ECE1-B2015-2016
C H V II :E ns em bl es et appl ic at io ns I. E ns em bl es I.1.Notionintuitived’ensemble Définition •Onutiliseraladéfinitionintuitived’ensemble,àsavoirqu’unensemble estuneréuniond’objets. •Lesobjetsappartenantàunensemblesontappelésseséléments. Onutiliselanotation: ⇥x2E:pourindiquerquexestunélémentdel’ensembleE. ⇥x/2E:pourindiquerquexn’estpasunélémentdeE. •L’ensemblenecomportantaucunélémentestappeléensemblevide. Ilestnoté?. •Deuxensemblessontditségauxs’ilsontlesmêmeséléments. Remarque Nousn’avonspasdéfinirigoureusementlanotiond’ensemble.Onsecontente dedirequ’unensembleestbiendéfinidèsquel’onconnaîttousseséléments. Exemple •Onappelleintervalleréeltoutensembledelaforme[a,b],[a,b[,]a,b[, ]a,b]oùaetbsontdeuxréelstelsquea<b. Onrappelleque[a,b[désignel’ensemblecontenanttouslesréelscontenus entrea(inclus)etb(exclu). 1
ECE1-B2015-2016
Onaintroduitlafonctionsignequiestdéfiniepar:
sgn:R!R
x7! 8><
>: 1six>0
0six=0
1six<0
(enparticulier,ona:sgn(x)x=|x|pourtoutx2R)
Onremarqueenfinque,comme1+|x|>0,siy= x1+|x| alorsonasgn(y)=sgn(x).Onendéduitque:
y=h(x),x= ysgn(y)y1 = y|y|1
Soity2]1,1[.
Notonsx= y|y|1 .Onaalors:
h(x)= x1+|x| = y|y|1
1+ y|y|1 = y|y|1 ⇥ 1
1+ |y|||y|1| = y|y|1 ⇥ 1
1+ |y|1|y|
= y|y|1 ⇥ 111|y| = y1 =y
(||y|1|=1|y|car|y|<1)L’unicitédexestdonnéeparleraisonnementparéquivalenceprécédent.Ainsi,h:]1,1[!Restbijective.
Sabijectionréciproqueest: h 1:R!]1,1[
x7! x|x|1
39 ECE1-B2015-2016
•OnappelleintervalleentieretonnoteJm,nKl’ensemblecontenanttouslesentiersdel’intervalle[m,n],oùmetnsontdesentierstelsquem<n.Enparticulier,pourn2N⇤,ona:
J1,nK={i2N|16i6n}|{z}sousformecompréhensive ={1,2,...,n}|{z}sousformeextensive
Vocabulaire
•Unensemblenecontenantqu’unseulélémentestappeléunsingleton.
⇥{1}estlesingletondontleseulélémentest1.
⇥{{1}}estlesingletondontleseulélémentestl’ensemble{1}.
⇥{{?,{1},{1,2}}}estlesingletondontl’uniqueélémentestl’ensemble{?,{1},{1,2}}(cetensemblecontientlui-mêmetroiséléments:lesensembles?,{1}et{1,2}).
•Demanièregénérale,unensembleEcontenantunnombrefinid’élé-mentsestappeléensemblefini.CenombreestappelécardinaldeEetnotéCard(E).
Card({?,{1},{1,2}})=3etCard({{?,{1},{1,2}}})=1(ondonneraunedéfinitionplusrigoureusedelanotiondecardinaldanslechapitresuivant)
I.2.Comparaisond’ensembles:l’inclusion
I.2.a)Définition
DéfinitionSoitAetEdeuxensembles.
•OnditqueAestinclusdansE,etonnoteraA⇢EouA✓E,sitoutélémentdeAestunélémentdeE.
A⇢E,8x2A,x2E
•LorsqueA⇢E,onditqueAestunsous-ensembledeEouencoreunepartiedeE.
