II I. Fo nc tio n in ver se

(1)

ECE1-B2015-2016 Deuxcasseprésententalors: a)Six2>0:onaalors|x2|=x2et: b(x2)2 c=k,p k6x2<p k+1 ,2+p k6x<2+p k+1 ,x2[2+p k,2+p k+1[ b)Six2<0:onaalors|x2|=x+2et: b(x2)2c=k,p k6x+2<p k+1 ,p k26x<p k+12 ,2p k+1<x62p k ,x2]2p k+1,2p k] 3.Représentationgraphique. x

y

y=g(x) y=g(x)1 32

ECE1-B2015-201

C H II I :F onc tio ns us ue lle s

L’étudedesfonctionspolynomialesetnotammentlesconsidérationssur larecherchederacines,lafactorisationetlesignedutrinômedusecond degréontététraitéesdanslechapitreprécédent.

I. Q uel ques ra pp el s sur l’ét ude de fo nc ti ons

I.1.Étudegraphiquedefonctions Laméthodologied’étuded’unefonctionf(dérivable)estlasuivante. 1)Déterminerl’ensemblededéfinitionDfdelafonction(sicelui-cin’est pasdonné). 2)Calculdef0(làoùfestdérivable). 3)Constructiondutableaudevariationsdef(étudedusignedef0). 4)Étudedeslimitesdefauxbornesdel’intervalled’étude. 5)Calculdestangentesdefencertainspoints(généralementl’énoncé précisecespoints). (onyreviendradansunchapitreultérieur...) 6)Étudegraphique:dansunrepère,onplace: ⇥lespointsparticuliers(ceuxdontl’abscissexvérifief0(x)=0), ⇥lesdroitesparticulières(tangentes)delacourbe. ⇥onpeutéventuellementplacerdespointssupplémentaires. OntracealorsCflacourbereprésentativedef.

(2)

ECE1-B2015-201

ExerciceMontrerque:8x2R,dxe=bxc.Endéduirelavaleurdebxc+bxc.

ExerciceTracerlacourbereprésentativedelafonctionx7!xbxc.Quelleestcettefonction?

Étudegraphiqued’unefonctioncontenantunepartieentièreOnconsidèreiciunefonctionf:x7!bg(x)coùg(x)estunequantitédépendantdex.L’étudegraphiquedefpeutsefairecommesuit.1.Oncommenceparl’étudedeg.Ondétermineranotammentl’ensembleIm(g),imagedelafonctiong.2.Pourtoutx2Dg,ona:

bg(x)c=k,k6g(x)<k+1

Pourk2Z\Im(g),onvadoncchercheràdéterminerl’ensembledesélémentsxtelsque:k6g(x)<k+1.3.D’aprèslapropriétéfondamentale,ona:g(x)1<bg(x)c6g(x).Entraçantlescourbesdesfonctionsx7!g(x)1etx7!g(x)onrepèregraphiquementlesintervallesoùbg(x)c=k.

ExempleÉtudedelafonctionf:x7!b(x2)2c.1.Lafonctiong:x7!(x2) 2estàvaleursdansR +(Im(g)=R +).2.Soitk2Z\R +autrementditk2N.b(x2)2c=k,k6(x2)2<k+1

,k6(x2) 2ET(x2) 2<k+1 , pk6 p(x2)2ET p(x2)2< pk+1 , pk6|x2|ET|x2|< pk+1 , pk6|x2|< pk+1

31 ECE1-B2015-2016

I.2.Règlesdedérivation

Pourf,gR!R,poura2R,leségalitéssuivantessontvérifiéessurtoutensembleEoùlesfonctionsfetgsontdérivables.

(af)0=af0

(f+g)0=f0+g0

(f⇥g) 0=f 0g+fg 0✓1g ◆0= g0

g2✓fg ◆0= f 0gfg 0

g2

Pourlesrèglesdedérivationdel’inverseetduquotient,ilfauticiveilleràseplacersurunensembleEsurlequelgnes’annulepas.

RemarqueCettelisten’estpasexhaustiveetilfaudralacompléteraveclesrèglesquel’onverradansl’année.Parexemple:( pf)0= f0

2 pf estvérifiéepour

fsurtoutensembleEoùfestdérivableetstrictementpositive.

I.3.Théorèmedelabijection

I.3.a)Unpremierthéorème

Théorème1.Soientaetbdeuxréelstelsquea<b.Soitf:[a,b]!Runefonction:

⇥continuesur[a,b].

