ECE1-B2015-201
C H X X :V ar ia bl es al éa to ire s ré el le s di sc rè te s I. V ar ia bl es al éa to ir es di sc rèt es I.1.Généralitéssurlesvariablesaléatoiresdiscrètes I.1.a)Rappeldeladéfinition Définition Soit(⌦,A)unespaceprobabilisable. SoitXunevariablealéatoireréellediscrètesur(⌦,A). •Lav.a.r.XestditediscrètesisonsupportX(⌦)estauplusdénom- brable. •OnditqueXestfiniesiX(⌦)infini. OnditqueXestinfiniesiX(⌦)estunensembleinfini. Remarque •LecaractèreauplusdénombrabledeX(⌦)estàl’originedesspéci- ficitésdesv.a.r.discrètes.Lapremièreconséquenceestquel’onpeut numéroterlesélémentsdeX(⌦)i.e.l’écrire: X(⌦)={xi|i2I} oùIestunensemble: ⇥fini(i.e.queIpeutêtremisenbijectionavecJ1,nKpourunn2N⇤), ⇥ouinfinidénombrable(i.e.queIpeutêtremisenbijectionavecN).
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•RappelonsqueZestunensemble(infini)dénombrablepuisquel’appli-cation'suivanteestunebijection:
':Z!N
z7! ⇢2zsiznégatif2z1sizpositif
(«ilyaautantd’entiersrelatifsqued’entiersnaturels»)
•Demême,N⇥NetQsontdesensembles(infinis)dénombrablesdoncpeuvent(enthéorie)serviràindexerlesupportd’unev.a.r.discrèteX.
•Enpratique,lesv.a.r.quenousétudionsontunsupportX(⌦)indexéparunepartie(finieounon)deN(voiredeZ).
X(⌦)={xi|i2I}oùI⇢N
Ilfautfaireattentionànepasconfondrelesdeuxnotionssui-vantes.
•LesuportX(⌦)estindexéparN.Autrementdit:X(⌦)={x0,x1,x2,x3,...}.
•LesuportX(⌦)estàvaleursdansN.Parexemple,X(⌦)={3,5,7,10,11...}
Onpeutd’ailleurspréciserque:
XestàvaleursdansN)Xestunev.a.r.discrète
XestàvaleursdansN6(Xestunev.a.r.discrète
Parexemple,siX(⌦)={1, p2,e 6,23},alors:
⇥Xestunev.a.r.discrète(puisqueX(⌦)estunensemblefini),
⇥X(⌦)n’estpasàvaleursdansN.
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ECE1-B2015-2016 Exemple •Danslecasd’uneloidePoisson,nousn’avonspasd’exempletypeà basedelancersdepiècesdemonnaieoudetiragedeboulesdansune urne. •LaloidePoissonestgénéralementutiliséecommeloidev.a.r.consistant àcalculerlenombred’événementsd’uncertaintypeseproduisantsur unlapsdetempsdonné. Cettemodélisationestvalidesi: 1)lesévénementsseproduisantsontindépendants, 2)laprobabilitéd’apparitionduphénomènedansunlapsdetemps donnéTnedépendquedecetteduréeT. Parexemple: a)Onconsidèreuneautoroutepourlaquelleilyaenmoyenne1.8 accidentsparsemaine.OnnoteXlav.a.r.donnantlenombred’ac- cidentsparsemainesurcetteautoroute. OnaalorsX,!P(1.8). (notezquen’estpasforcémententier) b)Onconsidèreunlivrecontenantdesfautesd’impression.Onsaitde plusqu’ilyaenmoyenne0.8fauted’impressionparpage. OnnoteXlenombredefautesd’impressionsurunepagedece livre. OnaalorsX,!P(0.8). c)Onconsidèreunserveurtéléphoniquequireçoitenmoyennetrois appelstouteslesminutes. OnnoteXlenombred’appelsreçusparleserveurenuneminute. OnaalorsX,!P(3). 46 ECE1-B2015-201 I.1.b)Systèmecompletd’événementsassociéàunev.a.r.dis- crète Théorème1. Soit(⌦,A)unespaceprobabilisable. SoitXunevariablealéatoireréellediscrètesur(⌦,A). NotonsX(⌦)={xi|i2I}oùI✓N. Lafamille([X=xi])i2Iestunsystèmecompletd’événements, appelésystèmecompletd’événementsassociéàX. Démonstration. Ilyadeuxpropriétésàdémontrer. 1)([X=xi])i2Iestunefamilled’événementsdeuxàdeuxincompatibles: Soit(i,j)2I2telquei6=jetsoit!2[X=xi]\[X=xj]. Celasignifieque: ⇥!2[X=xi]doncX(!)=xi, ⇥!2[X=xi]doncX(!)=xj. Pardéfinition,xi6=xj. Onenconclutqu’iln’existepasd’élément!2[X=xi]\[X=xj]. Ainsi[X=xi]\[X=xj]=?. 2)⌦=S i2I[X=xi]: ()S i2I[X=xi]⇢⌦puisqueS i2I[X=xi]estunévénement(entant qu’uniondénombrabled’événements). (⇢)Soit!2⌦. AlorsX(!)2X(⌦)={xi|i2I}. Ainsi,ilexistei2ItelqueX(!)=xii.e.!2[X=xi].
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Théorème18.SoitXunev.a.r.discrèteinfinietellequeX,!P()(>0).Alors:
1)Lav.a.r.admetuneespéranceetunevariance.
2)E(X)=etV(X)=
Démonstration.Ondonneseulementleschémadeladémonstration.L’existencedel’es-péranceestassuréeparlefaitquecesquantitéss’écriventàl’aidedelasérieexponentielle.
•Déterminonstoutd’abordE(X).
E(X)= P
x2X(⌦) xP([X=x])= +1Pk=1 ke kk! =e +1Pk=1 k
(k1)!
=e +1P
k=0 kk! =ee=
•OndétermineV(X)àl’aidedelaformuledeKœnig-Huygens,àsavoirV(X)=E(X 2)(E(X)) 2.Calculonstoutd’abordE(X2).
E(X2)= P
x2X(⌦) x2P([X=x])= +1P
k=1 k2e kk! =e +1P
k=1 k2 kk!
Afindeterminercecalcul,onécritk2souslaforme:
k 2=k(k1)+k
etonfaitalorsapparaîtredeuxfoislasommedelasérieexponentielle...
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I.1.c)Loid’unev.a.r.discrète
DéfinitionSoit(⌦,A,P)unespaceprobabilisé.SoitXunevariablealéatoireréellediscrètesur(⌦,A).
•OnappelleloideprobabilitédeXetonnotePXl’application:
PX:X(⌦)!Rx7!PX(x)=P([X=x])
•Autrementdit,laloideXestladonnéedel’ensembledesvaleursP([X=x])pourxdécrivantX(⌦).
RemarqueDanslecasd’unev.a.r.discrètefinie,onpourrareprésenterlaloideXsouslaformed’untableau.
ExempleOnconsidèrel’expériencealéatoireconsistantàobserverlerésultatd’1lancersimulatnéde4piècesdemonnaie.
•⌦={P,F}4.
•Onmunit⌦delaprobabilitéuniformenotéeP.((⌦,P(⌦),P)estunespaceprobabilisable)Card(⌦)=24=16.