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ECE1-B2015-2016 Soity2R\{2}. Notonsx=3+5y 2y. •Alorsx6=5.Eneffet,onauraitsinon:5=3+5y 2y. Etdonc10+5y=3+5yetainsi10=3cequiestimpossible. •D’autrepart,ona: g(x)=2x3 x+5=23+5y 2y3 3+5y 2y+5=
2(3+5y)3(2y) 2y 3+5y+5(2y) 2y=13y 2y⇥2y 13=y L’unicitédexestdonnéeparleraisonnementparéquivalenceprécédent. Ainsi,g:R\{5}!R\{2}estbijective. Sabijectionréciproqueest:g1:R\{2}!R\{5} x7!3+5x 2x b.Répondreauxmêmesquestionspourh:R!]1,1[ x7!x 1+|x| Onsouhaitedémontrerque: 8y2]1,1[,9!x2R,y=h(x) Soity2]1,1[.Onrésoutl’équationy=h(x)d’inconnuex.Pource faire,onraisonneparéquivalence: y=h(x)(1) ,y=x 1+|x|(2) ,y(1+|x|)=x(3) ,|x|yx=y(4) ,x(sgn(x)y1)=y(5) ,x=y sgn(x)y1(6) 38
ECE1-B2015-2016 Représentationgraphique. SoientAetBdeuxpartiesd’unensembleE. A
B
E A
BE A6✓BA✓B Remarque •Lepluspetit(entermed’inclusion)sous-ensembledeEestl’ensemble vide. •Leplusgrand(entermed’inclusion)estElui-même. I.2.b)ModèlederédactionpourdémontrerA⇢B Soitx2A. ...démonstration... Alorsx2B.OnadoncdémontréA⇢B. I.2.c)Propriétésdel’inclusion Propriété SoientA,BetCdespartiesd’unensembleE. 1)?⇢A 2)A⇢A(réflexivité) 3)(A⇢BETB⇢A))A=B(antisymétrie) 4)(A⇢BETB⇢C))A⇢C(transitivité) 3
ECE1-B2015-2016 ExerciceSoitf:E!Euneapplicationvérifiantfff=idE.Montrerquefestbijectiveetdéterminersoninverse.
Démonstration.Ilsuffitderemarquerque: (ff)f=idEf(ff)=idE . Parlaproposition1,onenconclutquefestbijectiveetquef 1=ff.
ExerciceOnconsidèrel’application:
g:R\{5}!R\{2}
x7! 2x3x+5
a.Démontrerquegestunebijectionetdéterminersaréciproque.Onsouhaitedémontrerque:
8y2R\{2},9!x2R\{5},y=g(x)
Soity2R\{2}.Onrésoutl’équationy=g(x)d’inconnuex2R\{5}.Pourcefaire,onraisonneparéquivalence:
y=g(x)(1)
,y= 2x3x+5 (2)
,y(x+5)=2x3(3)
,x(y2)=35y(4)
,x= 3+5y2y (5)
37 ECE1-B2015-2016
Démonstration.1)Toutélémentde?(iln’yenaaucun!)estélémentdeA.2)Soitx2Aalorsx2A.3)SupposonsqueA⇢BETB⇢AetmontronsA=Bi.e.queAetBontmêmeséléments.
•CommeA⇢B,toutélémentxdeA,estaussiélémentdeB.
•Demême,commeB⇢A,six2Balorsx2A.ToutélémentdeAestélémentdeBetinversement.OnendéduitqueA=B.4)SupposonsqueA⇢BETB⇢CetdémontronsqueA⇢C.Soitx2A.Montronsquex2C.Commex2AetA⇢B,onendéduitquex2B.OrB⇢C.Commex2B,onendéduitquex2C.
LecturedecespropriétésIlfautbiencomprendrequelespropriétésénoncéessontvérifiéespourA,BetCdespartiesquelconquesdeE.Autrementdit,cespropriétéssontuniversellementquantifiées.Parexemple,lapropriétédetransitivitécommesuit.
8A2P(E),8B2P(E),8C2P(E),(A⇢BETB⇢C))A⇢C
(A2P(E)signifiequeAestunepartiedeE)Cetteprésentation,unpeulourde,renddifficilelalecturedespropriétés.Nousl’éviteronsdoncdanslesénoncéssuivants.
