II . L ois à dens ité us uel les

ECE1-B2015-2016 0m

1 p 2⇡m=2 =0.2 48

ECE1-B2015-2016

C H X X I :V ar ia bl es al éa to ire s ré el le s à de ns ité I. G énér al it és sur les v. a. r. à dens it é

I.1.Lesv.a.r.àdensité Définition Onditqu’unev.a.r.XestàdensitésisafonctionderépartitionFXest: a)continuesurR, b)declasseC1 surRsaufenunnombrefinidepoints. Remarque •Rappelonstoutd’abordlerôlecentraljouéparlesfonctionsderéparti- tiondesv.a.r..LafonctionderépartitionFXcaractériselaloideX: connaîtreFXc’estconnaîtrelaloideXetinversement. •Démontrerqu’unev.a.r.Xestàdensitéc’estdoncmontrerlarégularité d’unefonction(àsavoirFX). •DirequefestC1saufenunnombrefinindepointssignifiequ’ilexiste (x1,...,xn)2Rntelque: (onconsidèrequelespointssontordonnés:x1<x2<···<xn) festC1sur]1,x1[,]xn,+1[etsurtout]xi,xi+1[pouri2J1,n1K i.e.festC1sur]1,x1[[]x1,x2[[···[]xn1,xn[[]xn,+1[. •Ilfautfaireattention:siXadmetunedensitéalorsFXn’est(éventuel- lement)pasC1enlesximaisestcontinuesurRtoutentier. DoncFXestnotammentC0enlesxi. 1

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Représentationgraphique.Onconsidèreunev.a.r.XtellequeX,!N(m,).Ladensitéd’unetelleloiestreprésentéeparunecourbeencloche.

⇥Danslecasd’uneloiN(0,1),cetteclocheestcentréeen0.

⇥Danslecasd’uneloiN(m,),cetteclocheestcentréeenm.D’autrepart,laformedecettecloche(hauteuretlargeur)dépendde:

⇥plusestpetit,pluslepicesthautetfin;

⇥plusestgrand,pluslepicestbasetlarge.Notezquel’airesouslacourbeentre1et+1estinvariante(onatoujours Z+1 1 fX(t)dt=1).

•ReprésentationgraphiquedeladensitéfXdelaloiN(m,).

0m 1p2⇡ m=2=1.5

•ReprésentationgraphiquedeladensitéfXdelaloiN(m,).

0m 1p2⇡ m=2=0.8

•ReprésentationgraphiquedeladensitéfXdelaloiN(m,).

47 ECE1-B2015-2016

ExempleUnev.a.r.XtellequeX,!U(J1,5K)admet-elleunedensité?Rappelonslafonctionderépartitiond’unetellev.a.r.

01234 1

5

•Ici,FXestbienC1sur]1,1[[]1,2[[]2,3[[]3,4[[]4,5[[]5,+1[.

•Parcontre,FXn’estpascontinuesurRcarnoncontinueenlesxi.Ainsi,siunev.a.r.discrètefiniesuituneloiuniforme,alorsXn’admetpasdedensité.

Remarque

•Onrappellequelaformeenescalierestcaractéristiquedesfonctionsderépartitiondesv.a.r.discrètes.LahauteurdescontremarchesestégaleauxvaleurssuccessivesdesP([X=x]),pourx2X(⌦).

•Rappelonsalorsque:FXestcontinueenx2R,P([X=x])=0.Celapermetdetirerlaconclusionsuivante:

Xestunev.a.r.discrète)Xn’admetpasdedensité

Ladéfinitiondev.a.r.admettantunedensitéétantétablie,ilnousresteàdéfnirlanotiondedensitéelle-même.

