II . P ro pr iét és de l’i nt ég ra le sur un seg m en t

(1)

ECE1-B2015-201

C H X V :I nt ég ra tio n sur un se gm en t I. D éfini ti on de l’i nt ég ra le sur un seg m en t

Danscettesection,onnoteaetbdeuxréelstelsquea<b.On considèredesfonctionsf:[a,b]!R. I.1.Airesousunecourbe Définition Soitf:[a,b]!Runefonctioncontinueetpositivesur[a,b]. NotonsCflacourbereprésentativedef. OnappellefonctionairesouslacourbedefetnoteAfla«fonction»: Af:[a,b]!R x7!Af(x)=l’airedelasurfacedélimitéeparCfetl’axe desabscissesentrelesabscissesaetx. Remarque •Cettedéfinitionn’estpasdutoutrigoureuse.Vousavezappris,aucol- lègeàcalculerl’airedepolygones.Maisleproblèmedelamesurede «l’airesousunecourbe»estautrementpluscomplexe.Iln’estdonc pasclairquecettefonctionAfexiste. •Cettedéfinitionaunavantage:ellepermetl’interprétationgéométrique etdonneunebonneintuitiondesrésultatsquel’onvaexposerdansce chapitre.

(2)

CE1-B2015-2016

Représentationgraphique.

abx

Airesouslacourbed’unefonctioncontinuepositive

PropriétéSoitf:[a,b]!Runefonctioncontinueetpositivesur[a,b].AlorslafonctionAfestpositiveetcroissantesur[a,b].

Théorème1.Soitf:[a,b]!Runefonctioncontinueetpositivesur[a,b].AlorslafonctionAfestdérivablesur[a,b],etvérifie:

A 0f(x)=f(x) Démonstration.Onselimite,ici,aucasoùlafonctionfestmonotone,parexemplecroissante.Soitx2[a,b].AfindemontrerquelafonctionAfestdérivableenx,ondoitdéterminerlaquantitésuivante:

limh!0 Af(x+h)Af(x)h

2

(3)

ECE1-B2015-2016 Remarque •CethéorèmeestenfaitvalablepourtoutesommedeRiemann(notam- ment(Tn)et(Mn)).Ladémonstrationestsimilaireàremplacementde xkpar⇠kprèsavec: Zxk+1 xk|t⇠k|dt6Zxk+1 xk|txk|dt •EnfaitsifestC2,onamêmeunthéorèmeplusprécispour(Mn) montrantquelaconvergenceestplusrapidedanscecas. Zb af(t)dtMn6(ba)3 24n2sup x2[a,b]|f00 (x)| Application. Grâceàcethéorème,onpeutcalculeruneapproximationdel’intégrale Zb af(t)dtà"prèsparuncalculdeSn. •Trouverunentiern0telque:(ba)2 2n0M16" Ilsuﬃtdeprendren0=⇠ (ba)2 2"M1⇡ •Sn0estalorsuneapproximationà"prèsdeZb af(t)dt: Zb af(t)dtSn06(ba)2 2n0M16" ,!cfTPd’informatique! 38 ECE1-B2015-201 abx x+h Af(x)h⇥f(x)Af(x+h)Af(x)h⇥f(x+h) ⇥Considéronsh>0: •PardéfinitiondeAf,laquantitéAf(x+h)Af(x)estl’airesous lacourbeCfsurlesegment[x,x+h]. •Onpeutbornercettequantitéparl’airededeuxrectangles,l’un au-dessusetl’unau-dessousdeCfsur[x,x+h](cfdessin).Plus précisément,ona: h⇥f(x)6Af(x+h)Af(x)6h⇥f(x+h) etdoncf(x)6Af(x+h)Af(x) h6f(x+h) •Orf(x)! h!0+f(x)etf(x+h)! h!0+f(x). Parlethéorèmed’encadrement,Afestdérivableàdroiteenxcar: lim h!0+Af(x+h)Af(x) h=f(x) ⇥Considéronsh<0: OndémontredemêmequeAfestdérivableàgaucheenxet: lim h!0Af(x+h)Af(x) h=f(x) Ainsi,Afestdérivableenxetona:A0 f(x)=f(x).

(4)

ECE1-B2015-2016

Ainsi,ona:Zb

a f(t)dtSn

= n1P

k=0 Zxk+1

xk f(t)dt n1P^k=0 Zxk+1

xk f(xk)dt

= n1P

k=0 Zxk+1

xk (f(t)f(xk))dt

6 n1P

k=0 Zxk+1

xk (f(t)f(xk))dtInégalitétriangulairesurlesréels

6 n1P

k=0 Zxk+1

xk |f(t)f(xk)|dtInégalitétriangulairesurlesintégrales

Or,parlethéorèmedesaccroissementsfinis,onaque:

|f(t)f(xk)|6M1|txk| Ainsi: Zxk+1

xk |f(t)f(xk)|dt6M1 Zxk+1

xk |txk|dt Etcommet>xkpourtoutt2[xk,xk+1],ona:Zxk+1

xk |txk|dt= Zxk+1

xk (txk)dt= 12 (txk)2 xk+1

xk= 12 (xk+1xk)2

Aufinal,onobtient:

Zb

a f(t)dtSn6 n1P

k=0 M12 (xk+1xk)2

= n1P

k=0 M12 ✓ban ◆2=n M12 (ba)2

n2= (ba)2

2n M

37 CE1-B2015-2016

I.2.Primitives

DéfinitionSoitf:I!RunefonctiondéfiniesurunintervalleI.

•OnappelleprimitivedefsurItoutefonctionF:I!Rquivérifie:a)FestdérivablesurI.b)F0=f.

Théorème2.