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ECE1-B2015-2016 Démonstration. Lecaractèreassociatifdelaloi(parenthésagecommebonnoussemble) nouspermetd’écrire: (gf)(f1g1) =gff1g1 =g(ff1 )g1 =gidFg1 =(gidF)g1 =gg1=idG
(f1g1)(gf) =f1g1gf =f1 (g1 g)f =f1idFf =(f1 idF)f =f1f=idE D’aprèslaproposition1,gfestbijective,deréciproquef1 g1 . Méthodologie:déterminerlaréciproqued’uneapplication •Paruneétudethéorique:vialaproposition1. Exercice Soitf:E!Euneapplicationvérifiantfff=idE. Montrerquefestbijectiveetdéterminersoninverse. •Parcalcul:eninversantl’égalitéy=f(x) Exercice Onconsidèrel’application: g:R\{5}!R\{2} x7!2x3 x+5 a.Démontrerquegestunebijectionetdéterminersaréciproque. b.Répondreauxmêmesquestionspourh:R!]1,1[ x7!x 1+|x| 36 ECE1-B2015-2016 Démontrerl’égalitédedeuxensembles •Pardéfinition,A=BsiAetBontlesmêmeséléments.Ainsi,siA=B, toutélémentxdeAestélémentdeB(d’oùA⇢B)ettoutélémentdeB estélémentdeA(d’oùB⇢A).Lapropriété3)estdoncuneéquivalence. A=B,(A⇢BETB⇢A) Cetteéquivalencefournituneméthodededémonstration.Pourmontrer queA=B,onprocéderagénéralementpardoubleinclusion. DémontronsqueA=B. (⇢)Soitx2A. ...démonstration... Alorsx2B.OnadoncdémontréA⇢B. ()Soitx2B. ...démonstration... Alorsx2A.OnadoncdémontréB⇢A. •Parailleurs,AestdifférentdeB(notéA6=B)peuts’écrirecommesuit: A6=B,NON(A⇢BETB⇢A) ,NON(A⇢B)OUNON(B⇢A) ,(9x2A,x62B)OU(9x2B,x62A) •OnditqueAestinclusstrictementdansB,etonnoteAB,lorsque A⇢BetA6=B: AB,A⇢BETB6⇢A ,(8x2A,x2B)ET(9x2B,x/2A) 5
ECE1-B2015-2016
Proposition1.SoientEetFdeuxensembles.Soitf:E!Fetg:F!Edesapplications.
gf=idEfg=idF ) fetgsontbijectives.Deplus:g=f1etf=g1
Démonstration.a.Onsaitquegf=idE.OridEestunebijectiondeEdansE.Doncgfestbijective.Onendéduitquegfestnotammentsurjective.Ainsigestsurjective.Demême,fg=idF.OridFestunebijectiondeFdansF.Doncfgestbijective.Onendéduitquefgestnotammentinjective.Ainsigestinjective.Onendéduitquegestbijective.Ondémontredelamêmemanièrequefestbijective.b.Laréciproquedefestpardéfinitionl’applicationquiày2Fassociesonuniqueantécédentparf.Soity2F.Alorsf(g(y))=fg(y)=idF(y)=y.L’élémentg(y)estunantécédentdeyparf.Commefestbijective,cetélémentestunique.D’oùg(y)=f1(y).Ainsi:8y2F,g(y)=f 1(y).Autrementdit:g=f1.
Proposition2.SoientE,FetGdesensembles.Soitf:E!Funeapplication.Soitg:F!Guneapplication.
•Sif:E!Fetg:F!Gsontdeuxbijections,alorslacomposéegf:E!Gestunebijection,etona:
(gf) 1=f 1g 1
35 ECE1-B2015-2016
Notionderelationd’ordre
•Lespoints2),3),4)définissentlanotionderelationd’ordre.Larelationbinaire6(récip.>)estunerelationd’ordresurR.Larelationbinaire⇢est,quantàelle,unerelationd’ordresurP(E).
•IlestànoterqueResttotalementordonnéparlarelation6,cequisignifie:8(x,y)2R⇥R,(x6y)OU(y6x)
•Parcontre,larelation⇢n’estpastotalesurP(E):
9(A,B)2P(E)⇥P(E),(A6⇢B)ET(B6⇢A)
(c’estlanégationdelapropriétéprécédente)
I.2.d)L’ensembledespartiesdesélémentsdeE
NotationOnnoteP(E)l’ensemblecomposédetouteslespartiesdeE.
