T est s pa ra m ´etriques
Fr´ed´ericBertrandetMyriamMaumy-Bertrand1 1IRMA,UMR7501,Universit´edeStrasbourg 2015 F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques20131/139P re mi `ere pa rt ie I In tr od uc ti on g´e n´e ra le `a la no ti on de te st s
F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques20132/139P ar tie 1 : Int ro duct io n g´e n´e ra le `a la no tion de test s
1` Aquoisertuntest? Hypoth`eseseterreurs Testsbilat´eraletunilat´eral 2Constructiond’untest Statistiquedetest R´egioncritiqueetr´egiond’acceptation 3Miseenœuvrepratique Lad´emarche`asuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques20133/139
D ´efin iti on
Untestestunm´ecanismequipermetdetrancherentredeuxhypoth`eses`a lavuedesr´esultatsd’un´echantillon,enquantifiantlerisqueassoci´e`ala d´ecisionprise.L es deux hy p ot h`eses
SoientH0etH1deuxhypoth`eses,dontuneetuneseuleestvraie. H0joueleplussouventunrˆolepr´edominantparrapport`aH1. EneffetH0estl’hypoth`eseder´ef´erencealorsqueH1estl’hypoth`ese alternative. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques20134/139Ex em ple d’ hy p ot h`eses
Vouspouvezavoircommehypoth`esenulle: H0:Lamoyennedelapopulationest´egale`aµ0 et,danscecas,unehypoth`esealternativepourraitˆetre H1:Lamoyennedelapopulationestdiff´erentedeµ0 ouencore H1:Lamoyennedelapopulationeststrictementplusgrandeque µ0. BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques20135/139Ex em ple d’ hy p ot h`eses (s uit e)
Unemani`erecondens´eed’´ecrireceshypoth`esesest: H0:µ=µ0 contre H1:µ6=µ0. et H0:µ=µ0 contre H1:µ>µ0. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques20136/139D ´eci sio n
Lad´ecisiond’untestconsiste`achoisirentreH0etH1.Ri sque s
Ilyadoncquatrecaspossiblesquisontd´etaill´esdansletableau ci-dessous: H0vraieH1vraie H0d´ecid´ee1−αβ H1d´ecid´eeα1−β o`uαetβsontlesrisquesd’erreurdepremi`ereetdedeuxi`eme esp`ece. BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques20137/139D ´efin iti on
L’erreurdepremi`ereesp`eceestlefaitded´eciderquel’hypoth`ese alternativeH1estvraiealorsqu’enfait,enr´ealit´e,c’estl’hypoth`esenulle H0quiestvraie. Lerisqued’erreurassoci´e`acetted´ecisionestnot´eg´en´eralementα. Ils’agitdoncdelaprobabilit´eded´ecider`atortquel’hypoth`esealternative H1estvraie. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques20138/139D ´efin iti on
L’erreurdedeuxi`emeesp`eceestlefaitded´eciderquel’hypoth`esenulle H0estvraiealorsqu’enfait,enr´ealit´e,c’estl’hypoth`esealternativeH1 quiestvraie. Lerisqued’erreurassoci´e`acetted´ecisionestnot´eg´en´eralementβ. Ils’agitdoncdelaprobabilit´eded´ecider`atortquel’hypoth`esenulleH0 estvraie. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques20139/139L ien ent re les ri squ es
Lasituationid´ealeseraitquecesdeuxerreurssoientnullesmaiscen’est paspossible. Pireencore,toutesautreschoses´etantfix´ees,cesdeuxerreurssont antagonistes: sivousdiminuezαalorsβaugmenteetinversementsivousdiminuezβ alorsαaugmente. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201310/139Ni veau de sign ifica tiv it ´e
DepuislestravauxdeNeymanetPearson,l’erreurdepremi`ereesp`eceest limit´ee`aunniveauditniveaudesignificativit´e. Lefaitd’imposerαfaibleconduit`auner`egleded´ecisionplusstricte. Eneffet,danscecas,lad´ecisionconsiste`aabandonnerH0dansdescas rarissimes,et`aconserver,plussouvent,`atortH0.Ni veau x usu els
Lesvaleurslespluscourantespourαsont10%,5%ou1%. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201311/139D ´efin iti on
Lapuissanced’untestest´egale`a1−βouencorelapuissanceestla probabilit´ederejeterH0`araison.` A ret enir
G´en´eralementlapuissancedoitaumoinsˆetre´egale`a0,80pourˆetre consid´er´eecommesatisfaisante. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201312/139Rem ar que
Lecalculdelapuissanced’untestestg´en´eralementassezcomplexe:il fautsouventfaireappel`aunedesfonctionsou`adeslogicielssp´ecialis´es. Gpower3estunlogicielgratuitquipermetder´ealiserlaplupartdescalculs depuissance. http: //www.psycho.uni-duesseldorf.de/abteilungen/aap/gpower3 BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201313/139P ar tie 1 : Int ro duct io n g´e n´e ra le `a la no tion de test s
1` Aquoisertuntest? Hypoth`eseseterreurs Testsbilat´eraletunilat´eral 2Constructiond’untest Statistiquedetest R´egioncritiqueetr´egiond’acceptation 3Miseenœuvrepratique Lad´emarche`asuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201314/139
