II . Sui tes us uel les

ECE1-B2015-2016 III.2.c)Modèlederédaction:illustrationsurunexemple Exercice Montrerquetoutentiern>2estmultipled’unnombrepremier. Démonstration. Montronsparrécurrenceforteque:8n>2,P(n) oùP(n):nestmultipled’unnombrepremier. 1.Initialisation 2estmultipled’unnombrepremier:lui-même. Ainsi,P(2)estvérifiée. 2.Hérédité:soitn>2. Supposonsquelapropriétéestvérifiéejusqu’aurangn (autrementdit,P(2)etP(3)et...etP(n)sontvraies). DémontronsP(n+1)(i.e.n+1estmultipled’unnombrepremier) Deuxcasseprésentent. •Sin+1estpremier: Alorsn+1estmultipledelui-même. DoncP(n+1)estvérifiéedanscecas. •Sin+1n’estpaspremier: Alors,pardéfinition,n+1admetundiviseurdautreque1etlui- même.Cediviseurestdansl’ensembleJ2,nK. Or,parhypothèseSderécurrence(c’estP(d)quinoussertici),on saitque:destmultipled’unnombrepremierp. Parsuite,n+1estmultipledep. DoncP(n+1)estaussivérifiéedanscecas. AinsiP(n+1)estvérifiée. Parprincipederécurrence,ona:8n2N,P(n). 24 ECE1-B2015-201

C H V :G éné ra lit és sur le s sui te s ré el le s I. N ot io n de sui te

I.1.Définitiongénérale Définition UnesuitedenombreréelsuestuneapplicationdeNdansRi.e.une fonctiondeNdansRtellequetoutélémentn2Npossèdeuneimagepar u. u:N!R n7!u(n) Notation •Onutiliseralanotationunpourreprésenteru(n),l’imagedel’applica- tionuaupointn. •Pourcetélémentun,onpréféreraparlerdevaleurdelasuiteaurang nouencoredetermegénéraldelasuite. •Unetelleapplicationuseragénéralementnotée(un)n2Noutoutsim- plement(un). Remarque Onpourraaussiconsidérerdessuites: ⇥définiesseulementàpartirdurang1 u:N⇤!R n7!1 n

v:N⇤!R n7!ln(n)

ECE1-B2015-201 2)Onconsidèrelasuite(vn)définiepar:8<

: v0=2

8n2N⇤,vn= n1P

k=0 (k+1)vk

Démontrerque:8n>2,vn=(n+1)!Onpourraseservirdufaitque:(k+1)=((k+2)1)3)Onconsidèrelasuite(wn)définiepar:⇢w0=18n2N,wn+1=w0+w1+···+wn

Montrerque:8n2N,wn62 n.

RemarqueCesexemplessontassezartificiels.Onpeuteneffetlestraiterparrécurrencesimpleenremarquantque:

1)un+1= ✓1+ 1n+1 ◆un, 2)vn+1=(n+2)vn,3)wn+1=2wn.

23 CE1-B2015-2016

⇥définiesseulementàpartirdurang2:(ln(n1))n>2

⇥définiesseulementàpartirdurangm(pourm2N): ✓1n(m1) ◆

n>m

I.2.Commentdéfinirunesuite?

a)Parformuleexplicite

•8n2N,un=5n+3

•8n2N,un=2.7n

b)Parformulerécurrente

• ⇢u0=38n2N,un+1=un+5(cettesuiteestarithmétique,cfplusloin)

• ⇢u0=28n2N,un+1=7⇥un(cettesuiteestgéométrique,cfplusloin)

• 8<

: u0= p2u1=2ln(3)8n2N,un+2=7⇥un+14un(cettesuiteestditerécurrentelinéaired’ordre2,cfplusloin)

• 8<

: u0=8u1=108n2N,un+2=7ln(un+1)+4un +1(cettesuiten’estniarithmétique,nigéométrique...)

c)ParrestrictionsurNd’unefonctionréelle

• f:R!R

x7!x⇥e p|x|et8n2N,un=f(n)=n⇥e p|n|

Évidemment,cetypededéfinitionn’estpossiblequesilafonctionfestdéfiniesurunensemblequiinclutN.Onobtientainsiuneformuleexplicitepourlasuite.

