II . C alc ul des in tég ra les im pr op res

(1)

ECE1-B2015-2016

C H X V I :I nt ég ra le s im pr opr es I. D éfini ti on des in tég ra les im pr opr es

Définition Soit(a,b)2R2. •Soitf:[a,+1[!Runefonctioncontinuesur[a,+1[. ⇥Onditquel’objetZ+1 af(t)dtestuneintégraleimpropreen +1. ⇥OnditqueZ+1 af(t)dtestconvergentesilafonction F:[a,+1[7!R x!Zx af(t)dt admetunelimitefinielorsquextendvers+1. Sic’estlecas,lavaleurdeZ+1 af(t)dtestdonnéepar: Z+1 af(t)dt=lim x!+1

Zx af(t)dt ⇥Danslecascontraire,onditqueZ+1 af(t)dtdiverge. 1

(2)

CE1-B2015-2016

•Soitf:]1,b]!Runefonctioncontinuesur]1,b].

⇥Onditquel’objet Zb

1 f(t)dtestuneintégraleimpropreen1.

⇥Onditque Zb

1 f(t)dtconvergesilafonction

F:]1,b]7!R

x! Zb

x f(t)dtadmetunelimitefinielorsquextendvers1.Sic’estlecas,lavaleurde Zb 1 f(t)dtestdonnéepar:

Zb

1 f(t)dt=limx!1 Zb

x f(t)dt

⇥Danslecascontraire,onditque Zb

1 f(t)dtdiverge.

•Soitf:]1,+1[!Runefonctioncontinuesur]1,+1[.

⇥Onditquel’objet Z+1

1 f(t)dtestuneintégraleimpropreàlafoisen1et+1.

⇥Ondit Z+1

1 f(t)dtconvergelorsqu’ilexistec2Rtelque Zc

1 f(t)dt

et Z+1

c f(t)dtsonttoutesdeuxconvergentes.Sic’estlecas,lavaleurde Z+1

1 f(t)dtestdonnéepar:

Z+1

1 f(t)dt= Zc

1 f(t)dt+ Z+1

c f(t)dt

2

(3)

ECE1-B2015-2016 ⇥Danslecascontraire,i.e.sil’unedesintégralesimpropresZc 1f(t)dt ouZ+1 cf(t)dtdiverge,onditqueZ+1 1f(t)dtdiverge. Remarque •MÉTHODO:étudedel’objetZ+1 af(t)dt. ⇥OnintroduitZx af(t)dtquiestuneintégralesurlesegment[a,x]. (lafonctionfestsupposéecontinuesur[a,+1[doncestnotamment continuesur[a,x]) ⇥OnétudiesiZx af(t)dtadmetunelimitefinielorsquex!+1. •Ainsi,lespropriétésdesintégralesimpropres(étudiéesdanscechapitre) sontdéduitesdespropriétésdesintégralessurunsegment(étudiées danslechapitreprécédent)àl’aide,lorsqu’ilestlégitime,d’unpassage àlalimite. Exemple •L’intégraleimpropreZ+1 1tdtdiverge. ⇥Six>1,ona:Zx 1tdt= t2 2

x 1=x2 21 2. ⇥Orx2 2! x!+1+1. •L’intégraleimpropreZ+1 01dtdiverge. ⇥Six>0,ona:Zx 01dt=[t]x 0=x. ⇥Orx! x!+1+1. 3

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ECE1-B2015-201

ExerciceDonnerlanaturedesintégralesimpropressuivantes.

a) Z+1

1 t

t+ pt dt

b) Z+1

1 dtet+et

c) Z+1

2 t 2ln ✓t 21t2 ◆dt

V I. C onc lus io n

•Cechapitreaétéprésentéhorsduchapitre«Intégrationsurunseg-ment»:lesintégralesimpropresnesontpasdesintégralessurunseg-ment!

•Cependant,lelienentrecesdeuxchapitresestfortpuisquelesintégralesimpropressedéfinissentàl’aidedesintégralessurunsegment.

