II . L im ite des op ér at io ns sur les fo nc tio ns

(1)

ECE1-B2015-2016 cequipermetdedémontrer: lim x!1f(x)x=lim x!1x x=1 Onendéduitqueladroitey=x1estasymptoteobliquedefen1. x

y 52

ECE1-B2015-2016

C H X :L im ite s et co nt in ui té de s fo nc tio ns ré el le s d’ une va ria bl e ré el le N ot at io ns et défini ti ons ut iles

Définition(notiond’intervalle) •Formellement,unintervalleIdeRestunepartiedeR(I⇢R)telle que: 8(u,v)2I2 ,8x2R,(u6x6v)x2I) •Deparcettedéfinition,pourtoutintervalleInonvide,onpeutexhiber deuxbornestellesqueIestl’ensembledesélémentscompris(ausens largeoustrict)entresesdeuxbornes.Onpeutdistinguerdeuxcas. 1)Iestunintervalleàbornesfinies(a,b)2R2: ]a,b[,[a,b[,]a,b],[a,b], 2)Iestunintervallepossédantaumoinsuneborneinfinie: ]1,b[,]1,b],]a,+1[,[a,+1[,]1,+1[ •Lesélémentsaetbsontdesréelsappelésbornes(ouextrémités)finies del’intervalleI. 1

(2)

ECE1-B2015-2016 ExempleOnconsidère(denouveau)lafonctionf(x)= x 2+e x

x+1 .

•Intéressons-noustoutd’abordaucomportementdefen+1.Pourcefaire,oncommencepardéterminerlalimitede f(x)xquandx!+1.Factorisonscequotientàl’aidedestermesdominants.Onaalors:

f(x)x = x2+ex

x(x+1) = ex

x2 x2ex+1

1+ 1xcequipermetdedémontrer:

limx!+1 f(x)x =limx!+1 ex

x2 =+1

Onendéduitquelafonctionfn’admetpasd’asymptoteobliqueen+1.(danscecas,onparleparfoisdebrancheparaboliquededirectionl’axedesordonnées)

•Intéressons-nousmaintenantaucomportementdefen1.Pourcefaire,oncommencepardéterminerlalimitede f(x)xquandx!1.Factorisonscequotientàl’aidedestermesdominants.Onaalors:

f(x)x = x2+ex

x(x+1) = x2

x2 exx2+1

1+ 1xcequipermetdedémontrer:

limx!1 f(x)x =limx!1 x2

x2 =1

Ilrestedoncàdéterminerlalimitedef(x)x.Ona:

f(x)x= x2+ex

x+1 x= exxx+1 = xx exx+1

1+ 1x

51 ECE1-B2015-2016

Définition(notiond’adhérence)

•Onappelleadhérencedel’intervalleI,etonnoteI,l’intervalleIauquelonarajoutésesbornesfinies.Plusprécisément,ona:1)siIàbornesfinies(a,b)2R2:alorsI=I[{a,b}=[a,b].(,!vraipourI=]a,b[,I=]a,b],I=[a,b[,I=[a,b])2)siIàborne(s)infinie(s):

⇥siI=]1,b[ouI=]1,b],alorsI=]1,b],

⇥siI=]a,+1[ouI=[a,+1[,alorsI=[a,+1[,

⇥siI=]1,+1[,alorsI=]1,+1[.

Notationsduchapitre

•OnconsidéreradesfonctionsdéfiniessurunintervalleIdeR:f:I!R

•Parmilespointsconsidérés,ondistingueralescassuivants:

⇥x02I:x0estunpointdel’intervalleI,

⇥x02I:x0estunpointadhérentàl’intervalleIi.e.unpointdeIouuneextrémitédeI(mêmesicetteextrémitén’estpasunélémentdeI).

Définition(notiondevoisinaged’unpoint)Voisinaged’unpointSoitIunintervalledeRetsoitx02I.Soitf:I!R(festunefonctiondéfiniesurI).

•Onappellevoisinage(fermé)dex0toutsegmentdelaforme:[x0↵,x0+↵]où↵estunréeltelque↵>0.

•Onappellevoisinageépointé(fermé)dex0toutensembledelaformeV\{x0}oùVestunvoissinagedex0.Autrementdit,unvoisinageépointédex0estunensembledelaforme:[x0↵,x0[[]x0+↵]où↵estunréeltelque↵>0.

•Onditqu’unepropriétérelativeàfestvraieauvoisinagedex0s’ilexiste↵>0telquelapropriétéestvraiesurI\[x0↵,x0+↵].

2

(3)

ECE1-B2015-2016 IV.3.Asymptoteoblique Définition Soitf:I!R. Soienta2Retb2R. 1)SoitId’extrémitésupérieure+1. Onditquefadmetl’asymptoteobliquey=ax+ben+1si: lim x!+1f(x)(ax+b)=0 2)SoitId’extrémitéinférieure1. Onditquefadmetl’asymptoteobliquey=ax+ben1si: lim x!1f(x)(ax+b)=0 Lapropriétésuivantefournituneméthodepourdéterminerlesvaleurs aetbd’uneasymptoteoblique. Propriété(détermineruneasymptoteobliqueen+1) Soitf:I!R.Soienta2Retb2R. fadmetladroitey=ax+b commeasymptoteobliqueen +1,

8 > > > > > < > > > > > :

lim x!+1f(x) x=a lim x!+1f(x)ax=b Évidemment,onpeutécrireunepropriétéanaloguepourlesasymptotes obliquesen1. 50

ECE1-B2015-2016 Remarque Onneconsidèreiciquedesvoisinagescentrésenx0.Engénéral,unvoisinage(fermé)dex0estunsegment[x0↵1,x0+↵2]avec↵1>0,↵2>0. Autrementdit,c’estunsegmentquicontientx0etnonréduità{x0}. Définition(notiondevoisinagedel’infini) Voisinagede+1 SoientIunintervalledeRd’extrémité+1etf:I!R. •Onappellevoisinage(fermé)de+1toutintervalledelaforme: [A,+1[oùAestunréeltelqueA>0. •Onditqu’unepropriétéestvraieauvoisinagede+1s’ilexisteA>0 telquelapropriétéestvraiesurI\[A,+1[. Voisinagede1 SoientIunintervalledeRd’extrémité1etf:I!R. •Onappellevoisinage(fermé)de1toutintervalledelaforme: ]1,B]oùBestunréeltelqueB>0. •Onditqu’unepropriétéestvraieauvoisinagede1s’ilexisteB>0 telquelapropriétéestvraiesurI\]1,B]. Remarque •Lanotiondevoisinagepermetdeformaliserl’idéedepropriétévérifiée «àproximité»d’unpointx0/«àproximité»del’infini. •Lanotiondeconvergencepourlessuitesestdéfinieparunepropriété vérifiéeàpartird’uncertainrangn02Ni.e.pourtoutn2N\[n0,+1[. Autrementdit,parunepropriétévérifiéeauvoisinagede+1. 3

(4)

ECE1-B2015-2016

IV.2.Asymptotehorizontale

DéfinitionSoitf:I!R.1)SoitId’extrémitésupérieure+1.Onditquelafonctionfadmetl’asymptotehorizontaley=`en

+1sifadmetlalimite`2Ren+1 ✓i.e.limx!+1 f(x)=` ◆. 2)SoitId’extrémitéinférieure1.Onditquelafonctionfadmetl’asymptotehorizontaley=`en1sifadmetlalimite`2Ren1 ✓i.e.limx!1 f(x)=` ◆.

ExempleOnconsidèrelafonctionf(x)= exexex+ex .

