(y 1,i ; t 1,i ) i=1,...,N 1

IFT 2425

EXAMEN FINAL

Max Mignotte

DIRO,Départementd'InformatiqueetdeReherheOpérationnelle,loal2377

Http ://www.iro.umontreal.a/

∼

mignotte/ift2425/

E-mail:mignotteiro.umontreal.a

date :29/04/2009

I ... MoindresCarrés(43pts)

II ... DérivationNumérique (8pts)

III ... IntégrationNumérique(29pts)

IV ... Résolutiond'ÉquationDiérentielle (32pts)

Total ... 112points

Tous douments personnels, alulatries et alulateurs autorisés

Iln'estpasrarequ'enChimiePhysique,onaitàajusterplusieursrelationsdefaçononjointesurplusieurs

ensemblededonnées.

Pluspréisement,ilestintéressantquelquefoisd'ajustersimultanémentplusieursdroitesquel'onveutvoir

partagerlamêmeordonnéeàl'origine.Silesdonnéessontbruitées,ilyapeudehanedevoirlaontrainte

partager la même ordonnée à l'origine (poures deux droites) vériée spontanémentpar lesdonnées. Par

ontreetteontraintepeutêtrefailementimposerausensdesmoindresarrésommenousleverronsdans

etexerie.

Ondisposedondedeuxensemblesdedonnées,notésrespetivement

1.

(y 1,i ; t 1,i ) i=1,...,N ₁

2.

(y 2,i ; t 2,i ) i=1,...,N ₂

delongueur

N 1 = 5

^et

N 2 = 4

^{,et résumédanslesdeuxtableauxidessous}

t 1,i 1 2 3 4 5

y 1,i = y 1 (t 1,i ) 3.6 5.8 7.3 9.7 10.9 t 2,i 1.5 3.5 5.5 7.5 y 2,i = y 2 (t 2,i ) 3.3 6.7 6.9 7

On sait que es deux jeux de donnés doivent se distribuer selondeux droites ayantla même ordonnée à

l'origine.C'est àdirequel'ondoitajusterlesdeuxrelationssuivantes

y 1,i = a + b 1 t 1,i

^et

y 2,i = a + b 2 t 2,i

qui dépendentdon detrois paramètres,i.e.,le paramètre

a

^{qui est l'ordonnéeàl'origineommunede es}

deuxdroitesetlesparamètres

b 1

^et

b 2

respetivementlespentesdelapremièreetdeuxièmedroite.Unefaçon d'estimer,ausensdesmoindresarrés,estroisparamètresestdeonsidérerlerésiduouéartquadratique

suivant

R(a, b 1 , b 2 ) =

N ₁

X

i=1

y 1,i − a + b 1 t 1,i ² +

N ₂

X

i=1

y 2,i − a + b 2 t 2,i ²

(1)

quidevraêtreminimiséparetteméthodedesmoindresarrés.

1. (a) Donnerleséquationsnormalespermettantdetrouverlesoeients

a

^,

b 1

^,

b 2

^{quiminimisentl'Eq.}

(1)parlaméthodealgébrique(i.e.,laméthodeutilisantlesdérivés).

<12 pts>

(b) Résoudrelesystèmed'équationsdonnéparleséquationsnormalespréédentes.

Onpourrautiliserletableausuivantdanslequelertaines/toutesdeseségalitésvouspermettront

desauverdutempsdealul pourlarésolutiondeettequestion.

<8 pts>

N 1 + N 2 = 9 P N ₁ =5

i=1 t 1,i = 15 P N ₂ =4

i=1 t 2,i = 18 P N ₁ =5

i=1 t ² _1,i = 55 P N ₂ =4

i=1 t ² _2,i = 101 P 2 k=1

P N k

i=1 y k,i = 61.2 P N ₁ =5

i=1 t 1,i y 1,i = 130.4 P N ₂ =4

i=1 t 2,i y 2,i = 118.85

2. (a) On vamaintenanttenter derésoudre eproblème d'ajustementdeourbeausens desmoindres

arrées en identiant la solution de notre problème (i.e., le veteur solution

x = (a b 1 b 2 ) ^t

⁾

omme étant la solutiond'un système sur-dimensionné d'équations linéaires

A x = b

^{dont les}

oeients(de

b

^{)sontentahésdebruit.}

Danse but,trouverlamatrieA,assoiéeàunsystème surdéterminéd'équationstelque

A



  a b 1

b 2



 

| {z }

x

=



 

 

 

 

 



y 1 = y 1,1

y 2 = y 1,2

.