In tr o duct io n
Avantd’appliquertoutteststatistique,ils’agitdebiend´efinirleprobl`eme pos´e. Eneffet,selonleshypoth`esesformul´ees,vousappliquerezsoituntest bilat´eral,soituntestunilat´eral.D ´efin iti on
Untestbilat´erals’appliquequandvouscherchezunediff´erenceentre deuxparam`etres,ouentreunparam`etreetunevaleurdonn´eesansse pr´eoccuperdusigneoudusensdeladiff´erence. Danscecas,lazonederejetdel’hypoth`eseprincipalesefaitdepartet d’autredeladistributionder´ef´erence. BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201315/139D ´efin iti on
Untestunilat´erals’appliquequandvouscherchez`asavoirsiun param`etreestsup´erieur(ouinf´erieur)`aunautreou`aunevaleurdonn´ee. Lazonederejetdel’hypoth`eseprincipaleestsitu´eed’unseulcˆot´edela distributiondeprobabilit´eder´ef´erence.Ex em ple s de test
CertainstestscommelestestsduKhi-carr´eouletestdeFisherdansune analysedelavariancesontpratiquementtoujoursunilat´eraux. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201316/139P ar tie 1 : Int ro duct io n g´e n´e ra le `a la no tion de test s
1` Aquoisertuntest? Hypoth`eseseterreurs Testsbilat´eraletunilat´eral 2Constructiond’untest Statistiquedetest R´egioncritiqueetr´egiond’acceptation 3Miseenœuvrepratique Lad´emarche`asuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201317/139
S tat is tiq ue de te st
Lerisqued’erreurdepremi`ereesp`eceα´etantfix´e,ilfautchoisirune variableded´ecisionencoreappel´eestatistiquedetest. Cettevariableestconstruiteafind’apporterdel’informationsurle probl`emepos´e,`asavoirlechoixentrelesdeuxhypoth`eses. Saloidoitˆetreparfaitementd´etermin´eedansaumoinsunedesdeux hypoth`eses(leplussouventdansH0)afindenepasintroduirede nouvellesinconnuesdansleprobl`eme. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201318/139P ar tie 1 : Int ro duct io n g´e n´e ra le `a la no tion de test s
1` Aquoisertuntest? Hypoth`eseseterreurs Testsbilat´eraletunilat´eral 2Constructiond’untest Statistiquedetest R´egioncritiqueetr´egiond’acceptation 3Miseenœuvrepratique Lad´emarche`asuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201319/139
D ´efin iti on
Lar´egioncritiquenot´eeW(Wpourwrong),ouencoreappel´eezonede rejetest´egale`al’ensembledesvaleursdelavariableded´ecisionqui conduisent`a´ecarterH0auprofitdeH1. Lar´egioncritiquecorresponddoncauxintervallesdanslesquelsles diff´erencessonttropgrandespourˆetrelefruitduhasardd’´echantillonnage.Rem ar que
Danslaplupartdessituationsquevousrencontrerezdanslasuite,la r´egioncritiqueWpeutˆetrereli´eeaurisqued’erreurdepremi`ereesp`eceα parPH0[W]=α. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201320/139D ´efin iti on
Lar´egiond’acceptationnot´eeW,ouencoreappel´eezone d’acceptationestlar´egioncompl´ementairedelar´egioncritiqueW.Elle correspond`al’intervalledanslequellesdiff´erencesobserv´eesentreles r´ealisationsetlath´eoriesontattribuablesauxfluctuations d’´echantillonnage.Rem ar que
Danslaplupartdessituationsquevousrencontrerezdanslasuite,la r´egiond’acceptationWpeutˆetrereli´eeaurisqued’erreurdepremi`ere esp`eceαparPH0 W =1−α. BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201321/139P ar tie 1 : Int ro duct io n g´e n´e ra le `a la no tion de test s
1` Aquoisertuntest? Hypoth`eseseterreurs Testsbilat´eraletunilat´eral 2Constructiond’untest Statistiquedetest R´egioncritiqueetr´egiond’acceptation 3Miseenœuvrepratique Lad´emarche`asuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201322/139
C om ment r´e al iser un te st et conc lur e `a l’a ide d’ une r´eg io n cr it iq ue ?
1Choixdesdeuxhypoth`esesHetH.01 2D´eterminationdelavariableded´ecision. 3Alluredelar´egioncritiqueenfonctiondeH:testbilat´eralou1 unilat´eral. 4Calculdelar´egioncritiqueenfonctiondeα. 5Calculdelavariableded´ecisionobserv´eesurl’´echantillon. BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201323/139C om ment r´e al iser un te st et conc lur e `a l’a ide d’ une r´eg io n cr it iq ue ?
1Choixdesdeuxhypoth`esesH0etH1. 2D´eterminationdelavariableded´ecision. 3Alluredelar´egioncritiqueenfonctiondeH1:testbilat´eralou unilat´eral. 4Calculdelar´egioncritiqueenfonctiondeα. 5Calculdelavariableded´ecisionobserv´eesurl’´echantillon. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201323/139C om ment r´e al iser un te st et conc lur e `a l’a ide d’ une r´eg io n cr it iq ue ?