CettefonctionestdéfiniesurRpuisquesondénominateurnes’annuleja-mais.Sil’onsouhaitetracerlegraphedef,ons’intéresseaucomportementdefauxbornesdesonintervallededéfinitioni.e.en1,en+1.Ona:

f(x)= exexex+ex = exex 1e2x

1+e2x !x!+1 1

Onendéduitquefadmetl’asymptotehorizontaley=1en+1.

f(x)= exexex+ex = exex e2x1e2x+1 !x!1 1

Onendéduitquefadmetl’asymptotehorizontaley=1en1.

x y

49 ECE1-B2015-2016

I. N ot io n de lim ite d’une fo nc tio n

I.1.Limitefinied’unefonctionenunpointx02R

I.1.a)Définition

DéfinitionSoitf:I!R.Soitx02Iet`2R.

•Onditquefadmetunelimitefinieaupointx0s’ilexiste`2Rtelque:

8">0,9↵>0,8x2I,(|xx0|6↵)|f(x)`|6")

•Onnoteraalorslimx!x0 f(x)=`ouf(x)!x!x0 `.

Remarque

•Notonstoutd’abordque:|xx0|6↵,↵6xx06↵,x0↵6x6x0+↵et|f(x)`|6","6f(x)`6",`"6f(x)6`+"

•L’idéederrièrelapropriétédelimiteestquel’onpeutrendref(x)aussiprochequel’onveutde`(f(x)est"-prochede`)dèsquexestsuﬃ-sammentprochedex0(xest↵-prochedex0).

•Onpeutadopteruneprésentationlégèrementdiﬀérente:

8">0,9↵>0,8x2I\[x0↵,x0+↵],|f(x)`|6"

Cettepropriétésignifiequ’onpeutcontrôlerl’écartentref(x)et`(lerendrepluspetitquen’importequel")àconditiondeprendrexdansunvoisinagedex0adapté.

•Levoisinageadaptédépenddu"choisiaudépart.Plus"estpetit,plusxdevraêtreprochedex0,doncplus↵serapetit.

•Notezquelepointx0peutêtreuneextrémitédeI.Cetteextrémitén’estpasforcémentunpointdeI(prendreparexempleI=[2,5[etx0=5).

4

(5)

ECE1-B2015-2016 IV.1.Asymptoteverticale Définition Soitf:I\{x0}!R. Onditquelafonctionfadmetl’asymptoteverticalex=x0sil’une desconditionssuivantesestvérifiée: •lim x!x0f(x)=1 •lim x!x0f(x)=+1

•lim x!x+ 0f(x)=1 •lim x!x+ 0f(x)=+1 Exemple Onconsidèrelafonctionf(x)=x2+ex x+1. CettefonctionestdéfiniesurR\{1}.Sil’onsouhaitetracerlegraphe def,ons’intéresseaucomportementdefauxbornesdesonintervallede définitioni.e.en1,en+1eten1.Étudionsicilecomportementde fen1.Ona: lim x!1f(x)=1etlim x!1+f(x)=+1 Onendéduitquefadmetladroitex=1commeasymptoteverticale. x

y 48

ECE1-B2015-2016 I.1.b)Représentationgraphique Fonctionf:I!Rpossédantunelimiteenunpointx02I oùx0n’estpasuneextrémitédeI `+3 2 `3 2 ab

`

"1 "1 x0 x0↵1 x0+↵1

`+4 5 `4 5 ab

`"2 "2 x0 x0↵2 x0+↵2 Danscesdeuxfigures,onaconsidéré: •I=]a,b[etf:I!R. •x02]a,b[. Quandxserapprochedex0,f(x)doitserapprocherdesalimite(sielle existe!)enx0.Danslecasprésent,f(x)sembleserapprocherdef(x0) quandxserapprochedex0(résultatàvenir). 1)Danslapremièrefigure,onachoisi"1=3 2.Ondoitalorsêtrecapable detrouverun↵1>0telquepourtoutxdans[x0↵1,x0+↵1](i.e.x suﬃsammentprochedex0),lesvaleursdef(x)seretrouventdansla banderouge. 2)Danslasecondefigure,onachoisi"2=4 5<"1.Labandebleueest doncmoinslargequelarougeetilfautchoisirunvoisinagepluspetit dex0pourassurerquelesélémentsdecevoisinageaurontleurimage danslabandebleue. 5

(6)

ECE1-B2015-2016

IV . D ét er m iner les as ym pt ot es d’ une fo nc tio n

Demanièregénérale,tracerlacourbereprésentatived’unefonctionfestunetâcheardue.Afinquecettecourbedefsoitlaplusprécisepossible,ons’intéressenotammentauxtangentesdefencertainspoints.S’intéresseràlatangenteenunpointx0aplusieursavantages:

⇥lestangentessontdesdroites(doncfacileàreprésenter),

⇥l’équationd’unetangenteestsimpleàdéterminer,

⇥lafonctionfale«mêmecomportementlocal»(auvoisinagedex0)quesatangenteaupointx0.

Lorsquelafonctionfn’estpasdéfinieenx0(avecéventuellementx0=+1oux0=1),soncomportementestfourniparsalimite(sielleexiste!):1)silimx!x0 f(x)=`2R:onprolongelafonctionfparcontinuitéenx0enposantf(x0)=`.2)silimx!x0 f(x)=1:onétudiel’existencedebrancheinfiniedefenx0.

Lesbranchesinfiniesdefpossèdentdesavantagescomparablesauxtan-gentes:

⇥cesontdesdroites(doncfacileàreprésenter),

⇥leuréquationestsimpleàdéterminer,

⇥lafonctionfserapprocheasymptotiquementdesesbranchesinfinies.Autrementdit,falemêmecomportementasymptotiquequesesbranchesinfinies.

Enrésumé,onpeutvoirlesbranchesinfiniescommel’analoguedestangentesenlespointsoufn’estpasdéfinieetnepeutêtreprolongéeparcontinuité(1et+1inclus).

47 ECE1-B2015-2016

Fonctionf:I!RpossédantunelimiteenuneextrémitédeIIci,x0estuneextrémitédeIquin’estpasforcémentcontenuedansI.

`+ 12

` 12 ` x0=ab

"1"1 x0+↵ `+ 12

`12

ax0=b ` "2"2

x0↵

1)Danslapremièrefigure,onaconsidéré:

•I=]a,b[etf:I!R.Enparticulier,fn’estpasdéfinieena.

•x0=a.Onaalors:I\[x0↵,x0+↵]=]x0,x0+↵].Lafonctionfadmetunelimiteenx0=a,notée`surledessin.Exemplef:x7!xln(x)estdéfiniesur]0,+1[etadmetunelimiteen0.Plusprécisément,ona:limx!0 f(x)=0.

2)Dansladeuxièmefigure,onaconsidéré:

•I=]a,b[etf:I!R.Enparticulier,fn’estpasdéfinieenb.

•x0=b.Onaalors:I\[x0↵,x0+↵]=[x0↵,x0[.Lafonctionfadmetunelimiteenx0=b,notée`surledessin.Exemplef:x7!xln(x)estdéfiniesur]1,0[etadmetunelimiteen0.Plusprécisément,ona:limx!0 f(x)=0.

