ECE1-B2015-201
C H X II :Sy st èm es liné ai re s I. G énér al it és sur les sy st èm es linéa ir es Définition Soientnetpdeuxentiersnaturelsnonnuls. Onappellesystèmelinéairedenéquationsàpinconnuesx1,...,xp toutsystèmedelaforme: (S)8 > > > < > > > : a1,1x1+a1,2x2+...+a1,pxp=b1L1 a2,1x1+a2,2x2+...+a2,pxp=b2L2
. . . . . . . . . . . .
an,1x1+an,2x2+...+an,pxp=bnLn ⇥lesréels(ai,j)16i6n 16j6psontlescœfficientsdusystème. ⇥len-upletderéels(b1,...,bn)estlesecondmembredusystème. ⇥laièmeéquationdusystèmeestnotéeLi:c’estlaièmelignedusystème. ⇥lesystème(S)estdithomogènesib1=b2=···=bn=0. ⇥onappellesystèmehomogèneassociéà(S)etonnote(SH)le système(S)dontlesecondmembreestremplacépar(0,...,0). ⇥onappellesolutionde(S)toutp-uplet(x1,...,xp)quisatisfaitlesn équationsdusystème(S). ⇥sin=plesystème(S)seraditsystèmedeCramers’iladmetun uniquen-upletsolution. ⇥deuxsystèmes(S1)et(S2)sontditséquivalentss’ilsontlesmêmes solutions.Onnoteraalors:(S1),(S2).
ECE1-B2015-2016
Remarque
•Toutsystèmehomogèneadmetaumoinsunesolution,lep-uplet(0,...,0).8<
: 3x+2y+z=0x+5y+z=04x+2y+7z=0admet(0,0,0)poursolution.
•Unsystèmehomogèneadmettantlemêmenombred’équationsqued’in-connues(n=p)estdoncdeCramerssi(0,...0)estsonuniquesolution.
•Unsystème(S)peutn’admettreaucunesolution:8<
: x+y=3y+z=7x+z=5 , 8<: x+y=3y+z=7y+z=2LeslignesL2etL3sontditesincompatibles.
•Unsystème(S)peutadmettreuneuniquesolution:8<
: 3x+2y+z=5x+z=72x+2y+z=4 ,(x,y,z)=(1,2,6)
•Unsystème(S)peutadmettreuneinfinitédesolutions:8<
: x+yz=3y+z=2x+2z=5 , 8<: x+yz=3y+z=2y+z=2
, ⇢x+y=3+zy=2z
,(x,y,z)=(5+2z,2z,z)
Ainsi,(5,2,0),(7,3,1),(1,1,3)...sontsolutions.
2
ECE1-B2015-2016 Remarque •PourprogrammercetalgorithmeenScilab,onprogrammetoutd’abord lafonctionPivot_Gauss_ApuislafonctionPivot_Gauss_B.Cesdeux fonctionsprennentenparamètreunsystèmelinéaireetrenvoieunsys- tèmelinéaireéquivalent.Lafonctionfinales’écritalors: 1//AlgorithmedupivotdeGauss 2functionD=pivot_Gauss(S) 3T=pivot_Gauss_A(S) 4D=pivot_Gauss_B(T) 5endfunction Remarque(unpeudecultureinformatique) •Dansl’étape4)del’algorithmePivot_Gauss_A,onréaliseunappelà l’algorithmePivot_Gauss_A.OnestdoncentraindedéfinirPivot_Gauss_A enfonctiondelui-même!Onditalorsquel’oneffectueunedéfinition récursivedelafonctionPivot_Gauss_A. •Laterminaisondecetalgorithmeestassuréparlefaitquelesdiffé- rentsappelssefontsurdessystèmespossédantdemoinsenmoins (strictement)d’équations.Onaboutitdoncforcémenttoujoursàun sous-systèmequinepossèdeplusd’équations,cequicorrespondaucas d’arrêtdel’algorithme. •Onauraitaussipuchoisiruneautreprésentation.Eneffet,commeon effectuesuccessivementuntravailsurchacunedescolonnesdusystème linéaire,uneboucleforesttoutàfaitenvisageablepourcetalgorithme. 14 ECE1-B2015-201
II . R és ol ut io n d’ un sy st èm e linéa ir e
II.1.Lessystèmeséchelonnésettriangulairessupérieurs Définition Soit(S)unsystèmelinéairedenéquationsetpinconnues. •Lesystème(S)estditéchelonnélorsque: 8i2J1,nK,8j2J1,pK,i>j)ai,j=0 •Lesystème(S)estdittriangulaire(supérieur)si: 1)ilalemêmenombred’équationsqued’inconnues(n=p), 2)ilestéchelonné. Cettedéfinitionn’estpastrèsstricte.Parexemple,unsystèmelinéaire donttouslescœfficientssontnuls,estunsystèmeéchelonné. II.2.Résolutiond’unsystèmetriangulaire(casn=p) Unsystèmetriangulairesupérieurànéquationsetninconnuesestdela formesuivante.8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : a1,1x1+a1,2x2+...+a1,ixi+...+a1,nxn=b1 a2,2x2+...+a2,ixi+...+a2,nxn=b2
. .. . . .
ai,ixi+...+ai,nxn=bi
. ..
