1 +j+j2= 1−1 2+i √3 2 −1 2−i √3 2 ⇒1 +j+j2= 0 1.d

PREMIERE PARTIE 1.a. j=e^2iπ/3⇒j= cos

µ2π 3

¶ +isin

µ2π 3

¶

⇒j=−1 2 +i

√3 2 remarque : j²=

Ã−1 2 +i

√3 2

!2

⇒j²=1 4−i

√3 2 −3

4 ⇒j²=−1 2 −i

√3

2 donc−j²=e^iπ/3 question d.

1.b. j³=¡ e^2iπ/3¢3

⇒j³=e^2iπ⇒j³= 1 1.c. 1 +j+j²= 1−1

2+i

√3 2 −1

2−i

√3

2 ⇒1 +j+j²= 0 1.d. On retrouve−j²= 1 +j⇒ −j²= 1

2+i

√3

2 ⇒ −j²=e^iπ/3 2.a.

M N P équilatéral direct⇔

⎧⎨

⎩

³−−→N M ,−−→N P´

=π

° 3

°°−−→N M°°°=°°°−−→N P°°°

⇔

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩ Arg

µm−n p−n

¶

= π 3

|m−n|

|p−n| = 1

⇔

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩ Arg

µm−n p−n

¶

= π

¯ 3

¯¯

¯m−n p−n

¯¯

¯¯= 1

(Remarque: le seul complexe de module1et d’argumentαeste^iα)

⇔ m−n

p−n =e^iπ/3

⇔ m−n p−n =−j²

⇔ m−n=−j²(p−n) et l’équivalence a été traitée d’un seul coup.

2.b. Or1 +j+j²= 0⇒ −j²= 1 +j

Ainsi,M N P équilatéral direct⇔m−n=−j²(p−n)

⇔m−n= (1 +j) (p−n)

⇔m+nj+j²p= 0 DoncM N P équilatéral direct⇔m+nj+j²p= 0 SECONDE PARTIE

D’après l’énoncé, il est facile d’établir queOAB, DOC etEF Osont équilatéraux directs.

Ainsi, avec des notations évidentes :

OAB équilatéral direct⇔o+aj+bj²= 0 DOC équilatéral direct⇔d+oj+cj²= 0 EF Oéquilatéral direct⇔e+f j+oj²= 0

En faisant la somme membre à membre de ces trois équations, il vient : o¡

1 +j+j²¢

+d+e+j(a+f) +j²(b+c) = 0 avec1 +j+j²= 0 En divisant par 2 : d+e

2 +j µa+f

2

¶ +j²

µb+c 2

¶

= 0 Or d+e

2 est l’affixe du milieuP de[DE]donc d+e

2 =p,et de même, a+f

2 =net b+c 2 =m D’oùp+jn+j²m= 0⇒P N M équilatéral direct.

On a utilisé cette condition nécessaire et suffisante d’abord dans un sens puis dans l’autre.

Remarque : On n’utilise absolument pas le fait que les points sont sur un même cercle. Cette hypothèse est tout à fait inutile. Trois triangles équilatéraux (partageant un même sommetO) suffisent ( OAB, OCD, OEF)sans qu’il soit nécessaire qu’ils aient des côtés de même longueur.