6

(7)

ECE1-B2015-2016 46

ECE1-B2015-2016 Fonctionf:I!Rnepossédantpasdelimiteaupointx02I `+1 2 `1 2 ab

`

" "

x0

`+1 2 `1 2 ab

`

" "

1)Danslapremièrefigure,onconsidèreunefonctionf:]a,b[!Ravec x02]a,b[(festdéfinieenx0,pointdel’intervallededéfinition). Silafonctionadmettaitunelimitefinie`enx0,onaurait`=f(x0). Sil’onprend"=1 2(banderouge),onnepeuttrouverdevoisinagede x0donttouslesélémentsontleurimagedanslabanderouge. Lafonctionfn’admetdoncpasdelimitefinieenx0. 2)Danslasecondefigure,onconsidèreunefonctionf:]a,b]!Ravec x0=b2]a,b](festdéfinieenx0,pointdel’intervallededéfinition). Commeprécédemment,onnepeuttrouverdevoisinagedex0dont touslesélémentsontleurimagedanslabandebleue(correspondantà "=1 2). Lafonctionfn’admetdoncpasdelimitefinieenx0. Remarque Pourcesdeuxfigures,l’absencedelimitefinieenx0provientdufaitquela fonctionprésenteunsautenx0.Celarenvoieàl’approche(incorrectemais bonnepremièreapproximation)delacontinuitévueaulycée:unefonction estcontinueenx0sil’onpeuttracersacourbesansleverlecrayon. 7

(8)

ECE1-B2015-2016

Enconclusiondecechapitre,prenonsunpeudereculEnmathématiques,deuxmondessecôtoient:

⇥lemondediscretquiestcomposédesensemblesfinisoudénombrablesainsiquedesobjetsobtenusparunnombred’opérationsauplusdénom-brable.Parexemple,unesommefinieouunesommeinfinieindexéesurN(onenreparlera!)ouencoreunesuite(quipardéfinitionprendunnombreauplusdénombrabledevaleurs)sontdesobjetsdiscrets.

⇥lemondecontinuquiestcomposédesensembleséquipotentsàR(i.e.enbijectionavec)ainsiquedesobjetsobtenusenutilisantautantd’opérationsqu’ilyaderéels.Parexemple,unefonctionréelle(quipeutprendreaprioriautantdevaleursqu’ilyenadansR)estunobjetcontinu.Évidemmentcettedistinctionn’adesensqueparcequel’infinidénom-brable(i.e.lenombred’élémentsdansN)estpluspetitquelenombred’élémentsdansR(lesensemblesNetRnepeuventêtremisenbijection).

•Danscechapitreonétudiedesobjetsdumondecontinu(lesfonctionsréelles).Onyaétudiélanotiondelimitefiniequ’onaappeléiciconti-nuité.

•DansleCH6,onaétudiédesobjetsdumondediscret(lessuitesréelles).Onyaétudiélanotiondelimitefiniequ’onaappeléconvergence.Autrementdit,onadéfinilamêmenotiondansdeuxmondesdiﬀérents,cequiexpliquequel’onretrouvelesmêmesthéorèmesetlesmêmestechniquesdedémonstration!

45 ECE1-B2015-2016

I.1.c)Unicitédelalimited’unefonctionenunpoint

Théorème1.Soitf:I!Retsoitx02I.

•Sifadmetaupointx0unelimitefinie`2R,celle-ciestunique.

•limx!x0 f(x)=`12R

•limx!x0 f(x)=`22R 9=; )`1=`2

Démonstration.Supposonsparl’absurdequ’ilexiste`1et`2deuxréelstelsque:

⇥limx!x0 f(x)=`1etlimx!x0 f(x)=`2

⇥NON(`1=`2)i.e.`16=`2.Quitteàrenommer`1et`2,supposonsque`1<`2.Soit">0.1)Commef(x)!x!x0 `1,ilexiste↵1>0telque:8x2I\[x0↵1,x0+↵1],|f(x)`1|<".2)Commef(x)!x!x0 `2,ilexiste↵2>0telque:8x2I\[x0↵2,x0+↵2],|f(x)`2|<".Cettesituationestrésuméeparlareprésentationgraphiqueci-après.

`1`2 ""

`1+"`1" ""

`2+"`2"

Notons↵=max(↵1,↵2).Onaalors:[x0↵,x0+↵]⇢[x0↵i,x0+↵i](pouri2{1,2}).Soitx2[x0↵,x0+↵].

•D’après1),f(x)estsituédansl’intervallerouge.

•D’après2),f(x)estsituédansl’intervallebleu.Impossible!Onadoncdémontré,parl’absurde,que`1=`2.

8

(9)

ECE1-B2015-2016 b)Onutiliselerésultatprécédent. •Commef6g,onaf>g. •Commelim x!x0g(x)=1alorslim x!x0g(x)=+1. Ondéduitdupointa)quelim x!x0f(x)=+1cequirevientàdire quelim x!x0f(x)=1. Remarque Cethéorèmed’encadrementfaitpartiedestechniquespouvantêtreutili- séespourleveruneF.I.:g)Utilisationd’inégalités. Exemple Limitedeg(x)=xex+x2+ex3 x3+5en+1. Enfactorisantparletermedominant,onobtient:g(x)=ex3 x3

xex ex3+x2 ex3+1 1+5 x3 Ilestànoterque,formellement,onnepeutappliquerdirectementlethéo- rèmedescroissancescomparéespourdémontrerque:ex3 x3! x!+1+1. Eneﬀet,ex3 n’estpasdelaformeqx. Cependant,onpeuts’yramenerfacilement: •8x>1,x3 >x. (cetteinégalitéestaussivérifiéedansunvoisinagede+1) •Parcroissancedelafonctionexponentielle,ona:ex3 >ex . •Onadonc:ex3 x3>ex x3. D’aprèslethéorèmedescroissancescomparées,ex x3! x!+1+1. Onendéduitqueex3 x3! x!+1+1. 44

ECE1-B2015-2016 Remarque LadémonstrationeﬀectuéeiciestsimilaireàcelleduCH6«Suitesréelles: convergence».Leschémadedémonstrationainsiqueledessinassociésont lesmêmes.Laseulediﬀérencenotableestlasuivante. •Ici,onconsidèreunelimiteenx0.Ainsi,lespropriétés1)et2)sont vérifiéesdansdesvoisinagesdex0. •Encequiconcernelessuites,lespropriétésdeconvergencesontvérifiées dansdesvoisinagesde+1. Onretiendracettetechniquededémonstrationetlefaitqu’elles’adapte facilementauxtypesdevoisinagesconsidérés. Théorème2. Soitf:I!Retsoitx02I. •fdéfinieaupointx0 •lim x!x0f(x)=`2R

) )`=f(x0) Démonstration. Commef(x)! x!x0`2R,ona: 8">0,9↵>0,8x2I\[x0↵,x0+↵],|f(x)`|6". Commex02I,pourtout↵>0,ona:x02I\[x0↵,x0+↵]. Onendéduitque:8">0,|f(x0)`|6". Ceciimplique(démonstrationsimpleparcontraposée)quef(x0)=`. Remarque •LeThéorème1stipulel’unicitédelanotiondelimiteenunpointx02I. Danscecas,x0n’estpasforcémentunpointdeIetlafonctionfn’est (éventuellement)pasdéfinieenx0. •LeThéorème2préciselepremierthéorèmedanslecasoùlafonctionest définieaupointx0.Lepremierénoncéestévidemmenttoujoursvérifié. Onrécupèredepluslavaleurdecettelimite:c’estf(x0). 9

(10)

ECE1-B2015-2016

III.2.b)Casdeslimitesinfinies

Théorème15.Soientf,g:I!Retsoitx02I(oux0=+1,oux0=1...).Supposonsqu’auvoisinagedex0,ona:f6g.Onaalors:a)Silimx!x0 f(x)=+1,alorslimx!x0 g(x)=+1.

b)Silimx!x0 g(x)=1,alorslimx!x0 f(x)=1.

•f6gauvoisinagedex0

•limx!x0 f(x)=+1 9=; )limx!x0 g(x)=+1

•f6gauvoisinagedex0

•limx!x0 g(x)=1 9=; )limx!x0 f(x)=1

Démonstration.a)SoitB>0.

•Commelimx!x0 f(x)=+1,ilexisteunvoisinageV 1x0telquef(x)>B.

•D’aprèsl’énoncé,ilexisteunvoisinageV2x0 telque,pourtoutx2V2x0 ,ona:f(x)6g(x).Onendéduitquepourtoutxdanslepluspetitdecesdeuxvoisinages:B6f(x)6g(x)etdoncg(x)>B.