Remarque
•P(E)estunensembledontlesélémentssontdesensembles.C’estdoncunensembled’ensembles.
•Toutsous-ensembleAdeEvérifieA⇢E.MaiscommeAestunepartiedeE,cettepropriétépeutaussis’écrire:A2P(E).
A⇢E,A2P(E)
Propriétésimmédiates
•SiE=?,onaP(E)={?}.
•SiE={a},onaP(E)={?,{a}}.
•SiE={a,b},onaP(E)={?,{a},{b},{a,b}}.Onpeutd’ailleursdémontrerquesiEcomptenéléments,alorsP(E)compte2néléments.
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ECE1-B2015-2016 Représentationgraphique. SoientE,Fdesensemblesetf:E!Funeapplicationbijective. x1 x2 x3 x4
y1 y2 y3 y4
EFf f1 Exempled’applicationbijectiveetnonbijective. 1)L’applicationf:R!R x7!xestbijectivecarelleestàlafoisinjec- tiveetsurjective. 2)L’applicationg:R!R x7!x2n’estpasbijective.Enfait,ellen’est niinjectivenisurjective. 3)Parcontre,t:R+!R+ x7!x2estbienbijectivepuisqu’elleestàla foisinjectiveestsurjective.Touty2R+s’écritd’uneuniquemanière commeuncarré:y=(p y)2=t(y). Propriétés SoientEetFdeuxensembles. Soitf:E!Funeapplicationbijective. a.L’applicationréciproquef1 estbijectiveetf11 =f b.1)8x2E,8y2F,(y=f(x),x=f1 (y)) 2)8y2F,f(f1 (y))=y 3)8x2E,f1 (f(x))=x 34 ECE1-B2015-2016 Exercice OnconsidèreA={{1,2},3,?}. a.Combiend’élémentspossèdeA? b.DétaillerP(A). Démonstration. a.L’ensembleApossède3éléments.Lepremier,notéa1={1,2},estun ensemble;ledeuxième,a2=3,estunréel;letroisième,a3=?,estun ensemble. b.DétaillonsP(A)enutilisantlesnotationsprécédentes. P(A)={?, {a1},{a2},{a3}, {a1,a2},{a1,a3},{a2,a3}, {a1,a2,a3}} Enfin,enremplaçantlesaiparleurvaleurs,onobtient: P(A)={?, {{1,2}},{3},{?}, {{1,2},3},{{1,2},?},{3,?}, {{1,2},3,?}} L’ensembleP(A)contient8éléments(=23). I.3.Opérationsensemblistes I.3.a)RéuniondepartiesdeE Définition SoientAetBdeuxpartiesd’unensembleE. •OnappelleréuniondeAetdeBetonnoteA[Bl’ensemblesuivant. A[B={x2E|(x2A)OU(x2B)} •Autrementdit,pourx2E,ona:x2A[B,(x2A)OU(x2B). 7
ECE1-B2015-2016
II.4.c)Bijectivité
DéfinitionSoientEetFdeuxensembles.Soitf:E!Funeapplication.
•Onditquel’applicationf:E!FestbijectiveoudéfinitunebijectiondeEdansFsifestinjectiveetsurjective.
•Ainsi,l’applicationf:E!Festbijectivesitoutélémenty2Fadmetunetunseulantécédentx2Eparf.Autrementdit:
8y2F,9!x2E,y=f(x)
RemarqueSif:E!Festuneapplicationbijective:
⇥festuneapplication:doncàtoutélémentxdeEcorrespondunetunseulélémentydeF,
⇥festbijective:doncàtoutélémentydeFestassociéununiqueélémentxdeEparf(xestl’antécédentdeyparf).Onenconclutqu’ilya«autant»d’élémentsdansEquedansF.
DéfinitionSoientEetFdeuxensembles.Soitf:E!Funeapplicationbijective.
•La(bijection)réciproqueassociéeàf,notéef1:F!E,estl’applica-tiondeFdansEqui,àchaqueydeF,associesonuniqueantécédentxparf.