ToutefonctioncontinuesurunintervalleIadmetuneprimitivesurcetintervalle.

Démonstration.Admis.

Théorème3.Soitf:I!RunefonctioncontinuesurI.SoitFuneprimitivedefsurI.

1)GestuneprimitivedefsurI)92R,8x2I,G(x)=F(x)+

2)Soitc2I.IlexisteuneuniqueprimitivedefsurIs’annulantenc.C’estlafonctionx7!F(x)F(c).Démonstration.1)SiGestuneprimitivedefsurIalors,pardéfinition,G 0=f=F 0.Onendéduitque:F 0G 0=0etdonc(FG) 0=0.Ainsi,FGestunefonctionconstante:92R,FG=.2)SideplusGs’annuleenc,alorsG(c)=F(c)+=0etdonc=F(c).

Retouràl’intuitionSifestcontinuepositive,lafonctionAf(sielleexiste!)estuneprimitivedefsur[a,b].Onpeutmêmeêtreplusprécis:c’estl’uniqueprimitivedefquis’annuleena.

4

(5)

ECE1-B2015-2016 L’énoncéducasparticuliernousinviteàfaireapparaîtrelaquantiték n danslasommefinie.Orona: n+k=n✓ 1+k n◆ doncnP k=1

1 n+k=nP k=1

1 n1 1+k n=1 n

nP k=1

1 1+k n Ainsi:1 n

nP k=1

1 1+k n=1 n

nP k=1f✓ k n

◆ avecf:t7!1 1+t. Onendéduitquelasuitedel’énoncéestconvergenteetque: lim n!+11 n

nP k=1

1 1+k n=Z1 0

1 1+tdt=[ln(|1+t|)]1 0=ln2ln1 IV.2.c)VitessedeconvergencedanslecasdefonctionsC1 (CULTURE) Théorème18. Soitf:[a,b]!RdeclasseC1sur[a,b]. NotonsM1=sup x2[a,b]|f0 (x)|. Alorsona:Zb af(t)dtSn6(ba)2 2nM1 Démonstration. Remarquonstoutd’abordqueM1estbiendéfini.Eneﬀet,commef estC1,f0estcontinue.Surlesegment[a,b]elleestdoncbornéeetat- teintsesbornes,cequidémontrel’existencedeM1=sup x2[a,b]|f0 (x)|= max x2[a,b]|f0 (x)|. ParlarelationdeChasles,ona:Zb af(t)dt=n1P k=0

Zxk+1 xkf(t)dt. D’autrepart,pardéfinition,ona:Sn=n1P k=0(xk+1xk)f(xk). Onremarquedeplusque:(xk+1xk)f(xk)=Zxk+1 xkf(xk)dt. 36 ECE1-B2015-201 I.3.Définitiondel’intégralesurunsegment I.3.a)Casdesfonctionscontinues Définition Soitf:I!RunefonctioncontinuesurunintervalleI. SoitFuneprimitivedefsurIetsoit(a,b)2I2. (onnesupposepasicia<b) •Onappelleintégraledeaàbdelafonctionf,etonnoteRb af(t)dt laquantité: Zb af(t)dt=[F(t)]b a=F(b)F(a) Retouràl’intuition •Sifestcontinueetpositive(etsiAfexiste!),alorsAfestuneprimitive defsur[a,b].Ainsi,onpourrapenserl’intégraledefsur[a,b]comme l’airedelasurfacedéfiniesouslacourbeCfentreaetb. Remarque •Lanotiond’intégralesurunsegmentestindépendantedelaprimitive choisie.Eneﬀet,siFetGsontdeuxprimitivesdef,alorspourun 2R: F=G+ Ainsi:F(b)F(a)=(G(b)+)(G(a)+)=G(b)G(a). •Lalettretdeladéfinitionestunevariablemuette. Onnoteradonc,sansdistinction: Zb af(t)dtouZb af(x)dxouZb af(u)du... •Notezqueladéfinitionrestevalablepoura>b.

(6)

ECE1-B2015-201

IV.2.b)Convergencedelaméthode

Théorème17.CasdesfonctionscontinuesSoitf:[a,b]!Rcontinuesur[a,b].

•Convergencedelasomme(Sn). limn!+1 ban n1P

k=0 f ✓a+k ban ◆= Zb

a f(t)dt

•Convergencedelasomme(Tn). limn!+1 ban nP

k=1 f ✓a+k ban ◆= Zba f(t)dt

•Convergencedelasomme(Mn). limn!+1 ban n1P

k=0 f ✓

a+ 2k+12 ban ◆

= Zb

a f(t)dt

Démonstration.Admisdanslecasdesfonctionscontinues.

Casparticulier

•LesexercicessurlessommesdeRiemannsetraitentenfaisantappa-raîtrelecasparticulier:a=0,b=1.Onaalors:

limn!+1 1n n1P

k=0 f ✓kn ◆

= Z1

0 f(t)dt=limn!+1 1n nP

k=1 f ✓kn ◆

•Illustronsceprocédéparunénoncéclassique.Démontrerquelasuite ✓nP

k=1 1n+k ◆estconvergenteetcalculersalimite.

35 CE1-B2015-2016

PropriétéSoitf:I!RunefonctioncontinuesurunintervalleI.Soit(a,b)2I2etsoit2R.(onnesupposepasicia<b)

1) Zb

a 0dt=02) Zb

a f(t)dt= Zb

a f(t)dt

3) Za

a f(t)dt=04) Za

b f(t)dt= Zb

a f(t)dt= Zb

a f(t)dt Démonstration.SoitFuneprimitivedefsurI.Pardéfinition, Zb

a f(t)dt=F(b)F(a). 1)Danscecas,F0=f=0donclafonctionFestconstanteetF(b)=F(a).2)Festuneprimitivedefpuisque:(F) 0=F 0=f.