2

ECE1-B2015-2016 Remarque •Cethéorèmepermetdecomprendrelesnotationsmet. SiX,!N(m,)alorsm=E(X)et2=V(X).Ainsi: ⇥Lanotationmpeut-êtreluecomme«moyenne». ⇥Lanotationestcellequenousavonsdéjàutilisépourl’écarttype. •Laloinormalecentréeréduiteestsimplementuneloinormaleparticu- lière:celledontlesparamètres(m,)vérifientm=0et=1. •Évidemment,ona: •X,!N(m,) •E(X)=0 •V(X)=1

9 > = > ;

,X,!N(0,1) Autrementdit,laloinormalecentréeréduiteestdonclaloidesv.a.r. Xquisuiventuneloinormale(X,!N(m,))etquisontcentrées (E(X)=0)etréduites(V(X)=1). 46

ECE1-B2015-2016 I.2.Densitéd’unev.a.r. Définition SoitXunev.a.r.admettantunedensité. Onditqu’unefonctionfX:R!RestunedensitédeXsi: a)8x2R,fX(x)>0, b)fXcoïncideavecF0 saufenunnombrefinidepoints. Autrementdit,ilexiste{x1,...,xn}telque: 8x2R\{x1,...,xn},fX(x)=F0 X(x) Remarque •Pourfaliciterlesdémonstrations,etsanspertedegénéralité,onnotera lespoints{x1,...,xn}demanièreordonnéei.e.telque: x1<...<xn •D’oùvientlecaractèrepositifdefX? Soit(x1,x2)2R2telquefX(x)=F0 X(x)pourtoutx2]x1,x2[. CommeFXestunefonctionderépartition,elleestcroissantesurR(et doncafortiorisur]x1,x2[).Orona: FXcroissantesur]x1,x2[,F0 X=fX>0sur]x1,x2[ Onmontreainsique:fX>0sur]x1,x2[[...[]xn1,xn[. •Deparladéfinition,siXadmetunedensité,alorsXadmetuneinfinité dedensité.Eneffet,ladéfinitionnecontraintpasprécisémentlavaleur defXenlesxi.LaseuleexigenceestquefX(xi)>0. 3

ECE1-B2015-2016 (()OnseserticidufaitqueXapparaîtcommetransforméeaffinedelav.a.r.X⇤.Eneffet:X=X⇤+m(X=aX⇤+baveca=etb=m).Onendéduitque,pourtoutx2R,ladensitédeprobabilitéfXvérifie:

fX(x)= 1|a| fX⇤ ✓xba ◆= 1fX⇤ ✓xm ◆

= 11p2⇡ e 12(xm) 2

Onreconnaîtladensitédeprobabilitédelaloinormaledeparamètre(m,).Ainsi:X⇤,!N(m,).

Théorème12.SoitXunev.a.r.tellequeX,!N(m,).Alors,ona:1)Xadmetuneespérance.

2)E(X)=m(etV(X)= 2)

Démonstration.Ilyadeuxmanièresdefairecettedémonstration.

•Lamanièredirecteconsisteàétudier Z+1

1 tfX(t)dt(bonexercice).

•Lasecondemanièreestplusélégante.Elleconsisteàutiliserlethéorèmeprécédent.NotonsX ⇤= Xm.OnaalorsX=X ⇤+m.

Parlalinéarité(faible)del’espérance,lav.a.r.X⇤admetuneespérancedonnéepar:E(X⇤)=E(X)+m=⇥0+m=m.(demême,V(X ⇤)= 2V(X)= 2⇥1= 2)

45 ECE1-B2015-2016

ExempleConsidéronsunev.a.r.XdontlafonctionderépartitionFestlasuivante.

05 1

CelacorrespondàlafonctionF:x7! 8<

: 0six2]1,0[x/5six2[0,5]1six2]5,+1[

•Toutd’abord,remarquonsquecettefonctionvérifiebienlespropriétéscaractéristiquesdesfonctionsderépartitions.

⇥FestcroissantesurR,

⇥limx!1 F(x)=0etlimx!+1 F(x)=1,

⇥FestcontinueàdroiteentoutpointdeR.