•UnexerciceportantsurlesintégralesimproprespeutdoncTOUJOURSserameneràunexercicesurlesintégralessurunsegment!

RemarqueQuediredel’intégrale: Z1

0 lntdt?Lafonctiont7!lntestcontinuesur]0,1](pasen0!).Ondéfinitainsiuneintégraleimpropreen0.Onpourraitdéfinirdemêmelaconvergencedecetyped’intégrales.Maiscetyped’objetn’estpasauprogramme...

21 CE1-B2015-2016

•L’intégraleimpropre Z+1

1 dtt diverge.

⇥Six>1,ona: Zx

1 dtt =[lnt] x1 =lnx.

⇥Orlnx!x!+1 +1.

1 dtt pt convergeetvaut2.

⇥Six>1,ona: Zx

1 dtt pt = "t 1212 #x

1 =2 1px +2.

⇥Comme 1px !x!+1 0,ona: Z+1

1 dtt pt =2.

Penseràfaireapparaîtrelesquantitéscommedespuissances:1

t pt =t 32

1 dtt2 convergeetvaut1.

⇥Six>1,ona: Zx

1 dtt2 = 1t x

1 = 1x +1.

⇥Comme 1x !x!+1 0,ona: Z+1

1 dtt2 =1

1 e tdtconvergeetvaut 1e .

⇥Six>1,ona: Zx

1 e tdt= ⇥et ⇤x1 =ex+e1.

⇥Commeex!x!+1 0,ona: Z+1

1 e tdt= 1e

4

(5)

ECE1-B2015-2016 Démonstration. 1)Comme06f6g,ona(techniquedemajorationduchapitreprécé- dent)pourtoutx>a: 06Zx af(t)dt6Zx ag(t)dt qq 06F(x)6G(x) a.CommeZ+1 ag(t)dtconverge,lapropriétéprécédenteénonceque Gestmajorée:ilexisteM2Rtelquepourtoutx>a,G(x)6M. Etdonc,pourtoutx>a,ona: 06F(x)6G(x)6M LafonctionFestelleaussimajoréeparM,cequidémontreque Z+1 ag(t)dtconverge. b.Danscecas,F(x)! x!+1+1etainsiG(x)! x!+1+1. 2)Inégalitéobtenueparpassageàlalimitedansl’inégalitéprécédente. Remarque •Onadémontréprécédemmentque:Z+1 1

dt t2estconvergente(etvaut 1). D’autrepart,pourtout↵>2,ona:8t2[1,+1[,061 t↵61 t2. Ainsi,pourtout↵>2,l’intégraleimpropreZ+1 1

dt t↵converge. •Demême,si61,ona:8t2[1,+1[,061 t61 t. Ainsi,pourtout61,l’intégraleimpropreZ+1 1

dt tdiverge. •OndémontreainsiunepartieduthéorèmesurlesintégralesdeRie- mann. •Onretiendralaméthode:oncomparefàdesfonctionsderéférence. 20 ECE1-B2015-2016 Remarque •Considéronsf:R!RunefonctioncontinuesurRtellequeZ+1 1f(t)dt converge.Qu’enest-ildeZ+1 2f(t)dt?deZ+1 0f(t)dt?ouencore deZ+1 af(t)dtaveca2R? Toutescesintégralessontconvergentes.Eneﬀet,d’aprèslarelationde Chaslesduchapitreintégrationsurunsegment,ona,pourtoutx2R: Zx 1f(t)dt=Za 1f(t)dt+Zx af(t)dt etdoncZx af(t)dt=Zx 1f(t)dtZa 1f(t)dt Parhypothèse,Zx 1f(t)dtadmetunelimitefinieen+1. OnendéduitqueZx af(t)dtadmetaussiunelimitefinieen+1et quecettelimitevérifie: Z+1 af(t)dt=Z+1 1f(t)dtZa 1f(t)dt •Ainsi,laconvergencedel’intégraleimpropreZ+1 1f(t)dtimpliquela convergencedeZ+1 af(t)dtpourtouta2R. •Laconvergencedel’intégraleimpropreZ+1 1f(t)dtnedépenddonc pasdel’élémentcapparaissantdansladéfinition. 5

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ECE1-B2015-201

PropriétéSoita2Retf:[a,+1[!Runefonctioncontinuesur[a,+1[.

