EPFL 4 décembre 2006 Algèbre linéaire
1ère année 2006-2007
Série 7
L’exercice 6 est à rendre le 11 décembre au début de la séance d’exercices.
Exercice 1 Soient U et V des sous-espaces vectoriels deF6 tels que dim(U) = 2, dim(V) = 4 et U +V =F6. Montrer que U ∩V ={0}.
Exercice 2 Soit E un F-espace vectoriel, A et B deux sous-espaces vectoriels de E, C un espace en somme directe avec A∩B dans B. Montrer que A+B =A⊕C.
Exercice 3 Soient E un F-espace vectoriel de dimension finie, F un sous-espace vectoriel de E tel queF 6={0}et F 6=E. Montrer l’existence de deux espaces vectoriels différents G1 et G2 tels que F ⊕G1 =F ⊕G2 =E.
Exercice 4 Soit B = (P0, P1, ..., Pn) un système de (n+ 1) polynômes de Pn(R) tels que, ∀k, 0≤k≤n, degPk =k. Montrer que B est une base de E.
Exercice 5 Dans un espace vectoriel de dimension finie n, on appelle hyperplan tout sous- espace vectoriel de dimension n−1.
1. Qu’est ce qu’un hyperplan dans R3?
2. Quelle est la dimension d’un espace qui est en somme directe avec un hyperplan ? 3. Soient H1 et H2 deux hyperplans d’un espace vectoriel E de dimension n. Montrer que :
dim(H1∩H2)≥n−2.
Exercice 6 Soient E et F deux ensembles, on appelle produit cartésien de E et F l’ensemble suivant :
E×F ={(x, y) | x∈E, y ∈F}.
1. Si E et F sont deux F-espaces vectoriels, montrer que E×F est un F-espace vectoriel.
2. Si E et F sont deux F-espaces vectoriels de dimension finie, montrer que E ×F est de dimension finie et : dim(E×F) =dim(E) +dim(F).
3. Si E et F sont deux F-espaces vectoriels, montrer que, si E×F est de dimension finie.
alors E et F sont de dimension finie.
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