Ainsi, Zb

a f(t)dt=[F] ba=F(b)F(a). 3)Danscecas, Raaf(t)dt=F(a)F(a)=0. 4)Ona: Za

b f(t)dt=F(a)F(b)=(F(b)F(a))= Zb

a f(t)dt.

Retouràl’intuitionSifestunefonctioncontinuesur[a,b],lapropriété2)permetd’aﬃrmer

que: Zb

a f(t)dt= Zb

a f(t)dt.

Paranalogieaveccettepropriété,ondéfinitl’airesouslacourbeentreaetbd’unefonctioncontinuedoitêtrepenséecommeuneaireorientée:

⇥cetteaireestpositivesifpositive.

⇥cetteaireestnégativesifnégative.(etc’estl’opposédel’airedéfinieparf,fonctionpositive)

6

(7)

ECE1-B2015-2016 Remarque LessommesdeRiemanndépendentdesparamètresa,betf.Entoute rigueur,ilfaudraitdoncécrireSn(a,b,f).Onsepermettrad’allégercette notationpourneconserverqueSnenprécisantparailleurscespara- mètres. IV.2.Méthodedesrectangles IV.2.a)Définition Définition Laméthodedesrectanglesestuneméthoded’analysenumériqueconsis- tantàapprocherlecalculdel’intégraleZb af(t)dt. •Onconsidèreunesubdivisiona=x0<x1<x2<···<xn=b. •OnapprocheZxk+1 xkf(t)dtparl’aired’unrectangledecôté[xk,xk+1] ets’appuyantsurlacourbeCf. •OnapprochealorsZb af(t)dtparlasommedetouteslesairesde rectanglesainsidéfinis. Autrementdit,Zb af(t)dtestapprochéeparunesommedeRiemann. abab SommedeRiemannSnSommedeRiemannTn Découpageavecn=25 34

ECE1-B2015-201 Exemple •Z8 34dt=[4t]8 3=(4⇥84⇥3)=4⇥(83)=20 •Z1 0(2t2 +5t1)dt= 2 3t3 +5 2t2 t

1 0=13 6 •Z1 0

1 t+1dt=[ln(t+1)]1 0=ln2ln1=ln2 •Z1 0

t t+1dt=Z1 0

✓ 11 t+1

◆ dt=[tln(t+1)]1 0=1+ln2 •Z1 0e2t dt= 1 2et

1 0=1 2(e1 e0 )=1 2(e1) •Z1 0tet2 dt=Z1 0

1 2(2tet2 )dt= 1 2et21 0=1 2

✓ 1 e1◆ Théorème4. Soitf:I!RunefonctioncontinuesurunintervalleIetc2I. LafonctionH:I!R x7!Zx cf(t)dtestlaprimitivedef surIquis’annuleenc. 1)Enparticulier,cettefonctionHestdeclasseC1etdedérivéef. Cequel’onpourranoter(avecabusdenotation): ✓Zx cf(t)dt◆0 =f(x) 2)Sideplusu,v:J!Isontdeuxfonctionsdérivablessurl’intervalle J,alorslesfonctions x7!Zv(x) cf(t)dt,x7!Zc u(x)f(t)dt,x7!Zv(x) u(x)f(t)dt sontdérivablessurJ.

(8)

ECE1-B2015-201

IV . So m m e de R iem ann, m ét ho de des rec ta ng les

IV.1.Définition

DéfinitionSoitf:[a,b]!Runefonctioncontinuesur[a,b]etsoitn2N ⇤.Soita=x0<x1<x2<···<xn=bunesubdivisionfiniede[a,b].

•OnappellesommedeRiemanntoutesommes’écrivant:

Rn= n1P

k=0 (xk+1xk)f(⇠k) oùpourtoutk2J0,n1K,⇠kestunélémentchoisidans[xk,xk+1]. RemarqueOnconsidèreenparticulierdessommesdeRiemanndéfiniessurdessub-divisionsrégulièresi.e.tellesque:8k2J0,n1K,xk+1xk= ban .

•Enprenantpourtoutk2J0,n1K,⇠k=xk.

Sn= ban n1P

k=0 f ✓

a+k ban ◆

•Enprenantpourtoutk2J0,n1K,⇠k=xk+1.

Tn= ban nP

k=1 f ✓a+k ban ◆

•Enprenantpourtoutk2J0,n1K,⇠k= xk+xk+12 .

Mn= ban n1P

k=0 f ✓a+ 2k+12 ban ◆

33 CE1-B2015-2016

Lesdérivéesdecesfonctionssont(avecl’abusdenotationprécédent):Zv(x)

c f(t)dt !0=v 0(x)f(v(x)) Zc

u(x) f(t)dt !0=u 0(x)f(u(x))

Zv(x)

u(x) f(t)dt !0

=v 0(x)⇥f(v(x))u 0(x)⇥f(u(x))

Démonstration.SoitFuneprimitivedefsurI.

1)Pardéfinition, Zx

c f(t)dt=F(x)F(c).LafonctionH:x7!F(x)F(c)estdérivablesurIcarFl’est.Deplus,ona:H0=F0=f.Hestdoncbienuneprimitivedef.Deplus,elles’annuleencpuisqueH(c)=F(c)F(c)=0.

2)•Remarquonstoutd’abordque: Zv(x)

c f(t)dt=H(v(x)).LafonctionHvestdérivablesurJcarc’estlacomposéede:

⇥v,dérivablesurJ.Deplus,v(J)⇢I.