•Deplus,lav.a.r.Xestbienunev.a.r.àdensitépuisque:1)FestcontinuesurR,2)FestC1(mêmeC1)sur]1,0[,]0,5[,]5,+1[carpolynomiale.

•PourdéterminerunedensitédeX,oncommencepardériverlafonctionFsurlesintervallesouverts]1,0[,]0,5[,]5,+1[.

f:x7! 8<

: 0six2]1,0[1/5six2]0,5[0six2]5,+1[

Enchoisissantlavaleur(forcémentpositive)defen0et5,ondéfinitunedensitédeX.Parexemple,onpeutprendref(0)=1/5=f(5).Maisonpourraittoutautantchoisirf(0)=32etf(5)=13 p2e3.

4

ECE1-B2015-2016 Ladernièreégalitéprovientduchangementdevariablesuivant: •u=t(x)=xm doncdu=1 dxetdx=du •Six=1alorsu=1 •Six=+1alorsu=+1 Théorème11. SoitXunev.a.r.àdensité. Soientm2Ret>0. Onaalors: X,!N(m,),Xm ,!N(0,1) Démonstration. NotonsX⇤=Xm . ())OnseserticidufaitqueX⇤apparaîtcommetransforméeaffinedela v.a.r.X.Eneffet:X⇤=1 Xm (X⇤=aX+baveca=1 etb=m ). Onendéduitque,pourtoutx2R,ladensitédeprobabilitéfX⇤vérifie: fX⇤(x)=1 |a|fX✓ xb a

◆ =1 1fXx+m 1

! =·fX(x+m) =·1 p 2⇡e

1 2⇣ (x+m)m⌘2 =1 p 2⇡e1 2(x)2 Onreconnaîtladensitédeprobabilitédelaloinormalecentréeréduite. Ainsi:X⇤,!N(0,1). 44

ECE1-B2015-2016 Théorème1. SoitXunev.a.r.admettantunedensiténotéefX. Lespropriétéssuivantessontvérifiées. 1)8x2R,FX(x)=P([X6x])=Zx 1fX(t)dt 2)Z+1 1fX(t)dt=13)8x2R,P([X=x])=0 4)8(a,b)2R2,ona:P([X<a])=P([X6a])=Za 1fX(t)dt P([X>b])=1P([X6b])=Z+1 bfX(t)dt 5)8(a,b)2R2,sia6b,ona: P([a<X6b])=FX(b)FX(a)=Zb afX(t)dt P([a<X<b])=P([a<X6b])=P([a6X<b])=P([a6X6b]) 5

ECE1-B2015-2016

II.4.Loinormale(oudeLaplace-Gauss)

Définition

•Onditqu’unev.a.r.Xsuitlaloinormale(ouloideLaplace-Gauss)deparamètre(m,)(avecm2Ret>0)si:

a)X(⌦)=]1,+1[

b)XadmetpourdensitélafonctionfXdéfiniepar:

fX:R!R

x7! 1p2⇡ e 12( xm) 2

•OnutiliseralanotationX,!N(m,)poursignifierqueXsuitlaloinormaledeparamètre(m,).

Remarque

•L’expressiondefXestprochedecellede':onobtientfX(x)enappli-quantàxuntransformationaffine(àmultiplicationpar 1près).Plusprécisément,notonst:R!Rlafonctiondéfiniepar

8x2R,t(x)= xm Onaalors:8x2R,fX(x)= 1'(t(x)).

•OnpeutseservirdecettepropriétépourdéduirelespropriétésdefXdecellede'.Parexemple,onpeutvérifierquefXestbienunedensitédeprobabilité:1)fXestC0surRcommecomposéededeuxfonctionsC0surR2)8x2R,fX(x)>0

3) Z+1

1 fX(x)dx= Z+1

1 1'(t(x))dx= 1 Z+1

1 '(u)du

43 ECE1-B2015-2016

Démonstration.Pourfairecettedémonstration,onseplacedanslecadrerestreint:onsupposequeFXestC1surRtoutentieretquefX=F0XsurR.AinsiladensitéfXestsupposéeC0surR.