2

ECE1-B2015-2016 III.2.Récurrencesfortes III.2.a)Pourquelstypesd’énoncé Ceprincipederécurrenceestadaptélorsque,pourdémontrerune propriétéàuncertainrang,ilestnécessairedesavoirquecettepropriété estvérifiéeàtouslesrangsprécédents.Ilestdoncclassiqued’opérer parrécurrencefortepourprouverdespropriétéssurdessuites(un)qui sontdéfiniessouslaforme: ⇢ u0donné 8n2N,un+1=fn(u0,u1,...,un) oùfnestunefonctionàn+1variables. III.2.b)Aspectthéorique Théorème5. SoitPunepropriétédéfiniesurNettelleque: 1.Initialisation:P(0)estvraie 2.Hérédité:8n2N,(P(0)ETP(1)ETP(2)ET...ETP(n)) P(n+1)) Alorslapropriétéestvérifiéepourtoutentiernatureln>0. Autrementdit:8n>0,P(n) Exemple 1)Onconsidèrelasuite(un)définiepar:

8 < :

u0=2 8n2N⇤,un=n1P k=0

uk k+1 Démontrerque:8n>2,un=n+1. 22

ECE1-B2015-201 I.3.Propriétés-vocabulaire I.3.a)Sensdevariation Unesuiteestcroissantesielledéfinitunefonctioncroissante. (un)croissante,(8m2N,8n2N,(m6n)um6un)) Onutiliseenfaitladéfinitionsuivantequitirepartiedespropriétésde N. Définition(Sensdevariationdessuites) •Unesuite(un)estditecroissantesi:8n2N,un+1>un •Unesuite(un)estditedécroissantesi:8n2N,un+16un •Danslecasoùcesinégalitéssontstrictes,onparleradecroissance stricteetdedécroissancestricte. •Unesuite(un)estdite(strictement)monotonesielleest: ⇥soit(strictement)croissante, ⇥soit(strictement)décroissante. •Unesuiteàlafoiscroissanteetdécroissanteestconstante. (un)constante,9a2R,8n2N,un=a ,8n2N,un=u0 ,8n2N,un+1=un •Unesuiteestditestationnairesielleestconstanteàpartird’uncer- tainrang. 9n02N,8n2N,(n>n0)un=un0) •Demanièregénérale,onditqu’unepropriétéP(.)estvérifiéeàpartir d’uncertainrangsi: 9n02N,8n2N,(n>n0)P(n)) Exercice Montrerquecesdeuxnotionsdecroissancesontéquivalentes.

ECE1-B2015-201

III.1.c)Modèlederédaction:illustrationsurunexemple

Onconsidèrelasuite(un)définiepar:⇢u0=1,u1=58n2N,un+2=5un+16un

Montrerque:8n2N,un=8⇥2n7⇥3n.(ouparlaméthoded’étudedessuitesrécurrenteslinéairesd’ordre2) Démonstration.Montronsparrécurrencedoubleque:8n2N,P(n)oùP(n):un=8⇥2 n7⇥3 n.

1.Initialisation

•D’unepart,8⇥2 07⇥3 0=87=1etd’autrepartu0=1.DoncP(0).

•D’unepart,8⇥2 17⇥3 1=8⇥27⇥3=1621=5etd’autrepartu1=5.DoncP(1).

2.Hérédité:soitn2N.SupposonsP(n)etP(n+1)sontvérifiées.DémontronsP(n+2).(i.e.un+2=8⇥2n+27⇥3n+2)Pardéfinitiondelasuite(un),ona:

un+2=5un+16un=5(8⇥2n+17⇥3n+1)6(8⇥2n7⇥3n)(parH.R.)

=8⇥2 n(5⇥26)7⇥3 n(5⇥36)

=8⇥2n⇥47⇥3n⇥9=8⇥2n+27⇥3n+2

DoncP(n+2)estvérifiée.

Parprincipederécurrence,ona:8n2N,P(n).

21 CE1-B2015-2016

MéthodologiePourmontrerqu’unesuiteestcroissante,ilfautdémontrerque:

8n2N,un+1>unCherchonsàsimplifiercetteinégalité.Soitn2N.1)Endéplaçantundel’autrecôtédel’inégalité: un+1>un,un+1un>0 Àretenir:pourétudierlamonotonied’unesuite(un),onpeutétudierlesignedelaquantitéun+1un.