⇥H,dérivablesurI.Parlaformulededérivationd’unecomposée,ona:

8x2J,(Hv) 0(x)=H 0(v(x))⇥v 0(x)=f(v(x))⇥v 0(x)

•Demême, Zc

u(x) f(t)dt= Zu(x)

c f(t)dt=H(u(x)).LafonctionHuestdérivablesurJentantquefonctioncomposée.

8x2J,(Hu) 0(x)=H 0(u(x))⇥u 0(x)=f(u(x))⇥u 0(x)

3)UtiliselarelationdeChasles(cfplusloin).Zv(x)

u(x) f(t)dt= Zc

u(x) f(t)dt+ Zv(x)

c f(t)dt... !

8

(9)

ECE1-B2015-2016 Représentationgraphique. aa aa Casd’unefonctionpaireCasd’unefonctionimpaire +=2+=0 Exemple Calculerl’intégrale:Zp 2 p 2xp 4x2dx. Considéronslafonctionf:x7!xp 4x2. •Lafonctionfestdéfinieetcontinuesur[p 2,p 2]. Onpeutdoncconsidérersonintégralesurlesegment[p 2,p 2]. •Démontronsquefestimpaire.Soitx2[p 2,p 2]. f(x)=xp 4(x)2=xp 4x2=f(x) Onenconclut,parlethéorèmeprécédent,que:Zp 2 p 2xp 4x2dx=0. 32 ECE1-B2015-201 Exercice.EDHEC2016 Pourchaqueentiernondéfinitlafonctionfnpar: 8x2[n,+1[,fn(x)=Zx nep t dt a)MontrerquefnestdeclasseC1sur[n,+1[puisdéterminerf0 n(x) pourtoutxde[n,+1[.Donnerlesensdevariationdefn. Démonstration. Soitn2N. a)Lafonctiont7!ep testcontinuesurRdoncsur[n,+1[. Lafonctionfnestlaprimitive,quis’annuleenndelafonctiont7!ep t. OnendéduitquefnestC1sur[n,+1[etque: 8x2[n,+1[,f0 n(x)=ep x >0 Ainsi,fneststrictementcroissantesur[n,+1[. Exemple Onreprendlescalculsprécédents.Enécrivantcescalculsd’intégrales entrec2Retx,onexhibelaprimitivedelafonctions’annulantenc. •Zx 34dt=[4t]x 3=4(x3) •Zx 0(2t2 +5t1)dt= 2 3t3 +5 2t2 t

x 0=2 3x3 +5 2x2 x •Zx 0

1 t+1dt=[ln(t+1)]x 0=ln(1+x)(pourx>1) •Zx 0

t t+1dt=[tln(t+1)]x 0=x+ln(x+1)(pourx>1) •Zx 0e2t dt= 1 2et

x 0=1 2(ex 1) •Zx 0tet2 dt= 1 2et2x 0=1 2⇣ ex2 1⌘

(10)

ECE1-B2015-201

III.3.b)Changementdevariableetparité

Théorème16.Soitf:[a,a]!Rcontinuesur[a,a].

1)Sifestpaire: Za

a f(t)dt=2 Za

0 f(u)du 2)Sifestimpaire: Za

a f(t)dt=0 Démonstration.ParlarelationdeChasles,ona: Za

a f(t)dt= Z0

a f(t)dt+ Za

0 f(t)dt

1)Oneﬀectuelechangementdevariableu=t.

u=t(donct=u),!du=dtetdt=du

•t=a)u=(a)=a

•t=0)u=0=0

Onobtientainsi:Z0

a f(t)dt= Z0

a f(u)du= Z0

a f(u)du= Za

0 f(u)du(ladeuxièmeégalitéestobtenueparparitédelafonctionf)

2)Àl’aideduchangementdevariableu=t,onobtient:

Z0

a f(t)dt= Z0

a f(u)du= Z0

a f(u)du= Za

0 f(u)du

31 CE1-B2015-2016

I.3.b)Casdesfonctionscontinuesparmorceaux

DéfinitionSoitfunefonctioncontinueparmorceauxsur[a,b].Ilexisteunesubdivisiona0=a<a1<···<an=btelleque:

⇥festcontinuesur]ai,ai+1[,

⇥fadmetunelimiteàdroitefinieenai,

⇥fadmetunelimiteàgauchefinieenai+1.Onnotealors˜fileprolongementparcontinuitédefsur[ai,ai+1].NotonsFiuneprimitivede˜fisur[ai,ai+1].

•Onappelleintégraledeaàbdelafonctionf,etonnote Zb

a f(t)dt:

Zb

a f(t)dt= nP

i=1 Zai

ai1 ˜fi(t)dt= nPⁱ=1 (Fi(ai)Fi(ai1))

Idéederrièrecettedéfinition.Oncalculel’airesouslacourbepourchaque«intervalledecontinuité»

[ai,ai+1].Laquantité Zb

a f(t)dtestobtenuecommesommedecesaires.

a0=aa1a2a3=b

10

(11)

ECE1-B2015-2016 Lienentrelethéorèmeetlaméthodesymbolique •Laméthodesymboliqueaévidemmentunliendirectaveclethéorème initial.Considéronsl’intégraleZb af(t)dt. Poserunchangementdevariableuenfonctiondet,revientàécrire: u='1 (t) Lorsquel’oneﬀectuecechangementdevariable,onobtient: u='1(t)(donct='(u)) ,!du=1 '0('1(t))dtetdt='0('1(t))du='0(u)du •t=a)u='1(a) •t=b)u='1(b) Ainsi:Zb af(t)dt=Z'1(b) '1(a)f('(u))'0 (u)du (parrapportauthéorème,a='(↵)etb='()) •L’écriture'1(t)supposequelafonction'réaliseunebijectionde [↵,]sur'([↵,]).C’estpourquoilecadre«'C1bijectif»estun cadreconsidérécommeidéalpourleschangementsdevariable.C’est celuiquiseraadoptédanslesénoncés. •Ainsi,lechangementdevariableu=t2 estproblématique. Eneﬀet,pourpouvoirexprimertenfonctiondeu(i.e.exhiberla fonction'),ilfautquetsoitdesigneconstantsur[a,b].Onnepeut doncpasposeruntelchangementdevariablepouruneintégraleentre a=1etb=5(saufàdécoupercetteintégralecommesommed’une intégralesur[1,0]etd’uneintégralesur[0,5]). 30 ECE1-B2015-201