Bf(x)g(x)

43 ECE1-B2015-2016

I.2.Limiteinfinieenunpoint

DéfinitionSoitf:I!Retsoitx02I.1)Onditquefadmetlalimite+1aupointx0si: 8B>0,9↵>0,8x2I,(|xx0|6↵)f(x)>B) Onnoteraalorslimx!x0 f(x)=+1ouf(x)!x!x0 +1. 2)Onditquefadmetlalimite1aupointx0si: 8B>0,9↵>0,8x2I,(|xx0|6↵)f(x)6B) Onnoteraalorslimx!x0 f(x)=1ouf(x)!x!x0 1.

Remarque

•Cettenotionsignifiequel’onpeutrendref(x)aussigrandquel’onveut(i.e.plusgrandquen’importequelréelBfixéàl’avance)enchoisissantxsuﬃsammentprochedex0.

•Onpeutadopteruneprésentationlégèrementdiﬀérente:1)8B2R,9↵>0,8x2I\[x0↵,x0+↵],f(x)>B2)8B2R,9↵>0,8x2I\[x0↵,x0+↵],f(x)6B

•L’élémentx02IdeladéfinitionestforcémentuneextrémitédeIquin’estpasdansI:sifestdéfinieenx0,fnepeutpastendrevers+1enx0sinonf(x0)seraitplusgrandquen’importequelB>0choisiàl’avance.

•Pourquelesnotationstellesquelimx!x0 f(x)=+1soientvalides,ilfautvérifierqu’unetellelimite,lorsqu’elleexiste,estunique.C’estbienlecas!

10

(11)

ECE1-B2015-2016 Corollaire1. Soitf,g:I!Retsoitx02I(oux0=+1,oux0=1...). Supposonsque: ⇥lim x!x0g(x)=0, ⇥ilexisteunvoisinageVx0dex0telque:|f(x)`|6g(x). Onaalors:lim x!x0f(x)=`. Démonstration. Ona`g(x)6f(x)6`+g(x)pourtoutxdansVx0. Onutiliselethéorèmeprécédentpourconclure. Exemple Onconsidèrelafonctionf:R⇤!R x7!x1 x⌫ 1)Démontrerque,pourtoutx6=0,|f(x)1|6|x|. 2)Endéduirequefestprolongeableparcontinuitéen0. 1)|f(x)1|=x1 x⌫ 1=x✓ 1 x⌫ 1 x◆ =|x|1 x⌫ 1 x6|x| carpourtoutu2R,ona|bucu|61. 2)Commelim x!0|x|=0,lethéorèmed’encadrementpermetd’aﬃrmer,à l’aidedel’inégalitéprécédente,quelim x!0f(x)1=0. Onendéduitquelim x!0f(x)=1. Onprolongefparcontinuitéen0enposantf(0)=1. 42 ECE1-B2015-2016 Théorème3. Soitf:I!Retsoitx02I. •Sifadmetunelimite`(éventuellementinfinie)aupointx0,celle-ciest unique.Autrementdit: •lim x!x0f(x)=`12R •lim x!x0f(x)=`22R

9 = )`=`12 ; (oùl’onanotéR=R[{1,+1}) Démonstration. Sifadmetunelimite(éventuellementinfinie)enx,onpeuttrouverun0 voisinagedextelque:0 ⇥soitf(x)estaussiprochequesouhaitéde`(casoù`2R), ⇥soitf(x)estaussigrandquesouhaité(casoù`=+1), ⇥soitf(x)estaussigranddanslesnégatifsquesouhaité(casoù`=1). etces3cassontdisjoints. Représentationgraphique ab=x0

B1 x0↵1

ab=x0

B2 x0↵2 11

(12)

ECE1-B2015-2016

RemarqueLesremarquesprécédentess’appliquentencore.

•Ceténoncérestevrailorsquex0=+1(Iestalorsd’extrémité+1)etx0=1(Iestalorsd’extrémité1).

•Cethéorèmepeutêtreutiliséavecunehypothèseénonçantuneinégalitéstricte.Laconclusionrestelamême.

f(x)<g(x)<h(x)

! ^x!x

0

99999

x!

x

K 0

! ^x!x

0

`6`6`

•Attention,onnepeutparlerdepassageàlalimitepourceténoncépuisqu’ondémontrequegadmetunelimiteenx0etqu’onnelesaitpasinitialement.

•Cethéorèmed’encadrementfaitpartiedestechniquespouvantêtreuti-liséespourleveruneF.I.:g)Utilisationd’inégalités.

Exemple

•Déterminerlalimitedef(x)= 2x+bxc1bxc en+1.

•Déterminerlalimitedeg(x)= 3⌅1x ⇧en0.

41 ECE1-B2015-2016

Danscesdeuxfigures,onaconsidéré:

•I=]a,b[etf:I!R.

•x02]a,b[.Commeditprécédemment,x0estuneextrémitédel’intervalleIquin’estpasunpointdeI.1)Danslapremièrefigure,onachoisiB1=2.Ondoitalorsêtrecapabledetrouverun↵1>0telquepourtoutxdans[x0↵1,x0[(i.e.xsuﬃsammentprochedex0),lesvaleursdef(x)seretrouventdanslabanderouge.2)Danslasecondefigure,onachoisiB2=4,5>B1.Ilfautdoncchoi-sirunvoisinagedex0pluspetitpourassurerquelesélémentsdecevoisinageaurontleurimagedanslabandebleue.

I.3.Extensiondelanotiondelimiteenunpoint

I.3.a)Limitefinieàgaucheetlimitefinieàdroite

DéfinitionSoitf:I!RunefonctiondéfiniesurunintervalleI.Soientx02Iet`2R.

1)Onditquef(définieàgauchedex0)admet`2Rcommelimitefinieàgaucheaupointx0sif]1,x0[admet`2Rcommelimiteaupointx0.(onconsidèrefsurl’ensembledespointsstrictementàgauchedex0)Autrementdit,silafonctionfvérifielapropriété:

8">0,9↵>0,8x2I,(x0↵6x<x0)|f(x)`|6") Onnoteraalorslimx!x0 f(x)=`oulimx!x0x<x0 f(x)=`ouf(x)!x!x0 `.

12

(13)

ECE1-B2015-2016 III.2.Existenced’unelimiteparencadrement III.2.a)Casdeslimitesfinies Théorème14.(Théorèmed’encadrement) Soitf,g,h:I!R. Soitx02Ietsoit`2R. Supposonsque: ⇥f6g6hauvoisinagedex0, ⇥fadmetlalimitefinie`enx0:lim x!x0f(x)=`, ⇥hadmetlalimitefinie`enx0:lim x!x0h(x)=`. Alorslafonctiongadmetunelimitefinieenx0.Deplus,lim x!x0g(x)=`. Onpeutrésumercethéorèmecommesuit. f(x)6g(x)6h(x)

x!x!0

99999

x!x0K

x!x!0

`6`6` Démonstration. Soit">0. •Commef(x)! x!x0`,ilexisteunvoisinageV1 x0telque:f(x)2[`",`+"]. •Commeh(x)! x!x0`,ilexisteunvoisinageV2 x0telque:f(x)2[`",`+"]. Onendéduitquepourtoutxdanslepluspetitdecesdeuxvoisinages: `"6f(x)6g(x)6h(x)6`+"etdoncg(x)2[`",`+"]. `f(x)g(x)h(x)