2)Endivisantparun:a.Siun>0:un+1>un, un+1un >1 b.Siun<0:un+1>un, un+1un 61Danslecasdessuitesdesigneconstant,onpeutdoncétudierlamo-notoniede(un)enformantlequotient.Plusprécisément:

Àretenir:pourétudierlamonotonied’unesuite(un),

•Si(un)estunesuitestrictementpositive(8n2N,un>0) (un)croissante,8n2N, un+1un >1 (un)décroissante,8n2N, un+1un 61

•Si(un)estunesuitestrictementnégative(8n2N,un<0) (un)croissante,8n2N, un+1un 61 (un)décroissante,8n2N, un+1un >1(pourmonotoniestricte:remplacerinégalitéslargespardesstrictes)

4

ECE1-B2015-2016

II I. R et our sur le pr inc ip e de réc ur renc e

III.1.Récurrencedouble III.1.a)Pourquelstypesd’énoncés Ceprincipederécurrenceestadaptélorsque,pourdémontrerune propriétéàuncertainrang,ilestnécessairedesavoirquecettepropriété estvérifiéeauxdeuxrangsprécédents.Ilestdoncclassiqued’opérer parrécurrencedoublepourprouverdespropriétéssurdessuites(un)qui sontdéfiniessouslaforme: ⇢ u0,u1donnés 8n2N,un+2=f(un+1,un) oùfestunefonctionàdeuxvariables. III.1.b)Aspectthéorique Théorème4. SoitPunepropriétédéfiniesurNettelleque: 1.Initialisation:P(0)etP(1)sontvraies 2.Hérédité:8n>0,(P(n)ETP(n+1))P(n+2)) Alorslapropriétéestvérifiéepourtoutentiernaturel. Autrementdit:8n>0,P(n) Exercice Onconsidèrelasuite(un)définiepar: ⇢ u0=1,u1=4 8n2N,un+2=p unun+1 Montrerque:8n2N,unestbiendéfiniettelqueun>0. 20 ECE1-B2015-201 Exercice Soit(un)unesuitetellequ’iln’existeaucunrangàpartirduquelelleest designeconstant.Montrerque(un)n’estpasmonotone. Remarque Laformedeunnouspermetdedéciderquellequantitéconsidérer: ⇥siunestdéfinie«àl’aidedesommes»,onformelaquantitéun+1un. ⇥siunestdéfinie«àl’aidedequotients»,onformelaquantitéun+1 un. Exemple Déterminerlesensdevariationdessuites(un)et(vn)définiespar: a)8n2N⇤,un=nP k=1

1 k Soitn2N⇤.Ona:un+1un=1 n+1>0. Ainsi,lasuite(un)estcroissante. (elleestmêmestrictementcroissantepuisque1 n+1>0) b)8n2N⇤,vn=n! p n. Soitn2N⇤.Commen!>0etp n>0,ona:vn>0. Lasuite(vn)eststrictementpositive.Or: vn+1 vn=(n+1)! p n+1⇥p n n!=(n+1)⇥(n!) p n+1⇥p n n! =p n+1⇥p n+1 p n+1⇥p n=p n+1⇥p n>1 Ainsilasuite(vn)eststrictementcroissante.

ECE1-B2015-201

•Onendéduitlaformuleexplicitede(un):8n2N,un=⇥r1 n+µ⇥r2 noùlesvaleursetµsontdonnéesparlesystème:

(S) ⇢0=+µ(valeurenn=0)1=⇥r1+µ⇥r2(valeurenn=1)

Résolvons-le.

(S), ⇢1=(r1r2)µr1⇥(L1)(L2)1=(r2r1)r2⇥(L1)(L2)

Notonsenfinque:r2r1= 1+ p52 1 p52 = p5. Onendéduitque:= 1p5 etµ= 1p5 .

•Ainsi,pourtoutn2N,ona:

un= 1p5 1 p52 !n

+ 1p5 1+ p52 !n

= 1p5 " 1+ p52 !n1 p52 !n#

Remarque

•Danscetterésolution,onaconservér1etr2danslesystème(S).Cechoixaétéfaituniquementpourallégerlescalculsquisuivent.

•Généralement,onutilisedirectementlesvaleursder1etr2pourécrireetrésoudrelesystème(S).

19 CE1-B2015-2016

I.3.b)Bornesd’unesuiteréelle

Définition(Notiondemajorant,minorant)

•Unesuite(un)estditemajoréesielleadmetunmajorant.

9M2R,8n2N,un6M

•Unesuite(un)estditeminoréesielleadmetunminorant.