1)Soitx2R.NotonsUlafonctiondéfinieparU(y)= Zx

y fX(t)dtpour

y60.Onaalors:

U(y)= Zx

y fX(t)dt= Zx

y F 0X(t)dt=[FX(t)] xy

=FX(x)FX(y)!y!1 FX(x) Eneffet,limy!1 FX(y)=0parpropriétédesfonctionsderépartition.

Onendéduitque Zx

1 fX(t)dtestconvergenteetdevaleur:

Zx

1 fX(t)dt=FX(x)=P([X6x]) 2)NotonsVlafonctiondéfinieparV(y)= Zy

0 fX(t)dtpoury>0.

V(y)= Zy

0 fX(t)dt= Zy

0 F 0X(t)dt=[FX(t)] y0

=FX(y)FX(0)!y!+1 1FX(0) Eneffet,limy!+1 FX(y)=1parpropriétédesfonctionsderépartition.

Onendéduitque Z+1

0 fX(t)dtestconvergenteetdevaleur:

Z+1

0 fX(t)dt=1FX(0)

6

ECE1-B2015-2016 Commentlirelesvaleursdecettetable? •Parexemple,pourlirelavaleurde(1.64) ⇥onsélectionnelaligne1.6 ⇥onsélectionnealorslacolonne0.04 Onlitlavaleurdelacellulel’intersectiondecetteligneetcolonne.On lit:(1.64)=0.9495 (laprobabilitédel’événement[X61.64]estd’environ95%) •Parexemple,pourlirelavaleurde(0.81) Onutiliselaformule:(0.81)=1(0.81) Onlitalors:(0.81)=10.7881=0.2119 (laprobabilitédel’événement[X60.81]estd’environ21%) 42 ECE1-B2015-2016 Or,d’aprèslepointprécédent,Z0 1fX(t)dtconvergeetvautFX(0). OnendéduitqueZ+1 1fX(t)dtconvergeetvaut:FX(0)+1FX(0)= 1. 3)Soitx2R.Deparlechapitresurlesvariablesaléatoires(CH20),on a: lim t!xFX(t)=FX(x)P([X=x])=P([X<x]) OrXestunev.a.r.àdensité.DoncFXestunefonctioncontinuesur R.Elleestdonc,afortiori,continueàgaucheenx. Onendéduit:lim t!xFX(t)=FX(x)etdonc:P([X=x])=0. 4)Soit(a,b)2R2 .Parl’égalité(encadrée)précédente,ona: P([X<a])=FX(a)P([X=a])=Za 1fX(t)dt D’autrepart:[X>b]=[X6b]etdonc:P([X>b])=1P([X6b]). P([X>b])=1P([X6b])=Z+1 1fX(t)dtZb 1fX(t)dt =Zb 1fX(t)dt+Z+1 bfX(t)dtZb 1fX(t)dt 5)Soit(a,b)2R2telquea6b.Onaalors: P([a<X6b])=FX(b)FX(a) =Za 1fX(t)dt+Zb afX(t)dtZa 1fX(t)dt Lapremièreégalitéestvérifiéepourtoutefonctionderépartition(cf CH20).D’autrepart,ona:[a<X6b]=[a<X<b][[X=b], uniond’événementsincompatibles.Onendéduit: P([a<X6b])=P([a<X<b])+P([X=b]) Lesautreségalitéssontdémontréesdelamêmefaçon. 7

ECE1-B2015-2016

Tabledelaloinormalecentréeréduite.Onutiliseparfois(notammentenstatistiques),destablescontenantlesva-leurscaractéristiquesdecertainesloisusuelles.Latableci-dessouscontientlesvaleursde,fonctionderépartitiondelaloinormalecentréeréduite.