•OnnoteXlav.a.r.quicomptelenombredePobtenulorsdulancer.X(⌦)={0,1,2,3,4}.
x2X(⌦)01234
P([X=x]) 116 416 616 416 116
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ECE1-B2015-2016 Intéressons-nousauxtermesdeceproduit. •
n! (nk)! nk=n(n1)...(n(k1)) nk! n!+11 Eneffet,cetermeestunquotientdepolynômesenn.Salimiteen+1 estdonclalimitedurapportdesmonômesdeplushautdegré.Ilsuffit alorsderemarquerqueletermedeplushautdegrédunumérateurest nk . •Notonsun=✓ 1 n◆n .Alors:lnun=nln✓ 1 n◆ . Onpeutalorsécrire: lnun=n⇥✓ n◆ ⇥ln1n n=ln1n n Oronsaitque:ln1n n! n!+11. C’esteneffetuneinstancedelapropriété:lim x!0ln(1+x) x=1. (c’estlalimited’untauxd’accroissement...) D’où:lnun!etun! n!+1e. •Enfin,comme1 n! n!+11,ona✓ 1 n◆k =1 1nk! n!+11 1=1 Onendéduitque: P([Xn=k])! n!+1ek k!=P([X=k]) oùXestunev.a.r.tellequeX,!P(). LaloidePoissonapparaîtcommelalimitedeloisbinomialesB✓ n, n◆ . Ainsi,singrand(etdoncnprochede0)laloiP()estunebonne approximationdelaloiB✓ n, n◆ . 44 ECE1-B2015-2016 Remarque(POLY) •DanslecasoùXestunev.a.r.discrète,nousavonsvuquelaloideX estdéterminéeparlasuite(P([X=x]))x2X(⌦). •Inversement,sil’onsedonneunesuite(pn)n2Ndansquelcaspeut-on direquecettesuiteestlaloid’unev.a.r.discrète? Évidemment,ilfautque:8n2N,pn>0et+1P n=0pn=1. Cetteconditionestmêmesuffisante. Plusprécisément,pourtoutesuite(xn)n2Nderéels,ilexisteunespace probabilisé(⌦,A,P)etunev.a.r.discrèteXtellequeX(⌦)✓{xn|n2 N}et:8n2N,P([X=xn])=pn. I.1.d)Fonctionderépartitiond’unev.a.r.discrète Théorème2. Soit(⌦,A,P)unespaceprobabilisé. SoitXunev.a.r.discrètesur(⌦,A)tellequeX(⌦)={xi|i2I} (I✓N). AlorslafonctionderépartitionFXestdéterminéepar: 8x2R,FX(x)=P xi6x i2IP([X=xi]) Démonstration. Onremarquetoutd’abordque:[X6x]=S xi6x i2I
[X=xi]. (⇢)Soit!2[X6x].AlorsX(!)6x. OrX(!)estunélémentdusupportdeXdoncs’écritsouslaforme xipouruncertaini2I. ()Soit!2S xi6x i2I
[X=xi].Alors!estunélémentdel’undes événements[X=xi]aveci2Ietxi6x. Ainsi,X(!)=xi6xetdonc!2[X6x] Onaaffaireàuneunionauplusdénombrabled’événementsdeuxàdeux incompatibles.Onobtientalorslerésultatgrâceàla-additivitédeP. 5
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RemarqueComme[X>k+`]✓[X>k],ona:
P[X>k]([X>k+`])= P([X>k+`])P([X>k]) = qk+`
qk=q `=P([X>`])
Onditalorsquelaloigéométriqueestàpertedemémoire(lapropriétéX>kestoubliée)ouencorequelaloigéométriqueestsansmémoire.
III.2.LoidePoisson
Définition
•Onditqu’unev.a.r.XsuitlaloidePoissondeparamètre>0si:
a)X(⌦)=N
b)8k2N⇤,P([X=k])=e k
k!
•OnutiliseralanotationX,!P()poursignifierqueXsuitlaloidePoissondeparamètre.
ExempleLeBOsuggèred’introduirelaloidePoissoncommeloilimite.Onconsidère(Xn)n2N⇤unesuitedev.a.r.telleque,pourtoutn2N⇤,Xn,!Bn,noù>0.Onaalors,pourtoutk6n:
P(Xn=k)= ✓nk ◆⇥ ✓
n ◆k⇥ ✓1n ◆nk
= n!k!(nk)! k
nk ✓1n ◆n✓1n ◆k
= k
k! n!(nk)!nk ✓
1n ◆n✓
1n ◆k
43 CE1-B2015-2016
ExempleOnreprendl’exempleprécédent.Lafonctionderépartitiondelav.a.r.XcomptantlenombredePestdonnéeparlegraphesuivant.
001234 1
•Onobtientunefonctionconstanteparmorceauxquiprésentedessautsdediscontinuité.Cetteformeenescalierestcaractéristiquedesfonc-tionsderépartitiondesv.a.r.discrètes.
•Lescontremarches(i.e.lessautsdediscontinuité)ontpourhauteurlesvaleurssuccessivesdeP([X=xi])(lesxiétantrangésdansl’ordre).
Théorème3.Soit(⌦,A,P)unespaceprobabilisé.SoitXunev.a.r.discrètesur(⌦,A).
1)SiXestfinii.e.X(⌦)={x1,...,xn}alors: nP
i=1 P([X=xi])=1
2)SiXestinfinii.e.X(⌦)={xi|i2N}alors: +1P
i=0 P([X=xi])=1
3)Onpeutrésumercespropriétésennotant: P
x2X(⌦) P([X=x])=1
6
ECE1-B2015-2016 Proposition5. SoitXunev.a.r.discrèteinfinietellequeX,!G(p)(p2]0,1[). Alorspourtout(k,`)2N2: 1)P([X>k])=qk 2)P([X>k+`])=P([X>k])⇥P([X>`]) Démonstration. Soit(k,`)2N2. 1)Onremarquetoutd’abordque:[X>k]=+1S i=k+1[X=i]. Ainsi,par-additivité: P([X>k])=P+1S i=k+1[X=i]! =lim n!+1PnS i=k+1[X=i]! =lim n!+1
nP i=k+1P([X=i])=lim n!+1
nP i=k+1p⇥qi1 =lim n!+1pnP i=k+1qi1 =lim n!+1pn1P i=kqi =lim n!+1p⇥qkqn 1q Enfin:p⇥qkqn 1q=qkqn. Comme0<n<1,ona:lim n!+1qn=0etonobtientlerésultat souhaité. 2)D’aprèslepointprécédent: P([X>k+`])=qk+` =qk ⇥q` =P([X>k])⇥P([X>`]) 42 ECE1-B2015-201 Démonstration. Lafamille([X=x])x2X(⌦)estunsystèmecompletd’événements. Autrementdit,cesévénementssontdoncdeuxàdeuxincompatibleset vérifient:⌦=S x2X(⌦)[X=x]. EnappliquantPdepartetd’autre,onobtient: PS x2X(⌦)[X=x]! =P x2X(⌦)P([X=x])=P(⌦)=1 (onutilisela-additivitédeP:lecaractèredénombrabledeX(⌦)est doncindispensableici) Remarque Onretrouveicilapropriétélim x!+1FX(x)=1quiestvérifiéepourtoute v.a.r.(discrèteounon). Casparticulierdesv.a.r.discrèteàvaleursentières(X(⌦)✓Z) Proposition1. Soit(⌦,A,P)unespaceprobabilisé. SoitXunev.a.r.discrètesur(⌦,A)tellequeX(⌦)✓Z. (cecisiginifiequeXestàvaleursdansZ) 8k2X(⌦),P([X=k])=FX(k)FX(k1) Démonstration. Onrappelleque:P([k1<X6k])=FX(k)FX(k1). OrcommeXestàvaleursentières,[k1<X6k]=[X=k]. Remarque Ilfautsavoirredémontrercettepropriétéàchaquefois.
ECE1-B2015-201 Letermegénéraln 2q n1apparaîtcommelasommede:
⇥n(n1)qn1,quiestletermegénérald’unesériegéométriquedé-rivéesecondederaisonqvérifiant0<q<1,
⇥nqn1,quiestletermegénérald’unesériegéométriquepremièrederaisonqvérifiant0<q<1.Onenconclutquelav.a.r.Xadmetunevariance.CalculonsV(X)àl’aidedelaformuledeKœnig-Huygens.
