Interrogation Spécialité Mathématiques Term

Durée : 1h – Calculatrice autorisée

Interrogation Spécialité Mathématiques Term

08/10/2020

Exercice 1 ^{3 pts}

On sait que 𝑢₀ = 2 et pour tout 𝑛 ∈ ℕ 𝑢_𝑛+1 = 2 𝑢_𝑛− 3. Montrer que 𝑢_𝑛 = 3 − 2^𝑛.

Exercice 2 6 pts

Déterminer les limites suivantes en étant rigoureux sur la rédaction :

• 𝑢_𝑛 = 10(1 − 0,1^𝑛)

• 𝑣_𝑛 = 0,2^𝑛 − 1 3^𝑛 + 1

• 𝑤_𝑛 =𝑛²+ 3𝑛 3𝑛²+ 4

• 𝑧_𝑛 =4𝑛³− 5𝑛²+ 3𝑛 5𝑛⁶+ 3

• 𝑡_𝑛 = −2𝑛³+ 𝑛²− 6𝑛 + 3

• 𝑠_𝑛 = 3𝑛²+ 2 5𝑛 + 1

Exercice 3 ^{3 pts}

Soit (𝑤_𝑛) la suite définie pour tout entier naturel 𝑛 par :

𝑤_𝑛 = −𝑛²+ 6 cos(𝑛).

1) Montrer l’encadrement suivant pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑤_𝑛 ≤ −𝑛²+ 6.

2) En déduire la limite de la suite (𝑤_𝑛).

Exercice 4 3 pts

Soit (𝑢_𝑛) la suite définie pour tout 𝑛 ∈ ℕ par :

𝑢₀ = 1 𝑒𝑡 𝑢_𝑛+1 = 𝑢_𝑛 1 + 2 𝑢_𝑛 1) Calculer 𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃ et 𝑢₄.

2) Conjecturer l’expression explicite de 𝑢_𝑛 en fonction de 𝑛.

3) Démontrer cette conjecture par récurrence.

Exercice 5 5 pts

Soit (𝑢_𝑛) la suite définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑢₀ = 2 et

𝑢_𝑛+1 =2

3 𝑢_𝑛+ 3.

1) A l’aide la calculatrice, conjecturer le sens de variation de la suite (𝑢_𝑛) et une majoration de (𝑢_𝑛).

2) Montrer par récurrence que la suite (𝑢_𝑛) est majorée par 9.

3) Montrer que :

𝑢_𝑛+1− 𝑢_𝑛 = −1

3 𝑢_𝑛 + 3, Puis en déduire le sens de variation de la suite (𝑢_𝑛).

4) Justifier que la suite (𝑢_𝑛) converge.

Qu'est-ce que deux droites confondues ?

Répo nse

: deux droites

qu'on a lai ssé trop longtem

ps sur le radiat . eur

C’est drôle non…. Un peu d’humour avant d’attaquer la suite…. Ih ih ih ih ih Bon courage et amusez-vous bien !!!