.

.

y 6 = y 2,1

y 7 = y 2,2

.

.

.

y N



 

 

 

 

 



| {z }

b

où

N = N 1 + N 2 = 9

^.

<5 pts>

(b) Exprimerleveteursolution

x = (a b 1 b 2 ) ^t

^{,enl'érivantsouslaforme}

x = B



 

  y 1

y 2

.

.

.

y N



 

 

danslaquelle

B

^{estunematriequel'onexprimeraenfontionde}

A

^.

<5 pts>

() Expliquer ommentonpeutretrouverleséquationsnormalesparette méthode.

<4 pts>

(d) Devrait on trouverla même solution (i.e., le même

x = (a b 1 b 2 ) ^t

^{?) que elui trouvée à la}

question1.bparetteméthode?Justier.

<2 pts>

3. (a) Quellepourraitêtrelastratégied'estimationdesparamètres

a

^,

b 1

^,

b 2

^permettantd'exploiterlefait quel'on sait queledeuxièmejeu de donnée

(y 2,i ; t 2,i ) i=1,...,N ₂

^{étaitdeux foismoins bruitéque}

le premier?(Dire qualitativementquellepourraitêtre une stratégiesansalulerlesoeients

a

^,

b 1

^,

b 2

^).

<3 pts>

(b) Quelle pourrait être une stratégie possible d'estimation des paramètres

a

^,

b 1

^,

b 2

^qui utiliserait les équations normales vues en ours (elles qui ajuste une droite sur un seul jeu de donné).

Rééhissezàunestratégiedetypeitérative,detypepointsxeoujaobi(expliquerelle-isans

lafaire).

<4 pts>

Réponse

1(a)

Trouver lesoeients

a

^,

b 1

^et

b 2

^{ausens des moindres arrés, 'est trouver es paramètres pour que}

R(a, b 1 , b 2 )

^{soit minimal, 'est à dire tel que}

^∂R(a,b _∂a ^{1 ,b 2 )} = 0

^,

^∂R(a,b _∂b ^{1 ,b 2 )}

1 = 0

^et

^∂R(a,b _∂b ^{1 ,b 2 )}

2 = 0

^{. L'équation}

normaleobtenueparladérivationparrapportauparamètre

a

^donne

∂R(a, b 1 , b 2 )

∂a = −2

N ₁

X

i=1

y 1,i − (a + b 1 t 1,i )

− 2

N ₂

X

i=1

y 2,i − (a + b 2 t 2,i )

= 0

− a(N 1 + N 2 ) + X 2 k=1

N k

X

i=1

y k,i − b 1 N ₁

X

i=1

t 1,i − b 2 N ₂

X

i=1

t 1,i = 0

L'équationnormaleobtenueparladérivation parrapportauparamètre

b 1

^donne

∂R(a, b 1 , b 2 )

∂b 1

= 2

N ₁

X

i=1

t 1,i

y 1,i − (a + b 1 t 1,i )

= 0

N ₁

X

i=1

t 1,i y 1,i − a

N ₁

X

i=1

t 1,i − b 1 N ₁

X

i=1

t ² _1,i = 0

L'équationnormaleobtenueparladérivation parrapportauparamètre

b 2

^donne

N 2

X

i=1

t 2,i y 2,i − a

N 2

X

i=1

t 2,i − b 2 N 2

X

i=1

t ² _2,i = 0

Noustrouvonsdonlesystème d'équationsnormalessuivantes



 

