PREMIERE PARTIE 1.a. j=e2iπ/3⇒j= cos
µ2π 3
¶ +isin
µ2π 3
¶
⇒j=−1 2 +i
√3 2 remarque : j2=
Ã−1 2 +i
√3 2
!2
⇒j2=1 4−i
√3 2 −3
4 ⇒j2=−1 2 −i
√3
2 donc−j2=eiπ/3 question d.
1.b. j3=¡ e2iπ/3¢3
⇒j3=e2iπ⇒j3= 1 1.c. 1 +j+j2= 1−1
2+i
√3 2 −1
2−i
√3
2 ⇒1 +j+j2= 0 1.d. On retrouve−j2= 1 +j⇒ −j2= 1
2+i
√3
2 ⇒ −j2=eiπ/3 2.a.
M N P équilatéral direct⇔
⎧⎨
⎩
³−−→N M ,−−→N P´
=π
° 3
°°−−→N M°°°=°°°−−→N P°°°
⇔
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩ Arg
µm−n p−n
¶
= π 3
|m−n|
|p−n| = 1
⇔
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩ Arg
µm−n p−n
¶
= π
¯ 3
¯¯
¯m−n p−n
¯¯
¯¯= 1
(Remarque: le seul complexe de module1et d’argumentαesteiα)
⇔ m−n
p−n =eiπ/3
⇔ m−n p−n =−j2
⇔ m−n=−j2(p−n) et l’équivalence a été traitée d’un seul coup.
2.b. Or1 +j+j2= 0⇒ −j2= 1 +j
Ainsi,M N P équilatéral direct⇔m−n=−j2(p−n)
⇔m−n= (1 +j) (p−n)
⇔m+nj+j2p= 0 DoncM N P équilatéral direct⇔m+nj+j2p= 0 SECONDE PARTIE
D’après l’énoncé, il est facile d’établir queOAB, DOC etEF Osont équilatéraux directs.
Ainsi, avec des notations évidentes :
OAB équilatéral direct⇔o+aj+bj2= 0 DOC équilatéral direct⇔d+oj+cj2= 0 EF Oéquilatéral direct⇔e+f j+oj2= 0
En faisant la somme membre à membre de ces trois équations, il vient : o¡
1 +j+j2¢
+d+e+j(a+f) +j2(b+c) = 0 avec1 +j+j2= 0 En divisant par 2 : d+e
2 +j µa+f
2
¶ +j2
µb+c 2
¶
= 0 Or d+e
2 est l’affixe du milieuP de[DE]donc d+e
2 =p,et de même, a+f
2 =net b+c 2 =m D’oùp+jn+j2m= 0⇒P N M équilatéral direct.
On a utilisé cette condition nécessaire et suffisante d’abord dans un sens puis dans l’autre.
Remarque : On n’utilise absolument pas le fait que les points sont sur un même cercle. Cette hypothèse est tout à fait inutile. Trois triangles équilatéraux (partageant un même sommetO) suffisent ( OAB, OCD, OEF)sans qu’il soit nécessaire qu’ils aient des côtés de même longueur.