•Toutd’abord,ona:
E(X2)= +1P
n=1 n2pqn1=p +1P
n=1 (n(n1)+n)qn1
=pq +1P
n=1 n(n1)q n2+p +1P
n=1 nq n1
=pq 2(1q)3+p 1(1q)2
= 2qp2 + pp2
= 2(1p)p2 + pp2 = 2pp2
•D’autrepart:(E(X))2= ✓1p ◆2= 1p2
Ainsi:V(X)=E(X2)(E(X))2= 2pp2 1p2 = 1pp2 .
41 CE1-B2015-2016
I.1.e)Opérationssurlesv.a.r.discrètes
Théorème4.Soit(⌦,A)unespaceprobabilisable.SoientXetYdeuxv.a.r.discrètessur(⌦,A)et2R.
X+Y,XetXYsontdesv.a.r.discrètes.
oùl’onanoté:
•X+Y:⌦!R!7!X(!)+Y(!)
•X:⌦!R!7!X(!)
•XY:⌦!R!7!X(!)Y(!)Démonstration.Démontronstoutd’abordqueX+Y,YetXYsontdesv.a.r.(i)X+Y,XetXYsontbiendesfonctionsde⌦dansR.(ii)Admis.Ilrestealorsàdémontrerquecesv.a.r.sontdiscrètes,autrementditqueleursupportestauplusdénombrable.Lesv.a.r.XetYétantdiscrètes,onpeutnoter:
⇥X(⌦)={xi|i2I}oùI✓N,
⇥Y(⌦)={yj|j2J}oùJ✓N.Ainsi:(X)(⌦)={xi|i2I}.CommeI✓N,lav.a.r.Xestbiendiscrète.D’autrepart:
(X+Y)(⌦)={xi+yj|(i,j)2I⇥J} et(XY)(⌦)={xiyj|(i,j)2I⇥J}OrI⇥JestunepartiedeN 2doncestauplusdénombrable.Ainsi,X+YetXYsontbiendesv.a.r.discrètes.
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ECE1-B2015-2016 Théorème17. SoitXunev.a.r.discrèteinfinietellequeX,!G(p)(p2]0,1[).Alors: 1)Lav.a.r.Xadmetuneespéranceetunevariance. 2)E(X)=1 petV(X)=q p2=1p p2 Démonstration. 1)X(⌦)=N⇤etpourtoutn2N⇤,P([X=n])=pqn1. Lav.a.r.XadmetuneespérancesilasérieP n>1npqn1estabsolument convergente.Or: •|npqn1|=|n||p||qn1|=npqn1, •nqn1estletermegénérald’unesériegéométriquedérivéepremière deraisonqvérifiant0<q<1. OnenconclutquelasérieP n>1nqn1 estabsolumentconvergenteet doncqueXadmetuneespérance.CalculonsE(X): E(X)=+1P n=1npqn1=p+1P k=1nqn1 =p1 (1q)2=p (1(1p))2=p p2=1 p 2)X2(⌦)={n2|n2N⇤}etpourtoutn2N⇤,P([X=n])=pqn1. XadmetunevariancesiXadmetunmomentd’ordre2i.e.silasérie P n>1n2pqn1estabsolumentconvergente.Or: •|n2pqn1|=n2pqn1, •n2qn1=(n(n1)+n)qn1=n(n1)qn1+nqn1. 40 ECE1-B2015-201 Remarque(Structuredel’ensembledesv.a.r.discrètes) Onpeutdémontrerquel’ensembleF(⌦,R)desfonctionsde⌦dansRest unespacevectoriel(cfchapitrecorrespondant). L’ensembledesv.a.r.discrètes: ⇥estunsous-ensembledeF(⌦,R), ⇥eststableparlaloi+etlaloi·(c’estl’objetduthéorèmeprécédent). Celapermetdedémontrerquel’ensembledesv.a.r.discrèteestunsous- espacevectorieldeF(⌦,R). I.1.f)Transformationd’unev.a.r.discrète Définition Soit(⌦,A,P)unespaceprobabiliséetXunev.a.r.discrètesur(⌦,A). Soitg:X(⌦)!Runeapplication. Onnoterag(X)l’applicationcomposéegX: g(X):⌦!R !7!g(X(!)) Théorème5. Soit(⌦,A,P)unespaceprobabilisé. SoitXunev.a.r.discrètesur(⌦,A)tellequeX(⌦)={xi|i2I} (I✓N). Soitg:X(⌦)!Runeapplication. L’applicationg(X)vérifielespropriétéssuivantes. 1)g(X)(⌦)={g(xi)|i2I}. 2)g(X)estunev.a.r.discrète. 3)8y2g(X)(⌦),P([g(X)=y])=P xi2X(⌦) g(xi)=yP([X=xi])
ECE1-B2015-201
II I. L ois di sc rèt es infini es
III.1.Loigéométrique
Définition
•Onditqu’unev.a.r.Xsuitlaloigéométriquedeparamètrep2]0,1[si:
a)X(⌦)=N ⇤
b)8k2N⇤,P([X=k])=pq k1avecq=1p
•OnutiliseralanotationX,!G(p)poursignifierqueXsuitlaloigéométriquedeparamètrep.
ExempleOnconsidèreuneexpériencealéatoirequiconsisteenunesuccessionin-finied’épreuvesindépendantes,chacuned’entreellesayantdeuxissues:succèsobtenuavecprobabilitépetéchecobtenuavecprobabilitéq=1p.Autrementdit,l’expérienceconsisteàeffectueruneinfinitéd’épreuvesdeBernoulliidentiques(mêmeparamètre)etindépendantes(lerésultatdel’unenedépendpasdurésultatdesautres).Alorslav.a.r.donnantlerangd’apparitiondupremiersuccèsdel’expériencesuitlaloigéométriquedeparamètrep.
•Onconsidèrel’expériencedujeudePouFoùl’obtentiondePestobtenueavecprobabilitép(etFavecprobabilité1p).L’expérienceconsisteàrépéterindéfinimentcejeudepileouface.OnnoteXlav.a.r.égaleaurangd’apparitiondupremierP.Alors:X,!G(p)
•Onconsidèreuneurnecontenantrboulesrougesetvboulesvertes.L’expérienceconsisteautirageinfinid’unebouleavecremise.OnnoteXlav.a.r.donnantlerangd’apparitiondelapremièreboulerouge.Alors:X,!G ✓rr+v ◆
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Démonstration.1)Pardéfinitiondeg(X),ona:g(X)(⌦)=g(X(⌦))={g(xi)|i2I}.2)Lesupportdeg(X)estindéxéparI✓N,ensembleauplusdénom-brable.Onnedémontrepaslepoint(ii).3)Soity2g(X)(⌦).Alorsona:
[g(X)=y]={!2⌦|g(X(!))=y}={!2⌦|X(!)2{xi|i2Ietg(xi)=y}}
= S
i2Ig(xi)=y [X=xi]
Onobtientainsi[g(X)=y]commeuniondénombrabled’événementsdeuxàdeuxincompatibles.Eneffet,{i2I|g(xi)=y}✓Iestauplusdénombrableet[X=xi]\[X=xj]=?pouri6=j.Onaalors:
P([g(X)=y])=P S
i2Ig(xi)=y [X=xi] !
= P
i2Ig(xi)=y P([X=xi])
ÉtudedelaloideY=g(X)surquelquesexemples.SoitXunev.a.r.discrète.Onconsidèrelav.a.r.discrèteY=g(X)pourlesapplicationsgsuivantes.1)Sig:x7!ax+boùa6=0.AlorsY(⌦)=g(X)(⌦)={g(x)|x2X(⌦)}={ax+b|x2X(⌦)}LaloideYestdonnéepar,pourtouty2Y(⌦):
P([Y=y])=P([aX+b=y])=P ✓X= yba ◆ Eneffet,si!2[aX+b=y]alorsaX(!)+b=yi.e.X(!)= yba .