NotonsF:x7! Zx

a f(t)dt.

Supposonsdeplus:8x2[a,+1[,f(x)>0.

1) Z+1

a f(t)dtconverge,Festmajorée 2)SiFestnonmajorée,limx!+1 F(x)=+1. Démonstration.F0=f>0doncFestcroissantesur[a,+1[.Envertuduthéorèmedelalimitemonotone,Fadmetdoncunelimite(finieounon)en+1.Deplus:

⇥cettelimiteestfiniesiFestmajorée.

⇥cettelimiteest+1siFnonmajorée.

Théorème8.Soienta2Retf,g:[a,+1[!Rdeuxfonctionscontinuessur[a,+1[.Supposonsdeplus:8t2[a,+1[,06f(t)6g(t).1)Alorsona:

a. Z+1

a g(t)dtconverge) Z+1

a f(t)dtconverge

b. Z+1

a f(t)dtdiverge) Z+1

a g(t)dtdiverge

2)Deplus,danslecasdelaconvergence,ona:

06 Z+1

a f(t)dt6 Z+1

a g(t)dt

19 CE1-B2015-2016

II . C alc ul des in tég ra les im pr op res

Onseposelaquestionicidesavoircommentutiliserlestechniquesdecalculduchapitre«Intégrationsurunsegment»danslebutde:

⇥démontrerqu’uneintégraleimpropreestconvergente,

⇥lacalculerlorsquec’estlecas.

II.1.Primitiveàvue:unexemple

ExempleDéterminerlanaturedel’intégraleimpropre Z+1

0 e t

(1+et)2 dt.Lafonctionf:t7! et

(1+et)2estcontinue(notamment)sur[0,+1[.

Onpeutdoncconsidérerlafonction:

F:[0,+1[!R

x7! Zx

0 f(t)dt primitivesur[0,+1[delafonctionfquis’annuleen0.Onfaitapparaîtreuneprimitiveclassiqueenremarquantquepourtoutt>0,ona:f(t)=et(1+et)2.Ainsi:

Zx

0 et

(1+et)2 dt= Zx

0 e t(1+e t) 2dt= (1+et)1

1 x

0

= ⇥(1+e t) 1 ⇤x

0 = 12 11+ex

Or: 11+ex!x!+1 0.Onenconclutque Z+1

0 et

(1+et)2dtconvergenteet:Z+1 0 f(t)dt=limx!+1 ✓Zx

0 et

(1+et)2dt ◆

= 12

6

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ECE1-B2015-2016

V . L e ca s des fo nc ti on s co nt in ues p os it iv es

Remarquepréliminaire •L’intérêtdesfonctionscontinuespositivesaétésoulignédanslechapitre «Intégrationsurunsegment».Lorsquelafonctionfestcontinueet positive,l’intégraleZx af(t)dtestl’airesouslacourbeCfentreaet x. •L’airesouslacourbeentreaet+1estdoncdéfiniecommelimite, quandx!+1,del’airesouslacourbedeCfentreaetx. Représentationgraphiquedesexemplesprécédents. 0

y=1 x 10

y=1 xp x 1 =+1=2 0

y=1 x2 10

y=ex 1 =1=1 e 18

ECE1-B2015-2016 II.2.Intégrationparparties:unexemple Exemple Déterminerlanaturedel’intégraleimpropreZ+1 1e1 t t3dt. Lafonctionf:t7!e1 t t3estcontinue(notamment)sur[1,+1[. Onpeutdoncconsidérerlafonction: F:[1,+1[!R x7!Zx 1f(t)dt primitivesur[1,+1[delafonctionfquis’annuleen1. OnprocèdealorsparIPPpourcalculerF(x):u=1 tu0=1 t2 v0=1 t2e1 tv=e1 t. Onobtientalors: Zx 1e1 t t3dt=" e1 t t#x 1