⇥strictementcroissantesur[a,b].Onaalors:

8y2[f(a),f(b)],9!c2[a,b],y=f(c)

2

(3)

ECE1-B2015-2016 VII.2.Propriétés Propriétéfondamentale 1)Deparladéfinition:8u2R,8n2Z,(buc=n,n6u<n+1) 2)8u2R,u1<buc6uet8u2R,u6due<u+1 Propriété •Pourtoutk2Z,ona: ⇥surtoutintervalle[k,k+1[,lafonctionx7!bxcestconstanteégale àk, ⇥surtoutintervalle]k,k+1[,lafonctionx7!bxcestcontinue. •Ona:lim x!1bxc=1etlim x!+1bxc=+1 •Pourtoutk2Z,ona: ⇥surtoutintervalle]k,k+1],lafonctionx7!dxeestconstante égaleàk+1, ⇥surtoutintervalle]k,k+1[,lafonctionx7!dxeestcontinue. •Ona:lim x!1dxe=1etlim x!+1dxe=+1 VII.3.Représentationgraphique x

y y=x y=x1 Fonctionx7!bxc

x

yy=x+1 y=x Fonctionx7!dxe 30

ECE1-B2015-201 Autrementdit: •Pouryfixédans[f(a),f(b)]l’équationenx:y=f(x)auneunique solutiondansl’intervalle[a,b]. •Ouencore,toutélémentydans[f(a),f(b)]possèdeununiqueantécé- dentparfdans[a,b]. Remarque CethéorèmeestaussiconnusouslenomdeThéorèmedesValeurs Intermédiaires(casdelastrictemonotonie).Desénoncéssimilairesexistent: ⇥pourtouttyped’intervalle([a,b[,]a,b[,]a,b]). ⇥lorsquefstrictementdécroissante.Danscecas,laconclusionest: 8y2[f(b),f(a)],9!c2[a,b],y=f(c) (etonpeutencoreprendretouttyped’intervalle...) I.3.b)Lesfonctionsbijectives DéfinitionFonctionbijective SoientEetFdeuxsous-ensemblesdeR. Soitf:E!Funefonction. •OnditquefestunebijectiondeEsurFsi: 8y2F,9!x2E,y=f(x) •Sif:E!FdéfinitunebijectiondeEsurF,alorsellepermetde définirlafonctionquiàtoutréely2Fassociel’uniqueantécédentde yparfdansl’ensembleE.Cettefonctionestnotéef1:F!Eetest appeléefonctionréciproquedef. (faireundessin!)

(4)

ECE1-B2015-201

V II . Fo nc tio n pa rt ie en tièr e

VII.1.Définition

DéfinitionOnappellefonctionpartieentièrelafonctionsuivante.

b.c:R!Zx7!bxc=lepusgrandentiern2Ztelquen6x

Remarque

•Onpeutaussidéfinirbxccommel’uniqueentierrelatifvérifiantlapro-priété:n6x<n+1.

•Demanièreinformelle,bxcpeutêtredéfinicommeétant«l’entierrelatifdirectementpluspetitquex».

•Decefait,onparleparfoisdepartieentièrepardéfaut,cequipermetaussidemarquerladiﬀérenceaveclafonctionpartieentièreparexcès,notéedxeetdéfiniecommesuit.

d.e:R!Zx7!dxe=lepuspetitentiern2Ztelquex6n

•Onpeutaussidéfinirdxecommel’uniqueentierrelatifvérifiantlapro-priété:n1<x6n.

•Demanièreinformelle,dxepeutêtredéfinicommeétant«l’entierrelatifdirectementplusgrandquex».

•Ilestimmédiatque:a.8n2Z,bnc=nb.8n2Z,dne=n

c.8x2R,dxebxc= ⇢0six2Z1sinon

29 ECE1-B2015-2016

Représentationgraphique.Soitf:E!FuneapplicationbijectivedeEsurF.

x1x2

x3x4 y1

y2y3y4 EF f

f1

•Pardéfinitiondelabijectivité,toutélémentyideFpossèdeununiqueantécédentxjdansEparf.

•Pardéfinitiondefonction,toutélémentxjdeEnepossèdequ’uneimageyidansF.Demanièrenonformelle,sif:E!FestunebijectiondeEsurF,alorsilya«exactementautant»d’élémentsdansEetdansF.Graphiquement,celasetraduitparlefaitquel’onpeutrelierlesxjauyi:

⇥parlesflèchesrouges.C’estlafonctionf:E!F.