II . P ro pr iét és de l’i nt ég ra le sur un seg m en t

II.1.RelationdeChasles Théorème5. Soitf:I!Rcontinuesurl’intervalleI. Soit(a,b,c)2I3(onnesupposepasicia<b). Alorsona: Zb af(t)dt=Zc af(t)dt+Zb cf(t)dt Démonstration. NotonsFuneprimitivedefsurI.Onaalors: Zc af(t)dt+Zb cf(t)dt=(F(c)F(a))+(F(b)F(c)) =F(b)F(a)=Zb af(t)dt II.2.Linéaritédel’intégrale Théorème6. Soitf:I!Retg:I!RcontinuessurI. Soit(a,b)2I2etsoit(,µ)2R2(onnesupposepasicia<b). Alorsona: Zb a(f+µg)(t)dt=Zb af(t)dt+µZb ag(t)dt Démonstration. SoientFuneprimitivedefetGuneprimitivedeg. AlorsF+µGestdérivableet(F+µG)0 =F0 +µG0 =f+µg. Ainsi,F+µGestuneprimitivedef+µg. 11

(12)

ECE1-B2015-201

•Leprogrammeofficielprécisequeles«changementsdevariablesautresqu’affinesserontprécisésdanslesexercices».Ilfautdonccomprendrequelechangementsdevariableaffines(ceuxdutypeu=ct+d)neserontpas(forcément)précisés.

ExerciceConsidéronsparexemple:I= Z3

0 tp2t+3 dt.

MontrerqueI= 14 Z9

3 u3pu duetendéduirelavaleurdeI.

Oneﬀectuelechangementdevariableu=2t+3

u=2t+3(donc2t=u3)

,!du=2dtetdt= 12 du

•t=0)u=2⇥0+3=3

•t=3)u=2⇥3+3=9

Ainsi:I= Z9

3 12(u3)pu 12 du= 14 Z9

3 u3pu du

Or: u3pu = upu 3pu = pu 3pu .Ainsi:

4I= Z9

3 pudu3 Z9

3 1pu du

= "u 32

32 #9

3 3 "u 1212 #9

3 = 23 9 p93 p36 p9 p3

=6 p92 p36 p9+6 p3=4 p3 DoncI= p3.

29 CE1-B2015-2016

D’où: Zb

a (f+µg)(t)dt=[F+µG] ba

=(F(b)+µG(b))(F(a)+µG(a))

=(F(b)F(a))+µ(G(b)G(a))

= Zb

a f(t)dt+µ Zb

a g(t)dt Remarque(POLYuniquement)Cettepropriétésignifiequel’application«intégraleentreaetbd’unefonctioncontinue»(notéeiciInta,betdéfinieci-dessous)estlinéaire.

Inta,b:C([a,b],R)!R

f7! Zb

a f(t)dt Autrementdit,ona:8(,µ)2R2,8(f,g)2(C([a,b],R))2,

Inta,b(f+µg)=Inta,b(f)+µInta,b(g) Théorème7.(Généralisationaucasdenfonctions)Soientn2N⇤et(1,...,n)2Rn.Soit(a,b)2I2(onnesupposepasicia<b).Soientf1,...,fn:I!RdesfonctionscontinuessurI.Alorsona:Zb

a ✓nP

i=1 ifi ◆

(t)dt= nP

i=1 i Zb

a fi(t)dt

Remarque(POLYuniquement)Cettepropriétésignifielacompatibilitédel’applicationintégraleaveclescombinaisonslinéaires,cequiestvérifiépourtouteapplicationlinéaire.

Inta,b ✓nP

i=1 ifi ◆

= nP

i=1 iInta,b(fi)

12

(13)

ECE1-B2015-2016 •L’idéeduchangementdevariableestdefairedisparaîtreunepartie «gênante»delaquantitéf(t).Ainsi,onposerasouventlechangement devariable:«u=laracineprésentedansl’intégrale». MÉTHODO:calculdeZ2 1

dt t+2p tàl’aideduchangementdevariable u=p t u=p t(donct=u2) ,!du=1 2p tdtetdt=2p tdu=2udu •t=1)u=p 1=1 •t=2)u=p 2 Ainsi:Z2 1

dt t+2p t=Zp 2 1

1 u2+u2udu Or:Zp 2 1

1 u(u+1)2udu=2[ln(|u+1|)]

p 2 1=2lnp 2+1 2

! •MÉTHODO:calculdeZ1 0

1 p 1+etdtenposantu=p 1+et u=p 1+et(doncet=u21) ,!du=et 2p 1+etdtetdt=2p 1+et etdu=2u u21du •t=0)u=p 1+e0=p 2 •t=1)u=p 1+e Ainsi:Z1 0