1Choixdesdeuxhypoth`esesH0etH1. 2D´eterminationdelavariableded´ecision. 3Alluredelar´egioncritiqueenfonctiondeH1:testbilat´eralou unilat´eral. 4Calculdelar´egioncritiqueenfonctiondeα. 5Calculdelavariableded´ecisionobserv´eesurl’´echantillon. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201323/139C om ment r´e al iser un te st et conc lur e `a l’a ide d’ une r´eg io n cr it iq ue ?
1Choixdesdeuxhypoth`esesH0etH1. 2D´eterminationdelavariableded´ecision. 3Alluredelar´egioncritiqueenfonctiondeH1:testbilat´eralou unilat´eral. 4Calculdelar´egioncritiqueenfonctiondeα. 5Calculdelavariableded´ecisionobserv´eesurl’´echantillon. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201323/139C om ment r´e al iser un te st et conc lur e `a l’a ide d’ une r´eg io n cr it iq ue ?
1Choixdesdeuxhypoth`esesH0etH1. 2D´eterminationdelavariableded´ecision. 3Alluredelar´egioncritiqueenfonctiondeH1:testbilat´eralou unilat´eral. 4Calculdelar´egioncritiqueenfonctiondeα. 5Calculdelavariableded´ecisionobserv´eesurl’´echantillon. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201323/139C om ment r´e al iser un te st et conc lur e `a l’a ide d’ une r´eg io n cr it iq ue ?
6Conclusiondutest. Silavaleurcalcul´eeen5appartient`alar´egionconstruiteen4,letest estsignificatifauniveauα. Vousrejetezl’hypoth`esenulleH0etvousd´ecidezquel’hypoth`ese alternativeH1estvraie. Lerisqueassoci´e`acetted´ecisionestunrisqued’erreurdepremi`ere esp`ecequivautα. Silavaleurcalcul´eeen5n’appartientpas`alar´egionconstruiteen4, letestn’estpassignificatifauniveauα. Vousconservezl’hypoth`esenulleH0pard´efaut. Lerisqueassoci´e`acetted´ecisionestunrisqued’erreurdedeuxi`eme esp`ecequivautβ.Pourl’´evaluer,ilfaudraitcalculerlapuissance 1−βdutest. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201324/139C om ment r´e al iser un te st et conc lur e `a l’a ide d’ une r´eg io n cr it iq ue ?
7Calculdelapuissance1−βdutestlorsquecelui-cin’estpas significatif. BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201325/139C om ment r´e al iser un te st et conc lur e `a l’a ide d’ une
p-v ale ur ?
1Choixdesdeuxhypoth`esesH0etH1. 2D´eterminationdelavariableded´ecision. 3Calculdelap-valeur`apartirdesdonn´eesdel’´echantillon. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201326/139C om ment r´e al iser un te st et conc lur e `a l’a ide d’ une
p-v ale ur ?
1Choixdesdeuxhypoth`esesH0etH1. 2D´eterminationdelavariableded´ecision. 3Calculdelap-valeur`apartirdesdonn´eesdel’´echantillon. BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201326/139C om ment r´e al iser un te st et conc lur e `a l’a ide d’ une
p-v ale ur ?
1Choixdesdeuxhypoth`esesH0etH1. 2D´eterminationdelavariableded´ecision. 3Calculdelap-valeur`apartirdesdonn´eesdel’´echantillon. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201326/139C om ment r´e al iser un te st et conc lur e `a l’a ide d’ une
p-v ale ur ?
4Conclusiondutest. Silap-valeurestinf´erieureou´egale`aα,letestestsignificatifau niveauα. Vousrejetezl’hypoth`esenulleH0etvousd´ecidezquel’hypoth`ese alternativeH1estvraie. Lerisqueassoci´e`acetted´ecisionestunrisqued’erreurdepremi`ere esp`ecequivautα. Silap-valeureststrictementsup´erieure`aα,letestn’estpas significatifauniveauα. Vousconservezl’hypoth`esenulleH0pard´efaut. Lerisqueassoci´e`acetted´ecisionestunrisqued’erreurdedeuxi`eme esp`ecequivautβ.Pourl’´evaluer,ilfaudraitcalculerlapuissance 1−βdutest. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201327/139C om ment r´e al iser un te st et conc lur e `a l’a ide d’ une
p-v ale ur ?