(t)=P([X6t])= Zt

1 1p2⇡ e u22du

t0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64060.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.72240.60.72570.72910.73240.73570.73890.74220.74540.74860.75170.75490.70.75800.76110.76420.76730.77040.77340.77640.77940.78230.78520.80.78810.79100.79390.79670.79950.80230.80510.80780.81060.81330.90.81590.81860.82120.82380.82640.82890.83150.83400.83650.83891.00.84130.84380.84610.84850.85080.85310.85540.85770.85990.86211.10.86430.86650.86860.87080.87290.87490.87700.87900.88100.88301.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92790.92920.93060.93191.50.93320.93450.93570.93700.93820.93940.94060.94180.94290.94411.60.94520.94630.94740.94840.94950.95050.95150.95250.95350.95451.70.95540.95640.95730.95820.95910.95990.96080.96160.96250.96331.80.96410.96490.96560.96640.96710.96780.96860.96930.96990.97061.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97610.97672.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.98572.20.98610.98640.98680.98710.98750.98780.98810.98840.98870.98902.30.98930.98960.98980.99010.99040.99060.99090.99110.99130.99162.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99320.99340.99362.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.99490.99510.99522.60.99530.99550.99560.99570.99590.99600.99610.99620.99630.99642.70.99650.99660.99670.99680.99690.99700.99710.99720.99730.99742.80.99740.99750.99760.99770.99770.99780.99790.99790.99800.99812.90.99810.99820.99820.99830.99840.99840.99850.99850.99860.9986

Fig.1TabledelaloinormaleN(0,1)

41 ECE1-B2015-2016

Remarque

•Cethéorèmeillustrel’intérêtdesv.a.r.àdensité:onobtientlavaleurdelafonctionderépartitionFXetdonclaloideXsousformed’uncalculd’intégrales(éventuellementimpropres).

•Nousavonsobtenudesrésultatsanaloguesdanslechapitreprécédent.

Casdiscret(v.a.r.discrète) Cascontinu(v.a.r.àdensité) P([X6b]) P

x2X(⌦)x6b P([X=x]) Zb1 fX(t)dt P([a6X6b])(aveca6b) P^x2X(⌦)a6x6b P([X=x]) Zba fX(t)dt

P([a6X6b])(aveca6b) FX(b)FX(a)+P([X=a])FX(b)FX(a) P(⌦)=1 P

x2X(⌦) P([X=x])=1 Z+1

1 fX(t)dt=1 RégularitédeFX Entoutpointx2R:

•FXcontinueàdroiteenx

•FXadmetunelimitefinieàgaucheenx FXcontinuesurR

8

ECE1-B2015-2016 Proposition5. NotonslafonctionderépartitiondelaloiN(0,1). 8x2R,(x)=1(x) Démonstration. Soitx2R.Ona:(x)=Zx 1

1 p 2⇡et2 2dt=Zx +1

1 p 2⇡e

(u)2 2du= Z+1 x

1 p 2⇡eu2 2du=Z+1 1

1 p 2⇡eu2 2duZx 1

1 p 2⇡eu2 2du=1 (x). Remarque Cerésultatprovientdelaparitéde'etpeutseliregraphiquement. 0x =(x)et=1(x) 0x =(x) 40

ECE1-B2015-2016 •LesymboleP (sommeauplusdénombrable)ducasdiscretestl’ana- logue,danslecascontinu,dusymboleR (sommecontinue=intégrale). •LaquantitéfX(t)dtdoitêtrecomprisecommelaprobabilitéquelav.a.r. àdensitéXsoitdansl’intervalleinfinitésimaldt.C’estl’analoguedela quantitéP([X=x])ducasdiscret. Théorème2. Soitf:R!Runefonction. festunedensité deprobabilité,

8 > > > > > > > < > > > > > > > :