. . .
an,nxn=bn Sionsupposedeplusquetouslescœfficientsdiagonauxsontnonnuls, alorsonpeutrésoudreaisémentcesystème«encascade»: ⇥ladernièreéquationfournit:xn=bn an,n. ⇥onsubstituexnparsavaleurdansl’équationprécédente,cequipermet d’obtenirxn1. Parremontéessuccessives,onobtientdemanièreuniquetouteslesvaleurs dexi.Onobtientainsiununiquen-upletsolution.
ECE1-B2015-2016
B.Résolutionparremontéessuccessives.Pivot_Gauss_B(S):
1)Deuxcasseprésentent.
•Soitladernièrecolonnede(S)necontientquedescœfficientsnuls.Danscecas,onpassedirectementàl’étapeB3.
•Sinon,onfixeladernièreligneLddusystème.Notonszlavariableprésentedanscetteligne.
2)Onannulealorslescœfficientsdevantzpourlesautreslignes.Pourcefaire,onretireàLisuffisammentdefoislaligneLd:
LiLi+↵iL(pourtouti6d) 3)LdetCd(colonned)omis,onaainsicrééunsous-système(S 0)possédantuneligneetunevariable(unecolonne)demoins.
4)•Si(S 0)necontientplusaucuneéquation,ons’arrête.
•Sinon,onrecommencelesdifférentesétapesdecetalgorithmesurcenouveausystème(S0)enréalisantl’appel:Pivot_Gauss_B(S0).
Àl’issuedecetteétape,touslescœfficientsnondiagonauxsontnuls.Onendéduitlessolutionsdusystèmeinitial.
13 ECE1-B2015-2016
Ilestprimordialdesupposerquetouslescœfficientsdiagonauxsontnonnuls.Parlasuite,onnomme(H)cettehypothèse:8i2J1,nK,ai,i6=0.
Théorème1.Soit(S)unsystèmelinéairetelque:
⇥(S)anéquationsetninconnues,
⇥(S)esttriangulaire(supérieur),
⇥(S)vérifiel’hypothèse(H).Alors(S)estunsystèmedeCramer.(cequirevientàdireque(S)possèdeuneuniquesolution)
ExempleOnpeutrésoudrelesystèmesuivantencascade.8>><
>>: x+y+2zt=33y+5z+2t=7zt=0t=2
Parremontéessuccessives,cesystèmeadmetuneuniquesolution:(8,7,2,2).
RemarqueLecaractèreuniqueestfourniparlesdeuxconditions:n=petH.Sicettehypothèse(H)n’estpasvérifiée,alors:
⇥lesystèmepeutn’avoiraucunesolution.8>><
>>: x+y+2zt=35z2t=8zt=0t=2
⇥lesystèmepeutavoiruneinfinitédesolution.8>><
>>: x+y+2zt=35z2t=6zt=0t=2
4
ECE1-B2015-2016 II.4.c)L’algorithmedupivotdeGauss(POLY) A.Misesousformetriangulairede(S). Pivot_Gauss_A(S): 1)Deuxcasseprésentent. •Soitlapremièrecolonnede(S)necontientquedescœfficients nuls.Danscecas,onpassedirectementàl’étapeA3. •Sinon,onnotexl’inconnuelaplusàgauchede(S). OnchoisitalorslapremièreligneLdontlecœfficientadevant xestnonnul.Quitteàeffectuerunepermutation(L$L1),on placecetteligneenpremièreposition. (lecœfficientaestappelépivotdeGaussdecetteétape) 2)Onannulealorslescœfficientsdevantxpourlesautreslignes. Pourcefaire,onretireàLisuffisammentdefoislaligneL1: LiLi+↵iL1(pourtouti>2) 3)L1etC1(colonne1)omis,onaainsicrééunsous-système(S0 ) possédantuneligneetunevariable(unecolonne)demoins. 4)•Si(S0 )necontientplusaucuneéquation,ons’arrête. •Sinon,onrecommencelesdifférentesétapesdecetalgorithmesur cenouveausystème(S0 )enréalisantl’appel:Pivot_Gauss_A(S0 ). Àl’issuedecetteétapeA.ontransfère,sibesoin,lesinconnuesauxi- liairesdanslemembrededroite. Lesystèmeobtenuestsouslaformetriangulairesuivante.