10
ECE1-B2015-2016 •Onconsidèreuneurnequicontientaboulesblanchesetbboulesnoires. L’expérienceconsisteàtirersuccessivementetsansremisenboules dansl’urne(onsupposen6a+b). OnnoteXlav.a.r.égaleaunombredeboulesblanchesobtenues. Alors:X,!H✓ a+b,n,a a+b◆ Autrementdit,pourcesdeuxexpériencesaprioridifférentes,lav.a.r. donnantlenombredeboulesblanchessuitlamêmeloigéométrique. Remarque •OnretrouvelaformuledeVandermonde. Considéronsl’uneoul’autredesexpériencesprécédentes. Onsupposedeplusquea>netb>ndesorteque: Jmax(0,nNq),min(n,Np)K=J0,nK. Comme([X=k])k2J0,nKestlesystèmecompletd’événementsassociéà X: nP k=0P([X=k])=1doncnP k=0
a kb nk a+b n=1. Onenconclut:nP k=0
✓ a k
◆✓ b nk
◆ =✓ a+b n
◆ Théorème16. SoitXunev.a.r.discrètefinietellequeX,!H(N,n,p) (avec16n6N,p2]0,1[). 1)Xadmetuneespéranceetunevariance. 2)Deplus:E(X)=npetV(X)=npqNn N1 Démonstration. 1)Xadmetunevariance(etdoncuneespérance)carc’estunev.a.r. finie. 2)Admis. 38 ECE1-B2015-201 2)Sig:x7!x2. AlorsY(⌦)=g(X)(⌦)={g(x)|x2X(⌦)}={x2|x2X(⌦)}. Soity2Y(⌦). •Supposonsy6=0etsoit!2⌦. !2[Y=y],!2⇥ X2=y⇤ ,X(!)2=y.Or: X(!)2 =y,X(!)=p yOUX(!)=p y Ainsi,⇥ X2 =y⇤ =⇥ X=p y⇤ [⇥ X=p y⇤ . LaloideYestdonnéepar,pourtouty2Y(⌦)\{0}: P([Y=y])=P(⇥ X2 =y⇤ )=P([X=p y])+P([X=p y]) •Danslecasy=0,onobtientP([Y=0])=P([X=0]). 3)Sig:x7!|x|. AlorsY(⌦)=g(X)(⌦)={g(x)|x2X(⌦)}={|x||x2X(⌦)}. Soity2Y(⌦). •Supposonsy6=0etsoit!2⌦. !2[Y=y],!2[|X|=y],|X(!)|=y.Or: |X(!)|=y,X(!)=yOUX(!)=y Ainsi,[|X|=y]=⇥ X=p y⇤ [⇥ X=p y⇤ et: P([Y=y])=P([|X|=y])=P([X=y])+P([X=y]) •Danslecasy=0,onobtientP([Y=0])=P([X=0]). 4)Sig:x7!ex. AlorsY(⌦)=g(X)(⌦)={g(x)|x2X(⌦)}={ex|x2X(⌦)}. Soity2Y(⌦).Comme!2⇥ eX=y⇤ ,eX(!)=y,X(!)=lny, laloideYestdonnéepar,pourtouty2Y(⌦)par: P([Y=y])=P(⇥ eX =y⇤ )=P([X=lny]) 11
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II.5.Loihypergéométrique(BONUS)
Définition
•Soit(N,n)2(N ⇤) 2telque16n6Netsoitp2]0,1[(q=1p).
•Onditqu’unev.a.r.discrèteXsuitlaloihypergéométriquedeparamètre(N,n,p)si:
a)X(⌦)=Jmax(0,nNq),min(n,Np)K
b)8k2Jmax(0,nNq),min(n,Np)K,
P([X=k])= Npk NqnkNn
•OnutiliseralanotationX,!H(N,n,p)poursignifierqueXsuitlaloihypergéométriquedeparamètre(N,n,p).
Exemple
•Onconsidèreuneurnequicontientaboulesblanchesetbboulesnoires.L’expérienceconsisteàtirersimultanémentnboulesdansl’urne(onsupposen6a+b).OnnoteXlav.a.r.égaleaunombredeboulesblanchesobtenues.Alors:X,!H ✓a+b,n, aa+b ◆.
Autrementdit,ona:
8k2X(⌦),P([X=k])= ak bnka+bn(ici,N=a+betp= aa+b d’oùNp=aetNq=b)
37 CE1-B2015-2016
I.2.Espéranced’unevariablealéatoirediscrète
I.2.a)Définition
DéfinitionSoit(⌦,A,P)unespaceprobabilisé.SoitXunev.a.r.discrètesur(⌦,A).1)SiXestfinie:etqueX(⌦)={x1,...,xn}.Danscecas,onappelleespérancedelav.a.r.XetonnoteE(X):
E(X)= nP
i=1 xiP([X=xi])
2)SiXestinfinie:alorsX(⌦)={xi|i2N}.Danscecas,silasérie PxnP([X=xn])estabsolumentconver-gente,onappelleespérancedelav.a.r.XetonnoteE(X):
E(X)= +1P
i=0 xiP([X=xi])
3)Sousréserved’existence,l’espérances’écritdonc:
E(X)= P
x2X(⌦) xP([X=x])= Pi2I xiP([X=xi])
L’espéranceestunmoyennepondérée:onsommechaquevaleurpossiblepourXpondéréeparlaprobabilitéqueXprennecettevaleur.
12
ECE1-B2015-2016 Onendéduit: V(X)=E(X2)(E(X))2=n(n1)p2+np(np)2 =n2p2np2+npn2p2=n(pp2)=np(1p) Proposition4. SoitXunev.a.r.discrètefinietellequeX,!B(n,p)(n2N⇤ ,p2]0,1[). AlorsnXsuitlaloibinomialedeparamètre(n,q). Démonstration. NotonsY=nX.Onaalors: a)Y(⌦)={nx|x2X(⌦)}={n,n1,...,1,0}=J0,nK. b)8k2J0,nK,P([Y=k])=P([nX=k])=P([X=nk]) =✓ n nk◆ pnk qn(nk) =✓ n k◆ qk pnk Fonctionderépartition SiXestunev.a.r.discrètefiniesuivantlaloibinomialeB(5,.7). 0012345
1 36
ECE1-B2015-201 Remarque L’espérancepeutêtrepenséecommeunegénéralisationdelanotionde moyenne.Illustronscepointavecl’exemplesuivant. •Expériencealéatoire:onobservelerésultatd’1lancerdedéà6faces. •Universdespossibles:⌦=J1,6K. •NotonsXlav.a.r.discrètefinieconsistantàdonnerlerésultatdulancer. •X(⌦)=J1,6KdoncXestdoncunev.a.r.discrètefinie. 1)Dansunpremiertemps,munissons⌦delaprobabilitéuniformeP1. Lav.a.r.Xétantfinie,elleadmetuneespérancedonnéepar: E(X)=P x2X(⌦)xP1([X=x])=6P k=1kP1([X=k]) =1 6
6P k=1k=1 66(6+1) 2=3,5 Leréel3,5estlamoyennedesrésultatsdulancerd’undééquilibré (probabilitéP1priseencompte). 2)Onmunitmaintenant⌦delaprobabilitéP2telleque: P({4})=P({5})=P({6})=1 3 Lav.a.r.Xétantfinie,elleadmetuneespérancedonnéepar: E(X)=P x2X(⌦)xP2([X=x])=6P k=1kP2([X=k]) =6P k=4kP2([X=k])=1 3
6P k=4k=1 33(4+6) 2=5 Leréel5estlamoyennedesrésultatsdulancerdanslecasdenotre détruqué(probabilitéP1priseencompte). 13
ECE1-B2015-201 Or,pourk2J1,nK,ona:k ✓nk ◆=n ✓n1k1 ◆.