1 p 1+etdt=Zp 1+e p 2

1 u2u u21du Onterminececalculenremarquantque:1 u21=

1 2 u1

1 2 u+1 28

ECE1-B2015-201 II.3.Positivitédel’applicationd’intégration II.3.a)Énoncé Théorème8. Soitf:I!RcontinuesurunintervalleI. Soit(a,b)2I2telquea<b. 1)f>0sur[a,b])Zb af(t)dt>0 2)f>0sur[a,b])Zb af(t)dt>0 Démonstration. NotonsFuneprimitivedefsurI. 1)Supposonsf>0.AlorsF0=f>0etFestcroissante.Deplus, commea<b,onaF(a)6F(b)etdonc:Zb af(t)dt=F(b)F(a)> 0. 2)Supposonsf>0.AlorsF0=f>0etFeststrictementcroissante.Et commea<b,onaF(a)<F(b)etdonc:Zb af(t)dt=F(b)F(a)> 0. Remarque Onpeutdéduiredecethéorèmeprécédent: f60sur[a,b])Zb af(t)dt60 Eneﬀet,sif60,alorsf>0etdonc,enintégrantsur[a,b](b>a), Zb af(t)dt>0,cequimontreZb af(t)dt>0etdoncZb af(t)dt60. 13

(14)

ECE1-B2015-201

Aspectpratique

•Sionseréfèreauthéorèmeprécédent,unchangementdevariableestladonnéed’unefonction'.

,!calculde Z2

1 dtet+1 àl’aideduchangementdevariable':t7!lnt. '(t)=lntet'0(t)= 1t•'(↵)=1)↵=e

•'()=2)=e2

Ainsi, Z2

1 dtet+1 = Ze2

e 1t+1 1t dt. Onterminececalculenremarquant: 1t(t+1) = 1t 1t+1

•Enpratique,leschangementsdevariableserontréalisésàl’aidedelaméthodesymboliquedécriteci-dessous.

MÉTHODO:calculde Z2

1 dtet+1 àl’aideduchangementdevariable u=e t

u=et

,!du=etdtetdt= 1et du= 1u du

•t=1)u=e1

•t=2)u=e2

Enremplaçantdtpar 1u duete tparu,onobtient:

Z2

1 dtet+1 = Ze2

e1 1u+1 1u du

cequicorrespondaucalculprécédent.

27 CE1-B2015-2016

Remarque(POLYuniquement)Cerésultatpeutseréécrireàl’aidedel’applicationInta,b.

f>0)Inta,b(f)>0 Théorème9.(zérodel’applicationd’intégration)Soitf:I!RcontinuesurunintervalleI.Soit(a,b)2I2telquea<b.

• Zb

a f(t)dt=0

•fpositivesur[a,b]

(8x2[a,b],f(x)>0) 9>>>>=>>>>; ) festnullesur[a,b](8x2[a,b],f(x)=0)

Démonstration.NotonsFuneprimitivedefsurI.Onreprendladémonstrationduthéorème8.

•CommeF 0=f>0sur[a,b],lafonctionFestcroissantesur[a,b].Onendéduitque:F(a)=min[a,b] FetF(b)=max[a,b] F.

•Deplus, Zb

a f(t)dt=F(b)F(a)=0parhypothèse.Ainsi,min[a,b] F=F(a)=F(b)=max[a,b] F.

OnenconclutqueFestconstantesur[a,b]etqueF0=f=0sur[a,b].

RemarqueAinsi,sif:[a,b]!Rcontinueetpositivesur[a,b](aveca<b).Zb

a f(t)dt=0,festnullesur[a,b]

Lesensdirect())estl’énoncéduthéorème9.Laréciproque(()estl’unedespropriétésdebasedel’intégrale.

14

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ECE1-B2015-2016 •Pourillustrercepropos,considéronsparexempleZ2 1p tdt. Autrementdit,onchercheàdéterminerl’intégraledef:t7!p t. Appliquonsmaintenantlethéorèmeprécédentavec':t7!t2 . '(t)=t2et'0(t)=2t •'(↵)=1,↵2=1,(↵=1OU↵=1) •'()=2,2=2,(=p 2OU=p 2) (f')(t)=p t2=|t| Enappliquantlethéorème,onaboutitauxintégralessuivantes: Zp 2 1|t|⇥2tdtZp 2 1|t|⇥2tdtZp 2 1|t|⇥2tdtZp 2 1|t|⇥2tdt Laquelleest«labonne»?Enréalité,ellessonttoutesvalides. p 2 p 21

p 2 p 2

1 p 2 p 2

1p 2 p 2

1 •Notonsquesilafonction':I!Jchoisiepourlechangementde variableestunebijectiondeIsurJ,laquestionprécédentenesepose pluspuisque'(↵)admetcommeununiqueantécédentpar'l’élément '1 ('(↵))=↵. 26 ECE1-B2015-201 II.3.b)Techniquesdemajoration Théorème10. Soientf,g:I!RcontinuessurunintervalleI. Soit(a,b)2I2 telquea<b. Alors: f6gsur[a,b])Zb af(t)dt6Zb ag(t)dt Démonstration. Onappliquelethéorèmeprécédentàlafonctiongf>0.Enintégrant sur[a,b](b>a),ona:Zb a(gf)(t)dt>0etZb ag(t)dt> Zb af(t)dt. Remarque CettepropriétésignifiequeInta,bestuneapplicationcroissante. f6g)Inta,b(f)6Inta,b(g) Exemple Pourn2N,onnoteJn=Z1 0

xn 1+x2.MontrerqueJn!0. Soitx2[0,1].Comme:061 1+x261etxn>0,ona: 06xn 1+x26xn etdonc,enintégrantsurlesegment[0,1](1>0),onobtient: Z1 00dx6Z1 0

xn 1+x2dx6Z1 0xn dx= xn+1 n+1

1 0 ainsi06Jn61 n+1 Parlethéorèmed’encadrement,(Jn)estconvergenteetdelimite`=0. 15

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ECE1-B2015-201

III.3.ChangementdevariableIII.3.a)Calculsd’intégralesparchangementdevariable

Théorème15.Soitf:I!RcontinuesurunintervalleI.Soit'unefonctiondeclasseC1surJ=[↵,]tq'([↵,])✓I.Z'()

'(↵) f(t)dt= Z

↵ (f')(t)' 0(t)dt Démonstration.SoitFuneprimitivedefsurI.Alorsona(F')0=F0'⇥'0.Autrementdit,F'estuneprimitivedef'⇥'0.Z

↵ (f')(t)' 0(t)dt=[(F')(t)]↵=F('())F('(↵))

=[F(t)] '()

'(↵) = Z'()

'(↵) f(t)dt

Aspectthéorique(CULTURE)

•Onadémontrél’égalitédedroiteàgauche:onpartdel’intégrale Z

↵ (f')(t)' 0(t)dtetonaboutit Z'()

'(↵) f(t)dt.