⇥parlesflèchesvertes,obtenuesenorientantdansl’autresenslesflèchesrouges.C’estlafonctionf1:F!E.

PropriétéSoitf:E!FunebijectiondeEsurF.Etf1:F!Esaréciproque.Onaalors:1)8x2E,8y2F,(y=f(x),x=f 1(y)) 2)8y2F,f(f 1(y))=y 3)8x2E,f 1(f(x))=x 4)f1:F!EestunebijectiondeFsurE.

4

(5)

ECE1-B2015-2016 Remarque Pourn2N⇤,ladéfinitiondenp .commeunefonctionélévationàla puissancequelconquepossèdelesdeuxavantagessuivants. •Lespropriétéss’écriventdemanièrenaturelle: ⇥8y2R+,(np y)n=(y1 n)n=y ⇥8x2R+ ,(np xn)=(xn )1 n=x •Onobtientlespropriétésdedérivée: 1.8x2R+⇤ ,(x1 n)0 =1 nx1 n1 2.(np u)0 =(u1 n)0 =1 nu1 n1 ⇥u0 Bijectionréciproquedex7!x3 Lafonctionf:x7!x3est: ⇥continuesurR, ⇥strictementcroissantesurR. C’estdoncunebijectiondeRsurf(R)=R. Formellement,onpeutdoncdéfinirsabijectionréciproquef1 surRtout entier.Lafonction3p .définieprécédemmentpeutalorsêtrevuecomme restrictionsurl’ensembleR+ delafonctionf1 . +Parconvention,ondéfinitlafonction3p .estdéfiniesurR+même si,parapplicationduthéorèmedelabijection,onpourraitdéfinirla réciproquedex7!x3surRtoutentier. 28 ECE1-B2015-201 Démonstration. 1)Soientx2Eety2F. ())Supposonsy=f(x).Autrementdit,xestunantécédent(ilest uniquepuisquefestbijective)deyparf.Or,pardéfinition,f1 associeàchaqueélémenty2FsonuniqueantécédentdansEparf: c’estprécisémentx.Celadémontrequef1(y)=x. (()Supposonsx=f1 (y).Pardéfinition,f1 (y)estl’uniqueanté- cédentdansl’ensembleEdel’élémentyparlafonctionf.Onadonc y=f(x). 2)Soity2F.Pardéfinition,f1 (y)estl’uniquexdansEtelque y=f(x).Ainsi,f(f1 (y))=f(x)=y. 3)Soitx2E.Notonsy=f(x).Onadoncx=f1(y)(d’aprèsla propriété1)).Ainsi,f1(f(x))=f1(y)=x. 4)Ondoitdémontrerque:8v2E,9!u2F,v=f1(u). Soitv2E.D’aprèslapropriété3),f1(f(v))=v.Ainsi,ennotant u=f(v),onabientrouvéunélémentu2Ftelquef1(u)=v.Il resteàdémontrerl’unicité.S’ilexistet2Ftelquef1(t)=v,alors parlapropriété1),onat=f(v).Ainsi,t=f(v)=u. Remarque Soitf:E!FunefonctionbijectivedeEdansFetx2E,y2F deuxélémentstelsquey=f(x).D’aprèslapropriété1),onaalorsaussi x=f1(y).Onadonc: ⇥xestl’antécédentdeyparf. ⇥yestl’imagedexparf. ⇥xl’imagedeyparf1 . ⇥yestl’antécédentdexparf1 .

(6)

ECE1-B2015-201 VI.4.BONUS:définitiondesfonctionsracinesn ème

VI.4.a)Vialethéorèmedelabijection

Sin2N⇤,lafonctionf:x7!xnest:

⇥continuesur[0,+1[,

⇥strictementcroissantesur[0,+1[.D’aprèslethéorèmedelabijectiononadonc:1)festunebijectiondel’ensemble[0,+1[surl’ensemble:

f([0,+1[)=[f(0),limx!+1 f(x)[=[0,+1[. 2)fadmetunebijectionréciproque,continueetstrictementcroissantesur[0,+1[:c’estlafonctionracinenème.

n p.:R+!R+

x7!n px

Deparcettedéfinition,onalespropriétéssuivantes.