Ainsi:k 2 ✓nk ◆
=kn ✓n1k1 ◆
=nk ✓n1k1 ◆.
Afindepouvoirsedébarraserdukrestant,onremarque:k=(k1)+1.Onendéduitalorsque,pourtoutk2J2,nK:
nk ✓n1k1 ◆=n(k1) ✓n1k1 ◆+n ✓n1k1 ◆
=n(n1) ✓n2k2 ◆
+n ✓n1k1 ◆
Onaalors:
E(X2)= nP
k=1 k2 ✓nk ◆pkqnk
= nP
k=1 n(k1) ✓n1k1 ◆pkqnk+ nP
k=1 n ✓n1k1 ◆pkqn
= nP
k=2 n(k1) ✓n1k1 ◆pkqnk+np
= nP
k=2 n(n1) ✓n2k2 ◆
pkqnk+np
=n(n1) n2P
k=0 ✓n2k ◆
pk+2qn(k+2)+np
=n(n1)p2 n2P
k=0 ✓n2k ◆
pkq(n2)k+np
=n(n1)p2+np
35 CE1-B2015-2016
•Unev.a.r.discrèteFINIEadmetTOUJOURSuneespérance.
•Unev.a.r.discrèteINFINIEn’admetpasnécessairementunees-pérance.L’hypothèsedeCONVERGENCEABSOLUEestnécessairepourlabonnedéfinitiondelanotiond’espérance.
Àquoisertl’hypothèsedeconvergenceabsolue?
Elleestnécessairepourlabonnedéfinitiondelanotiond’espérance.Ilfautbiencomprendrequelanotation P
x2X(⌦) xP([X=x])nepermetpasdesavoirdansquelordresontsommésleséléments.Iln’yparaîtrien,maisc’estprimordialcommel’énoncelerésultatsuivant.Théorème6.(CULTURE)Soit Pununesériesemi-convergente.
i.e. (PunconvergeP|un|divergeAlors,pourtout↵2R,ilexisteunepermutationdeNtelleque:
nP
k=0 u(k)!n!+1 ↵
Remarque
•Ceténoncéestparfoisnomméthéorèmederéarrangement.
•Ilsignifiequ’étantdonnéeunesériesemi-convergente,onpeut,enmodi-fiantl’ordredesommation,créerunesériequiconvergeversn’importequel↵2Rchoisitàl’avance(onpeutmêmeprendre↵=+1ou↵=1).
•Cerésultatestcontraireàl’intuition:onnes’attendpasàcequelasommedetouslestermesuidépendedel’ordredesommation.
•Cecineseproduitquesousl’hypothèsedesemi-convergence.L’hypothèsedeconvergenceabsolueestcellequipermetdeparlerdeconvergenced’unesérieindépendammentdel’ordredesommationchoisi.
14
ECE1-B2015-2016 Remarque •Évidemment,siunevariablealéatoiresuitlaloideBernoullidepara- mètrepalorsX,!B(1,p). •OnretrouvelaformuledubinômedeNewton. Considéronsl’expérienceprécédente(tiragesuccessifavecremiseden boules). Comme([X=k])k2J0,nKestlesystèmecompletd’événementsassociéà X: nP k=0P([X=k])=1doncnP k=0
✓ n k
◆✓ r r+v
◆k✓ v r+v
◆nk =1. Onenconclut:nP k=0
✓ n k
◆ rk vnk =(r+v)n Théorème15. SoitXunev.a.r.discrètefinietellequeX,!B(n,p)(n2N⇤,p2]0,1[). 1)AlorsXadmetuneespéranceetunevariance. 2)Deplus:E(X)=npetV(X)=npq=np(1p) Démonstration. 1)Xadmetunevariance(etdoncuneespérance)carc’estunev.a.r. finie. 2)•E(X)=P x2X(⌦)xP([X=x])=nP k=0k✓ n k◆ pkqnk=nP k=1k✓ n k◆ pkqnk. Or,pourk2J1,nK,ona:k✓ n k◆ =n✓ n1 k1◆ .Onendéduit: E(X)=nP k=1n✓ n1 k1◆ pkqnk=nn1P k=0
✓ n1 k
◆ pk+1qn(k+1) =npn1P k=0
✓ n1 k
◆ pkq(n1)k=np(p+q)n1=np carp+q=1. •V(X)=E(X2)(E(X))2.OncommencedoncparcalculerE(X2). E(X2)=P x2X(⌦)x2P([X=x])=nP k=0k2✓ n k◆ pkqnk=nP k=1k2✓ n k◆ pkqnk. 34 ECE1-B2015-201 I.2.b)Propriétésdel’espérance Théorème7. Soit(⌦,A,P)unespaceprobabilisé. SoitXetYdeuxv.a.r.discrètessur(⌦,A). OnsupposequeXetYadmettentchacuneuneespérance. L’opérateurespérancevérifielespropriétéssuivantes. 1)Soit2R.Lesv.a.r.X+YetXadmettentuneespérance.Deplus: E(X+Y)=E(X)+E(Y)etE(X)=E(X) (linéaritédel’espérance) 2)Pourtout(a,b)2R2 ,lav.a.r.aX+badmetuneespérance.Deplus: E(a)=aetE(aX+b)=aE(X)+b 3)X>0)E(X)>0 (positivitédel’espérance)
4)X>Y)E(X)>E(Y) (croissancedel’espérance) 5)X>0 E(X)=0
) )P([X=0])=1(Xestpresquesûrementnulle) Démonstration. SoitXetYdeuxv.a.r.discrètes. 1)Pourplusdesimplicité,onselimiteiciaucasdesv.a.r.finies(cas infinianalogue)etonadmetlapremièreégalité(démonstrationun peulongue). Démontronslasecondeégalité.OnnoteX(⌦)={x1,...,xn}. •Si=0,lav.a.r.Xestnulle.SonespéranceestE(0)=0. •Si6=0,lav.a.r.Xapoursupport(X)(⌦)={x1,...,xn}. Étantfinie,cettev.a.r.admetuneespérance,quivaut: E(X)=nP k=1xiP[X=xi]=nP k=1xiP[X=xi] 15
ECE1-B2015-201
II.4.Loibinomiale
Définition
•Onditqu’unev.a.r.discrèteXsuitlaloibinomialedeparamètre(n,p),oùn2N ⇤etp2]0,1[si:
a)X(⌦)=J0,nK
b)8k2J0,nK,P([X=k])= ✓nk ◆p kq nkavecq=1p
•OnutiliseralanotationX,!B(n,p)poursignifierqueXsuitlaloibinomialedeparamètre(n,p).
ExempleOnconsidèreuneexpériencealéatoirequiconsisteenunesuccessiondenépreuvesindépendantes,chacuned’entreellesayantdeuxissues:succèsobtenuavecprobabilitépetéchecobtenuavecprobabilitéq=1p.Autrementdit,l’expérienceconsisteàeffectuernépreuvesdeBernoulliidentiques(i.e.demêmeparamètre)etindépendantes(lerésultatdel’unenedépendpasdurésultatdesautres).Alorslav.a.r.donnantlenombredesuccèsdel’expériencesuitlaloibinomialedeparamètre(n,p).