 

a(N 1 + N 2 ) + b 1 P N ₁

i=1 t 1,i + b 2 P N ₂

i=1 t 1,i = P 2 k=1

P N k

i=1 y k,i

a P N ₁

i=1 t 1,i + b 1 P N ₁

i=1 t ² _1,i = P N ₁

i=1 t 1,i y 1,i

a P N 2

i=1 t 2,i + b 2 P N 2

i=1 t ² _2,i = P N 2

i=1 t 2,i y 2,i

<12pts>

1(b)

Enutilisantlesinformationsdonnéesàl'énoné,onendéduit







a(+9) + b 1 (15) + b 2 (18) = 61.2 a(15) + b 1 (55) = 130.4 a(18) + b 2 (101) = 118.85

puispardeuxopérationsélémentaires(

R 2 = R 2 − ¹⁵ ₉ R 1

^et

R 3 = R 3 − ¹⁸ ₉ R 1

^),onobtient







a(+9) + b 1 (+15) + b 2 (+18) = 61.2 a(0) + b 1 (+30) + b 2 ( − 30) = 28.4 a(0) + b 1 (−30) + b 2 (+65) = −3.55

puisparl'opérationélémentaires(

R 3 = R 3 + R 2

^),onobtient







a(+9) + b 1 (+15) + b 2 (+18) = 61.2 a(0) + b 1 (+30) + b 2 ( − 30) = 28.4 a(0) + b 1 (0) + b 2 (+35) = 24.85

etparsubstitution arrière,

b 2 = 0.71

^,

b 1 = 1.6567

^et

a = 2.6189

^.

<8pts>

0 2 4 6 8 10 12 14

0 2 4 6 8 10 12 14

y(x)

x Moindres Carres

y(x)=2.6189+1.6567*x y(x)=2.6189+0.71*x

2(a)

Onafailement



 

 

 

 

 

 



1 t 1,1 0 1 t 1,2 0 1 t 1,3 0 1 t 1,4 0 1 t 1,5 0 1 0 t 2,1

1 0 t 2,2

1 0 t 2,3

1 0 t 2,4



 

 

 

 

 

 



| {z }

A



  a b 1

b 2



 

| {z }

x

=



 

 

 

 

 



y 1 = y 1,1

y 2 = y 1,2

.

.

.

y 6 = y 2,1

y 7 = y 2,2

.

.

.

y N = y 2,4



 

 

 

 

 



| {z }

b

<5pts>

2(b)

Onrésoute systèmesur-dimensionnéparlaméthodedelapseudo-inversevueenourset onobtient



  a b 1

b 2



  = (A ^t A) ^{− 1} A ^t

| {z }

B



 

  y 1

y 2

.

.

.

y N



 

 

< 5 pts >

2()

Paretteméthode, à partirde

Ax = b

^{, leséquations normalesseretrouventen} multipliant par

A ^t

^de

partet d'autredeetteéquation

A ^t A



  a b 1

b 2



  = A ^t



 

 

 

 

 



y 1 = y 1,1

y 2 = y 1,2

.

.

.

y 6 = y 2,1

y 7 = y 2,2

.

.

.

y N = y 2,4



 

 

 

 

 



<4pts>

2(d)

Ouipuisqu'onminimisedanslesdeuxaslemêmerésidud'erreur.

Unestratégieseraitdeminimiser

R(a, b 1 , b 2 ) =

N ₁

X

i=1

y 1,i − a + b 1 t 1,i ² + 2 ×

N ₂

X

i=1

y 2,i − a + b 2 t 2,i ²

(2)

<3pts>

Nota:Cettestratégiereviendraitenfaitàdupliquerledeuxièmejeudedonnée(onluidonneainsideux

foisplusd'importane).