1)8x2R +,8y2R +,(y=x n,x=n py) 2)8y2R +,(n py) n=y3)8x2R +, n p(xn)=x

VI.4.b)Vialespuissancesquelconques

Pourn2N⇤,lafonctionracinenèmepeutaussiêtredéfiniecommeunopérateurpuissancequelconque.Plusprécisément:

n p.:R +⇤!R +

x7!n px=x 1n

•Danscecas,lafonctionracinenèmeestdéfinieseulementsurR+⇤.Onpeutlaprolongerparcontinuitéen0enposant:(0) 1n=0.

•Cettedéfinitioncoïncideaveccelleobtenueparlethéorèmedelabijec-tionsurl’ensembleR+.

27 ECE1-B2015-2016

I.3.c)Lethéorèmedelabijection

Théorème2.ThéorèmedelabijectionSoitaetbdeuxréelstelsquea<b.Soitf:[a,b]!Runefonction:

⇥continuesur[a,b].

⇥strictementcroissantesur[a,b].Onaalors:1)festunebijectionde[a,b]sur[f(a),f(b)].2)Deplus,sabijectionréciproquef1:[f(a),f(b)]![a,b]est:

⇥continuesur[f(a),f(b)].

⇥strictementcroissantesur[f(a),f(b)].

Démonstration.1)C’estl’énoncéduTVItraduitaveclevocabulairedesfonctionsbijec-tives.2)Onenreparlera...

RemarqueLesextensionsprécédentespeuventaussiêtreappliquéesàcethéorème:onpeutl’écrireavecdesintervallesdutype[a,b[,]a,b],]a,b[;silafonctionfinitialeeststrictementdécroissante,laconclusionseraalorslastrictedécroissancedef1.

Parexemple:

Soitf:]a,b]!Runefonction:

⇥continuesur]a,b]

⇥strictementdécroissantesur]a,b] 9>>>=>>>; ) •festunebijectionde]a,b]sur[f(b),f(a)[

•f1:[f(b),f(a)[!]a,b]est:

⇥continuesur[f(b),f(a)[

⇥strictementcroissantesur[f(b),f(a)[

6

(7)

ECE1-B2015-2016 RemarquePuissanceentièreoupuissancequelconque? Àn2N⇤fixé,nousavonsdeuxdéfinitionspourlafonctionx7!xn: ⇥ladéfinition«classique»:laquantitéxnestleproduitdenquantités x. Aveccettedéfinition,x7!xnestalorsdéfiniesurR. ⇥ladéfinition«puissancequelconque»:laquantitéxn estdéfinieà l’aidedesfonctionsexpetlncommexn =enln(x) . Aveccettedéfinition,x7!xn estalorsdéfiniesurR+⇤ . IlconvientderemarquerquecesdeuxdéfinitionscoïncidentsurR+⇤ . VI.3.c)Représentationgraphique x

y ↵>1↵=1 0<↵<1 ↵=0 ↵<0 Exerciceoùl’ondémontreque1=1... Commenterladémonstrationsuivante. 1=(1)1 =(1)2 2=((1)2 )1 2=(1)1 2=1 26

ECE1-B2015-201

II . Fo nc ti on va leur abs ol ue

II.1.Définition Définition Onappellefonctionvaleurabsolue,notée|.|,lafonctionsuivante. |.|:R!R+ x7!|x|=⇢ xsix>0 xsix<0 Remarque •Dansladéfinition,ilestimplicitequepourtouttrucélémentdeR,la quantité|truc|estpositive.Eneﬀet: ⇥sitruc>0,|truc|vauttruc, ⇥sitruc<0,|truc|vautl’opposédetruc,àsavoirtruc(>0). •Onanotammentlescalculssuivants: 1)|5|=52)|(x2)2|=(x2)23)|(x2)2|=(x2)2 Exercice.(valeurabsolue) Écriresansvaleurabsoluelesquantitéssuivantes. a.|x2+x2|b.|x+1|+|x+2|c.|x2 1||x2 +1|+|2x2 x+1| Traitonslaquestiona. x Signede x2+x2 Valeurde |x2+x2|121+1 +00+ x2+x2x2x+20x2+x2 Onretiendral’intérêtdefaireuntableauquiestunereprésentationlisible delasituation.

(8)

ECE1-B2015-201 Propriétédedérivée1.Lafonctionx7!x↵estdérivablesurR+⇤.