8 > > > > > > < > > > > > > :
a1,1x1+a1,2x2+...+a1,ixi+...+a1,nxn=b1a1,n+1xn+1...a1,pxp a2,2x2+...+a2,ixi+...+a2,nxn=b2a2,n+1xn+1...a2,pxp ai,ixi+...+ai,nxn=biai,n+1xn+1...ai,pxp an,nxn=bnan,n+1xn+1...an,pxp Onpassealorsàl’étapederésolution. 12 ECE1-B2015-2016 II.3.Résolutiond’unsystèmeéchelonné(casn<p) Unsystèmeéchelonnéestalorsdelaformesuivante.
8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : a1,1x1+a1,2x2+...+a1,ixi+...+a1,nxn+...+a1,pxp=b a2,2x2+...+a2,ixi+...+a2,nxn+...+a2,pxp=b
. .. ai,ixi+...+ai,nxn+...+ai,pxp=b
. ..
an,nxn+...+an,pxp=b Plaçons-nousdanslecasoùl’hypothèse(H)estvérifiée(8i2J1,nK,ai,i6= 0). •Onvaalorsdistinguerlesinconnuesxn+1,...,xp,appeléesinconnues auxiliaires.Entransférantcesinconnuesauxiliairesdanslemembre droit,onfaitapparaîtreunmembregaucheànlignesetncolonnes, correspondantaucasprécédent.
8 > > > > > > < > > > > > > :
a1,1x1+a1,2x2+...+a1,ixi+...+a1,nxn=b1a1,n+1xn+1...a1,p a2,2x2+...+a2,ixi+...+a2,nxn=b2a2,n+1xn+1...a2,p ai,ixi+...+ai,nxn=biai,n+1xn+1...ai,p an,nxn=bnan,n+1xn+1...an,p •Unerésolutionencascadedecesystèmefournitalorstouteslesvaleurs dexi(i2J1,nK)enfonctiondesvariablesauxiliaires.Onobtientainsi uneinfinitédesolutions. 5
ECE1-B2015-2016 C.Misesousformediagonaleetrésolutiondusystème.Onrésoutalorslesystèmeparcascade(i.e.parremontéessucces-sives).1)Oncommenceparla3èmecolonneetlavariablez.Lebutestdeneconserverqu’uneoccurrencedezdanscetteco-lonne.
•Pourcefaire,onajoute/retranchesuffisammentdefoisla3 èmeligneauxautres.
(S) L2L2L3L1L1+2L3() 8<
: x+2y=221wy=1+11wz=9w
2)Onagitalorsdemêmepourla2èmecolonneety:onajoute/retranchesuffisammentdefoisla2èmeligneauxautres.
(S) L1L12L2() 8<
: x=43wy=1+11wz=9w3)Lesystèmeobtenuestdiagonal.L’algortihmedupivotdeGaussestalorsterminé.L’ensembledessolutionsde(S)est{(43w,1+11w,9w,w)|w2R}.Théorème4.Soit(S)unsystèmelinéaire.ParapplicationdelaméthodedupivotdeGauss,ontransforme(S)enunsystèmediagonal(touslescœfficientsnondiagonauxsontnuls)équivalent.Théorème5.Soit(S)unsystèmeànéquationsetninconnues.
(S)estunsystèmedeCramer () L’algorithmedupivotdeGaussfaitapparaîtrenpivotssuccessifsnonnuls
Démonstration.C’estn’estqu’unereformulationduThéorème1.
11 ECE1-B2015-2016
Théorème2.Soit(S)unsystèmelinéairetelque:
•(S)anéquations,pinconnuesetn<p,
•(S)estéchelonné,
•(S)vérifie(H).Alors(S)possèdeuneinfinitédesolutions.
ExempleOnpeutrésoudrelesystèmesuivantencascade.8<
: x+y+2zt=33y+5z+2t=7zt=0
RemarqueL’existencedesolutionestfourniparlacondition:(H).Sicettehypothèse(H)n’estpasvérifiéealors:
⇥lesystèmepeutn’avoiraucunesolution.8<
: x+y+2zt=32z+2t=5zt=0
⇥lesystèmepeutavoiruneinfinitédesolutions.8<
: x+y+2zt=35z2t=6zt=0
Enconclusion,larésolutiond’unsystèmetriangulairesupérieurestsimple.Ilconvientdoncd’essayerdetransformertoutsystèmeenunsystèmetriangulairesupérieur.Cecipeutsefaireàl’aidedesopérationsélémentaires.
