LFM – Mathématiques – 4ème
1
A
B C
D
S
2. patron d’une pyramide régulière à base hexagonale
IIII LLee ccôônnee ddee rréévvololuuttioion n
Le patron de la surface latérale est un secteur circulaire
Le cône de révolution est le solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d’un côté de l’angle droit.
Ici le triangle MOS tourne autour du côté [OS] pour engendrer le cône.
Le segment [SM] est une génératrice du cône.
[OS] est la hauteur du cône la hauteur est aussi la longueur OS
La base du cône est un disque de centre O et de rayon [OM]
génératrices
hauteur
Surface latérale
Disque de base
Le périmètre du disque de base est égal à la
longueur de l’arc AA'
Ch 6 : Pyramide et cône de révolution
I Les pyramides
Définition : Une pyramide est un solide dont une face, la base, est un polygone ne contenant pas le sommet de la pyramide et dont les faces latérales sont des triangles qui ont un sommet commun.
H
Définition : La hauteur d’une pyramide de sommet S est le segment [SH] perpendiculaire au plan de la base où H est un point de ce plan. On appelle aussi hauteur la longueur du segment [SH].
Définition : L’aire latérale d’une pyramide est la somme des aires de ses faces latérales.
L’aire totale d’une pyramide est la somme des aires de toutes ses faces.
II Les cônes de révolution
Définition : Un cône de révolution est le solide obtenu en faisant effectuer à un triangle rectangle un tour autour d’un des côtés de l’angle droit.
Un cône de révolution est formé : -‐ D’un disque appelé base
-‐ D’une surface courbe appelée surface latérale -‐ D’un point appelé sommet du cône
Définition : La hauteur d’un cône est le segment joignant son sommet au centre de la base.
On appelle aussi hauteur la longueur de ce segment.
LFM – Mathématiques – 4ème
2
III Patron de pyramides et de cônes
1) Patron de pyramides Propriété :
Un patron de pyramide est constitué de la base et des faces latérales triangulaires
Exemple 1 : Patron de pyramide à base rectangulaire :
II I I P Pa at tr ro on ns s d d’ ’ un u ne e p py yr ra am mi id de e
1. réalisons un patron de la pyramide de la figure 1 On sait que AB = 8cm, BC = 5cm et AS = 6cm
Par exemple
SABCD est une pyramide régulière.
Sa base ABCD est un carré.
Sa hauteur passe par le centre de la base.
Les arêtes latérales sont de la même longueur : SA = SB = SC = SD et les faces latérales sont donc des triangles isocèles.
figure 3
On commence par le rectangle ABCD.
On peut remarquer que les 4 faces latérales sont des triangles rectangles.
Observons bien les codages qui sont indispensables pour une construction au compas.
Il y a d’autres patrons possibles pour cette pyramide.
LFM – Mathématiques – 4ème
3
Exemple 2 : Patron d’une pyramide régulière à base hexagonale
Exemple 3 : Construire le patron d’un tétraèdre régulier de côté 3 cm
2) Patrons de cônes
2. patron d’une pyramide régulière à base hexagonale
II I I Le L e c c ôn ô ne e de d e r ré év v ol o lu u ti t io o n n
Le patron de la surface latérale est un secteur circulaire
Le cône de révolution est le solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d’un côté de l’angle droit.
Ici le triangle MOS tourne autour du côté [OS] pour engendrer le cône.
Le segment [SM] est une génératrice du cône.
[OS] est la hauteur du cône la hauteur est aussi la longueur OS
La base du cône est un disque de centre O et de rayon [OM]
génératrices
hauteur
Surface latérale
Disque de base
Le périmètre du disque de base est égal à la
longueur de l’arc AA' 2. patron d’une pyramide régulière à base hexagonale
IIII LeLe côcônnee ddee rérévovolluutitioonn
Le patron de la surface latérale est un secteur circulaire
Le cône de révolution est le solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d’un côté de l’angle droit.
Ici le triangle MOS tourne autour du côté [OS] pour engendrer le cône.
Le segment [SM] est une génératrice du cône.
[OS] est la hauteur du cône la hauteur est aussi la longueur OS
La base du cône est un disque de centre O et de rayon [OM]
génératrices
hauteur
Surface latérale
Disque de base
Le périmètre du disque de base est égal à la
longueur de l’arc AA'
LFM – Mathématiques – 4ème
4
IV Volumes
Le volume d’une pyramide ou d’un cône de révolution est égal au tiers du produit de l’aire de la base du solide par la hauteur h du solide.
𝑉 = 𝐴!"#$×ℎ
3
Remarque : Pour le cône on retiendra la formule :
V Applications
Enoncé 1 :
On considère une pyramide à base carrée de côté 3 cm et de hauteur h = 6 cm.
Calculer la valeur exacte du volume V de la pyramide, puis une valeur approchée au cm3 près.
……….
……….
……….
……….
……….
Enoncé 2 :
Soit un verre ayant la forme d’un cône de révolution de volume 25 cL Sachant que OA = 3 cm, calculer la profondeur 𝑆𝑂 du verre.
………
………
………
………
……….
……….
……….
……….
……….