8↵2R,8x2R +⇤,(x ↵) 0=↵x ↵1

2.Siu:R!Restunefonction,ona:(u ↵) 0=↵u ↵1⇥u 0

CetteformuleestvalablesurtoutensembleEsurlequel:

⇥lafonctionueststrictementpositive(pourqueu↵soitdéfinie),

⇥lafonctionuestdérivable(pourqueu0soitdéfinie). Démonstration.1.Soit↵2R.Notonsf:x7!x↵=e↵ln(x)etu(x)=↵ln(x).LafonctionfestdérivablesurtoutensembleEsurlequel:

⇥uestdérivable.Ainsi,festdérivablesur]0,+1[.Pourtoutx2]0,+1[,ona:

f 0(x)=u 0(x)e u(x)= ↵x e ↵ln(x)= ↵x↵

x =↵x ↵1

2.Cetterègles’obtientenécrivant:u↵=e↵ln(u). ExerciceEnsemblededérivabilitéetcalculdesdérivéesdesfonctionssuivantes.a.f:x7!x 13b.g:x7!(x2+2x+1) 13

25 ECE1-B2015-2016

II.2.Propriétés

Propriété

1.8x2R,|x|>02.8x2R,|x|=|x|(cecisignifiequelafonction|.|estpaire)

3.8x2R,|x|=0)x=0

4.8x2R,8y2R,|x|=|y|)x=yOUx=y

5.8x2R,8y2R,|x⇥y|=|x|⇥|y|

6.8x2R,8y2R⇤, xy = |x||y|

7.Inégalitétriangulaire.Pourtoutx2Rettouty2R,ona:

|x+y|6|x|+|y||xy|6|x|+|y|||x||y||6|xy|

Propriétédedérivée

1)Lafonction|.|estdérivablesur]0,+1[.8x2]0,+1[,(|x|) 0=1 2)Lafonction|.|estdérivablesur]1,0[.8x2]1,0[,(|x|) 0=1

II.3.Représentationgraphique

x yy=|x|

y=|x2| y=|3x+2|

8

(9)

ECE1-B2015-2016 VI.3.Puissancesquelconques VI.3.a)Définition Définition Pour↵2R,lafonctionélévationàlapuissance↵,notéx7!x↵est définiesurR+⇤àl’aidedesfonctionsexponentielleetlogarithme: R+⇤!R+ x7!x↵=e↵ln(x) VI.3.b)Propriétés Propriétéimmédiates 1.8↵2R,8x2R+⇤ ,ln(x↵ )=↵ln(x) 2.8↵2R,8x2R+⇤ ,82R,x↵+ =x↵ x 3.8↵2R,8x2R+⇤ ,82R,x↵ =x↵ x 4.8↵2R,8y2R+⇤ ,y↵ =1 y↵ 5.8↵2R,8x2R+⇤ ,8y2R+⇤ ,(xy)↵ =x↵ y↵ 6.8↵2R,8x2R+⇤ ,82R,(x↵ )=x↵ 7.8↵2R,8x2R+⇤ ,8y2R+⇤ ,✓ x y◆↵ =x↵ y↵ 24 ECE1-B2015-201 II.4.Interprétation Interprétation •Pourtoutcouple(x,y)2R⇥R,|xy|estladistanceentrelespoints xety(|xy|=d(x;y)),autrementditl’écartentrelepointxetle pointysurladroiteréelle. yx

|xy| •Ainsi,|x|estladistanceentrelespointsxet0. Application Soita2Retr>0. •Résolutionde|xa|=r Lesélémentsxvérifiantcetteégalitésontlesélémentssituésàune distancerduréela.Autrementdit,cesontlesélémentsx=aret x=a+r. a ara+r

rr •Résolutionde|xa|6r Lesélémentsxvérifiantcetteégalitésontlesélémentssituésàune distanceinférieure(ouégale)àrduréela.Autrementdit,cesontles élémentsxdel’intervalle[ar,a+r]. a

rr a+rar •Ainsi,ona:|x|6r,r6x6r

(10)

ECE1-B2015-201

VI.2.c)ReprésentationgraphiqueLesfonctionsexponentielleetlogarithmeétantbijectionsréciproquesl’unedel’autre,lacourbereprésentativedelafonctionexponentielleestobtenueparsymétriedelacourbereprésentativedelafonctionlnparsymétried’axey=x.

x y

y=x

y=ln(x) y=ex

23 ECE1-B2015-2016

II I. Fo nc tio n in ver se

DéfinitionOnappellelafonctioninverselafonction:

1. :R ⇤!R ⇤

x7! 1x Danscequisuit,onnoteraflafonctioninverse.Onréalisel’étudegra-phiquedefàl’aidedelaméthodologieprésentéeendébutdechapitre.1)Df=R⇤.