•Onaalors:8x2E,8y2F,x=f 1(y),y=f(x)(f1(y)estl’uniqueantécédentdeyparf)
33 ECE1-B2015-2016
Représentationgraphique.SoientAetBdeuxpartiesd’unensembleE.
A B E
A[B
PropriétésélémentairesSoientA,BetCdespartiesd’unensembleE.
1)Propriétésdelaloi[:a.A[B=B[A(laloi[estcommutative)b.A[?=?[A=A(l’ensemblevideestl’élémentneutredelaloi[)c.A[E=E[A=E(l’ensembleEestl’élémentabsorbantdelaloi[)d.A[A=A(toutélémentAestidempotentpourlaloi[)e.(A[B)[C=A[(B[C)(laloi[estassociative)2)Propriétésliant[et⇢:a.A⇢A[BetB⇢A[Bb.A⇢B)A[C⇢B[C
c. A⇢BC⇢D )A[C⇢B[D
d.A[B=A,B⇢A
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ECE1-B2015-2016 Propriété SoientEetFdeuxensemblesetf:E!Funeapplication. Alorsl’application˜f:E!f(E) x7!f(x)estsurjective. Démonstration. Soity2f(E)={f(x)|x2E}. Alors,pardéfinitiondef(E),ilexistex2Etelquey=f(x)=˜f(x). Ainsi˜festsurjective. Remarque •C’estunemanièreclassiquederendreunefonctionsurjective. •Cettepropriétéestnotammentutilisédanslethéorèmedelabijection. Plusprécisément,sif:[a,b]!Resttelleque: ⇥feststrictementcroissantesur[a,b], ⇥festcontinuesur[a,b], alorsfestunebijectionde[a,b]surf([a,b]).Eneffet: a)Commefeststrictementcroissante,elleestinjective. b)Onrendalorscettefonctionsurjectivemodifiantsonensembled’arri-
vée. Plusprécisément,f:[a,b]!f([a,b])estsurjective. •Notezquenousn’avonspaseubesoindansladémonstrationprécédente ducaractèrecontinuedelafonctionf.Dèslors,àquoisertcettehypo- thèse? (i)Sifestcontinue,alorsf([a,b])estl’imaged’unintervalleparune fonctioncontinue.C’estdoncunintervalle. (ii)Sousl’hypothèsedecontinuitédefonalapropriété: finjective)fstrictementmonotone Laréciproqueétanttoujoursvérifiée,onobtientunecaractérisation desapplicationsstrictementmonotones.Sifestcontinue,ona: finjective,fstrictementmonotone 32 ECE1-B2015-2016 Démonstration. Laseuledifficultédeladémonstrationrésidedanslarédaction. Àtitred’illustration,développonslespoints2)c.et2)d. c.SupposonsA⇢BetC⇢DetdémontronsA[C⇢B[D. Soitx2A[C. Cecisignifiequex2Aoux2C.Deuxcasseprésententalors: ⇥six2A:alors,commeA⇢B,onax2B. OrBB[D.Onendéduit,commex2Bquex2B[D. ⇥six62A:alors,commex2A[C,onaforcémentx2C. OrC⇢D⇢B[D.Commex2C,onendéduitquex2B[D. Onendéduitquex2B[D. Onremarqueaupassagequelapropriété2)b.estuncasparticulierde cettepropriété2)c.Eneffet,ilsuffitd’appliquer2)c.avecD=Cpour obtenirlapropriété2)b. d.Ils’agiticidedémontreruneéquivalence. Onraisonnepardoubleimplication. ())SupposonsA[B=AetdémontronsB⇢A. Soitx2B. CommeB⇢A[B=A,alorsx2A. (()SupposonsB⇢AetdémontronsA[B=A. Ils’agiticidedémontreruneégalité.Onprocèdepardoubleinclu- sion. (⇢)Soitx2A[B. Cecisignifiequex2Aoux2B.Deuxcasseprésententalors: ⇥six2A:alorsonabienx2A. ⇥six62A:alors,commex2A[B,onaforcémentx2B. OrB⇢A.Commex2B,onendéduitquex2A. ()A[BA(c’estla2èmepropriété). 9
ECE1-B2015-2016
PropriétéSoientE,F,Gdesensembles.Soitf:E!Funeapplication.Soitg:F!Guneapplication.
festsurjectivegestsurjective )gf:E!Gestsurjective
Autrementdit,lacomposéededeuxapplicationssurjectivesestsurjective.