9m2R,8n2N,un>m

•Unesuiteàlafoismajoréeetminoréeestditebornée.

(un)estbornée,9(m,M)2R 2,8n2N,m6un6M

Remarque

•Siunesuite(un)admetunmajorantM,toutréelR>Mestaussimajorantdelasuitepuisqu’onaalors:8n2N,un6M6R.

•Ainsi,silasuite(un)admetunmajorant,elleenadmetuneinfinité.

•Unmajorantd’unesuite(un)estunréelindépendantdelavaleurden.Parexemple,siona(un)telleque:8n2N,un6n2,onnepeutpasenconclureque(un)estmajorée.(parexemple,ona:8n2N,n6n2maislasuite(n)n’estpasmajorée) ExempleConsidéronslasuite ✓2 1n ◆.

•Elleestmajoréepar2puisque:2 1n 62.

•Elleestdoncmajoréepar:2,2.1,e,3, 72 , p37...

•Parmicesmajorants,ilconvientdedistinguer«lemeilleur»i.e.celuiquiapporteleplusd’informationsurlasuite.Ils’agiticide2,lepluspetitdesmajorantsdelasuite.

6

ECE1-B2015-2016 2)Si=a2+4b=0 Alorslepolynômeadmetuneracinedoubler. Laformuleexplicitede(un)estdonnéepar: un=⇥rn +µ⇥n⇥rn oùlesréelsetµsontdonnéspar ⇢ =u0 r+µ⇥r=u1 3)Si=a2+4b<0 Alorslepolynômen’admetpasderacineréelle. Uneformuleexplicitepourlasuite(un)existebienmaisneserapas donnéeici(HorsProgramme). Démonstration. Horsprogrammeetdoncnondéveloppéeici. Exercice(suitedeFibonacci) Onconsidèrelasuitedonnéepar:

8 < :

u0=0 u1=1 8n2N,un+2=un+1+un Donneruneformuleexplicitedecettesuite. •L’équationcaractéristiqueassociéeàlasuite(un)est:x2=x+1. NotonsPlepolynôme:P(X)=X2X1. Sondiscriminantest=(1)2 4(1)=1+4=5>0. Cepolynômeadmetdoncdeuxracinesdisctinctes: r1=1p 5 2etr2=1+p 5 2 18 ECE1-B2015-201 Définition(Notiondebornesupérieure,inférieure) •Toutesuiteréelle(un)majoréeadmetunebornesupérieure: pardéfinition,c’estlepluspetitdesmajorantsdelasuite. Onnoterasup n2Nunlabornesupérieurede(un). •Toutesuiteréelle(un)minoréeadmetuneborneinférieure: pardéfinition,c’estleplusgranddesminorantsdelasuite. Onnoterainf n2Nunlaborneinférieurede(un). Remarque •Pardéfinition,labornesupérieurede(un)(sielleexiste!)estunma- jorantde(un).Onestdoncdansl’undesdeuxcassuivants: ⇥soit(un)estmajoréeet,danscecas,elleadmetunebornesupérieure, ⇥soit(un)n’estpasmajoréeet,danscecas,ellen’admetpasdeborne supérieure. •Ilestànoterquelabornesupérieurede(un)(sielleexiste!)n’estpas forcémentunélémentdelasuite. •Parexemple,lasuite(un)determegénéraleun=21 nadmetpour bornesupérieuresup n2Nun=2.Et2n’estjamaisatteint(8n2N,un6= 2). •Sile«meilleur»desmajorantsestatteint,onparledemaximum. Définition(Notiondemaximum,minimum) •Ondiraqu’unesuite(un)admetunmaximumatteintaurangn0si: 9n0,8n2N,un6un0 Unmaximumatteintaurangn0seranoté:un0=max n2Nun. •Ondiraqu’unesuite(un)admetunminimumatteintaurangn0si: 9n0,8n2N,un>un0 Unminimumatteintaurangn0seranoté:un0=min n2Nun.

ECE1-B2015-201

II.4.Suitesrécurrenteslinéairesd’ordre2

II.4.a)Définition

Définition

•Unesuite(un)estditerécurrentelinéaired’ordre2s’ilexistedeuxréels(nonnuls)aetbtelsque:

8n2N,un+2=a⇥un+1+b⇥un

•Onappelleéquationcaractéristiqueassociéeàlasuite(un)l’équa-tion(enlavariablex)x2=ax+b.Onpeutlaréécrire:

x 2axb=0

II.4.b)Méthoded’étude

Cetteméthodeestbaséesurlecalculdesracinesdel’équationcaracté-ristique.Onaainsitroiscasdifférents,enfonctiondudiscriminantdupolynômecaractéristique.