3(b)

Pourajusterunedroite

y = at + b

^{surunseuljeude(}

N

^{)donnés,ondoitrésoudrelesystème}

( a P N

i=1 t ² _i + b P N

i=1 t i = P N i=1 t i y i

a P N

i=1 t i + bN = P N

i=1 y i

(3)

Onpourraitimaginerlastratégieitérativesuivantepourrésoudrenotreproblème.Ononsidèrequ'iln'y

aqu'unseuljeudedonnédansnotreas(i.e.,unseuletmême

b

^{).Onutiliselesystèmepréédentpouravoir}

unepremièreestimationde

a

^et

b 1 = b 2 = b

^.Onutilise l'estimationde

a

^{obtenuetlepremierjeu dedonné}

et lesystème(3) pourobtenirune estimationpluspréise de

b 1

^et l'estimation de

a

^{obtenuet ledeuxième}

jeu de donné et le système (3) pour obtenir une estimation plus préise de

b 2

^{. Puis on alterne, on utilise}

l'estimationde

b 1

^{etlepremierjeudedonnépourobteniruneestimationpluspréisede}

a

^{(quel'onpourrait}

moyennerave l'estimation de

b 2

^{et le deuxièmejeu de donné et lesystème (3)), et ainside suite,jusqu'à}

onvergene.

<4 pts>

II. DérivationNumérique(8 pts)

EnutilisantlesdéveloppementsdeTaylorappropriés,donnerl'ordredepréisiondeetteapproximation

dedérivée

f ^′′′ (x 0 ) ≈ f (x 0 + 3h) − 3f (x 0 + 2h) + 3f (x 0 + h) − f (x 0 ) h ³

Réponse

Onalesdéveloppementslimités suivants

f (x 0 + 3h) = f (x 0 ) + 3h

1! f ^′ (x 0 ) + 9h ²

2! f ^′′ (x 0 ) + 27h ³

3! f ^′′′ (x 0 ) + O(h ⁴ ) f (x 0 + 2h) = f (x 0 ) + 2h

1! f ^′ (x 0 ) + 4h ²

2! f ^′′ (x 0 ) + 8h ³

3! f ^′′′ (x 0 ) + O(h ⁴ ) f (x 0 + h) = f (x 0 ) + h

1! f ^′ (x 0 ) + h ²

2! f ^′′ (x 0 ) + h ³

3! f ^′′′ (x 0 ) + O(h ⁴ )

Don,

f (x 0 + 3h) − 3f (x 0 + 2h) + 3f (x 0 + h) − f (x 0 ) = h ³ f ^′′′ (x 0 ) + O(h ⁴ )

^,etdon

f ^′′′ (x 0 ) ≈ f (x 0 + 3h) − 3f (x 0 + 2h) + 3f (x 0 + h) − f (x 0 )

h ³ + O(h)

<8 pts>

Soitl'intégralesuivante

I = Z 2

1

f (x) dx = Z 2

1

x (ln x) ^3.75 dx

⁽⁴⁾

1. Méthode de Simpson1/3

(a) DonneruneapproximationdualuldeetteintégraleenappliquantlaméthodedeSimpson

1/3

(quadraturesomposites)etenutilisant

4

intervalles.

<5 pts>

(b) Quelestlefateurdegainenpréisionobtenuparette méthodeomparativementàlaméthode

des Trapèzes omposites, on donnera une estimation ne nééssitant pas le alul de

f ^′

^{(i.e., si}

P t

^{est la préision obtenue par une estimation à l'aide de la méthode des trapèzes omposites}

utilisant

4

intervalles et

P s

^{lapréisionobtenueparla méthode dela questionpréédente,quel}

est lefateur

P s /P t

^)?)

<3 pts>

2. Méthode des QuadraturesGaussiennes

Utiliserlaméthodedelaquadrature Gaussienneave

2

^{termespouralulerunevaleurapprohéede}

I

^.

<5 pts>

3. Méthode hybride analytiqueitérative/numérique

Soit

I(n)

^,l'intégrale

I(n) = Z 2

1

x (ln x) ⁿ dx

Aveetteformulation,l'intégraledontonherhel'approximationest

I(3.75) = R 2

1 x (ln x) ^3.75 dx

^.

Onseproposederésoudreetteintégraleparuneméthodeanalytiqueitérative.