Démonstration.Supposonsfetgsurjectivesetdémontronsquegfestsurjective.Soity2G.Démontronsqu’ilexistex2Etelquey=f(x).Commeg:F!Gestsurjective,ilexisteu2Ftelquey=g(u).Commef:E!Festsurjective,ilexistex2Etelqueu=f(x).Onaalors:y=g(u)=g(f(x))=gf(x).Ainsigfestsurjective.
PropriétéSoientE,F,Gdesensembles.Soitf:E!Funeapplication.Soitg:F!Guneapplication.
gfestsurjective)gsurjective
Démonstration.Supposonsgfsurjectiveetdémontronsquegestsurjective.Soity2G.Démontronsqu’ilexistex2Etelquey=g(x).Commegfestsurjective,ilexisteu2Etelquey=gf(u)=g(f(u)).Notonsx=f(u).Alorsx2Fetxvérifiey=g(x).Ainsifestsurjective.
31 ECE1-B2015-2016
Traiterunehypothèsedutypex2A[B
•Unehypothèsedelaformex2A[Bsignifiesoitquex2A,soitquex2B(éventuellementxappartientàlafoisàAetàB).Pourtraitercorrectementcetyped’hypothèse,onréaliseunedisjonctiondecas.
...débutdedémonstration...Ainsix2A[B.Deuxcasseprésententalors:
⇥six2A:...démonstration...
⇥six62A:alors,commex2A[B,onax2B....démonstration...
•Autrementdit,onétudielecasx2Apuislecasx2B.Larédactionprécédentemetenavantlecaractèreexhaustifdel’étudedecas.Cecisignifiequ’iln’yapasd’autrecasàconsidérer.
I.3.b)IntersectiondepartiesdeE
DéfinitionSoientAetBdeuxpartiesd’unensembleE.
•OnappelleintersectiondeAetBetonnoteA\Bl’ensemblesuivant.
A\B={x2E|(x2A)ET(x2B)}
•Autrementdit,pourx2E,ona:x2A\B,(x2A)ET(x2B).
•DeuxensemblesAetBsontdisjointssiA\B=?.
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ECE1-B2015-2016 Exempled’applicationsurjectiveetnonsurjective. 1)L’applicationf:R!R x7!xestsurjective.Eneffet,toutélémenty deRestatteintparfpuisquey=f(y). 2)L’applicationg:R!R x7!x2estnonsurjective.Eneffet,1nepeut s’écrirecommecarréd’unréel(iln’existepasdex2Rtelque1=x2 ). 3)Parcontre,h:R!R+ x7!x2estbiensurjective.Eneffet,touty2R+ peuts’écriresouslaformey=h(p y).Onabienh(R)=R+ . Démontrerqu’uneapplicationestsurjective Lapropriétédéfinissantlasurjectivitéfournitleschémaderédactionsui- vant. Démontronsquef:E!Fsurjective. Soity2F. Exhibonsx2Etelquey=f(x). ...démonstration... Alorsy=f(x). Onadoncdémontréquefestsurjective. Remarque •L’élémentynomméaudébutdeladémonstrationestunélémentde l’ensembleF.Lebutdeladémonstrationestdedémontrerqu’ilexiste x2Etelquey=f(x),cequisignifiequey2Im(f)(=f(E)). •Ondémontredoncquetoutélémenty2Fvérifiey2Im(f). Autrementdit:F⇢Im(f). •CommeonatoujoursIm(f)⇢F,ondémontreainsi:Im(f)=F. Onl’adéjàdit:ilnefautpasconfondreFetIm(f). Cesdeuxensemblesnesontégauxquesifestsurjective. 30
ECE1-B2015-2016 Représentationgraphique. SoientAetBdeuxpartiesd’unensembleE. A
B
E A\B Propriétésélémentaires SoientA,BetCdespartiesd’unensembleE. 1)Propriétésdelaloi\: a.A\B=B\A (laloi\estcommutative) b.A\E=E\A=E (l’ensembleEestl’élémentneutredelaloi\) c.A\?=?\A=? (l’ensemblevideestl’élémentabsorbantdelaloi\) d.A\A=A (toutélémentAestidempotentpourlaloi\) e.(A\B)\C=A\(B\C) (laloi\estassociative) 2)Propriétésliant\et⇢: a.A\B⇢AetA\B⇢B b.A⇢B)A\C⇢B\C c.A⇢B C⇢D)A\C⇢B\D d.A\B=A,A⇢B 11
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PropriétéSoitf:R!Runeapplication.