5Calculdelapuissance1−βdutestlorsquecelui-cin’estpas significatif. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201328/139P ar tie 1 : Int ro duct io n g´e n´e ra le `a la no tion de test s
1` Aquoisertuntest? Hypoth`eseseterreurs Testsbilat´eraletunilat´eral 2Constructiond’untest Statistiquedetest R´egioncritiqueetr´egiond’acceptation 3Miseenœuvrepratique Lad´emarche`asuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201329/139
In tr o duct io n
Plusieurstestsdeconceptiontr`esdiff´erentesontsouventdisponiblespour soumettre`aune´epreuvedev´erit´eunehypoth`ese.D ´efin iti on
Letestlepluspuissantestletestquifournitl’erreurβlapluspetite, pourunemˆemevaleurdeαouencorequifournitlaplusgrandevaleurde lapuissance1−β.In t´er ˆet pr at ique
Ilpeutd´etecterlespluspetitesdiff´erencesentrelespopulationssanspour autantaugmenterα. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201330/139C on dit io ns d’ uti lis at io n
Lamajorit´edestestsstatistiquesreposesurlerespectd’uncertainnombre deconditions.Selonledegr´ederespectdecesconditionsd’utilisation,la validit´edesr´esultatssetrouveplusoumoinsaffect´eeetellel’estd’autant plusqueletestestmoinsrobuste.D ´efin iti on
Larobustessed’untest´equivaut`asatol´erancevis-`a-visdurespectdes conditionsd’applicationdutest.` A ret enir
Vouspouvezdisposerdeplusieurstestspourv´erifierunemˆemehypoth`ese. Enfonctionducontexte,ilfaudrapenser`autiliserlepluspuissantd’entre eux.Vousapprendrezbientˆotlesdiff´erentescaract´eristiquesdestestsles plusfr´equemmentutilis´es. BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201331/139Rem ar que
1Lestestspeupuissantsaugmententlaprobabilit´edecommettreune erreurdedeuxi`emeesp`ece.Or,cetteerreurpeuts’av´erer particuli`erementgrave.Ex em ple d’ er reur de deux i`em e esp `ec e
Eneffet,enm´edecine,consid´erezuneanalysestatistiquequipermettrait ded´ecidersiunpatientestsain(H0)oumalade(H1).Classercomme maladeunsujetbienportant(erreurdepremi`ereesp`ece),peutavoirdes cons´equencesaussigravesqueclassercommebienportantunsujetmalade (erreurdedeuxi`emeesp`ece). 2Pour´evaluerlapuissanced’untest,vouspourrezˆetreamen´e`autiliser descourbesdepuissanceouencoreappel´eesabaques. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201332/139D eu xi `eme pa rt ie II T est s de comp ar ai son ave c un e no rm e
BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201333/139P robl ´ema tiq ue
Unprobl`emefr´equentestdecomparerlamoyenned’uncaract`ered’une populationavecunenorme. Noussupposonsquececaract`ereestdistribu´enormalementauseindela population. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201334/139P ar tie 2 : T est s de com pa rai so n ave c une no rm e
4Esp´erance Esp´eranced’uneloinormaledevarianceconnue Esp´eranced’uneloinormaledevarianceinconnue 5Variance Varianced’uneloinormaled’esp´eranceconnue Varianced’uneloinormaled’esp´eranceinconnue 6Grands´echantillons Esp´eranced’uneloiqcq,casdesgrands´echantillons Varianced’uneloiqcq,casdesgrands´echantillons 7Proportion Proportion,tirageavecremise Proportion,tiragesansremise F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201335/139T es t un ilat ´eral I
SoitXunevariableal´eatoirequisuituneloinormaled’esp´eranceµetde varianceσ2 connue.Hy p ot h`eses du test
Voussouhaitezchoisirentrelesdeuxhypoth`esessuivantes: H0:µ=µ0 contre H1:µ>µ0ouµ<µ0. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201336/139T es t un ilat ´eral II C on dit io ns d’ ap pli cat io n du te st
Ilfautquel’´echantillonx1,...,xnsoitdesr´ealisationsind´ependantesdela variableal´eatoireXquisuituneloinormale.S tat is tiq ue du te st
Lavariableal´eatoireZ=bµn−µ0 σ/√ nsuituneloinormaleN(0,1). F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201337/139T es t un ilat ´eral II I D ´eci sio n et co ncl usi on du test
Lavaleurcritiquedutest,not´eecα,estluedanslatabledelaloinormale centr´eeetr´eduite.Silavaleurdelastatistiquecalcul´eesurl’´echantillon, not´eezobs,estsup´erieureou´egale`acα(ouinf´erieureou´egale`acα),alors letestestsignificatif.VousrejetezH0etvousd´ecidezqueH1estvraie avecunrisquedepremi`ereesp`eceα=5%.Silavaleurdelastatistique calcul´eesurl’´echantillon,not´eezobs,eststrictementinf´erieure`acα,alors letestn’estpassignificatif.VousconservezH0avecunrisquede deuxi`emeesp`eceβ.` A ret enir
MicrosoftExcelproposeunefonctionpourr´ealisercetest:TEST.Z. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201338/139T es t bi lat ´eral I Hy p ot h`eses du test
Voussouhaitezchoisirentrelesdeuxhypoth`esessuivantes: H0:µ=µ0 contre H1:µ6=µ0.C on dit io ns d’ ap pli cat io n du te st