1.festcontinuesurRsaufenunnombre finidepoints, 2.8x2R,f(x)>0, 3.Z+1 1f(t)dtestconvergenteetvaut1. Démonstration. ())Sifestunedensitédeprobabilitéalors,pardéfinition,f=F0 X(pour unecertainev.a.r.X)saufenunnombrefinidepoints.OrFXestC1sauf enunnombrefinidepointsdoncF0 XestC0saufenunnombrefinide points. Lafonctionfestpositivepardéfinition. EnfinZ+1 1f(t)dt=1aétédémontrédanslethéorèmeprécédent. (()Admis. Remarque Cethéorèmepeutêtrevucommeuneréciproquedesrésultatsprécédents: ⇥siFXestlafonctionderépartitiond’unev.a.r.alorslafonctionfdéfinie parf(x)=F0 X(x)(saufenunnombrefinidepoints)estunedensitéde probabilitéàconditionquefsoitpositive. ⇥inversement,sifvérifielestroispropriétésduthéorèmeprécédent,alors lafonctionFdéfiniepar:F(x)=Zx 1f(t)dtestunefonctionde répartition. 9

ECE1-B2015-2016

Représentationgraphique.Onconsidèreunev.a.r.XtellequeX,!N(0,1).

•Représentationgraphiquedeladensité'.

0

•Représentationgraphiquedelafonctionderépartition.n’admetpasd’expression«simple».Onreprésentedoncgraphique-ment(x)commel’airesouslacourbedeentre1etx.

0x 0ab

=(x)et=(b)(a)

39 ECE1-B2015-2016

ExempleOndéfinitunefonctionfsurRpar:

f(x)= 8>><

>>: 0six<11+xsi16x<01xsi06x<10si16x

a.Montrerquefestunedensitédeprobabilitéettracersongraphe.b.SoitXunevariablealéatoirededensitéf.ExpliciterFX.

c.CalculerP ✓

X> 12 ◆etP ✓|X|6 13 ◆. Démonstration.a.D’aprèslethéorèmeprécédent,ils’agitdedémontrerquefvérifietroispropriétés.1.festC0surR\{1,0,1}.Enfait,festmêmecontinuesurRpuisque:limx!1 f(x)=0=limx!1+ =f(1).(etégalitésanaloguesen0et1)2.8x2R,f(x)>0.Parexemple,six2[1,0[,alors061+x<1etdoncf(x)>0six2[1,0[.

3.NotonsU(y)= Z0

y poury61.Onaalors:

Z0

y f(t)dt= Z1

y f(t)dt+ Z0

1 f(t)dt

= Z0

1 f(t)dt= Z0

1 (1+t)dt= 

t+ t2

2 0

1

= ✓

1+ (1)2

2 ◆

= 12 !y!1 12

Onendéduitque Z0

1 f(t)dtconvergeetvaut 12 .Ondémontrede mêmeque Z+1 0 f(t)dtconvergeetvaut 12 .Eneffet:

10

ECE1-B2015-2016 Théorème10. SoitXunev.a.r.tellequeX,!N(0,1). Alors,ona: 1)Xadmetuneespérance. 2)E(X)=0(etV(X)=1) Démonstration. 1)NotonsU(y)=Zy 0t'(t)dt=Zy 0

1 p 2⇡tet2 2dt=1 p 2⇡

Zy 0tet2 2dt poury>0. Onaalors:Zy 0tet2 2dt= et2 2

y 0=ey2 2+e0 =1ey2 2. Or,commelim y!+1ey2 2=0.OnendéduitqueZ+1 0t'(t)dtest convergenteetvaut1. Demême,notonsV(y)=Zy 0t'(t)dt=1 p 2⇡Z0 ytet2 2dtpoury60. Onaalors:Z0 ytet2 2dt=Z0 yte