2)8x2R⇤,f0(x)= 1x2 60.

3)Constructiondutableaudevariationsdef.

xSignedef0(x)

Variationdef 10+1

00

1 +1

11

4)Leslimitessontaﬃchéesdansletableaudevariation.5)L’équationdelatangenteaupointd’abscissea(i.e.aupoint(a,f(a)))estdonnéeparlaformule:

y=f 0(a)(xa)+f(a)

Onendéduitque:

⇥ladroitey=x+2estlatangentedelafonctionaupoint(1,1).

⇥ladroitey=x2estlatangentedelafonctionaupoint(1,1).

10

(11)

ECE1-B2015-2016 Propriétéimmédiates 1.8x2R,8n2N,(ex )n =enx 2.8x2R,ex =1 ex3.8x2R,8y2R,exy =ex ey Propriétédelimite 1.lim x!1ex =02.lim x!+1ex =+1 Propriétédedérivée 1.LafonctionexpestdérivablesurR.8x2R,(ex )0 =ex 2.Siu:R!Restunefonction,ona:(eu )0 =u0 ⇥eu CetteformuleestvalablesurtoutensembleEsurlequel: ⇥lafonctionuestdérivable(pourqueu0soitdéfinie). Croissancescomparées •En+1,lafonctionexpaunecroissancebeaucoupplusfortequeles fonctionspuissancesentières.End’autrestermes,pourp2N⇤etq2 N⇤: lim x!+1(ex)p xq=+1 •Onditaussiqu’en+1,lacroissanceexponentielleestplusfortequela croissancepolynomiale. •Onpeutdémontrer,àl’aidedelapropriétéprécédenteque: lim x!+1xp (ex )q =0 En1,cettefonctiontendaussibeaucoupplusvitevers0queles fonctionsélévationàlapuissanceentièrenetendentversl’infini. 22

ECE1-B2015-201 6)Représentationgraphique x

y y=1/x RemarqueParitéetreprésentationgraphique... •Pardéfinition,ondiraqu’unefonctionfestimpairesi: 8x2Df,f(x)=f(x) Danscecas,onaalorsl’équivalencesuivante: ✓ x f(x)◆ 2Cf,✓ x f(x)◆ 2Cf Ainsi,sifestunefonctionimpaire,sacourbereprésentativeCfadmet lepoint(0,0)commecentredesymétrie. 11

(12)

ECE1-B2015-201

VI.2.Fonctionexponentielle

VI.2.a)Définition

DéfinitionLafonctionf:x7!ln(x)est:

⇥continuesur]0,+1[,

⇥strictementcroissantesur]0,+1[.D’aprèslethéorèmedelabijectiononadonc:1)festunebijectiondel’ensemble]0,+1[surl’ensemble:

f(]0,+1[)=]limx!0+ f(x),limx!+1 f(x)[=]1,+1[=R

2)fadmetunebijectionréciproque,continueetstrictementcroissantesur]0,+1[:c’estlafonctionexponentielle.

exp:R!R+⇤

x7!ex

Deparcettedéfinition,onalespropriétéssuivantes.

1)8x2R +⇤,8y2R,(y=lnx,x=e y) 2)8y2R,ln(e y)=y3)8x2R +⇤,e ln(x)=x

VI.2.b)Propriétés

Propriétéfondamentale

8x2R,8y2R,e x+y=e x⇥e y

Démonstration.Soitx2Rety2R.Ona:

e x+y=e x⇥e y,ln(e x+y)=ln(e x⇥e y),x+y=ln(e x)|{z}x +ln(e y)|{z}y

21 ECE1-B2015-2016

•Pardéfinition,ondiraqu’unefonctionfestpairesi:

8x2Df,f(x)=f(x) Danscecas,onaalorsl’équivalencesuivante:✓xf(x) ◆2Cf, ✓xf(x) ◆2Cf

Ainsi,sifestunefonctionpaire,sacourbereprésentativeCfadmetl’axedesordonnéescommeaxedesymétrie.

•Lafonctioninverseestimpairepuisque:8x2R ⇤, 1x = 1x . Onendéduitquesacourbereprésentativeestsymétriqueparrapportàl’originedurepère((0,0)).Ainsi,letracédeCfsur]1,0[sedéduit,parsymétrie,dutracédeCfsur]0,+1[.Onréduitainsil’étudedecettefonctionàl’ensemble]0,+1[.