Théorème3.Soit(un)unesuiterécurrentelinéaired’ordre2.Ilexistedonca6=0etb6=0telsque:8n2N,un+2=aun+1+bun.1)Si=a 2+4b>0Alorslepolynômeadmetdeuxracinesréellesdistinctesr1etr2.Laformuleexplicitede(un)estdonnéepar:

un=⇥r n1+µ⇥r n2

oùlesréelsetµsontdonnéspar⇢+µ=u0⇥r1+µ⇥r2=u1

17 CE1-B2015-2016

RemarqueLesnotionsdemaximumetdebornesupérieuresontdifférentes.1)Siunesuiteadmetunmaximum,alorselleadmetaussiunebornesupérieurequiestégaleàcemaximum.2)Ainsi,siunesuiten’admetpasdebornesupérieure,ellen’admetpasnonplusdemaximum.(c’estlacontraposéedupointprécédent)3)Unesuitepeutadmettreunebornesupérieuremaispasdemaximum.Autrementdit,labornesupérieured’unesuiten’estpasforcémentatteinte(i.e.n’estpasforcémentunélémentdelasuite).(considérerparexemplelasuite(2 1n))

Exercice

a)Lasuite ✓1 1n+1 ◆est-ellemajorée?Minorée?Admet-elleunebornesupérieure?Uneborneinférieure? b)Répondreauxmêmesquestionsdanslecasdelasuite ✓

1+ 1n+1 ◆.

Propriété(Caractérisationdessuitesbornées)

(un)estbornée,9M>0,8n2N,|un|6M Autrementdit:(un)estbornéessilasuite(|un|)possèdeunmajorant.

Démonstration.Onprocèdepardoubleimplication.

())Si(un)estbornée,ilexistem1etM1telsque:8n2N,m16un6M1.NotonsM=max(|m1|,|M1|).Onaalors:

8n2N,|un|6M

(()Ilsuffitderemarquerque(propriétédelafonctionvaleurabsolue):

|un|6M,M6un6M

8

ECE1-B2015-2016 4)Conclusion:obtentiondelaformuleexplicitepour(un) Onadonc,pourtoutn2N:un=an⇥(u0) Onobtientdoncuneformuleexplicitepour(un). 8n2N,un=an ⇥(u0)+ Remarque •Leprincipedeladémonstrationestdefaireappraîtreuncommesomme d’unepartiegéométrique(vn)etd’unélément():un=vn+. •Lessuitesarithmético-géométriquesapparaissentainsicommedessuites géométriquestranslatéesde. •Onnotequelapartiegéométriquedansladéfinitionde(un)(un+1=a⇥ un+...)seretrouvedanslaformuleexplicite(un=an⇥(u0)+...). Exercice Notons(un)lasuitedéfinieparu0=0et:8n2N,un+1=3⇥un+2. Donneruneformuleexplicitede(un)puiscalculernP k=0uk. 1)L’équationdepointfixeassociéeàlasuite(un)est:x=3⇥x+2. Or:x=3⇥x+2,2⇥x=2 Cetteéquationadoncpouruniquesolution:=1. 2)Onécrit:un+1=3⇥un+2(L1) =3⇥+2(L2) etdoncun+1=3⇥(un)(L1)(L2) Notonsalors(vn)lasuitedetermegénéralvn=un. 3)Lasuite(vn)estgéométriquederaison3. Ainsi:8n2N,vn=3n⇥v0=3n(u0)=3n(0(1))=3n. 4)Onadonc,pourtoutn2N:un=vn+=3n1. Enfin,nP k=0uk=nP k=0(3k 1)=nP k=03knP k=01=13n+1 13(n+1) =2(3n+1 1)n1=2⇥3n+1 n3 16 ECE1-B2015-201 I.3.c)Suitesextraites Définition Soit(un)estunesuite. Soit':N!Nuneapplicationstrictementcroissante. •Lasuite(u'(n))estunesous-suite(ousuiteextraite)de(un). Exemple Considéronslasuite(un)determegénéralun=(1)n n+1. •Sionnotevn=u2n,alors(vn)estunesuiteextraitede(un)définie par: 8n2N,vn=(1)2n (2n)+1=1 2n+1. •Sionnotewn=u2n+1,alors(vn)estunesuiteextraitede(un)définie par:8n2N,wn=(1)2n+1 (2n+1)+1=1 2n+2. •Lasuite(un3)n>3estaussiunesuiteextraitede(un). •Lasuite(uln(n))n>1n’estpasunesuiteextraitede(un). Exercice Onconsidèrelasuite(Sn)determegénéral:Sn=nP k=1