Onpeuteneﬀetutiliserceténoncédanscesens.Parexemple:Z3

2 dttlnt = Z3

2 1lnt 1t dt= Zln3

ln2 1t dt=[ln|t|] ln3

ln2 =ln(ln3)ln(ln2) avecf:t7! 1tet':t7!lnt.

•Cetteutilisationestenfaitrarissime.Onutilisegénéralementceténoncé

delagauche Z'()

'(↵) f(t)dt !versladroite ✓Z

↵ (f')(t)' 0(t)dt ◆.

25 CE1-B2015-2016

Exercice.EDHEC2016(suite)Pourchaqueentiernondéfinitlafonctionfnpar:

8x2[n,+1[,fn(x)= Zx

n e ptdt

b)Enminorantfn(x),établirquelimx!+1 fn(x)=+1. c)Endéduirequepourchaqueentiernatureln,ilexisteununiqueréel,notéun,élémentde[n,+1[,telquefn(un)=1.d)Montrerquelimn!+1 un=+1.

Démonstration.b)Soitt2[n,+1[.Onaalorst>n.ParcroissancedelafonctionracinesurR+puisparcroissancedelafonctionexponentielle,ona:e pt>e pn.Soitx>n.Enintégrantsurlesegment[n,x](x>n),onobtient:

fn(x)= Zx

n e ptdt> Zx

n e pndt=(xn)e pn

Commelimx!+1 (xn)e pn=+1,onendéduitquelimx!+1 fn(x)=

+1.c)Lafonctionfnest:

⇥continuesur[n,+1[,

⇥strictementcroissantesur[n,+1[.Elleréalisedoncunebijectionde[n,+1[surfn([n,+1[).Or:

fn([n,+1[)=[fn(n),limx!+1 fn(x)[=[0,+1[ Comme12[0,+1[,l’équationfn(x)=1admetuneuniquesolution,notéeun,dans[n,+1[.d)D’aprèslaquestionprécédente,un>n.Commelimn!+1 n=+1,onalimn!+1 un=+1.

16

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ECE1-B2015-2016 Principe. EﬀectueruneIPPconsistedoncàécrirelafonctiondontondoitcalculer l’intégralecommeunproduitdedeuxfonctions(u⇥v0). ⇥dontl’uneseradérivée(vv0), ⇥etl’autreseraintégrée(u0u). Exemple •Z2 1lntdt=[tlnt]2 1

Z2 11dt=2ln21 •Z2 1t2lntdt=1 3⇥ t3lnt⇤2 11 3Z2 1t2dt=... •Z2 1tk lntdt=1 k+1

h tk+1 lnti2 1

1 k+1

Z2 1tk dt=... •Z2 1(lnt)2 dt=⇥ (lnt)2⇤2 12Z2 1lntdt=... •Z2 1

tlnt (t2+1)2dt=1 2⇥ (t2 +1)1 lnt⇤2 1+1 2

Z2 1

1 t(1+t2)dt Or1 t(1+t2)=1 tt 1+t2donc... •Z1 0t3 et2 dt=1 2h t2 et2i1 0

Z1 0tet2 dt=... Àretenir Ilfauts’empresserdedériverlafonctionln:enladérivant,ontombesur lecalculdelaprimitived’unefonctionrationnelle. Application:calculd’uneprimitivedeln. Soitx>0.Lecalculprécédentnousfournitlaprimitivedelafonctionln quis’annuleen1. Zx 1lntdt=[tlnt]x 1

Zx 11dt=xlnx(x1) 24

ECE1-B2015-2016 Théorème11.(Inégalitétriangulaire) Soitf:I!RcontinuesurunintervalleI. Soit(a,b)2I2telquea<b. Zb af(t)dt6Zb a|f(t)|dt Démonstration. Ondoitdémontrerque:Zb af(t)dt6Zb a|f(t)|dt,cequiéquivaut à:Zb a|f(t)|dt6Zb af(t)dt6Zb a|f(t)|dt Considéronsalorslesfonctionsf+=|f|+f 2etf=|f|f 2. •Comme|f|>fet|f|>f,lesfonctionsf+etfsontpositives. •Deplus,|f|=f++fetf=f+f. Revenonsalorsàladoubleinégalité.Oncommenceparremplacerfet |f|parleurvaleurenfonctiondef+etf. (i)L’inégalitédegaucheéquivautà: Zb a(f+ (t)+f(t))dt6Zb a(f+ (t)f(t))dt età:Zb af+ (t)dtZb af(t)dt6Zb af+ (t)dtZb af(t) i.e.:062Zb af+ (t)dt (ii)Demême,l’inégalitédedroiteéquivautà:2Zb af(t)dt60 Cesdeuxinégalitéssontvérifiéespuisquef+etfsontpositives. 17

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ECE1-B2015-201

III.2.Intégrationparparties

Théorème14.Soientu,v:I!RdeuxfonctionsdeclasseC1surunintervalleI.Soit(a,b)2I 2.Zb a u 0(t)v(t)dt=[u(t)v(t)] ba Zb

a u(t)v 0(t)dt

Cequ’onpeutlire:

Zb

a u(t)v 0(t)dt=[u(t)v(t)] ba Zb

a u 0(t)v(t)dt Démonstration.Ona(uv)0=u0v+uv0.Ainsi,lafonctionuvestuneprimitivedeu0v+uv0.Cettedernièrefonctionestcontinueparsomme/produitdefonctionscontinues(uC 1)u 0C 0).Elleadmetdoncuneintégraleentreaetb.Zb

a (u 0(t)v(t)+u(t)v 0(t))dt=[u(t)v(t)] ba

Onconclutparlinéaritédel’intégrale.