•Onconsidèrel’expériencedujeudePouFoùl’obtentiondePestobtenueavecprobabilitép(etFavecprobabilité1p).L’expérienceconsisteennrépétitionsdecejeudepileouface.OnnoteXlav.a.r.égaleaunombredePobtenuslorsdel’expérience.Alors:X,!B(n,p)
•Onconsidèreuneurnecontenantrboulesrougesetvboulesvertes.L’expérienceconsisteàtirersuccessivementnboulesavecremise.OnnoteXlav.a.r.égaleaunombredeboulesrougestirées.Alors:X,!B ✓n, rr+v ◆
33 CE1-B2015-2016
2)Soita2R.Leréelapeutêtrevuecommeunev.a.r.discrète.C’estlav.a.r.constanteXa:⌦!RquivérifieXa(!)=apourtout!2⌦.AinsiXa(⌦)={a}.CommeXaestfinie,elleadmetuneespéranceet:E(Xa)= P
x2X(⌦) P([Xa=x])=aP[Xa=a]=aP(⌦)=aLasecondeégalitéestobtenueparlinéarité:E(aX+b)=E(aX)+E(b)=aE(X)+b
3)NotonsX(⌦)={xi|i2I}.LaconditionX>0signifiequepourtout!2⌦,X(!)>0.Autrementdit,X(⌦)✓R+etpourtouti2I,xi>0.L’espéranceE(X)estalorslasommed’unesérieàtermespositifs(sontermegénéralestxiP[X=xi]).Elleestdoncpositive.4)Notonstoutd’abordqueXYadmetuneespérance(d’après1).Onutilisealorslerésultatprécédent.XY>0doncE(XY)>0etE(XY)=E(X)E(Y).5)SupposonsqueX>0etE(X)=0.Aveclesmêmesnotationsqueprécédemment,onadoncxi>0.Supposonsxi>0.AlorsnécessairementP[X=xi]=0.Sionsuppose,parl’absurde,quecetteprobabilitéestnonnulle,onobtient:E(X)>xiP[X=xi]>0cequicontreditl’hypothèse.Ainsi,pourtoutitelquexi6=0,P[X=xi]=0.OnadoncforcémentP[X=0]=1.
Remarque
•Lalinéaritédel’espéranceestunepropriétélogiquepuisquel’espéranceestdéfinieàl’aided’unopérateurdesommation.
•Onretiendranotammentquelasommedev.a.r.discrètesquiadmettentuneespérance,admetuneespérance.
16
ECE1-B2015-2016 Remarque •Généralement,lescasp=0etp=1sontécartés:ilscorrespondentà uneloiquasi-certaine. •SiXsuituneloideBernoulli,alorsX(⌦)={0,1}.Onendéduitque, pourtoutr2N⇤,Xr=X(c’estnotammentvraipourlecasr=2). Théorème14. SoitXunev.a.r.discrètefinietellequeX,!B(p)(p2]0,1[). 1)AlorsXadmetuneespéranceetunevariance. 2)Deplus:E(X)=petV(X)=pq=p(1p) Démonstration. 1)Xadmetunevariance(etdoncuneespérance)carc’estunev.a.r. finie. 2)•E(X)=P x2X(⌦)xP([X=x])=0P[X=0]+1P[X=1]=p •V(X)=E(X2 )(E(X))2 =E(X)(E(X))2 =pp2 Fonctionderépartition SiXestunev.a.r.discrètefiniesuivantlaloideBernoulliB(0.7). 1 01
0.3 32
ECE1-B2015-201 I.2.c)Théorèmedetransfert Théorème8.Théorèmedetransfert Soit(⌦,A,P)unespaceprobabilisé. SoitXunev.a.r.discrètesur(⌦,A). Soitg:X(⌦)!Runeapplication. 1)SiXestfinie:etqueX(⌦)={x1,...,xn}. Danscecas,lav.a.r.g(X)admetuneespérancedevaleur: E(g(X))=nP i=1g(xi)P([X=xi]) 2)SiXestinfinie:etqueX(⌦)={xi|i2N}. Lav.a.r.g(X)admet uneespérance,LasériedeP g(xn)P[X=xn]est absolumentconvergente 3)Sousréserved’existence,onadonc: E(g(X))=P x2X(⌦)g(x)P([X=x]) Démonstration. 1)g(X)estunev.a.r.desupportg(X)(⌦)={g(x1),...,g(xn)} (abusdenotation:lesg(xi)nesontpasforcémenttousdifférents) g(X)étantfinie,elleadmetuneespérance. •Sitouslesg(xi)sontdifférents.Alorsg(X)apourespérance: E(g(X))=nP i=1g(xi)P([g(X)=g(xi)])=nP i=1g(xi)P([X=xi]) 17
ECE1-B2015-201
II.3.LoideBernoulli
Définition
•Onditqu’unev.a.r.XsuitlaloideBernoullideparamètrep2]0,1[si:
a)X(⌦)={0,1}
b)P([X=1])=petP([X=0])=1p=q
•OnutiliseralanotationX,!B(p)poursignifierqueXsuitlaloideBernoullideparamètrep.
ExempleConsidéronsuneexpériencealéatoirepossédantdeuxissuesquinesontpasforcémentéquiprobables.L’unedecesissuesestnommée«succès»etseproduitavecprobabilitép;l’autreestnommée«échec»etseproduitavecprobabilité1p.Alorslav.a.r.Xégaleà1encasdesuccèset0encasd’échec(i.e.calculantlenombredesuccès)suitlaloideBernoullideparamètrep.
•Onconsidèrel’expériencedujeudePouFoùl’obtentiondePestconsidérécommelesuccèsdel’expérience.Lav.a.r.quivaut1siPestobtenuet0sinonsuitlaloiB ✓12 ◆.Danscecas,cetteloicoïncideaveclaloiuniformeU(J0,1K).SiPestobtenuavecprobabilitép,alorsX,!B(p).
•Onconsidèreuneurnecontenantrboulesrougesetvboulesvertes.L’expérienceconsisteàtireruneboule.OnnoteXlav.a.r.devaleur1siontireuneboulerougeet0siontireunebouleverte.Alors:X,!B ✓rr+v ◆
31 CE1-B2015-2016
•Sinon,g(X)(⌦)={y1,...,ym}avecm<netpourchaqueyj,ilexisteaumoinsuni2Itelqueyj=g(xi).Ils’agitalorsderegrouperlesxiquiadmettentlamêmeimageparg.OnnotealorsIj={i2I|g(xi)=yj}.Ona:
E(g(X))= mP
j=1 yjP([g(X)=yj])
Ilsuffitalorsderemarquer:[g(X)=yj]= S
i2Ij [X=xi].
Par-additivité,ona:
yjP([g(X)=yj])=yj P
i2Ij P([X=xi])= Pi2Ij yjP([X=xi])
= P
i2Ij g(xi)P([X=xi])
Etainsi:E(g(X))= mP
j=1 P
i2Ij g(xi)P([X=xi])= nPi=1 g(xi)P([X=xi]
2)Admis.
I.2.d)Variablecentrée
DéfinitionSoit(⌦,A,P)unespaceprobabilisé.SoitXunev.a.r.discrètesur(⌦,A).
•OnditqueXestunevariablecentréesiXadmetuneespérancenulle.