Caluler

I(0)

^{et montrerqu'ilexiste,ens'aidantde}l'intégrationparpartie,une relationderéurene entre

I(n)

^et

I(n − 1)

^dutype:

I(n) = 2(ln 2) ⁿ − n

2 I(n − 1)

Trouverlepolynmedeolloation d'ordre2qui permet d'interpoler lavaleurde

I(3.75)

^àpartirde

I(2)

^,

I(3)

^et

I(4)

^{, valeursdéduitesdelarelationderéurene.Endéduirenalement}

I(3.75)

^.

<16 pts>

Réponse

1(a)

Onobtient,parlaméthodedeSimpson(1/3),puisque

h = ^{(2 −} ₄ ¹⁾ = ¹ ₄ I

Simpson(1/3)

,4 = (1/12)

f (1) + 4f (1.25) + 2f (1.5) + 4f (1.75) + f (2) , I

Simpson(1/3)

,4 ≈ (1/12)

0 + 4(0.0045) + 2(0.0508) + 4(0.1984) + (0.5059 , I

Simpson(1/3)

,4 ≈ 0.1182 642

<5 pts>

•

Approximativement : Préision en

h ² = ₄ ¹ 2

^{pour la méthode des trapèze omposites et préision}

en

h ⁴ = ₄ ¹ 4

^{pourla méthode de Simpson(1/3) omposites, soit unfateur de gainen préisionde}

h ^{− 2} = (0.25) ^{− 2} = 16

^{(pourlemêmeoût}alulatoire).

•

^{Pluspréisément:Si onveutêtreunpeupluspréisenprenantlaonstantedevantle}

h

^,onarrive

àunfateurdegainenpréisionde

180

12 × (0.25) ^{− 2} = 240

^{(pourlemêmeoût}alulatoire).

<3 pts>

Nota: Dans touslesas, puisquele oût alulatoireest le même, ona dontout intérêt àprendrela

méthodedeSimpson

2

Enfaisantlehangementdevariable

x = ¹ ₂ ( − t + 3)

^ou

t = − 2x + 3

^{,<1 pt>,nousobtenons}

I =

Z 2 1

x (ln x) ^3.75 dx

= 1 4

Z 2 1

( − t + 3)

ln( − t 2 + 3

2 ) 3.75

dt < 1.5 pts >

= 1

4 × ( − √

3/3) + 3)

ln( − √ 3/6 + 3

2 ) 3.75

+ ( √

3/3) + 3)

ln( √ 3/6 + 3

2 ) 3.75 !

< 1.5 pts >

≈ 1

4 × (0.0049459344 + 0.4683315828)

≈ 0.1183 1937 < 1 pt >

3

I(0) = Z 2

1

x dx = h x ² 2

i 2

1 = 1.5 < 2 pts >

Parintégration parpartie,ontrouve

I(n) = Z 2

1

x [ln x] ⁿ dx = h x ² 2

ln x n i 2 1 − n

2 I(n − 1) I(n) = 2(ln 2) ⁿ − n

2 I(n − 1) < 4 pts >

Ontrouveensuite

I(0) = 1.5

I(1) = 2 (ln 2) − 1

2 × 1.5 = 0.6362943611 I(2) = 2 (ln 2) ² − I(1) = 0.3246116667 I(3) = 2 [ln 2] ³ − 1.5 × (I(2)) = 0.1791318039 I(4) = 2 [ln 2] ⁴ − 2 × (I(3)) = 0.1034065894

< 4 pts >

Onadon

n 2 3 4

I(n) 0.3246 0.1791 0.1034

P 2 = I 2 (n) = (x − 3)(x − 4)

(2 − 3)(2 − 4) × 0.3246 + (x − 2)(x − 4)

(3 − 2)(3 − 4) × 0.1791 + (x − 2)(x − 3)

(4 − 2)(4 − 3) × 0.1034

= (x − 3)(x − 4) × 0.1623 − (x − 2)(x − 4) × 0.1791 + (x − 2)(x − 3) × 0.0517

I 2 (3.75) = 0.115 78125... < 2 pts >

Nota : En utilisant sur mon ordinateur la méthode des Trapèzes ave 10 milles points (en oats) sur

l'intervalle

[1 2]

^{,onarriveauneestimation de}

0.118251

^.