IV . Fo nc tio ns pui ss anc es en tièr es

IV.1.Définition

DéfinitionFonctionspuissances(entières)

•Soientx2Retn2N⇤.Lafonctionélévationàlapuissancenestdéfiniecommesuit.

.n:R!R x7!xn= n1multiplicationsz}|{x⇥x⇥...⇥x

•Onpeutaussidéfinirl’élévationàunepuissanceentièrenégative.

Six2R⇤etn2N⇤,laquantitéxnestdéfiniepar:x n= 1xn

•Parconvention,l’opérateurélévationàlapuissance0estlafonctionconstanteégaleà1:8x2R,x 0=1

12

(13)

ECE1-B2015-2016 Croissancescomparées •En+1,lafonctionln(.)admetunecroissancebeaucoupplusfaibleque lesfonctionspuissancesentières.End’autrestermes,pourtoutentier p2N⇤ etq2N⇤ ,ona: lim x!+1(ln(x))p xq=0 •Onditaussiqu’en+1,lacroissancelogarithmiqueestplusfaibleque lacroissancepolynomiale. •Onpeutdémontrer,àl’aidedelapropriétéprécédenteque: lim x!0+xp (ln(x))q =0 VI.1.c)Représentationgraphique x

y y=ln(x) 20

ECE1-B2015-201 IV.2.Propriétés Propriété 1.8m2N,8n2N,8x2R,xm+n =xn xm 2.8m2N,8n2N,8x2R,xmn =(xm )n 3.8n2N,8x2R,(xy)n =xn yn 4.8n2N,8y2R⇤ ,yn =1 yn=✓ 1 y◆n 5.8n2N,8x2R,8y2R⇤ ,✓ x y◆n =xn yn Propriétédedérivée 1.Pourtoutn2Z,ona: ⇥sin>0,lafonctionx7!xnestdéfinieetdérivablesurR. 8x2R,(xn )0 =nxn1 ⇥sin<0,lafonctionx7!xnestdéfinieetdérivablesurR⇤. 8x2R⇤,(xn)0=nxn1 (mêmeformule,seulel’ensemblededérivabilitéestmodifié) 2.Siu:R!Restunefonction,ona: 8n2Z,(un )0 =nun1 ⇥u0 ,!sin2N,cetterèglededérivationestvalablesurtoutensembleoù lafonctionuestdérivable. ,!sinestunentierstrictementnégatif,cetterèglededérivationest valablesurtoutensembleoùlafonctionuestnonnulleetdérivable. 13

(14)

ECE1-B2015-201 ExerciceFairel’étudegraphiquedesfonctions:a.f:x7!ln(x 2)b.g:x7!2ln(x)

1.Lafonctionln(.)estdérivablesur]0,+1[.8x2R +⇤,(ln(x)) 0= 1x 2.Siu:R!Restunefonction,ona:(lnu) 0= u0

u

⇥lafonctionueststrictementpositive(pourqueln(u)soitdéfinie),

⇥lafonctionuestdérivable(pourqueu 0soitdéfinie),

⇥lafonctionunes’annulepas(pourque 1usoitdéfinie). ExerciceEnsemblededérivabilitéetcalculdesdérivéesdesfonctionssuivantes.a.f:x7!ln(x22)b.g:x7!ln( p(x2+2)5)

Propriétédelimite

1.limx!0+ ln(x)=12.limx!+1 ln(x)=+1 ExerciceMontrer(danscetordre!)lespropriétéssuivantes.1)8x2R +⇤,ln(x)6x

2)8x2R +⇤,ln(x)62 px 3)limx!+1 ln(x)x =0

4)limx!0+ xln(x)=0

19 ECE1-B2015-2016

ExerciceEnsemblededérivabilitéetcalculdesdérivéesdesfonctionssuivantes.a.f:x7!(5x 2+2x+7) 3b.g:x7! 13x2+5

Étudepourlespetitesvaleursden

•Sin=2:lafonctionx7!x 2estpaire,strictementdécroissantesurR,strictementcroissantesurR +.

•Sin=3:lafonctionx7!x3estimpaire,strictementcroissantesurR.