"" `+"`" 40

ECE1-B2015-2016 2)Onditquef(définieàdroitedex0)admet`2Rcommelimitefinie àdroiteaupointx0silafonctionf]x0,+1[admet`2Rcommelimite aupointx0. (onconsidèrefsurl’ensembledespointsstrictementàdroitedex0) Autrementdit,silafonctionfvérifielapropriété: 8">0,9↵>0,8x2I,(x0<x6x0+↵)|f(x)`|6") Onnoteraalorslim x!x+ 0f(x)=`oulim x!x0 x>x0

f(x)=`ouf(x)! x!x+ 0`. Remarque •Pourqu’unefonctionadmetteunelimiteàgauche(resp.àdroite)enx0, ilfautqu’ellesoitdéfinieàgauche(resp.àdroite)dex0. Parexemple,lafonctionf:x7!xlnxestdéfiniesur]0,+1[. Ellen’admetpasdelimiteàgaucheen0puisquen’estmêmepasdéfinie àgauchede0. •Onpeutadopteruneprésentationlégèrementdiﬀérente: 1)8">0,9↵>0,8x2I\[x0↵,x0[,|f(x)`|6" 2)8">0,9↵>0,8x2I\]x0,x0+↵],|f(x)`|6" •Cettedéfinitionpermetd’étendrelanotiondelimiteaucasoùfestdé- finiesuruneuniond’intervalles(comme]a,x0[[]x0,b[)etpasseulement surunintervalleI. •Ilyaunicitédelalimiteàgauche(resp.àdroite)lorsqu’elleexiste. (déjàdémontré!Lalimiteàgauchedef,lorsqu’elleexiste,n’estrien d’autrequelalimitedelafonctionf]1,x0[) 13

(14)

ECE1-B2015-2016

`1`2 ""

`1+"`1" ""

`2+"`2"

Onchoisit"= `1`23 (permetdevalidercedessin).

•Commef(x)!x!x0 `1,ilexisteV1x0(unvoisinagedex0telque,pourtout x2V1x0,l’intervallerougecontientf(x).

•Commeg(x)!x!x0 `2,ilexisteV2x0(unvoisinagedex0telque,pourtout x2V2x0,l’intervallebleucontientf(x).Onendéduitque,surlepluspetitdecesdeuxvoisinages(i.e.surV 1x0\V 2x0)onaf>g.MaisalorssurV\V 1x0\V 2x0ona:f>getf6g.Impossible!

Cethéorèmenepermetpasdedémontrerqu’unefonctionadmetunelimitemaispermetdecomparerdeslimitesexistantes.

RemarqueLesremarquesduthéorèmeprécédents’appliquentàceténoncé.

•Ceténoncérestevrailorsquex0=+1(Iestalorsd’extrémité+1)etx0=1(Iestalorsd’extrémité1).

•Cethéorèmepeutêtreutilisélorsquefestcomparéàgparuneinégalitéstricte.Cependant,laconclusionresteuneinégalitélarge.

•f<gauvoisinagedex0

•limx!x0 f(x)=`1

•limx!x0 g(x)=`2 9>>=>>; )`16`2

(parpassageàlalimite,lesinégalitésstrictesdeviennentlarges)

39 ECE1-B2015-2016

I.3.b)Extensionaucasdeslimitesinfiniesàgaucheetàdroite

Définition1)Onditquefadmetlalimite+1(resp.1)àgaucheenx0sif]1,x0[admetune+1(resp.1)commelimiteenx0.(exercice:écrirelespropriétésmathématiquescorrespondantes)2)Onditquefadmetlalimite+1(resp.1)àdroiteenx0sif]x0,+1[admetune+1(resp.1)commelimiteenx0.(exercice:écrirelespropriétésmathématiquescorrespondantes) ExempleQuellessontleslimitesgaucheetdroitede g:R\{0}!Rx7! 1x en0?

I.4.Limitesenl’infini

Définition(limiteen+1)Soitf:I!RetIunintervalled’extrémitésupérieure+1.1)Onditquefadmetlalimite`en+1si:

8">0,9A>0,8x2I,(x>A)|f(x)`|6")

Onnoteraalorslimx!+1 f(x)=`ouf(x)!x!+1 `.

2)Onditquefadmetlalimite+1en+1si:

8B2R,9A>0,8x2I,(x>A)f(x)>B)

Onnoteraalorslimx!+1 f(x)=+1ouf(x)!x!+1 +1.

3)Onditquefadmetlalimite1en+1si:

8B>0,9A>0,8x2I,(x>A)f(x)6B)

Onnoteraalorslimx!+1 f(x)=1ouf(x)!x!+1 1.

14

(15)

ECE1-B2015-2016 Remarque •Ceténoncérestevrailorsquex0=+1(Iestalorsd’extrémité+1)et x0=1(Iestalorsd’extrémité1). •Cethéorèmepeutêtreutilisélorsquelafonctionfvérifieuneinégalité stricte.Cependant,laconclusionresteuneinégalitélarge. •u<f<vauvoisinagedex0 •`=lim x!x0f(x)

9 = )u6`6v ; (parpassageàlalimite,lesinégalitésstrictesdeviennentlarges) Théorème13.(Théorèmedecomparaisondeslimites) Soientf,g:I!Retsoitx2I.0 Supposonsque: ⇥fadmetunelimitefinie`2Renx:limf(x)=`,101 x!x0 ⇥gadmetunelimitefinie`2Renx:limg(x)=`.202 x!x0 Sidansunvoisinagedexonaf6galorsona:`6`.012 Onpeutrésumerceténoncécommesuit. •f6gauvoisinagedex0 •limf(x)=`1 x!x0 •limg(x)=`2 x!x0

9 > > = > > ;

)`16`2 Démonstration. Onsupposequefetgadmettentdeslimitesfiniesenx0. Commepourlethéorèmeprécédent,onraisonnealorsparl’absurdeen supposantquef6gsurunvoisinageVdex0etque`1>`2. Ons’appuiealorssurledessinsuivant. 38 ECE1-B2015-2016 Lanotiondelimiteen1estanalogueàcelledelimiteen+1. Définition(limiteen1) Soitf:I!RetIunintervalled’extrémitéinférieure1. 1)Onditquefadmetlalimiteèn1si: 8">0,9A>0,8x2I,(x6A)|f(x)`|6") Onnoteraalorslim x!1f(x)=òuf(x)! x!1`. 2)Onditquefadmetlalimite+1en1si: 8B>0,9A>0,8x2I,(x6A)f(x)>B) Onnoteraalorslim x!1f(x)=+1ouf(x)! x!1+1. 3)Onditquefadmetlalimite1en1si: 8B>0,9A>0,8x2I,(x6A)f(x)6B) Onnoteraalorslim x!1f(x)=1ouf(x)! x!11. Remarque •Commeprécédemment,siunefonctionadmetunelimite(éventuellement infinie)en+1(resp.1),alorscelle-ciestunique.Ladémonstration estanalogueàlaprécédente.Laprincipaledifférencerésidedanslefait quelesélémentsxsontchoisisdansdesvoisinagesde+1(resp.1). •Direquef(x)tendvers+1lorsquextendvers1c’estdoncdireque l’onpeutrendref(x)aussigrandquesouhaité(plusgrandquen’importe quelréelA)pourxsuffisamentgranddanslesnégatifs. 15

(16)

ECE1-B2015-2016 Démonstration.Supposonsquefadmetunelimitefinie`2Renx0.a)Onprocèdeparl’absurde.Onsupposedonc:

⇥qu’ilexiste↵1>0telque:8x2I\[x0↵1,x0+↵1],f(x)>u,

⇥etque`<u.L’idéedeladémonstrationestcontenuedansledessinsuivant:

`u ""

`+"`"

Pourquecedessinsoitvalide,ilfautchoisir">0telque`+"<u.Onchoisitalors"= u`2 .Commef(x)!x!x0 `,ilexiste↵2>0telque:

8x2I\[x0↵2,x0+↵2],|f(x)`|<"

Cequirevientàdireque,surcetensemble:`"6f(x)6`+".Notons↵=min(↵1,↵2).Soitx2I\[x0↵2,x0+↵2].Alors:

⇥f(x)estdansl’intervallerouge,

⇥f(x)estdansl’intervallebleu.Impossible!b)Sif6v,alorsf>vetdonc,parlepointa)précédent,`>v.Onendéduitque`6v.c)Combinaisondespointsa)etb).