•SiXadmetuneespérance,lav.a.r.XE(X)estappelléevariablecentréeassociéeàX.RemarqueSiXadmetuneespérance,lav.a.r.XE(X)admetuneespérancecommesommedev.a.r.discrètesadmettantuneespérance.Cettev.a.r.estcentréepuisque,parlinéarité,ona:E(XE(X))=E(X)E(E(X))=E(X)E(X)=0
18
ECE1-B2015-2016 Théorème13. Soit(a,b)2N2telquea<b. SoitXunev.a.r.discrètefinietellequeX,!U(Ja,bK). Onnote:Y=Xa+1. 1)Alors:Y,!U(J1,ba+1K). 2)Lav.a.r.Xadmetuneespéranceetunevariance. 3)Deplus:E(X)=a+b 2etV(X)=(ba)(ba+2) 12 Démonstration. 1)OnaY(⌦)=J1,ba+1K.Ainsi,pourtoutk2J1,ba+1K,ona: P([Y=k])=P([Xa+1=k])=P([X=k+a1])=1 ba+1 2)Xadmetunevariance(etdoncuneespérance)carc’estunev.a.r. finie. 3)CommeY=Xa+1,onaX=Y+a1.Onendéduit: E(X)=E(Y)+E(a1)=(ba+1)+1 2+a1=a+b 2 V(X)=V(Y)=(ba+1)21 12=(ba)(ba+2) 12 Fonctionderépartition SiXestunev.a.r.discrètefiniesuivantlaloiuniformeU(J1,5K). 01234
1 5 30
ECE1-B2015-201 I.2.e)Momentsd’ordrer DéfinitionMomentsd’ordrer Soit(⌦,A,P)unespaceprobabilisé. SoitXunev.a.r.discrètesur(⌦,A). 1)SiXestfinie:etqueX(⌦)={x1,...,xn}. Danscecas,lav.a.r.Xadmet,pourtoutr2N,unmomentd’ordre r,notémr(X): mr(X)=nP i=1xr iP([X=xi]) 2)SiXestinfinie:etqueX(⌦)={xi|i2N}etr2N. Danscecas,silasérieP xr nP[X=xn]estabsolumentconvergente, onditquelav.a.r.Xadmetunmomentd’ordrer,notémr(X): mr(X)=+1P i=0xr iP([X=xi]) 3)Sousréserved’existence,onadonc: mr(X)=P x2X(⌦)xr P([X=x])=E(Xr ) Remarque •Sir=0,onaX0=1etdoncm0(X)=E(1)=1. •Sir=1,onaX1=Xetdoncm1(X)=E(X). Proposition2. Soit(⌦,A,P)unespaceprobabilisé. SoitXunev.a.r.discrètesur(⌦,A)etr2N⇤ . SiXadmetunmomentd’ordreralorsXadmetunmomentd’ordres pourtouts2J1,rK. 19
ECE1-B2015-201
Remarque
•Ils’agitbiende 1ba+1 etnonde 1ba .Eneffet,ilyaba+1entiers entreaetb.Cerésultatestd’ailleurscohérentavecle 1n précédent.
•LaloiuniformesurU(Jm,mK)coïncideaveclaloicertained’espérancem.
Théorème12.SoitXunev.a.r.discrètefinietellequeX,!U(J1,nK)(n2N⇤).
1)Lav.a.r.Xadmetuneespéranceetunevariance.
2)Deplus:E(X)= n+12 etV(X)= n2112 Démonstration.1)Xadmetunevariance(etdoncuneespérance)carc’estunev.a.r.finie.2)•E(X)= P
x2X(⌦) xP([X=x])= nPk=1 kP([X=k])= 1n nPk=1 k
= 1n n(n+1)2
•E(X2)= nP
k=1 k2P([X=k])= 1n nP
k=1 k2= 1n n(n+1)(2n+1)6
Onenconclutque:
V(X)=E(X2)(E(X))2= (n+1)(2n+1)6 (n+1) 2
4
= n+112 (2(2n+1)3(n+1))= (n+1)(n1)12
29 CE1-B2015-2016
I.3.Variance
I.3.a)Définition
DéfinitionSoit(⌦,A,P)unespaceprobabilisé.SoitXunev.a.r.discrètesur(⌦,A).
•Silav.a.r.XadmetuneespéranceE(X)etquelav.a.r.(XE(X))admetunmomentd’ordre2,onditqueXadmetunevariance,notéeV(X):V(X)=m2(XE(X))=E((XE(X)) 2)
•Sousceshypothèsesonappelleécart-typeetonnote(X)= pV(X)
Remarque
•Remarquonstoutd’abordquelanotiond’écart-typeestbiendéfinie.Comme((XE(X))2>0,alorsV(X)=E(((XE(X))2)>0.(cfpoint3)duThéorème7)
•Pardéfinition,lavarianceestlemomentd’ordre2delav.a.r.XE(X)quiestlav.a.r.centréeassociéeàX.LavarianceV(X)estdonclemomentcentréd’ordre2delav.a.r.X.
•Lavarianceestunemesuremoyennedel’écartexistantentreXetE(X).Maispourquoiconsidérerunécartquadratiqueetpasunécartsimple?Toutsimplementcarl’écartsimplenenousdonneaucuneinformationpuisque,commeonl’adéjàsouligné:
E(XE(X))=E(X)E(E(X))=E(X)E(X)=0
•Ilestalorsnatureld’introduirel’écart-type(laracinedelavariance)pourgommerle«défautquadratique»introduitparcechoixd’écart.
20
ECE1-B2015-2016 II.2.Loiuniforme Définition •Onditqu’unev.a.r.XsuitlaloiuniformesurJ1,nK(pourn2N⇤)si: a)X(⌦)=J1,nK b)8k2N,P([X=k])=1 n •Plusgénéralement,si(a,b)2N2eta<b,onditqu’unv.a.r.Xsuitla loiuniformesurJa,bKsi: a)X(⌦)=Ja,bK b)8k2N,P([X=k])=1 ba+1 •OnutiliseralanotationX,!U(Ja,bK)poursignifierqueXsuitlaloi uniformesurJa,bK. Exemple Lesloisuniformessontutiliséespourdéfinirlaloidev.a.r.quisontdéfinies surdesexpériencesaléatoiresquiconsistenten1action(untirage/un lancer)donttouteslesissuessontéquiprobables. •Onconsidèreuneurnecontenantnboulesnumérotéesde1àn. L’expérienceconsisteàtireruneboule. OnnoteXlav.a.r.égaleaunumérodelabouletirée. Alors:X,!U(J1,nK) •Onconsidèreunepièceéquilibrée. L’expérienceconsisteenunjeudepileouface. OnnoteXlav.a.r.égaleà1silelancerestPet0silelancerdonne F. Alors:X,!U(J0,1K) 28 ECE1-B2015-201 Théorème9.FormuledeKœnig-Huygens Soit(⌦,A,P)unespaceprobabilisé. SoitXunev.a.r.discrètesur(⌦,A). Lav.a.r.Xadmet unevariance,Lav.a.r.Xadmetun momentd’ordre2 Deplus,siXadmetunevariance,ona: V(X)=E(X2 )(E(X))2 Démonstration. ())SupposonsqueXadmetunevariance. OnendéduitqueXet(XE(X))2admettentuneespérance.Or: (XE(X))2 =X2 2E(X)X+(E(X))2 Donc:X2=(XE(X))2+2E(X)X(E(X))2. Lav.a.r.X2estlasommedev.a.r.discrètesquiadmettentuneespé- rance. Elleadmetdoncuneespérance. (()Réciproquement,siXadmetunmomentd’ordre2,alorselleadmet unmomentd’ordre1.Autrementdit,Xadmetuneespérance. L’égalitéprécédentedémontrealorsque(XE(X))2admetunees- pérancecarestlasommedev.a.r.discrètesadmettantuneespérance. SupposonsmaintenantqueXadmetunevarianceetdémontronslafor- mule. V(X)=E((XE(X))2) =E(X2 2E(X)X+(E(X))2 ) =E(X2)2E(E(X)X)+E((E(X))2)(parlinéaritéde l’espérance) =E(X2)2E(X)E(X)+(E(X))2 =E(X2 )(E(X))2 21
ECE1-B2015-201
FonctionderépartitionSiXestunev.a.r.discrètefiniesuivantuneloicertaine(ouquasi-certaine)tellequeP([X=m])=1.
10m
Proposition3.SoitXunev.a.r.discrètefinie.
Alorsona:V(X)=0)Xsuituneloiquasi-certaine
Démonstration.Eneffet,onaalorsV(X)=E((XE(X))2)=0avec(XE(X))2>0.Cequiprouve(propriétéducoursprécédent)que:P( ⇥(XE(X))2=0 ⇤)=1.Ilsuffitalorsderemarquerque⇥(XE(X)) 2=0 ⇤=[XE(X)=0]=[X=E(X)]
Ainsi,ennotantm=E(X),onaP[X=m]=1.Autrementdit,X=mP-presquesûrement.
