 2 2 [ ]20 ( ) 02

0 0 0

2 3 1

2 2 ln 2 4 ln(2)

2 2

I t dt dt dt t t

t t

= + = = + = −

+ + (car ln 4 – ln 2 = ln

(4/2) ).

2b. La fonction tetnest croissante sur [0 ;2] (comme composée..) et donc sur [0 ;2], 1 2

t

n n

e e

.

La fonction ϕ est positive sur [0 ;2] (car supérieure à 3/2) donc en multipliant chaque membre on obtient ( )t ( )t etn ( )t e2n

ϕ ϕ ϕ .

On passe ensuite à l’intégration : I u n Ie2ncar e2n est une constante.

2c. Là, on applique le théorème des gendarmes : les membres de gauche et de droite tendent tout deux vers I, donc on peut affirmer que la suite converge et qu’elle converge vers I.

Merci à ma collègue pour ce corrigé.

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