IV.3.Représentationgraphique

x y

npair

n>0x y

npair

n<0

x y

nimpair

n>0x y

nimpair

n<0

14

(15)

ECE1-B2015-2016 VI.1.b)Propriétés Propriétéfondamentale 8x2R+⇤ ,8y2R+⇤ ,ln(xy)=ln(x)+ln(y) Démonstration. Soity2R+⇤.Onconsidèrelafonction':x7!ln(yx)ln(x)ln(y). ElleestdéfiniesurR+⇤etdérivablesurcetensemble.Soitx2R+⇤. '0 (x)=y yx1 x=0 Cecidémontrequelafonction'estconstantesur]0,+1[. Enfin,ona:'(1)=ln(y)ln(1)ln(y)=ln(1)=0. Onendéduitque:8x2R+⇤,'(x)=0,cequidémontrelapropriété. Ilfautfaireattentionauxensemblesdedéfinitionsdespropriétés. •Parexemple,ona:ln((3)⇥(5))6=ln(3) |{z} nondéf.

+ln(5) |{z} nondéf. •Parcontre,(3)⇥(5)=3⇥5. Onadonc:ln((3)⇥(5))=ln(3)+ln(5) Propriétéimmédiates 1.8x2R+⇤ ,8n2N,ln(xn )=nln(x) 2.8x2R+⇤ ,ln✓ 1 x◆ =ln(x) 3.8x2R+⇤ ,8y2R+⇤ ,ln✓ x y◆ =ln(x)ln(y) 18

ECE1-B2015-201

V . Fo nc ti on ra ci ne ca rr ée

V.1.Définition Définition Lafonctionf:x7!x2 est: ⇥continuesur[0,+1[, ⇥strictementcroissantesur[0,+1[. D’aprèslethéorèmedelabijectiononadonc: 1)festunebijectiondel’ensemble[0,+1[surl’ensemble: f([0,+1[)=[f(0),lim x!+1f(x)[=[0,+1[. 2)fadmetunebijectionréciproque,continueetstrictementcroissante sur[0,+1[:c’estlafonctionracinecarrée. p .:R+!R+ x7!p x Deparcettedéfinition,onalespropriétéssuivantes. 1)8x2R+ ,8y2R+ ,(y=x2 ,x=p t) 2)8y2R+ ,(p y)2 =y 3)8x2R+ ,p (x2)=x V.2.Propriété Propriété 1.8x2R+ ,8y2R+ ,p xy=p x⇥p y 2.8x2R+ ,8y2R+⇤ ,r x y=p x p y

3. 8x2R,p x2=|x| 15

(16)

ECE1-B2015-201 Parenthèse:retoursurlafonctioninverseOnpeutaussiappliquerlethéorèmedelabijectionàlafonctionf:x7!1x.

⇥festcontinuesur]0,+1[,

⇥feststrictementdécroissantesur]0,+1[,D’aprèslethéorèmedelabijection,onadonc:1)festbijectiondel’ensemble]0,+1[surl’ensemble:f(]0,+1[)=]limx!+1 f(x),limx!0+ f(x)[=]0,+1[.

2)Sabijectionréciproquef1:]0,+1[!]0,+1[,continueetstricte-mentdécroissanten’estriend’autrequ’ellemême!Onaeneﬀet:

8x2R +⇤,1/(1/x)=x Ainsi,Cfadmetladroitey=xcommeaxedesymétrieetonauraitpulimiterl’étudedelafonctioninverseàl’intervalle]0,+1[.

V I. Fo nc tio ns lo ga rit hm e et ex p onen tiel le

VI.1.Fonctionlogarithme

VI.1.a)Définition

Définition

•Lafonctionlogarithmenépérien,notéeln(.)estlaprimitivesurR+⇤quis’annuleen1delafonctioninverse.

•Autrementdit,c’estlafonctiondéfiniepar:(ln(1)=08x2R+⇤,(ln(x))0= 1x

17 ECE1-B2015-2016

1.Lafonction p.estdérivablesur]0,+1[.8x2]0,+1[,( px) 0= 12 px 2.Siu:R!Restunefonction,ona:( pu) 0= u 0

2 pu

⇥lafonctionuestpositive(pourque pusoitdéfinie),

⇥lafonctionuestdérivable(pourqueu 0soitdéfinie),

⇥lafonctionunes’annulepas(pourque 1pusoitdéfinie). ExerciceEnsemblededérivabilitéetcalculdesdérivéesdesfonctionssuivantes.a.f:x7! px22b.g:x7! p(x2+2)5

V.3.Représentationgraphique

Onobtientlacourbedelafonction p.parsymétriedelacourbeélévationaucarréparrapportàladroitey=x.

x yy=xy=x 2

y= px

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