Ilfautquel’´echantillonx1,...,xnsoitdesr´ealisationsind´ependantesdela variableal´eatoireXquisuituneloinormale. BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201339/139T es t bi lat ´eral II S tat is tiq ue du te st
Lavariableal´eatoireZ=bµn−µ0 σ/√ nsuituneloinormaleN(0,1). F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201340/139T es t bi lat ´eral II I D ´eci sio n et co ncl usi on du test
Lavaleurcritiquedutest,not´eecα,estluedanslatabledelaloinormale centr´eeetr´eduite.Silavaleurabsoluedelavaleurdelastatistique calcul´eesurl’´echantillon,not´eezobs,estsup´erieureou´egale`acα,alorsle testestsignificatif.VousrejetezH0etvousd´ecidezqueH1estvraieavec unrisquedepremi`ereesp`eceα=5%.Silavaleurabsoluedelavaleurde lastatistiquecalcul´eesurl’´echantillon,not´eezobs,eststrictement inf´erieure`acα,alorsletestn’estpassignificatif.VousconservezH0avec unrisquededeuxi`emeesp`ecesβ. BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201341/139T es t bi lat ´eral IV
` A ret enir
MicrosoftExcelproposeunefonctionpourr´ealisercetest: 2*MIN(TEST.Z(matrice,mu0,sigma),1- TEST.Z(matrice,mu0,sigma)). F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201342/139Ex em ple
Dansl’atmosph`ere,letauxd’ungaznocif,pourunvolumedonn´e,suitune loinormaled’esp´eranceµetdevarianceσ2 ´egale`a100.30pr´el`evements ont´et´eeffectu´esetlesvaleursdeces30pr´el`evementssontlessuivantes: 52,0;60,2;68,8;46,8;62,2;53,5;50,9;44,9;73,2;60,4; 61,9;67,8;30,5;52,5;40,4;29,6;58,3;62,6;53,6;64,6; 54,4;53,8;49,8;57,4;63,1;53,4;59,4;48,6;40,7;51,9. Pouvez-vousconclure,avecunrisqueα=5%,quel’esp´eranceµest inf´erieure`a50,quiestleseuiltol´erableadmis? F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201343/139P ar tie 2 : T est s de com pa rai so n ave c une no rm e
4Esp´erance Esp´eranced’uneloinormaledevarianceconnue Esp´eranced’uneloinormaledevarianceinconnue 5Variance Varianced’uneloinormaled’esp´eranceconnue Varianced’uneloinormaled’esp´eranceinconnue 6Grands´echantillons Esp´eranced’uneloiqcq,casdesgrands´echantillons Varianced’uneloiqcq,casdesgrands´echantillons 7Proportion Proportion,tirageavecremise Proportion,tiragesansremise F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201344/139T est un ila t´er al I
SoitXunevariableal´eatoirequisuituneloinormaled’esp´eranceµetde varianceσ2 inconnues.Rem ar que
Letestunilat´eralsed´eduitais´ementdutestbilat´eral.` A ret enir
MicrosoftExcelproposeunefonctionpourr´ealisercetest:TEST.STUDENT. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201345/139T est bi la t´er al I Hy p ot h`eses du test
Cesontlesmˆemesquepr´ec´edemment.C on dit io ns d’ ap pli cat io n du te st
Ilfautquel’´echantillonx1,...,xnsoitdesr´ealisationsind´ependantesdela variableal´eatoireXquisuituneloinormale.S tat is tiq ue du te st
Lavariableal´eatoireTn−1=bµn−µ0 Sn,c/√ nsuituneloideStudentt(n−1). F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201346/139T est bi la t´er al II D ´eci sio n et co ncl usi on du test
Lavaleurcritiquedutest,not´eecα,estluedansunetabledelaloide Student.Silavaleurabsoluedelavaleurdelastatistiquecalcul´eesur l’´echantillon,not´eetn−1,obs,estsup´erieureou´egale`acα,alorsletestest significatif.VousrejetezH0etvousd´ecidezqueH1estvraieavecun risquedepremi`ereesp`eceα=5%.Silavaleurabsoluedelavaleurdela statistiquecalcul´eesurl’´echantillon,not´eetn−1,obs,eststrictement inf´erieure`acα,alorsletestn’estpassignificatif.VousconservezH0avec unrisquededeuxi`emeesp`eceβ. BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201347/139T est bi la t´er al II I Rem ar que
Danslecaso`ulaconditiond’applicationn’estpasv´erifi´ee,ilvousfaut alorsutiliseruntestnonparam´etrique:letestdessignesouletestdes rangssign´esdeWilcoxon.Cedernierdemandeaussiunecondition d’applicationmaismoinsrestrictive,`asavoirquelavariabledontestissu l’´echantillondoitˆetredistribu´eesym´etriquement.Notezaussiqueles hypoth`esesassoci´ees`acetestnesontpaslesmˆemes.` A ret enir
MicrosoftExcelproposeunefonctionpourr´ealisercetest:TEST.STUDENT. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201348/139Ex em ple
Lejardinieraimeraitsavoirsilesglycinesblanchesqu’ilaplant´eessurson terrainsuiventbienlessp´ecificit´esdelanoticequ’ilare¸culorsqu’ila command´esesgrainessurinternet.Il´etaitindiqu´esurlanoticeque chaquegoussedeglycinesblanches`amaturit´edoitmesurer15cmdelong. Commentpeut-ils’assurerquelesgoussesqu’iladanssonjardinsuivent biencettesp´ecificit´e? BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201349/139S ui te de l’E xe mpl e
massetaille 128.619.1 220.614.8 329.219.7 432.021.1 524.519.4 629.019.5 728.918.9 818.214.6 97.910.2 1015.514.6 1122.616.4 1235.521.1 1332.520.7 F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201350/139S ui te de l’E xe mpl e