Zx 1e1 t t2dt =e1e1 x x! h e1 tix 1 =e1e1 x x! ⇣ e1e1 x⌘ =e1 xe1 x x Ore1 x! x!+1e0 =1.OnenconclutqueZ+1 1f(t)dtestconvergenteet: Z+1 1f(t)dt=lim x!+1

Zx 1e1 t t2dt! =1 7

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ECE1-B2015-201

IV.6.Inégalitétriangulaire

Théorème7.Soienta2Retf:[a,+1[!Rcontinuesur[a,+1[.

Supposonsdeplusque: Z+1

a f(t)dtestabsolumentconvergente.

1)Alors: Z+1

a f(t)dtestconvergente.

2) Z+1

a f(t)dt6 Z+1

a |f(t)|dt

Démonstration.1)C’estlerésultatduthéorème6.2)Onseramène(encoreettoujours!)aucasdesintégralessurunseg-ment.Soitx>a.Alorsona:

|F(x)|= Zx

a f(t)dt6 Zx

a |f(t)|dt Laquantitédedroiteconverge,parhypothèse,vers Z+1

a |f(t)|dt.D’autrepart(théorèmedecompositiondeslimites),ona:

limx!+1 |F(x)|=|limx!+1 F(x)|= Z+1

a f(t)dt

(onrappellequeFadmetunelimitefinieen+1d’après1))L’inégalitésouhaitéeestdoncvérifiéeparpassageàlalimitedansl’inégalitéprécédente.

RemarqueGlobalement,onobtientlesmêmespropriétésquesurlesintégralessurunsegment.Cependant,notezqu’onsupposeTOUJOURSdelaconvergencepourpouvoirécrirecespropriétésdanslecasdesintégralesimpropres.

17 CE1-B2015-2016

II.3.Changementdevariable:unexemple

ExempleDéterminerlanaturedel’intégraleimpropre Z+1

0 dtet+1 .Lafonctionf:t7! 1et+1 estcontinue(notamment)sur[0,+1[.

Onpeutdoncconsidérerlafonction:

F:[0,+1[!R

x7! Zx

0 f(t)dt

primitivesur[0,+1[delafonctionfquis’annuleen0.

Posonslechangementdevariableu=e t: u=etdoncdu=etdt

etdt= duet= duu

•Sit=0alorsu=e 0=1

•Sit=xalorsu=e x

Zx

0 dtet+1 = Zex

1 duu(u+1)

= Zex

1 ✓1u 1u+1 ◆du= Zex

1 duu Zex

1 duu+1

=[lnu] ex

1 [ln(u+1)] ex

1 =ln ✓exex+1 ◆

+ln2

Or exex+1 = exex 11+ex!x!+1 1.Ainsi, Z+1

0 f(t)dtestconvergenteet:Z+1 0 f(t)dt=limx!+1 ✓Zx

0 dtet+1 dt ◆=ln2

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ECE1-B2015-2016 Remarque Cerésultatn’estpasuneéquivalence:ilexistedesintégralesimpropres convergentesmaisnonabsolumentconvergentes.Danscecas,onparle parfoisdesemi-convergence. •Pourconstruireunexempled’intégralesemi-convergente,l’idéeestde choisirunefonctionsuccessivementpositivepuisnégativedesortequ’un phénomènedecompensations’opère: ⇥surunintervalleoùfestpositive,l’aireestcomptéepositivement. ⇥surl’intervalle«suivant»,festnégative,l’aireestcomptéenégati- vementetréduitl’aireprécédente. Représentationgraphiqued’uneintégralesemi-convergente. 0