Cethéorèmenepermetpasdedémontrerqu’unefonctionadmetunelimitemaispermetdecomparerdeslimitesexistantes.Onnepeut«passeràlalimite»dansuneégalitéquesilesobjetsqu’onconsidèrepossèdentunelimite.

37 ECE1-B2015-2016

I.5.Continuitéd’unefonctionenunpointI.5.a)Continuitédef:I!Renunpointx02I DéfinitionSoitf:I!Retsoitx02I.

•Lafonctionfestcontinueaupointx02Isielleadmetunelimitefinie`2Raupointx0.

Remarque

•Commex02I,sifadmetlalimitefinie`2Ralors`=f(x0).(d’aprèsleThéorème2)

•Ainsi,onalacaractérisationsuivante:

f:I!R(définieaupointx0)estcontinueaupointx02I ,limx!x0 f(x)=f(x0),8">0,9↵>0,8x2I,(|xx0|6↵)|f(x)f(x0)|6") I.5.b)Prolongementparcontinuitéd’unefonctionf:I!Renunpointx0extrémitédeIn’appartenantpasàl’intervalleI

Théorème4.Soitf:I!R.Soitx0unpointdeIn’appartenantpasàI(fnondéfinieenx0).Supposonsque:limx!x0 f(x)=`2R.Alorslafonction:

˜f:I[{x0}!R

x7! ⇢f(x)six2I`six=x0estdéfiniesurI[{x0}etestcontinueenx0.Elleestappeléeprolongementparcontinuitédefenx0.

16

(17)

ECE1-B2015-2016

II I. C om pa ti bi lit é de la no ti on de lim it e av ec la rel at io n d’ or dr e

III.1.Démontrerdesinégalitéssurleslimitesfinies Théorème12.(«Passageàlalimite»danslesinégalités) Soitf:I!Retx02I. Onsupposequefadmetunelimitefinie`2Renx0. (i.e.lim x!x0f(x)=`2R) Onaalors: a)Sidansunvoisinagedex0onaf>ualorsona:`>u. b)Sidansunvoisinagedex0onaf6valorsona:`6v. c)Sidansunvoisinagedex0onau6f6valorsona:u6`6v. Onpeutrésumerceténoncécommesuit. •u6f6vauvoisinagedex0 •`=lim x!x0f(x)

9 = )u6`6v ; Remarque •Onrappelle(cfdébutduchapitre)qu’unepropriétérelativeàunefonc- tionf,définiesurI,estvraieauvoisinagedexs’ilexiste↵>0tel0 quelapropriétéestvraiesurI\[x↵,x+↵].00 •Ainsi,lorsquel’onsuppose«f>udansunvoisinagedex»,celasignifie0 qu’ilexisteunréel↵>0telque: 8x2I\[x↵,x+↵],f(x)>u00 36 ECE1-B2015-2016 Remarque •Résumonslasituation: festcontinueenx02Isifadmetunelimitefinieenx0. (i.e.s’ilexiste`2Rtelquelim x!x0f(x)=`) a)Six0estunpointdel’intervallededéfinitionI,alors:`=f(x0), b)Six0uneextrémitédeIquin’estpasdansI,onrédigeraainsi: «onprolongelafonctionfparcontinuitéenx0enposantf(x0)=`». (onconfondainsifetsonprolongementparcontinuité˜f) Exemple Onconsidèrelafonctionf:x!xx . Cettefonctionestdéfiniepourx>0i.e.sur]0,+1[. •Pourtoutx>0,ona:xx =exlnx . •Or:lim x!0xlnx=0.Donclim x!0xx =lim x!0exlnx =e0 =1. Onpeutdoncprolongerparcontinuitéfen0enposantf(0)=1. I.5.c)Lienentrecontinuitéetlimitefinieàdroite/àgauche Théorème5. Soitf:I!RunefonctiondéfiniesurunintervalleI. Soitx02I(enparticulier,festdéfinieaupointx0). Onsupposedeplusquefestdéfinieàgaucheetàdroitedex0. fest continueau pointx0,

8 > > < > > :

•fadmetunelimitefinieàgaucheenx0 •fadmetunelimitefinieàdroiteenx0 •lim x!x0f(x)=lim x!x+ 0f(x)=f(x0) 17

(18)

ECE1-B2015-2016

II.7.d)ChangementsdevariableFaireunchangementdevariablepermetdemodifierle«point»oùl’oncherchelalimite.

Exemple

•Limitedef(x)=x2e 1xen0+(onpourraposerX=1x)

•Limitedeg(x)=lnx⇥ln(lnx)en1(onpourraposerX=lnx)

II.7.e)Croissancescomparées

Cettetechniqueestsouventcombinéeàcelledemiseenfacteurdutermedominant.

Exemple

•Limitedef(x)= e2x

9x3 en+1.•Limitedeg(x)= e2x1

(lnx)4 en+1.

II.7.f)Utilisationdutauxd’accroissement

Théorème11.Sif:I!Restdérivableenx02Ialors,pardéfinition,ona:

a)limh!0 f(x0+h)f(x0)h =f 0(x0) b)limx!x0 f(x)f(x0)xx0 =f 0(x0)(formulationéquivalente)

Onanotamment:

limx!0 e x1x =1limx!0 ln(1+x)x =1limx!1 lnxx1 =1

Exemple

•Limitedef(x)=1+x31/xen0.

•Limitedeg(x)=1+1x xen+1.

35 ECE1-B2015-2016

Remarque

•Letestparrapportàf(x0)estimportant.Considéronslafoncitonfsuivante.

f:R!R

x7! ⇢0six6=01six=0 Ona:limx!0 f(x)=0=limx!0+ f(x).Cependant,f(0)=16=0donclafonctionfn’estpascontinueen0.

•Cethéorèmeestparticulièrementutilelorsquel’onconsidèredesfonc-tionsquipossèdentunedéfinitionparcas.

Exemple

•Lafonctionf:x7!|x|estcontinueen0puisque:

⇥limx!0 f(x)=limx!0 f]1,0[(x)=limx!0 x=0,

⇥limx!0+ f(x)=limx!0 f]0,+1[(x)=limx!0 x=0,

⇥etf(0)=|0|=0.

•Lafonctiong:x7!bxcn’estpascontinueen3puisque:

⇥limx!3 g(x)=limx!3 g]2,3[(x)=limx!3 2=2,

⇥limx!3+ g(x)=limx!3 g]3,4[(x)=limx!3 3=3,

⇥etg(3)=3.

Danslecasoùlafonctionf:I\{x0}!Rn’estpasdéfinieenx0,onchercheàsavoirsionpeutlaprolongerparcontinuitéenx0.

18

(19)

ECE1-B2015-2016 Propriété Unefonctionrationnelleamêmelimite,en+1et1,quelerapportde sesmonômesdeplushautdegré. 2)Danslecasgénéral: •Limitedef(x)=x2exxe2x x3(lnx)+x(lnx)3en+1. •Limitedeg(x)=xex +x2 +ex3 x3+5en1. •Limitedeh(x)=1 xln✓ ex1 x

