Lyc´ee Paul Constans, Montlu¸con, 2019-2020 Programme de colle semaine 9 - du 12/11 au 15/11 1
Programme de colle semaine 9 - du 12/11 au 15/11
Questions de cours
• L’interrogation orale (colle) comportera une ou des questions de cours, ou proche du cours.
Celle-ci pourra ˆetre pos´ee par l’examinateur au d´ebut ou pendant la colle.
Voici ci-dessous des exemples de questions de cours.
• Calculer les d´eriv´ees partielles et d´eriv´ees partielles secondes de fonctions de deux variables sur un exemple.
• D´efinition, parit´e et variations (tableaux) des fonctions ch et sh . ´Enonc´e des propri´et´es fondamentales (ch + sh = exp ; ch2−sh2 = 1)
• Calculer une primitive de x7−→eaxcos(bx) ou de x7−→eaxsin(bx) o`u a, b∈R.
• Enoncer la forme des solutions g´´ en´erales `a valeurs complexes de y00+ay0+by= 0 o`u a, b∈C et ´enoncer la forme des solutions g´en´erales `a valeurs r´eelles lorsque a, b∈R.
• Enoncer la forme´ ϕ(x) sous laquelle chercher une solution particuli`ere ϕ d’une EDL2 `a coefficients constants de la forme y00+ay0+by= eλx o`ua, b, λ∈C.
L’interrogation peut porter sur l’ensemble des chapitres ´etudi´es depuis le d´ebut de l’ann´ee. Ceux apparaissant ci-dessous n’en sont que le sommet de la pile.
Chapitre 6. Fonctions (1)
Exemples de calculs de d´eriv´ees partielles et d´eriv´ees partielles secondes pour des fonctions de deux variables (vu en TD).
Chapitre 7. Nombres entiers naturels et r´ ecurrence.
N La construction deN est hors programme.
D´emonstration par r´ecurrence.
Chapitre 9. Compl´ ements sur les fonctions et EDL2.
I) D´eriv´ees d’ordre sup´erieur.
Interpr´etation g´eom´etrique du signe de f00.
N Le vocabulaire convexe, concave, point d’inflexion est hors programme.
II) Fonctions `a valeurs complexes.
D´erivation def : I−→C par f0 =a+ ib o`u f =a+ ib aveca et b `a valeurs r´eelles.
Cas particulier d’une fonction affine complexe.
D´erivation de eϕ. C’est (eϕ)0 = ϕ0eϕ o`u ϕ : I −→ C est d´erivable et o`u exp est la fonction exponentielle complexe.
N Pas de d´erivation de fonctions C−→C autres que dans le cas ci-dessus.
Lyc´ee Paul Constans, Montlu¸con, 2019-2020 Programme de colle semaine 9 - du 12/11 au 15/11 2 Cas particuliers t7−→eλt o`u λ∈C; t7−→eit.
Application au calcul d’une primitive de x7−→eaxcos(bx) et x7−→eaxsin(bx) o`u a, b∈R. N Le chapitre 8 (calculs alg´ebriques) n’est pas au programme de cette semaine hormis le point 1) ci-dessous.
III) ´Equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre 2 `a coefficients constants.
1) Vocabulaire. D´efinition. Solution. ´Equation homog`ene associ´ee.
2) R´esolution de (E0). ´Equation caract´eristique. Solutions `a valeurs complexes. Solutions `a valeurs r´eelles lorsque l’EDL2 est `a coefficients r´eels.
3) Forme g´en´erale des solutions d’une EDL2 `a coefficients constants avec second membre.
4) Recherche d’une solution particuli`ere.
Principe de superposition des solutions.
Cas des seconds membres de la forme eλx avec λ ∈C. En cons´equence, tous les seconds membres qui s’´ecrivent comme combinaison lin´eaire de eλx.
Pour une EDL2 `a coefficients r´eels, on peut trouver une solution particuli`ere associ´ee `a un second membre ´egal `a cos(x) en prenant la partie r´eelle d’une solution particuli`ere associ´ee `a eix, plutˆot que de faire l’autre calcul avec e−ix (et g´en´eralisation avec d’autres seconds membres).
N Aucune r`egle n’est `a connaˆıtre pour les seconds membres de la forme P(x)eλx et leurs variantes.
5) Probl`eme de Cauchy. D´efinition. Existence et unicit´e de la solution (admis dans le cas g´en´eral), m´ethode pour la trouver en r´esolvant un syst`eme 2-2 (2 ´equations, 2 inconnues).
Chapitre 8. Calculs alg´ ebriques.
1) Signes somme et produit. Factorielle.
N Seulement leur d´efinition cette semaine. Peu de techniques ont ´et´e abord´ees.