Remarque
•Cettepropriétéestuneéquivalence:laréciproqueestjustifiéeparlethéorèmeprécédentquidonnelecalculdeV(X).
•Ainsi,lapropriétéV(X)=0caractériselesv.a.r.Xquisontpresquesûrementconstantesetégalesàleurmoyenne.
27 CE1-B2015-2016
I.3.b)Propriétésdelavariance
Théorème10.Soit(⌦,A,P)unespaceprobabilisé.SoitXetYdeuxv.a.r.discrètessur(⌦,A).OnsupposequeXetYadmettentchacuneunevariance.L’opérateurvariancevérifielespropriétéssuivantes.1)Soit2R.Lesv.a.r.X+YetXadmettentunevariance.Deplus:
V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2(E(XY)E(X)E(Y))
etV(X)= 2V(X) 2)Pourtout(a,b)2R2,lav.a.r.aX+badmetunevariance.Deplus:
V(a)=0etV(aX+b)=a 2V(X)
3)V(X)>0
Démonstration.1)Soit2R.OnadmetqueX+YetXadmettentunevariance.D’aprèslaformuledeKœnig-Huygens(etparlinéaritédel’espérance):
V(X+Y)
=E((X+Y)2)(E(X+Y))2
=E(X2+2XY+Y2)(E(X)+E(Y))2
=E(X 2)+2E(XY)+E(Y 2)((E(X)) 2+2E(X)E(Y)+(E(Y)) 2)
=E(X2)(E(X))2++E(Y2)(E(Y))2+2E(XY)2E(X)E(Y)
=V(X)+V(Y)+2(E(XY)E(X)E(Y))
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ECE1-B2015-2016 Remarque •LefaitqueX(⌦)={m}impliquequelav.a.r.Xestconstanteégaleà m. •Aucontraire,unev.a.r.Xsuivantuneloiquasi-certainen’estpas constante(puisqu’elleadmetlesvaleursx1,...,xn).Elleestseulement P-presquesûrementconstante:P([X=x1])=1. •Ilfautbiencomprendrequex1désigneunélémentquelconquedeX(⌦) (l’ensembleX(⌦)n’étantpasordonné). Théorème11. SoitXunev.a.r.discrètefiniesuivantuneloicertaine(ouquasi-certaine). Ilexistedoncm2RtelqueP([X=m])=1. 1)AlorsXadmetuneespéranceetunevariance. 2)Deplus:E(X)=metV(X)=0. Démonstration. SoitXunev.a.r.discrètesuivantuneloi(quasi)certaine. 1)Xadmetuneespérancecarc’estunev.a.r.finie. X2admetuneespérancepourlamêmeraison. AinsiXadmetunmomentd’ordre2etdoncunevariance. 2)•E(X)=P x2X(⌦)xP([X=x])=mP([X=m])=m⇥1=m •V(X)=E((XE(X))2)=P x2X(⌦)(xE(X))2P([X=x]) =(mE(X))2 P([X=m])=0 26 ECE1-B2015-201 Toujoursd’aprèslaformuledeKœnig-Huygensetlinéaritédel’espé- rance: V(X)=E((X)2)(E(X))2 =E(2 X2 )(E(X))2 =2E(X2)2(E(X))2 =2(E(X2)(E(X))2) =2V(X) 2)Soit(a,b2R2).Parhypothèse,Xadmetunevariance.Elleadmet doncunmomentd’ordre2et,parconséquent,unmomentd’ordre1. Démontronsmaintenantquelav.a.r.(aX+b)E(aX+b)admetun momentd’ordre2.Toutd’abord: ((aX+b)E(aX+b))2=(aX+b(E(aX)+E(b)))2 =(a(XE(X))+bb)2 =a2(XE(X))2 Or,pardéfinitiondelavariancedeX,lav.a.r.(XE(X))2admet uneespérance.C’estdoncaussilecasdelav.a.r.((aX+b)E(aX+ b))2.Enappliquantl’opérateurespérancedansl’égalitéprécédente, onobtient: V(aX+b)=E((aX+b)E(aX+b))2 =E(a2 (XE(X))2 )=a2 V(X) Aupassage,danslecasoùa=0,ondémontrequeV(b)=0. 3)(XE(X))2>0donc,d’aprèslapropriété3)duThéorème7: V(X)=E((XE(X))2 )>0 Remarque •Lavarianceestunemesuremoyennedel’écartentrelav.a.r.etsa moyenne.Danslecasd’unev.a.r.quinevariepas(unev.a.r.constante i.e.unréela),ilestlogiquequelavariancesoitnulle(V(a)=0). •Contrairementàl’espérance,l’opérateurdevariance,définiàl’aide d’uneélévationaucarré,n’estpaslinéaire. 23
ECE1-B2015-201
II . L ois di sc rèt es fini es
Danstoutceparagraphe,onétudiedesv.a.r.discrètesfinies.OnpourraalorsnoterX(⌦)={x1,...,xn}lesupportdetellesv.a.r..
II.1.Loicertaine
Définition
•Onditqu’unev.a.r.Xsuituneloicertaines’ilexistem2Rtelque:
a)X(⌦)={m}
b)P([X=m])=1
•Ondiraaussiquelav.a.r.Xestcertaine,égaleàm.
•SiXestunev.a.r.discrètefinietellequeX(⌦)={x1,...,xn}:onditqueXsuituneloiquasi-certainesiP([X=x1])=1.
ExempleLesloiscertaines(quasi-certaines)sontutiliséespourdéfinirlaloidev.a.r.quisontdéfiniessurexpériencesaléatoiresdontl’issueestsûre.
•Onconsidèreundépipédontlerésultatesttoujours6.L’expériencealéatoireconsisteenunlancerdecedé.OnnoteXlav.a.r.donnantlerésultatdudé.Xsuituneloiquasi-certaine(X(⌦)=J1,6KetP([X=6])=1).
•Onconsidèreuneurnecontenantnboulesdecouleursdifférentesquisonttoutesnumérotéesparlemêmechiffre7.L’expérienceconsisteàeffectueruntiragedanscetteurne.OnnoteXlav.a.r.donnantlenumérodelaboulesortie.AlorsXsuitlaloicertainedesupportX(⌦)={7}.
25 CE1-B2015-2016
I.3.c)Variablescentréesréduites
DéfinitionSoit(⌦,A,P)unespaceprobabilisé.SoitXunev.a.r.discrètessur(⌦,A).a)SiXadmetuneespéranceégaleà0onditqueXestunevariablecentrée.b)SiXadmetunevarianceégaleà1onditqueXestunevariableréduite.
c)SiXadmetunevariance,lavariableX⇤= XE(X)(X) estappeléevariablecentréeréduiteassociéeàX.
Remarque
•SiXadmetunevariance,lav.a.r.centréeréduiteassociéeàXest,commesonnoml’indique,centréeetréduite.RemarquonsdéjàqueX⇤admetuneespéranceetunevariancecars’écritsouslaformeaX+baveca=1(X) 2Retb= E(X)(X) 2R.1)X ⇤estcentréecar:
E(X⇤)=aE(X)+b= 1(X) E(X) E(X)(X) =0 2)X ⇤estréduitecar: V(X ⇤)=a 2V(X)= ✓1(X) ◆2V(X)= V(X)((X))2 = V(X)V(X) =1
•Onretiendraqu’àtoutev.a.r.Xquiadmetunevariance,onpeutasso-cierunev.a.r.X⇤centréeréduite.Considérerdetellesv.a.r.peutêtreintéressant:celapermetdesimplifierlesraisonnements.
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