massetaille 1428.718.7 1526.017.6 1613.513.2 1716.414.0 1812.512.0 1926.218.3 2022.617.8 219.710.7 2221.816.5 2317.214.5 2425.217.5 2512.012.2 266.38.6 F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201351/139S ui te de l’E xe mpl e
massetaille 277.09.1 2820.417.0 2918.015.3 3021.115.8 3118.215.9 3215.212.2 3319.816.1 3421.416.0 3515.013.8 3616.414.4 3717.314.2 3816.415.7 3913.512.6 F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201352/139S ui te de l’E xe mpl e
massetaille 4013.612.0 4114.612.8 4216.915.3 4311.712.4 4414.014.5 4514.612.3 4610.311.8 4711.312.6 4810.711.3 4910.912.5 5020.016.1 5121.516.2 5212.011.3 F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201353/139Fin de l’Ex emp le
massetaille 536.18.6 545.48.2 F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201354/139P ar tie 2 : T est s de com pa rai so n ave c une no rm e
4Esp´erance Esp´eranced’uneloinormaledevarianceconnue Esp´eranced’uneloinormaledevarianceinconnue 5Variance Varianced’uneloinormaled’esp´eranceconnue Varianced’uneloinormaled’esp´eranceinconnue 6Grands´echantillons Esp´eranced’uneloiqcq,casdesgrands´echantillons Varianced’uneloiqcq,casdesgrands´echantillons 7Proportion Proportion,tirageavecremise Proportion,tiragesansremise BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201355/139T est un ila t´er al I
SoitXunevariableal´eatoirequisuituneloinormaled’esp´eranceµconnue etdevarianceσ2 inconnue.Rem ar que
Letestunilat´eralsed´eduitais´ementdutestbilat´eral. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201356/139T est bi la t´er al I Hy p ot h`eses du test
Voussouhaitezchoisirentrelesdeuxhypoth`esessuivantes: H0:σ2 =σ2 0 contre H1:σ2 6=σ2 0.C on dit io ns d’ ap pli cat io n du te st
Ilfautquel’´echantillonx1,...,xnsoitdesr´ealisationsind´ependantesdela variableal´eatoireXquisuituneloinormale. BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201357/139T est bi la t´er al II S tat is tiq ue du te st
Lavariableal´eatoirenbσ2 n σ2suituneloiduKhi-deuxχ2 (n).D ´eci sio n et co ncl usi on du test
Lavaleurcritiquedutest,not´eecα,estluedansunetabledelaloidu Khi-deux.Silavaleurdelastatistiquecalcul´eesurl’´echantillon,not´ee χ2 obs(n),estsup´erieureou´egale`acα,alorsletestestsignificatif.Vous rejetezH0etvousd´ecidezqueH1estvraieavecunrisquedepremi`ere esp`eceα=5%.Silavaleurdelastatistiquecalcul´eesurl’´echantillon, not´eeχ2 obs(n),eststrictementinf´erieure`acα,alorsletestn’estpas significatif.VousconservezH0avecunrisquededeuxi`emeesp`eceβ. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201358/139P ar tie 2 : T est s de com pa rai so n ave c une no rm e
4Esp´erance Esp´eranced’uneloinormaledevarianceconnue Esp´eranced’uneloinormaledevarianceinconnue 5Variance Varianced’uneloinormaled’esp´eranceconnue Varianced’uneloinormaled’esp´eranceinconnue 6Grands´echantillons Esp´eranced’uneloiqcq,casdesgrands´echantillons Varianced’uneloiqcq,casdesgrands´echantillons 7Proportion Proportion,tirageavecremise Proportion,tiragesansremise F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201359/139T est un ila t´er al I
SoitXunevariableal´eatoirequisuituneloinormaled’esp´eranceµetde varianceσ2 inconnues.Rem ar que
Letestunilat´eralsed´eduitais´ementdutestbilat´eral. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201360/139T est bi la t´er al I Hy p ot h`eses du test
Cesontlesmˆemesquepr´ec´edemment.C on dit io ns d’ ap pli cat io n du te st
Ilfautquel’´echantillonx1,...,xnsoitdesr´ealisationsind´ependantesdela variableal´eatoireXquisuituneloinormale.S tat is tiq ue du te st
Lavariableal´eatoirenS2 n,c σ2suituneloiduKhi-deuxχ2 (n−1). F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201361/139T est bi la t´er al II D ´eci sio n et co ncl usi on du test
Lavaleurcritiquedutest,not´eecα,estluedansunetabledelaloidu Khi-deux.Silavaleurdelastatistiquecalcul´eesurl’´echantillon,not´ee χ2 obs(n−1),estsup´erieureou´egale`acα,alorsletestestsignificatif.Vous rejetezH0etvousd´ecidezqueH1estvraieavecunrisquedepremi`ere esp`eceα=5%.Silavaleurdelastatistiquecalcul´eesurl’´echantillon, not´eeχ2 obs(n−1),eststrictementinf´erieure`acα,alorsletestn’estpas significatif.VousconservezH0avecunrisquededeuxi`emeesp`eceβ. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201362/139Ex em ple
Vousvenezd’acqu´erirdansvotrelaboratoireunenouvellebalanceetvous souhaitezcomparerlar´egularit´edutravaildecettederni`erepourdestr`es petitespes´ees`alanormehabituelledudescriptifpourlaquellelavariance σ2 est´egale`a4g2 .Vouspr´elevezun´echantillond’effectif´egal`a30dont lesvaleurssontdonn´eesci-dessous: 2,53;1,51;1,52;1,44;4,32;2,36;2,41;2,06;1,57;1,68; 3,09;0,54;2,32;0,19;2,66;2,20;1,04;1,02;0,74;1,01; 0,35;2,42;2,66;1,11;0,56;1,75;1,51;3,80;2,22;2,88. Aurisqueα=5%,pouvez-vousconsid´ererquelavariancedel’´echantillon estconforme`alanormesouhait´ee? BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201363/139P ar tie 2 : T est s de com pa rai so n ave c une no rm e