(1)k+1 k. a.Montrerque(S2n)et(S2n+1)sontdessuitesextraitesdelasuite(Sn). Ilsuffitderemarquerque':n7!2net:n7!2n+1sontdes fonctions: ⇥deNdansN, ⇥strictementcroissantes. b.Déterminerlesensdevariationdessuites(S2n)et(S2n+1). Notons(vn)lasuitedetermegénéralvn=S2n. Alors:vn+1vn=S2(n+1)S2n=S2n+2S2n=... (onagitdemêmepour(S2n+1)...)

ECE1-B2015-201

II.3.Suitesarithmético-géométriques

II.3.a)Définition

Définition

•Unesuite(un)estditearithmético-géométriques’ilexistea2R\{0,1}etunréelb6=0telque:8n2N,un+1=a⇥un+b

•Onappelleéquationdepointfixeassociéeàlasuite(un)l’équation(enlavariablex)suivante:x=a⇥x+b

(sionnotef:x7!a.x+b,cetteéquationseréécrit:f(x)=x,faisantainsidel’élémentx2Runpointfixedef)

II.3.b)Méthoded’étude

Considéronsunesuitearithmético-géométrique(un).Onvaramenerl’étudedecetypedesuitesàl’étudedessuitesgéomé-triques.

1)Résolutiondel’équationdepointfixex=a⇥x+b

Cetteéquationadmetpouruniquesolution= b1a . 2)Utilisationd’unesuiteauxiliaire(vn)(géométrique) Onécrit:un+1=a⇥un+b(L1)=a⇥+b(L2)

etdoncun+1=a⇥(un)(L1)(L2) Notonsalors(vn)lasuitedetermegénéralvn=un.Deparl’égalitéprécédente,ona:vn+1=a⇥vn.3)Obtentiondelaformuleexplicitepour(vn)Lasuite(vn)estgéométriquederaisona.Ainsi:8n2N,vn=a n⇥v0.

15 CE1-B2015-2016

II . Sui tes us uel les

II.1.Suitesarithmétiques

Définition

•Unesuite(un)estditearithmétiques’ilexisteunréelrtelque:

8n2N,un+1=un+r

•Danscecas,leréelrestappeléraisondelasuite.

Théorème1.(Caractérisationdessuitesarithmétiques)

(un)arithmétique,9r2R,8n2N,un=u0+n⇥r ExempleLasuite(un)suivanteestarithmétique.⇢u0=38n2N,un+1=un+5

Elleapourformuleexplicite:8n2N,un=5n+3.

Propriété(D’autrescaractérisations)

1.(un)arithmétique,8n2N⇤,un= un1+un+12 2.(un)arithmétique,9r2R,8n2N,8p2N,un=up+(np)r Démonstration.Lacaractérisation2estrelativementimmédiate.Lacaractérisation1sedémontreenformantladifférenceunun1.