◆ en+1. II.7.b)Penseràlaquantitéconjuguée Onutilisegénéralementcettetechniquelorsquel’onaàfaireavecune fonctions’écrivantcommedifférencededeuxracinescomparables. Exemple •Limitedef(x)=p x2+2xp x2+xen+1. •Limitedeg(x)=q x+p x+p xp xen+1. II.7.c)Fonctionspuissances Lorsquel’onestconfrontéàunefonctionavecpuissanceenx,onrevient àladéfinitionaveclesfonctionsexponentielleetlogarithme. Exemple •Limitedef(x)=xxen0+. •Limitedeg(x)=(x3)x (3x)3en+1. 34 ECE1-B2015-2016 I.5.d)Prolongementparcontinuitédefenx0oùfn’estpas définie Théorème6.(prolongementparcontinuité) Soitx0unpointd’unintervalleI. Soitf:I\{x0}!RunefonctiondéfiniesurunI\{x0}(enparticulier, fn’estpasdéfinieaupointx0). Onsupposedeplusquefestdéfinieàdroiteetàgauchedex0. •Silespropriétéssuivantessontvérifiées: 1)fadmetunelimitefinieàgaucheenx0, 2)fadmetunelimitefinieàdroiteenx0, 3)lim x!x0f(x)=lim x!x+ 0f(x)=`2R, alorsfadmetlalimiteènx0i.e.lim x!x0f(x)=`. •Onprolongealorsfparcontinuitéenx0enposantf(x0)=`. Remarque LesThéorèmes5et6sontdeuxprésentationsdifférentesdumêmerésultat. C’estlamanièredontlaquestionestposéequidoitnousameneràutiliser unthéorèmeplutôtqu’unautre. Exemple 1)Onconsidèrelafonctionf:x7!xln|x|six6=0etf(0)=0. Démontrerquelafonctionfestcontinueen0. OnutiliseleThéorème5. Commelim x!0f(x)=0=lim x!0+f(x)etquef(0)=0,lafonctionfest continueen0. 2)Onconsidèrelafonctiong:x7!xln|x|. Démontrerquelafonctiongestprolongeableparcontinuitéen0. OnutilisedanscecasleThéorème6puisquegestdéfiniesurR\{0} etdoncpasen0. Commelim x!0g(x)=0=lim x!0+g(x),onpeutprolongergparcontinuité en0enposantg(0)=0. 19

(20)

ECE1-B2015-2016

II.7.LeveruneF.I.

Toutd’abordrésumonslesF.I.rencontréeslorsdel’étudedesdiﬀé-rentesopérationsalgébriques:

11,0⇥1, 00 , 11

AfindeleverunF.I.,onpourrapenseràutiliserl’unedesméthodes(plusgénéralementunecombinaisondesméthodes)suivantes.

a)Factoriserparletermedominant(i.e.celuiayantlaplusfortecrois-sance).b)Penseràlaquantitéconjuguée.c)Pourlesfonctionspuissances:retouràladéfinitionàl’aidedesfonc-tionsexpetln.d)Faireapparaîtreunelimiteconnueparchangementdevariable.e)Penserauxcroissancescomparées.f)Utilisationdutauxd’accroissement.g)Utilisationd’inégalités.

II.7.a)Factoriserparletermedominant

Exemple1)Danslecasdefonctionsrationnelles:

•Limitedef(x)= 5x2+37x48x22 en+1.

•Limitedeg(x)= x 7152x6+3x22x en1.

DéfinitionUnefonctionfestappeléefonctionrationnellesiellelequotientdedeuxfonctionspolynômes.

33 ECE1-B2015-2016

II . L im ite des op ér at io ns sur les fo nc tio ns

II.0.Notationsdecettesection

Danstoutcequisuit:

⇥onconsidèredesfonctionsfetgdéfiniessurunintervalleI,

⇥onconsidèreun«point»x0deR=R[{1,+1}etdeslimitesfinies`,`1,`22R.

⇥ilestsupposéquefetgpossèdentunelimite(finieounon)aupointx0.Cettenotationconcise(àl’aidedeR)permetdefaireapparaîtrelesrésul-tatssousformedetableauxenvisageanttouslescas.

Onparleradeformeindéterminée(etonnoteraF.I.)quandonnepeutdéterminer,demanièregénérale,lalimited’uneopérationsurlesfonctions.Danscecas,ilfaudrafaireuneétudeaucasparcas.

II.1.Limited’unesommef+g

Somme:limx!x0 (f+g)(x) HHHHHH limx0 g limx0 f`1+11

`2`1+`2+11

+1+1+1F.I.

11F.I.1

CecasamènedoncàconsidéreruneF.I.:+11

20

(21)

ECE1-B2015-2016 4)Ilsuﬃtd’écrire:f(x)⇥h(x) g(x)⇥t(x)=f(x) g(x)⇥h(x) t(x)! x!x01⇥1=1. 5)Ilsuﬃtd’écrire:^f

(x) h(x) g(x) t(x)=f(x) h(x)⇥t(x) g(x)! x!x01⇥1=1. 6)Ilsuﬃtd’écrire:f(x)=f(x) g(x)⇥g(x)! x!x01⇥`=`. Exercice Limiteen+1delafonctionfdéfiniepar:f(x)=(3x+4)3(8x2+2x4) 9x+10? 1)3x+4⇠ +1!3xcar3x+4 3x=1+4 3x! x!+11 Ainsi:(3x+4)3=(3x+4)(3x+4)(3x+4)⇠ +1!(3x)(3x)(3x)=33x3. 2)8x2 +2x4 ⇠ +1!8x2 car8x2+2x4 8x2=1+2x4 8x2=1+1 4x2! x!+11 Onendéduitque:(3x+4)3(8x2+2x4)⇠ +1!33x3⇥8x2=338x 3)9x+10⇠ +1!9xcar9x+10 9x=1+10 9x! x!+11 Onendéduitque:f(x)⇠ x!+1338x 9x=3⇥8=24. Ainsi:f(x)! x!+124. 32

ECE1-B2015-2016 II.2.Limited’unproduitf⇥g Produit:lim x!x0(f⇥g)(x) H H H H H Hlim x0g

lim x0f `1>0`1<0`1=0+11 `2>0`1`2`1`20+11 `2<0`1`2`1`201+1 `2=0000F.I.F.I. +1+11F.I.+11 11+1F.I.1+1 CecasamènedoncàconsidéreruneF.I.:0⇥1 Casdeslimitesinfinies:lesrésultatssontdonnésparlarègledessignes. II.3.Limitedel’inverse1 f Inverse:lim x!x01 f(x) lim x0f`6=0`=0+11 Sif>0surVx01 `+10 Sif<0surVx01 `10 (Note:Vx0estunvoisinageépointédex0surlequelfnes’annulepas. Cecipermetdeconsidérerl’inverse1 f) 21

(22)

ECE1-B2015-2016

3)Transitivité:

f(x)⇠x!x0 g(x) g(x)⇠x!x0 h(x) 9=; )f(x)⇠x!x0 h(x)

4)Compatibilitéavecleproduit:

f(x)⇠x!x0 g(x) h(x)⇠x!x0 t(x) 9=; )f(x)⇥h(x)⇠x!x0 g(x)⇥t(x)

5)Compatibilitéaveclequotient:

f(x)⇠x!x0 g(x) h(x)⇠x!x0 t(x) 9=; ) f(x)h(x) ⇠x!x0 g(x)t(x)

6)Équivalentetlimites:

f(x)⇠x!x0 g(x) g(x)!x!x0 ` 9=; )f(x)!x!x0 `

(avec`limiteéventuellementinfinie)

Démonstration.

1)Ilsuffitd’écrire: f(x)f(x) =1!x!x0 1. 2)Ilsuffitd’écrire: g(x)f(x) = 1f(x)g(x) !x!x0 11 =1. 3)Ilsuffitd’écrire: f(x)h(x) = f(x)g(x) ⇥ g(x)h(x) !x!x0 1⇥1=1.

31 ECE1-B2015-2016

II.4.Limited’unquotient

Quotient:limx!x0 fg (x) HHHHHH limx0 g limx0 f`1>0`1<0`1=0+11

`2>0 `1`2 `1`2 0+11

`2<0 `1`2 `1`2 01+1

`2=0etg>0+11F.I.+11

`2=0etg<0 1+1F.I.1+1

+1000F.I.F.I.

1000F.I.F.I.

CecasamènedoncàconsidérerdeuxF.I.: 00 , 11Applicationàlacontinuitéenunpoint PropriétéSoientf:I!Retg:I!Rdeuxfonctions.Supposonsquefetgsontcontinuesenunpointx02I.Alorslesfonctions:

⇥sommef+g,

⇥produitf⇥g,

⇥quotient fg (signes’annulepassurunvoisinageépointédex0),sontdesfonctionscontinuesenx0.