4Esp´erance Esp´eranced’uneloinormaledevarianceconnue Esp´eranced’uneloinormaledevarianceinconnue 5Variance Varianced’uneloinormaled’esp´eranceconnue Varianced’uneloinormaled’esp´eranceinconnue 6Grands´echantillons Esp´eranced’uneloiqcq,casdesgrands´echantillons Varianced’uneloiqcq,casdesgrands´echantillons 7Proportion Proportion,tirageavecremise Proportion,tiragesansremise F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201364/139 Danslestestspr´ec´edentssurlesesp´erances,ilestpossiblederemplacer l’hypoth`esedenormalit´eparunehypoth`eseportantsurlataillede l’´echantillonanalys´e.G´en´eralement,un´echantillond’effectifsup´erieurou ´egal`a30permetunetelleapproximation. BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201365/139P ar tie 2 : T est s de com pa rai so n ave c une no rm e
4Esp´erance Esp´eranced’uneloinormaledevarianceconnue Esp´eranced’uneloinormaledevarianceinconnue 5Variance Varianced’uneloinormaled’esp´eranceconnue Varianced’uneloinormaled’esp´eranceinconnue 6Grands´echantillons Esp´eranced’uneloiqcq,casdesgrands´echantillons Varianced’uneloiqcq,casdesgrands´echantillons 7Proportion Proportion,tirageavecremise Proportion,tiragesansremise F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201366/139Danslestestspr´ec´edentssurlesvariances,ilestpossiblederemplacer l’hypoth`esedenormalit´eparunehypoth`eseportantsurlataillede l’´echantillonanalys´e.G´en´eralement,un´echantillond’effectifsup´erieurou ´egal`a30permetunetelleapproximation. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201367/139
P ar tie 2 : T est s de com pa rai so n ave c une no rm e
4Esp´erance Esp´eranced’uneloinormaledevarianceconnue Esp´eranced’uneloinormaledevarianceinconnue 5Variance Varianced’uneloinormaled’esp´eranceconnue Varianced’uneloinormaled’esp´eranceinconnue 6Grands´echantillons Esp´eranced’uneloiqcq,casdesgrands´echantillons Varianced’uneloiqcq,casdesgrands´echantillons 7Proportion Proportion,tirageavecremise Proportion,tiragesansremise F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201368/139T est un ila t´er al I Rem ar que
Letestunilat´eralsed´eduitais´ementdutestbilat´eral. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201369/139T est bi la t´er al I Hy p ot h`eses du test
Voussouhaitezchoisirentrelesdeuxhypoth`esessuivantes: H0:πA=π0 contre H1:πA6=π0.C on dit io ns d’ ap pli cat io n du te st
Ilfautquel’´echantillonx1,...,xnsoitdesr´ealisationsind´ependantes. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201370/139T est bi la t´er al II S tat is tiq ue du te st
Lavariableal´eatoirenbπn,A=nA(bπn,Aa´et´ed´efinidanslechapitre6)suit uneloibinomialeB(n,π0).D ´eci sio n et co ncl usi on du test
Lavaleurcritiquedutest,not´eecα,estluedansunetabledelaloi binomiale.Silavaleurdelastatistiquecalcul´eesurl’´echantillon,not´ee nA(obs),estsup´erieureou´egale`acα,alorsletestestsignificatif.Vous rejetezH0etvousd´ecidezqueH1estvraieavecunrisquedepremi`ere esp`eceα=5%.Silavaleurdelastatistiquecalcul´eesurl’´echantillon, not´eenA(obs),eststrictementinf´erieure`acα,alorsletestn’estpas significatif.VousconservezH0avecunrisquededeuxi`emeesp`eceβ. BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201371/139T est bi la t´er al II I
Vouspouveztrouverdanslalitt´eratureunevariationdecetest,quivaˆetre pr´esent´eeci-dessous,aveccettefois-cid’autresconditionsd’applicationet uneautrestatistiquequecellepr´esent´eepr´ec´edemment.Cettevariation utilisel’approximationdelaloibinomialeparuneloinormale.Cette approximationalongtemps´et´eutilis´eemaisavecdeslogicielscommeR,il estpr´ef´erabled’avoirrecoursautestexactpr´esent´eci-dessus. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201372/139T est un ila t´er al I Rem ar que
Letestunilat´eralsed´eduitais´ementdutestbilat´eral. BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201373/139T est bi la t´er al I Hy p ot h`eses du test
Cesontlesmˆemesquepr´ec´edemment.C on dit io ns d’ ap pli cat io n du te st
Ilfautquel’´echantillonx1,...,xnsoitdesr´ealisationsind´ependantes.De plus,ilfautquelestroisin´egalit´esn>50,nπ0>16etn(1−π0)>16 soientv´erifi´ees. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201374/139T est bi la t´er al II S tat is tiq ue du te st
Lavariableal´eatoireZ=bπn,A−π0 r π0(1−π0) nsuituneloinormaleN(0,1). F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201375/139