(t)2 2dt=Zy 0te

(t)2 2dt =(1e(y)2 2)=1+ey2 2 (onutiliseenfaitlecaractèreimpairdelafonctiont!t'(t)) OnendéduitqueZ0 1t'(t)dtestconvergenteetvaut1. AinsiZ+1 1t'(t)dtestuneintégraleabsolumentconvergente. 2)Parlecalculprécédent,E(X)apourvaleur:11=0. 38

ECE1-B2015-2016 Z1 0f(t)dt=Z1 0(1t)dt=Z1 0(1+u)(du)=Z0 1f(u)du OnendéduitqueZ+1 1f(t)dtconvergeetvaut1 2+1 2=1. 011

1 b.Ladensitédeprobabilitéfétantdéfinieparmorceaux,ilenest(a priori)demêmepourFX. ⇥Six<1:FX(x)=Zx 1f(t)dt=Zx 10dt=0. ⇥Si16x<0:FX(x)=Zx 1f(t)dt=Z1 10dt+Zx 1(1+t)dt Or:Zx 1(1+t)dt= t+t2 2

x 1=✓ x+x2 2◆✓ 1+(1)2 2

◆ etdoncFX(x)=x2 2+x+1 2. ⇥Si06x<1:FX(x)=Z1 10dt+Z0 1(1+t)dt+Zx 0(1t)dt Or:Zx 0(1t)dt= tt2 2

x 0=✓ xx2 2

◆ etZ0 1(1+t)dt=1 2 etdoncFX(x)=x2 2+x+1 2. ⇥Six>1:FX(x)=Z1 10dt+Z1 1f(t)dt+Zx 10dt etdoncFX(x)=1. 11

ECE1-B2015-2016

II.3.Loinormalecentréeréduite

Définition

•Onditqu’unev.a.r.Xsuitlaloinormalecentréeréduitesi:

a)X(⌦)=]1,+1[

b)Xadmetpourdensitélafonction'définiepar:

':R!R

x7! 1p2⇡ e x22

•OnutiliseralanotationX,!N(0,1)poursignifierqueXsuitlaloinormalecentréeréduite.

Remarque

•Onpeutvérifierque'estbienunedensitédeprobabilité:1)'estcontinuesurR2)8x2R,'(x)>0

3) Z+1

1 '(t)dt=1(Admis).

•Lafonctionestpaire.Songrapheseradoncsymétriqueparrapportàl’axedesordonnées.

•Lafonctionderépartitionassociéeàlaloinormalecentréeréduiten’ad-metpasd’expression«simple».Onlanote.

:R!R+

x7! Zx

1 1p2⇡ e t22dt

37 ECE1-B2015-2016

c.Ilyadeuxmanièresderédigercettequestion:

•P ✓X> 12 ◆= Z+1

12 f(t)dt= Z1¹

2 (1t)dt+ Z+1

1 0dt

Or: Z1

12 (1t)dt= 

t t2

2 1

12 = ✓

1 12 ◆12 ( 12)2

2 !

= 18

•P ✓X> 12 ◆=1P ✓X6 12 ◆=1FX ✓12 ◆= 18 carFX ✓12 ◆= ( 12) 2

2 + 12 + 12 = 78Onpeutaussiutiliserl’uneoul’autredecesrédactionspourlaquestionsuivante:

•P ✓|X|6 13 ◆=P ✓13 6X6 13 ◆= Z1313 f(t)dt=2 Z130 f(t)dt parparité.Or: Z13

0 (1t)dt= t t 22 13

0 = 13 118 = 518

•P ✓|X|6 13 ◆=P ✓13 6X6 13 ◆=FX ✓13 ◆FX ✓13 ◆= 59 carFX ✓13 ◆= ( 13) 2

2 + 13 + 12 = 79

etFX ✓13 ◆

= (13)2

2 13 + 12 = 29

12

ECE1-B2015-2016 pouruncertain↵>0.Onreconnaîtlafonctionderépartitiond’uneloi exponentielle.OnendéduitqueX,!E(↵). Représentationgraphique. Onconsidèreunev.a.r.XtellequeX,!E(2). •ReprésentationgraphiquedeladensitéfX. 0