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(23)

ECE1-B2015-2016 II.6.c)Équivalence Définition Soitf:I!Retsoitg:I!R. Soitx02Ioux0=+1(resp.1)siIestd’extrémité+1(resp.1). Supposonsquegnes’annulepasdansunvoisinageépointédex0. •Onditquefestéquivalenteàgenx0etonnotef(x)⇠ x!x0g(x)si: lim n!+1f(x) g(x)=1 Remarque •Trouverunefonctiongéquivalenteàunefonctionfenx0c’esttrouver unefonctionquialemêmecomportementquefàproximitédex0.Ainsi, sil’onseplaceàproximitédex0,lescourbesreprésentativesdefetde gapparaîtrontcommeconfondues. •Lebutestdetrouverunefonctiongdontl’expressionestplussimple quelafonctionf(penserparexempleauxfonctionspolynomiales). Théorème10. Soientf,g,h,t:I!R,desfonctions. (lorsquenécessaire,onajouteral’hypothèsequecesfonctionsnes’an- nulentpasdansunvoisinageépointédex0) Soitx02Ioux0=+1(resp.1)siIestd’extrémité+1(resp. 1). Larelation⇠ x!x0vérifielespropriétéssuivantes. 1)Réflexivité: f(x)⇠ x!x0f(x)

2)Commutativité: f(x)⇠ x!x0g(x))g(x)⇠ x!x0f(x) 30

ECE1-B2015-2016 II.5.Limiteetcomposition II.5.a)Limitedelacomposéegf Théorème7. Soitf:I!Retg:J!Rtellesquef(I)⇢J. (permetdeconsidérerlafonctiongf:I!R) Soitx02I.Supposonsque: ⇥fadmetlalimite(éventuellementinfinie)x1enx0, ⇥gadmetlalimite(éventuellementinfinie)`enx1. Alorslafonctiongf:I!Radmetlalimite`enx0. Onpeutrésumercettesituationcommesuit. •lim x!x0f(x)=x1 •lim x!x1g(x)=`

9 = )limgf(x)=limg(x)=` x!xx!x;01 Remarque •Lesélémentsxet`sontéventuellementinfinis.D’ailleurs,onpeutaussi1 adapterceténoncéauxcasx=+1(Iestalorsd’extrémité+1)et0 x=1(Iestalorsd’extrémité1).0 •L’idéederrièrecethéorèmeestdepouvoirécrirel’égalitésuivante: limgf(x)=«g(limf(x))» x!xx!x00 Onnepeutcependantpastoujoursenleverles«»puisqueriennedit quegestdéfinieenlimf(x)(cetélémentpeutnotammentêtreinfini). x!x0 •Danslecasoùfestcontinueenx2I(i.e.admetunelimitefinieenx)00 etgcontinueenx2J(i.e.admetunelimitefinieenx),cethéorème10 permetd’aﬃrmerquelafonctiongfestcontinueenx.0 23

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ECE1-B2015-2016

Remarque

•Onpeutécrirelerésultatdecethéorèmesouslaformed’uneéchelledecomparaisonasymptotique:

8a>0,8b>0,8q>1,(lnx) b<<+1 x a<<+1 q x

•Celasignifiequelacroissanceasymptotique(i.e.en+1)logarithmiqueestbeaucoupplusfaiblequelacroissanceasymptotiquepolynomialequiestelle-mêmebeaucoupplusfaiblequelacroissanceasymptotiqueexponentielle.

•Ilfautsavoirlirecethéorèmedansl’autresens:

8a>0,8b>0,q>1,limx!+1 xa

(lnx)b=+1etlimx!+1 qx

xa=+1

•Classiquement,onpourrachoisirq=e 1ouq=e 2,ouq=e cavecc>0(onabiene c>1).Cecipermetdecomparerlecomportementasymptotiquedeecxetxa.Plusprécisément:limx!+1 ecx

xa =+1.

•Onendéduitaussique:8a>0,8r2]0,1[,limx!+1 x ar x=0 Ilsuﬃtderemarquerquesir2]0,1[,alorsq= 1r >1.

Onaalors:xarx=xa ✓1q ◆x= xa

qx !x!+1 0.

•Ainsique:8a>0,8b>0,limx!0+ x a(lnx) b=0LadémonstrationsefaitgrâceauchangementdevariableX= 1x .

29 ECE1-B2015-2016

Exemple

•limx!0x>0 e 1x=limx!+1 ex=+1•limx!+1 e 3x3+5(lnx

) 5 x3lnx=limx!3 ex=e3

II.5.b)Application:calculdelimitesparchangementdevariable

Ons’intéresseàlafonctionh:x7!xlnx(définiesur]0,+1[).Plusprécisément,onsouhaitedéterminerlalimitedehen0.

•Ona:limx!0 x=0etlimx!0 lnx=1

,!onestdoncamenéàrésoudreuneF.I.

•Onremarqueque: ln 1x1x = ln(1)lnx1x =xlnx=h(x) ,!onadonch(x)= ln 1x1x

•Lafonctionhapparaîtcommecomposéedelafonctiong:x7! lnxxetdelafonctionf:x7! 1x.

•Onappliquealorslethéorèmedecompositionàcettenouvelleécriture:

•limx!0+ 1x =+1

•limx!+1 lnxx =0 9=; )limx!0+ ln 1x1x =limx!+1 lnxx =0 Onadonc:limx!0+ xlnx=0.

RemarqueGrâceàcettetechniquedechangementdevariable,onestpasséd’uncalculdelimiteen0 +àuncalculdelimiteen+1.Endéplaçantleproblème,onalevélaF.I.etcegrâceànosconnaissancessurlecomportementdesfonctionsen+1(cfparagraphesurlescroissancescomparéesplusloin).

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ECE1-B2015-2016 II.6.Relationsdecomparaisonsetcroissancescomparées II.6.a)Négligeabilité Définition Soitf:I!Retsoitg:I!R. Soitx02Ioux0=+1(resp.1)siIestd’extrémité+1(resp.1). Supposonsquegnes’annulepasdansunvoisinageépointédex0. •Onditquefestnégligeabledevantgenx0si: lim x!x0f(x) g(x)=0 •Sic’estlecas,onditque«festunpetitodegenx0»(o=15ème lettre del’alphabet)etonnote:f(x)=o x!x0g(x). •Onutiliseaussiparfoislanotation:f(x)<< x0g(x). Cettenotationtrompeuse(ànesurtoutpasconfondreavecf(x)6g(x)!) estréservéeàl’écritured’échellesdecomparaisonasymptotiques. II.6.b)Croissancescomparées Théorème9. 8a>0,8b>0,lim x!+1(lnx)b xa=0 et 8a>0,8q>1,lim x!+1xa qx=0 28 ECE1-B2015-2016 Unpointsurlarédaction Exercice Calculerlim x!0+xlnx.Onpourraeﬀectuerunchangementdevariable. Onrédigealorscommesuit. •OnposeX=1 x. •Ainsi,six!0+,alorsX!+1(x!0+)X!+1). •Onaalors: lim x!0+xlnx=lim X!+11 Xln✓ 1 X◆ =lim X!+1ln(X) X=0 (onaremplacéchaqueoccurrencedexpar1 Xdansl’expressionh(x)= xlnx,cequicorrespondauchangementdevariableX=1 x) Remarque Enrésumé,lethéorèmedecompositiondeslimitess’utilise: 1)demanièredirectecommedanslasectionExempleprécédente.La fonctionapparaîtsousformed’unecomposéeetl’applicationduthéo- rèmefournitlavaleurdelalimiterecherchée. 2)demanièreindirectelorsquelecalculd’unelimiteamèneàuneF.I. L’utilisationd’unchangementdevariable(leplussouventmen- tionnédansl’énoncé)doitpermettredeleverlaF.I. 25