y=f(x) 1 L’intégraleZ+1 1f(t)dtestconvergente. 0

y=|f(x)| 1 L’intégraleZ+1 1|f(t)|dtn’estpasconvergente. 16

ECE1-B2015-2016

II I. In tég ra les cl as si ques

Théorème1. Soit↵2R. 1)Z+1 1

dt t↵converge,↵>1 (CritèredeRiemann) 2)Z+1 0e↵t dtconverge,↵>0 Démonstration. 1)Soitx>1. Si↵=1:Zx 1

dt t=[lnt]x 1=lnx Commelnx! x!+1+1,l’intégraleZ+1 1

dt t↵diverge. Si↵6=1:Zx 1

dt t↵=Zx 1t↵ dt= t↵+1 ↵+1

x 1=x↵+1 ↵+11 ↵+1 Enfinsi↵+1<0alorsx↵+1! x!+10, etsi↵+1>0alorsx↵+1! x!+1+1. 2)Soitx>0. Si↵=0:Zx 01dt=[t]x 0=x Commex! x!+1+1,l’intégraleZ+1 0e↵t dtdiverge. Si↵6=0:Zx 0e↵t dt= e↵t ↵

x 0=✓ e↵x ↵1 ↵◆ =1 ↵e↵x ↵ Enfinsi↵>0alorse↵x ! x!+10, etsi↵<0alorse↵x! x!+1+1. 9

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ECE1-B2015-201

Z+1

a f(t)dtestabsolumentconvergente ) Z+1

a f(t)dtestconvergente

Démonstration.

Notonsf+= |f|+f2 etf= |f|f2 .

⇥f+:x7!max(f(x),0)estlapartiepositivedef.⇥f:x7!min(f(x),0)=max(f(x),0)estlapartienégativedef. Supposons Z+1

a f(t)dtabsolumentconvergente.

•Ona:8t>a,06f+(t)6|f(t)|.

Or Z+1

a |f(t)|dtestconvergente.Donc,d’aprèslethéorème8,l’intégralimpropre Z+1

a f +(t)dtestaussiconvergente.

•Ona:8t>a,06f(t)6|f(t)|.

Or Z+1

a |f(t)|dtestconvergente.Donc,d’aprèslethéorème8,l’intégralimpropre Z+1

a f(t)dtestaussiconvergente.

Enfin,ona:f=f +f.Onenconclut,parlinéarité,quel’intégraleimpropre Z+1 a f(t)dtestconvergente.

15 CE1-B2015-2016

Remarque

•Ladémonstrationnouspermetdeconnaîtrelavaleurdecesintégrales(lorsqu’ellesconvergent):

Si↵>1alors Z+1

1 dtt↵ = 1↵1

Si↵>0alors Z+1

0 e ↵tdt= 1↵

•Onpeutendéduireunrésultatsimilairepourlaconvergencedesinté-gralesimpropres Z+1

a dtt↵ pourtouta>0.

•Ainsiqu’unrésultatpourlaconvergencede Z+1

a e ↵tdtpourtout

a2R.

•Laconditionimportantelorsquel’onchangeuneborned’unintégraleimpropreestdevérifierquelafonctionàintégrerrestecontinuesurlenouvelintervalled’étude([a,+1[enl’occurrence).

10

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ECE1-B2015-2016 IV.4.Techniquedemajoration Théorème5. Soienta2Retf,g:[a,+1[!Rcontinuessur[a,+1[. Supposonsdeplusque:Z+1 af(t)dtetZ+1 ag(t)dtconvergent. Etsupposonsenfin:8x2[a,+1[,f(x)6g(x). Alorsona: Z+1 af(t)dt6Z+1 ag(t)dt Démonstration. Onseramène(encoreettoujours!)aucasdesintégralessurunsegment. Soitx>a.Alorsona: F(x)=Zx af(t)dt6Zx ag(t)dt=G(x) EtcommeFetGadmettentunelimiteen+1,onpeutpasseràlalimite danscetteinégalité. IV.5.Convergenceabsolue Définition Soita2Retf:[a,+1[!Rcontinuesur[a,+1[. •Onditquel’intégraleimpropreZ+1 af(t)dtestabsolumentconver- gentesil’intégraleimpropreZ+1 a|f(t)|dtconverge. 14 ECE1-B2015-2016