IV. Résolution d'Équation Diérentielle(32 pts)

1. Soitl'équationdiérentiellesuivante

y ^′ (t) = f (t, y(t)) = p y(t)

1 + t ²

⁽⁵⁾

avelaonditioninitiale

y 0 = y(t = 0) = 1

^.

(a) Résoudre etteéquation diérentielle ave la méthoded'Euler et ave un pas

h = 0.2

^{. Caluler}

seulement

y 1 = y(0.2)

^et

y 2 = y(0.4)

^{(donnerlesrésultatsen}arrondissantetengardantaumoins quatredéimales).

<5 pts>

(b) Résoudre etteéquation diérentielle ave la méthoded'Euler modiée et toujoursave unpas

h = 0.2

^{. Caluler seulement}

y(0.2)

^et

y(0.4)

^{, (donner aussi les résultats en} arrondissant et en gardantaumoins troisdéimales).

<5 pts>

() Quelseraitlenomd'uneméthodeitérativederésolutiond'équationdiérentiellesquiseraitaussi

préise quelaméthode direte(i.e., elledonnéeparle systèmed'équationsquel'on devrait ré-

soudrepourobtenir

y(0.2)

^et

y(0.4)

^{parlaméthodedesdiérenesniesenutilisantunediérene}

nie entréepourapproximer

y ^′ (t)

^.

<3 pts>

2. Vérierque

y(t) = (k + 0.5

^atan

(t)) ²

^{estsolutiondel'équation}diérentielle.Trouver

k

^telque

y(t)

^soit

solutionuniquedel'Eq. (5).

<5 pts>

3. Supposons que vousayez un algorithme permettant de résoudre numériquement une équation dié-

rentielle.Vousnesavezpasle nomde etalgorithmeni sa préision(i.e.,l'ordre

n

^{deette méthode}

numérique). Vous désirez estimerl'ordrede préisionde et algorithme(i.e., estimer

n

^{).Dénir une}

stratégiepermettantexpérimentalementetfailementd'estimer

n

^{.Justiervotreréponse.Est-eque}

la onnaissanede et ordre

n

^{vous permettra de trouver le nom de la méthode numérique de et}

algorithme?

<5 pts>

4. Misàpartleoût alulatoireet lefaitque l'ondoitamorerlaméthoded'AdamsMoulton parune

proéduredeRungeKuttadumêmeordre,direquellessontlesavantageset inonvénientsmajeursde

laméthodedeRungeKuttaetd'AdamsMoulton dumêmeordre.

<4 pts>

5. Qu'est e qui rend les méthodes de Runge-Kutta d'ordre

5

^ou

6

^si intéressantes (et don les plus utiliséesindustriellementetsientiquementparlant)parrapportauméthode(deRungeKutta)d'ordre

inférieurmaisaussid'ordresupérieur?Justiervotreréponse.

<5 pts>

1(a)

Parleméthoded'Euler,larelationitérativeàonsidérerest don,ave

h = 0.2

^et

y 0 = 1 y n+1 = y n + h √ y n

1 + t ² _n

< 1 pt >

Lesvaleursde

t n

^et

y n

^{sontdonnéesdansletableaui-dessous}

n t n y n

0

^0.0

1.0

1

^0.2

1.2

2

^0.4

1.4106 6252

<4 pts>

1(b)

Parlaméthoded'Eulermodiée,onalesrelationsitérativessuivantes

˜

y n+1 = y n + h √ y n

1 + t ² _n

| {z }

f(t n ,y ⁿ )

y n+1 = y n + h

2 f (t n , y n ) + f (t n+1 , y ˜ n+1 )

Lesvaleursde

t n

^,

y n

^et

y ˜ n

^{sontreportéesdansletableauidessous}

n t n y ˜ n y n

0 0.0

^-

1.0

1 0.2 1.2 1.20533 2 0.4 1.4165 1.4135

<5pts>

1()

Puisque l'approximation en diérene nie entrée est en

O(h ² )

^{, la méthode itérative qui a e même}

termed'erreurglobal(deetteméthodedediérenenie)est laméthoded'Eulermodiée.