Remarque

•Onutiliseral’abréviationIPP.

•Celapermetdedéplacerleproblème:passerducalculde Zb

a u 0(t)v(t)dtaucalculde Zb a u(t)v 0(t)dt(ouinversement).

•Moyenmnémotechnique: u=...u0=...v0=...v=...

23 CE1-B2015-2016

RemarqueLesfonctionsf+etfsontappeléesréciproquementpartiepositiveetpartienégativedelafonctionf.Notezquecesdeuxfonctionssontposi-tives.

•f+:x7!max(f(x),0)= ⇢f(x)sif(x)>00sinon

•f:x7!min(f(x),0)= ⇢f(x)sif(x)<00sinon

abab

PartiepositivedefPartienégativedef

ab

Valeurabsoluedef

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ECE1-B2015-2016 Primitivesclassiques. FonctionUneprimitive x7!x7!x x7!xn (avecn2N)x7!xn+1 n+1 x7!x↵ (avec↵2R\{1})x7!x↵+1 ↵+1 x7!1 xx7!ln|x| x7!exx7!ex x7!x (avec>0)x7!x ln x7!u0(x)(u(x))n (avecn2N)x7!(u(x))n+1 n+1 x7!u0 (x)(u(x))↵ (avec↵2R\{1})x7!(u(x))↵+1 ↵+1 x7!u0(x) u(x)x7!ln|u(x)| x7!u0(x)eu(x)x7!eu(x) 22 ECE1-B2015-201 Théorème12. Soitf:I!RcontinuesurunintervalleI. Soit(a,b)2I2 telquea<b. (ba)min [a,b]f6Zb af(t)dt6(ba)max [a,b]f Démonstration. festcontinuesurlesegment[a,b].Elleestdoncbornéeetatteintses bornes. Ainsi,min [a,b]fetmin [a,b]fexistentbien.Soitt2[a,b].Ona: min [a,b]f6f(t)6max [a,b]f etdonc,enintégrantsur[a,b](b>a),onobtient: Zb a

✓ min [a,b]f◆ dt6Zb af(t)dt6Zb a

✓ max [a,b]f◆ dt ainsi(ba)min [a,b]f6Zb af(t)dt6(ba)max [a,b]f Application •Sif:[a,b]!Restcontinueetdécroissantesur[a,b],ona: min [a,b]f=f(b)etmax [a,b]f=f(a) Enreprenantladémonstrationprécédente,onobtient: f(b)6f(t)6f(a) etdoncenintégrantsur[a,b](b>a),onobtient: Zb af(b)dt6Zb af(t)dt6Zb af(a)dt ainsi(ba)f(b)6Zb af(t)dt6(ba)f(a) 19

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ECE1-B2015-201

II I. T ec hni ques de ca lc ul des in tég ra les

III.1.Calculdeprimitives«àvue»

Principe.Ils’agiticidecalculeruneintégraleendevinantunedesesprimitives.Autrementdit,ilfautêtrecapabledevoirlafonctionfàintégrercommeladérivéed’uneautrefonction.

Exemple

• Z1

0 5dt=[5t] 10 =5[t] 10 =5(10)=5

• Z1

0 t 2dt= 13 t 3 1

0 = 13 (10)= 13

• Z1

0 ptdt= 23 t 32 1

0 = 23 ht 32 i10 = 23 (10)= 23

• Z2

1 1t dt=[lnt] 21 =ln2ln1

• Z1

0 e tdt= ⇥e t⇤10 =(e 1e 0)=e 11

• Z1

0 t(t2+1)3 dt= Z1

0 t(t 2+1) 3dt= 12 (t 2+1) 2 1

0

= 12 1(t2+1)2 1

0 = 12 ✓14 11 ◆= 38

• Z1

0 tpt2+1 dt= Z1

0 t(t 2+1) 12dt= h(t 2+1) 12 i10 = p2 p1=p21

• Z1

0 t(t2+1) dt= 12 ln(|t 2+1|) 1

0 = 12 ⇥ln(t 2+1) ⇤10 = 12 (ln2

ln1)

• Z2

1 e 1tt2 dt= he 1t i2

1 = ⇣e 12e 11 ⌘=e pe

21 CE1-B2015-2016

•Ainsi,sil’onconsidèreunsegmentdelongueur1,detype[k,k+1](aveck2N),onobtientque:

f(k+1)6 Zk+1

k f(t)dt6f(k)

Onretrouveleschéma(casdécroissant)deladémonstrationduthéo-rème1.

f(k+1) f(k)

kk+1

f(k+1)f(k)

Théorème13.Soitf:I!RcontinuesurunintervalleI.Soit(a,b)2I2telquea<b.Zb

a f(t)dt6 Zb

a |f(t)|dt6(ba)max[a,b] |f|

Démonstration.Combinaisondesrésultatsduthéorème11et12sachantquex7!|f(x)|estconitnuesur[a,b](commecomposéedefonctionscontinues...).

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