IV . P ro pr iét és des in tég ra les im pr opr es

Onécriralespropriétéssuivantespourlesintégrales impropresdetypeZ+1 af(t)dt.Évidemmentonpeut écriredesrésultatssimilairespourlesautrescas. IV.1.RelationdeChasles Théorème2. Soienta2Retf:[a,+1[!Rcontinuesur[a,+1[. Supposonsdeplusque:Z+1 af(t)dtconverge. Soitc2[a,+1[.Alorsona: 1)Z+1 cf(t)dtconverge. 2)Deplus,ona:Z+1 af(t)dt=Zc af(t)dt+Z+1 cf(t)dt Démonstration. Ladémonstrationadéjàétéfaite(cfdeuxièmeremarqueduchapitre). Soitc>aetx>c:Zx af(t)dt=Zc af(t)dt+Zx cf(t)dt etdoncZx cf(t)dt=Zx af(t)dtZc af(t)dt Parhypothèse,Zx af(t)dtadmetunelimitefinieen+1. OnendéduitqueZx cf(t)dtadmetaussiunelimitefinieen+1etque: Z+1 cf(t)dt=Z+1 af(t)dtZc af(t)dt 11

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ECE1-B2015-201

IV.3.Positivité

a f(t)dtconverge.

Etsupposonsenfin:8x2[a,+1[,f(x)>0.

1) Z+1

a f(t)dt>0 2)f>0sur[a,+1[) Z+1

a f(t)dt>0

3) Z+1

a f(t)dt=0)f=0sur[a,+1[

Démonstration.Onseramène(encoreettoujours!)aucasdesintégralessurunsegment.Soitx>a.

1)Parpositivitédel’intégralesurunsegment:F(x)= Zx

a f(t)dt>0.Ilsuﬃtalorsdepasseràlalimitedanscetteégalité.

2)Sif6=0,alorsF(x)= Zx

a f(t)dt>0.Lepassageàlalimitedanscetteinégaliténepermetpasdeconclureici(l’inégalitéstrictedevientlarge).Ilfautdoncêtreplusprécis.Soitc>a.LarelationdeChaslesfournit:Z+1

a f(t)dt= Zc

a f(t)dt+ Z+1

c f(t)dt

8>

>>

><

>>

:

8>

>>

><

>>

:

>0>0Lastrictepositivitéestunenouvellefoisunrésultatduchapitre«In-tégrationsurunsegment».

13 CE1-B2015-2016

RemarqueL’hypothèsec>aestimportante.Commefestcontinuesur[a,+1[etc>a,alorsfestcontinuesurlesegment[a,c].Ceciassurequel’intégraleZc

a f(t)dtestbiendéfinie.

IV.2.Linéarité

Théorème3.Soienta2Retf,g:[a,+1[!Rcontinuessur[a,+1[.Soit(,µ)2R2.

a f(t)dtet Z+1

a g(t)dtconvergent.

1)Alors: Z+1

a (f+µg)(t)dtconverge.

2)Deplus,ona:

Z+1

a (f+µg)(t)dt= Z+1

a f(t)dt+µ Z+1

a g(t)dt

Démonstration.Onseramène(encoreettoujours!)aucasdesintégralessurunsegment.Soitx>a,alorsona,parlinéaritédel’intégralesurunsegment:Zx

a (f+µg)(t)dt= Zx

a f(t)dt+µ Zx

a g(t)dt CommeFetGadmettentdeslimitesen+1,onendéduitquel’intégraleimpropre Z+1 a (f+g)(t)dtestconvergente.Parpassageàlalimitedanscetteégalité,onadeplus:Z+1

a (f+g)(t)dt= Z+1

a f(t)dt+µ Z+1

a g(t)dt

12