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ECE1-B2015-2016 Etsionprenaitunpeuderecul? Lessuitesarithmétiquesetgéométriquesontdesconstructionssimi- laires:partantd’unélémentu0onitérenfoisuneopérationscalairepour obtenirlavaleurdeun.Cetteopérationest: ⇥l’ajoutdelaraisondanslecasd’unesuitearithmétique, ⇥lamultiplicationparlaraisondanslecasd’unesuitegéométrique. Onpeutobtenirlescaractérisationsprécédentes(etdémonstrations)des suitesgéométriquespartraductiondespropriétésdessuitesarithmétiques suivantledictionnairesuivant: + !⇥ !/ n.r !qn 2un=un+1+un1 !u2 n=un+1⇥un1 suitesarithmétiques !suitesgéométriques Exercice Soient(un)unesuitearithmétiqueet(vn)unesuitegéométriquedont touslestermessontstrictementpositifs. a.Quepeut-ondiredelasuite(vn)determegénéralvn=eun? Notonsrlaraisonde(un). Onaalors:vn+1=eun+1=eun+r =er ⇥eun=er ⇥vn Lasuite(vn)estdoncgéométriquederaisoner. b.Quepeut-ondiredelasuite(un)determegénéralvn=ln(un)? Notonsqlaraisonde(un).Ontraitelecasoùu0>0etq>0(pour assurer:8n2N,un>0. Onaalors:vn+1=ln(un+1)=ln(q⇥un)=ln(q)+ln(un)= vn+ln(q) Lasuite(vn)estdoncarithmétiquederaisonln(q). 14 ECE1-B2015-201 II.2.Suitesgéométriques Définition •Unesuite(un)estditegéométriques’ilexisteunréelqtelque: 8n2N,un+1=q⇥un •Danscecas,leréelqestappeléraisondelasuite. Théorème2.(Caractérisation) (un)géométrique,9q2R,8n2N,un=u0⇥qn Exemple Lasuite(un)suivanteestarithmétique. ⇢ u0=3 8n2N,un+1=5⇥un Elleapourformuleexplicite:8n2N,un=3⇥5n . Propriété(D’autrescaractérisations) 1.(un)géométrique,8n2N⇤,un2=un1⇥un+1 2.(un)géométrique,9q2R,8n2N,8p2N,un=up⇥q(np) Démonstration. Lacaractérisation2estrelativementimmédiate. Lacaractérisation1peutsefaireparanalogieaveclapreuvedanslecas arithmétique:onformeun un1(pourun16=0!). (quedired’unesuitegéométrique(un)quiadmetunrangn0tqun0= 0?) 11

ECE1-B2015-201 Exercicea.Quepeut-ondiredusensdevariationd’unesuitearithmétique?Soit(un)suitearithmétiquederaisonr.Alors:

un+1un=r Lasuite(un)estcroissantesir>0,décroissantesinon.b.Quepeut-ondiredusensdevariationd’unesuitegéométrique?Soit(un)suitegéométriquederaisonq.

•Siu0=0ouq=0,lasuiteestconstantenulle.Elleestdoncàlafoiscroissanteetdécroissante.

•Onsupposemaintenantu06=0etq6=0.Onadonc:8n2N,un6=0(récurrenceimmédiate).1)Traitonslecasu0>0.

⇥siq>0,onaalors:8n2N,un>0.

un+1un =q Lasuite(un)estcroissantesiq>1,décroissantesinon.

⇥siq<0,lasuitechangedesigned’unrangàl’autre.Lasuite(un)n’estdoncnicroissantenidécroissante.2)Lecasu0<0estsimilaire.Ilfautcependantfaireattention.Eneffet,silasuite(un)estnégativeona:

un+1>un, un+1un 61

⇥siq>0,onaalors:8n2N,un<0.Lasuite(un)estcroissantesiq61,décroissantesinon.

⇥siq<0,lasuitechangedesigned’unrangàl’autre.Lasuite(un)n’estdoncnicroissantenidécroissante.

13 CE1-B2015-2016

Sommesdespremierstermesd’unesuitearithmétique/géométrique1)Soit(un)suitearithmétiquederaisonr.Alors:

nP

k=0 uk= nP

k=0 (u0+k⇥r)= nP

k=0 u0+r nP

k=0 k

=(n+1)u0+r n(n+1)2 =(n+1) ⇣u0+ n2 r ⌘ 2)Soit(un)suitegéométriquederaisonq6=1.

•Siq6=1,ona:

nP

k=0 uk= nP

k=0 q k⇥u0=u0⇥ nP

k=0 q k=u0⇥ 1qn+1

1q

Onrappellequesim2J0,nK,ona: nP

k=m q k= q mq n+1

1qCequ’onpeutmontreraussienécrivantlasommeenextension:

nP

k=m qk=qm+qm+1+...+qn=qm(1+q+...+qnm)

=qm ✓nmP

k=0 qk ◆

=qm1qnm+1

1q = qmqn+1

1q

3)Siq=1,ona:

nP

k=0 uk= nP

k=0 1 k⇥u0= nP

k=0 u0=(n+1)⇥u0

Exercice(sommed’unesuitearithmétique)Soit(un)unesuitearithmétique.a.Montrerque:8k2J0,nK,uk+unk=u0+un. b.Endéduireque:8n2N, nP

k=0 uk=(n+1) u0+un2 . c.Retrouverlavaleurde nP

k=0 kàl’aidedecetteformule.

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