6
ECE1-B2015-2016 Lepivotdela2ème étapeestlecœfficientplacédevantla variableydelaligneutilisée.Ici,ils’agitencorede1. 3)SionmetdecôtéleslignesL1etL2,onobtientunsystèmequine contientpluslesvariablesxety.Cesystèmeamputénecontient plusqu’uneseuleligneetleprocédés’arrêtealors. Lepivotdela3èmeétape(oùl’onnefaitrien)estle cœfficientplacédevantlavariablez.Ici,ils’agitencorede1. Lesystèmeobtenuàlafindel’étapeA.: ⇥possèdelesmêmessolutionsquelesystèmeinitial(S), (d’aprèsleThéorème3) ⇥estéchelonné. B.Misesousformetriangulairedusystèmeobtenu. Avantdepasseràl’étapesuivante,ontransfèrelesinconnuesauxi- liaires(ils’agiticidew)danslemembredroit. (S)()
8 < :
x+2y2z=23w y+z=1+2w z=9w Lesystèmeobtenuesttriangulaire. 10
ECE1-B2015-201 II.4.LaméthodedupivotdeGauss II.4.a)Opérationsélémentairessurleslignesd’unsystèmeli- néaire Oncommenceparintroduirelanotiond’opérationélémentaire,nécessaire pourdécrireprécisémentlaméthodedupivot. Définition OnappelleopérationélémentairesurleslignesL1,...,Lnd’un système(S)l’unedestroisopérationssuivantes: 1)multiplierlaligneLiparunréel↵6=0: Li↵Li 2)ajouteràlaligneLifoisuneautreligneLj: LiLi+Lj 3)échangerleslignesLietLj: Li$Lj Remarque Àl’aidedecestroisopérationsdebase,onpeutconstruiredenouvelles opérations.Onpeutnotammentciterl’opérationsuivante: 4)multiplieruneligneLipar↵6=0etluiajouterfoisuneautreligne Lj: Li↵Li+Lj quiadmetlagénéralisationsuivante: 4’)multiplieruneligneLipar↵6=0etluiajouterunecombinaison linéaired’autreslignes: Li↵Li+1Lj1+···+rLjr
ECE1-B2015-2016
A.Misesousformeéchelonnéede(S).1)Onconsidèretoutd’abordlapremièrecolonne.Lebutestdeneconserverqu’uneoccurrencedexdanscetteco-lonne.
•Pourcefaire,oncommenceparéchangerla1èreet3èmeligne.
(S) L1$L3() 8<
: x+2y2z+3w=25x+12y7z+20w=122x+5y3z+4w=5
•Onneconservequel’occurrencedexen1èreligneenajoutant/retirantsuffisammentdefoisla1èreligneauxautres.(onafaitensortequexsoitportéparlecœfficient1enligneL1cequifacilitelescalculs) (S) L2L25L1L3L32L1() 8<
: x+2y2z+3w=22y+3z+5w=2y+z2w=1
Onappellepivotdecette1èreétapelecœfficientplacédevantxdanslaligneutilisée.Ici,lepivotest1.
2)Onmetalorsdecôtéla1 èreligne.Onobtientainsiunsous-systèmequinecontientplusaucuneoccurrencedelavariablex.
•Oncommenceparéchangerla2èmeet3èmeligne.
(S) L2$L3() 8<
: x+2y2z+3w=2y+z2w=12y+3z+5w=2
(onconservela1èrelignedanslesystèmepourquelenouveausystèmesoitencoreéquivalentà(S)maisonnel’utiliseplus)
•Onutilisealorsleprocédéprécédentsurlavariabley.
(S) L3L32L1() 8<
: x+2y2z+3w=2y+z2w=1z+9w=0
9 ECE1-B2015-2016
L’intérêtdecesopérationsélémentairesrésidedanslethéorèmesuivant.
Théorème3.Soit(S)unsystèmelinéaire.Soit(S0)unsystèmelinéaireobtenuparapplicationssuccessivesd’opé-rationsélémentairessurleslignesde(S).Alors(S)et(S0)sontéquivalents.
II.4.b)Illustrationdelaméthodesurunexemple
Effectueruneopérationélémentairesurunsystème(S)nechangepassonensembledessolutions.L’algorithmedupivotdeGaussexploitececonstat.Ilsedérouleentroisétapes.A.Parunesuccessiond’opérationsélémentaires,ontransformelesys-tème(S)enunsystèmeéchelonnéquiadmetlesmêmessolutions.
B.Sibesoin(silesystèmeobtenuenA.n’estpastriangulaire),ontrans-fèrelesinconnuesauxiliairesdanslemembredroitdusytème.Lesystèmeobtenuesttriangulaire.
C.Onrésoutparcascadelesystèmetriangulaireprécédent.Sessolutionssontcellesdusystèmeinitial(S).Illustronsceprocédéparlarésolutiondusystèmelinéairesuivant.
(S) 8<
: 2x+5y3z+4w=55x+12y7z+20w=12x+2y2z+3w=2
8