T est bi la t´er al II I D ´eci sio n et co ncl usi on du test
Lavaleurcritiquedutest,not´eecα,estluedanslatabledelaloinormale centr´eeetr´eduite.Silavaleurdelastatistiquecalcul´eesurl’´echantillon, not´eezobs,estsup´erieureou´egale`acα,alorsletestestsignificatif.Vous rejetezH0etvousd´ecidezqueH1estvraieavecunrisquedepremi`ere esp`eceα=5%.Silavaleurdelastatistiquecalcul´eesurl’´echantillon, not´eezobs,eststrictementinf´erieureou´egale`acα,alorsletestn’estpas significatif.VousconservezH0avecunrisquededeuxi`emeesp`eceβ. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201376/139Ex em ple
Dansle«Ouest-France»dusamedi23janvier2010,vouspouvezlire: «Plusdegar¸consquedefilles!Avec507b´eb´esmˆalescomptabilis´es`a Saint-Lˆoen2009,contre481fillettes,lesnaissancesmasculinessont toujoursplusnombreuses.»Pensez-vousquelesgar¸conssontplus nombreuxsignificativementquelesfilles,avecunrisqueα=5%? F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201377/139P ar tie 2 : T est s de com pa rai so n ave c une no rm e
4Esp´erance Esp´eranced’uneloinormaledevarianceconnue Esp´eranced’uneloinormaledevarianceinconnue 5Variance Varianced’uneloinormaled’esp´eranceconnue Varianced’uneloinormaled’esp´eranceinconnue 6Grands´echantillons Esp´eranced’uneloiqcq,casdesgrands´echantillons Varianced’uneloiqcq,casdesgrands´echantillons 7Proportion Proportion,tirageavecremise Proportion,tiragesansremise F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201378/139Sil’effectifdel’´echantillonpr´elev´eestinf´erieur`a10%del’effectiftotalde lapopulation,ilestpossibledeconsid´ererqueletiragealieusansremise etd’utiliserlesr´esultatspr´ec´edents. BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201379/139
T roi si `eme pa rt ie II I T est s de comp ar ai son en tr e de ux p op ula ti on s in d´e p en da nte s
F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201380/139P ar tie 3 : T est s de com pa rai so n ent re deu x p opul at io ns in d´ep en da nte s
8Esp´erances Esp´erancesde2loisnormalesdevariancesconnues Esp´erancesde2loisnormalesdemˆemevarianceinconnue Esp´erancesde2loisnormalesdevariancesdif.inconnues 9Variances Variancesdedeuxloisnormalesd’esp´erancesinconnues 10Grands´echantillons Esp´erancesdedeuxloisqcq,casdesgrands´echantillons 11Proportions´ Ega
lit´ededeuxproportions,tirageavecremise
´ Ega
lit´ededeuxproportions,tiragesansremise BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201381/139
T est un ila t´er al I
SoitXunevariableal´eatoirequisuituneloinormaleN(µ1,σ1)etYune variableal´eatoirequisuituneloinormaleN(µ2,σ2)avecσ2 1etσ2 2 connues.Rem ar que
Letestunilat´eralsed´eduitais´ementdutestbilat´eral. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201382/139T est bi la t´er al I Hy p ot h`eses du test
Voussouhaitezchoisirentrelesdeuxhypoth`esessuivantes: H0:µ1=µ2 contre H1:µ16=µ2. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201383/139T est bi la t´er al II C on dit io ns d’ ap pli cat io n du te st
Ilfautquel’´echantillonx1,...,xn1soitdesr´ealisationsind´ependantesdela variableal´eatoireXquisuituneloinormaleetquelesecond´echantillon al´eatoirey1,...,yn2soitaussidesr´ealisationsind´ependantesdelavariable al´eatoireYquisuituneloinormale.Deplus,leseffectifsn1etn2peuvent nepasˆetre´egaux.S tat is tiq ue du te st
Lavariableal´eatoireZ=bµn1−bµn2v u u t
σ2 1
n1+σ
2 2 n2
suituneloinormaleN(0,1). F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201384/139
T est bi la t´er al II I D ´eci sio n et co ncl usi on du test
Lavaleurcritiquedutest,not´eecα,estluedanslatabledelaloinormale centr´eeetr´eduite.Silavaleurabsoluedelavaleurdelastatistique calcul´eesurl’´echantillon,not´eezobsestsup´erieureou´egale`acα,alorsle testestsignificatif.VousrejetezH0etvousd´ecidezqueH1estvraieavec unrisquedepremi`ereesp`eceα.Silavaleurabsoluedelavaleurdela statistiquecalcul´eesurl’´echantillon,not´eezobseststrictementinf´erieure`a cα,alorsletestn’estpassignificatif.VousconservezH0avecunrisquede deuxi`emeesp`eceβ.` A ret enir
Pourr´ealisercetestsousExcel,ilestpossibled’utiliserlafonctionLOI.Z. F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201385/139P ar tie 3 : T est s de com pa rai so n ent re deu x p opul at io ns in d´ep en da nte s
8Esp´erances Esp´erancesde2loisnormalesdevariancesconnues Esp´erancesde2loisnormalesdemˆemevarianceinconnue Esp´erancesde2loisnormalesdevariancesdif.inconnues 9Variances Variancesdedeuxloisnormalesd’esp´erancesinconnues 10Grands´echantillons Esp´erancesdedeuxloisqcq,casdesgrands´echantillons 11Proportions´ Ega
lit´ededeuxproportions,tirageavecremise
´ Ega
lit´ededeuxproportions,tiragesansremise F.BertrandetM.Maumy-Bertrand(UdS)Testsparam´etriques201386/139