fstrictementcroissante)festinjective
Démonstration.Soit(x1,x2)2R2telsquex16=x2.Quitteàrenommerx1etx2,onpeutsupposerque:x1>x2.Or,lafonctionfeststrictementcroissante.Onadonc:f(x1)>f(x2).Ainsi:f(x1)6=f(x2).Onenconclutquefestinjective.
II.4.b)Surjectivité
DéfinitionSoientEetFdeuxensembles.
•UneapplicationfdeEdansFestsurjectivesitoutélémentdeFadmetaumoinsunantécédentparf.
8y2F,9x2E,y=f(x)
•Autrementdit,fsurjectivesi:Imf=F
Représentationgraphique.SoientE,Fdesensemblesetf:E!Funeapplicationsurjective.
x1
x2x3
x4
x5 y1y2
y3y4 EF f
29 ECE1-B2015-2016
I.3.c)Passageaucomplémentaire
DéfinitionSoitAunepartied’unensembleE.
•OnappellecomplémentairedeAdansEetonnote —EAl’ensemblesuivant.—EA={x2E|x62A}
(leB.O.recommanded’utiliserlanotationA,moinsprécise,maisplusagréable,lorsqu’iln’yapasd’ambiguïtésurl’ensembledetravailE)
•Autrementdit,pourx2E,ona:x2 —EA,NON(x2A).
Représentationgraphique.SoitAunepartied’unensembleE.
A E
—EA
PropriétésélémentairesSoitEunensemble.SoitAunepartiedeE.—E✓—EA ◆=A —EE=? —E?=E
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ECE1-B2015-2016 Propriété SoientE,F,Gdesensembles. Soitf:E!Funeapplication. Soitg:F!Guneapplication. festinjective gestinjective)gf:E!Gestinjective Autrementdit,lacomposéededeuxapplicationsinjectivesestinjective. Démonstration. Supposonsfetginjectivesetdémontronsquegf:E!Gestinjective. Soit(x1,x2)2E2telquegf(x1)=gf(x2). Autrementdit:g(f(x1))=g(f(x2)). Or,commegestinjective,onendéduitque:f(x1)=f(x2). Or,commefestinjective,onendéduitque:x1=x2. Ainsigfestinjective. Propriété SoientE,F,Gdesensembles. Soitf:E!Funeapplication. Soitg:F!Guneapplication. gfestinjective)finjective Démonstration. Supposonsgfinjectiveetdémontronsquef:E!Festinjective. Soit(x1,x2)2E2telquef(x1)=f(x2). Onaalors:g(f(x1))=g(f(x2)). (égalitéobtenueencomposantchaquemembredel’égalitéprécédenteparg) Autrementdit:gf(x1)=gf(x2). Or,commegfestinjective,onendéduitque:x1=x2. Ainsifestinjective. 28 ECE1-B2015-2016 I.3.d)Propriétéscombinantlesopérateursderéunion,intersec- tionetpassageaucomplémentaire Propriétésliant[,\etpassageaucomplémentaire SoientA,BetCdespartiesd’unensembleE. •A\(B[C)=(A\B)[(A\C) (laloi\estdistributiveparrapportàlaloi[) •A[(B\C)=(A[B)\(A[C) (laloi[estdistributiveparrapportàlaloi\) •(A\B)=A[Bet(A[B)=A\B (loisdedeMorgan) •A[A=EetA\A=? Remarque •Ladéfinitiondesopérateursensemblistesfaitapparaîtreunlienfortentre ceux-cietlesconnecteurslogiquesusuels.Mettonsenavantcesliens. ET(notéaussi^) !\ OU(notéaussi_) 