<3 pts>

2.

Lavériationestimmédiatearsi

y(t) = (k + 0.5

^atan

(t)) ²

^,ona

y ^′ (t) = _1+t ¹ 2 (k + 0.5

^atan

(t))

^.Deplus

ontrouveimmédiatement

k = 1

^.

<5 pts>

Nota:Onadonanalytiquement

y 1 = 1.207136812

^,

y 2 = 1.416702653

3.

• 1 •

^{Une premièrestratégiepossibleserait dedemanderde résoudre}numériquementune équationdié- rentiellequel'onsaitrésoudreanalytiquement.Laonnaissanedelabornesupérieuredel'erreurdehaque

méthodenouspermettraitainsidedeviner sonordredepréision.

Mais si on veut vraiment être plus préis dans la résolution de e problème, il faut se rappeler que

lorsqu'onauneméthodeitérativederésolutiond'équationsdiérentiellesen

O(h ⁿ )

^{,letermed'erreurest}

2 ⁿ

foispluspetit lorsqu'ondiviselepas

h

^pardeux.

• 2 •

^{De e fait, une façonplus préise d'estimer et ordre de préisionserait de prendre une équation}

diérentiellequel'onsaitrésoudreanalytiquementetlarésoudrenumériquementpourunpas

h

^etpuispour

unpas

2h

^{.Lerapportdel'erreurentrele}

2

^ièmeet

1

^{ièmeessaiseradon}

2 ⁿ

^{foisplusgrandave}

n

^unebonne

estimationdel'ordredelaméthodeonsidérée.

• 3 •

^{Onpeutinventer unetroisièmestratégiesi onneonnaitpaslarésolutionanalytique del'équation}

diérentielle. Une stratégie possible pourrait être la suivante. Faire fontionner la méthode itérative de

résolutiondupointinitialaupointnal avelepluspetit pas

h

^possible(

1er

^{essai).Dee fait,ons'assure}

qu'aupointnal,iln'yapresqueauuneerreure.Onreommeneaveunpas

h

^{,1000foisplusgrand(}

2

^ième

essai). Onalul ainsil'erreuraupointnal. Ensuiteon voit ommentette erreurévoluepourunpas

h

^,

2000foisplusgrand(

3

^{ièmeessai).Lerapportdel'erreurentrele}

3

^ièmeet

2

^{ièmeessaiseradon}

2 ⁿ

^foisplus

grandave

n

^{unebonneestimationdel'ordredelaméthodeonsidérée.}

<2.5 pts>

Cestroisméthodenousdonneraientrespetivementuneestimationassezbonne,exellenteetassezbonne

del'ordredelaméthode,maispassonnomarbeauoupdeméthodesontlemêmeordredepréision.

<2.5 pts>

4.

AveAdamsMoulton,ononnaittrèspréisement,pourhaqueitération,unebornesupérieuredel'erreur

quel'on fait, maisonne peut enours deroute, modier lepas del'algorithme itératif pourtenir ompte

d'une tropgrande (éventuelle) erreur.Pour Runge Kutta, on aauun moyen préis de aluler, àhaque

itération,l'erreurquel'onfait(onaenfaitqu'uneapproximationsionprend RKfelberg),maispasontre

onpeuten oursderoute,modierlepasdel'algorithme(i.e.,diminuerlepas

h

^{)pourtenirompted'une}

(éventuelle)tropgrandeerreur.

<4 pts>

5.

Cesontellesquipourunemêmepréision,ontleout alulatoireleplusfaibleetaussiellespourun

mêmeoûtalulatoire,ontlapréisionlaplusgrande(i.e.,letermed'erreurlespluspetites).Enrésumé,elles

ontdonleompromispréision/oûtalulatoirelesplusintéressantes,equilesrendlespluspopulaires.

<5 pts>