2 •ReprésentationgraphiquedelafonctionderépartitionFX. 0

1 36

ECE1-B2015-2016 I.3.Transformationd’unev.a.r.àdensité I.3.a)Transformationaffined’unev.a.r.àdensité Théorème3. SoitXunev.a.r.àdensitéfX. Soitaetbdeuxréelstelsquea6=0. 1)LavarY=aX+bestunev.a.r.àdensité. 2)Deplus,sadensitéestdonnéeparfY:x7!1 |a|fX✓ xb a

◆ Démonstration. NotonsYlav.a.r.définieparY=aX+b.DéterminonsFYlafonctionde répartitiondeY. 8x2R,FY(x)=P([Y6x])=P([aX+b6x])=P([aX6xb]) Ondoitalorsdistinguerdeuxcas: 1)Sia>0,alors:FY(x)=P✓ X6xb a

◆ =FX✓ xb a

◆ 2)Sia<0,alors: FY(x)=P✓ X>xb a

◆ =1P✓ X<xb a

◆ =1FX✓ xb a

◆ Orlafonctionx7!xb aestC1surR.LafonctionFXétantlafonction derépartitiond’unev.a.r.àdensité,onsaitqueFXestC0surRetC1 saufenunnombrefinidepoints.Parcomposition,onendéduitqueFY estC0surRetC1saufenunnombrefinidepoints.OnendéduitqueY estunev.a.r.àdensité. 13

ECE1-B2015-2016

Théorème9.SoitXunev.a.r.àdensité.

Xsuituneloiexponentiellesietseulementsi:

1)X(⌦)=R +

2)8(s,t)2R +⇥R +,P[X>s]([X>s+t])=P([X>t])

(onditquelaloiexponentielleestsansmémoire)

3)8s2R+,P([X>s])6=0 Démonstration.())S’ilexiste↵>0telqueX,!E(↵)alors:1)X(⌦)=R+(pardéfinition),

2)P[X>s]([X>s+t])= P([X>s]\[X>s+t])P([X>s]) = P([X>s+t])P([X>s])Eneffet,[X>s+t]✓[X>s].Orona:P([X>s])=1P([X6s])=1FX(s)=1(1e↵s)=e↵s

Ainsi:P[X>s]([X>s+t])= e↵(s+t)e↵s =e↵t=P([X>t]). 3)Sis2R+,P([X>s])=e↵s>0. (()Cerésultatpluscompliquénécessitedesavoirrésoudreuneéquationfonctionnelle.Plusprécisément,siGestunefonctionG:R+!R+,ona:

•8(s,t)2(R +) 2,G(s+t)=G(s)G(t)

•G(1)6=0

•GestdécroissantesurR + 9>>=>>; ) 9↵2R+,8t2R+,G(t)=e↵t

EnnotantG:R +!R +lafonctiondéfinieparG(t)=P([X>t])(pourt2R +),ondémontrequeGvérifielespropriétésci-dessusetainsique:

FX(t)=P([X6t])=1P([X>t])=1G(t)=1e ↵t

35 ECE1-B2015-2016

DéterminonsunedensitédeY.

1)Sia>0,alors:F0Y(x)= 1a F0X ✓xba ◆

= 1a fX ✓xba ◆

2)Sia<0,alors:F0Y(x)= 1a F0X ✓xba ◆

= 1a fX ✓xba ◆

Onenconclutqu’unedensitédeYestdonnéepar:x7! 1|a| fX ✓xba ◆.

Remarque

•Peut-ongénéralisercettepropriété:siXetYsontdesvariablesàden-sité,lav.a.r.X+Yest-elleàdensité?NON!onpeutparexempleconsidérer:

⇥unev.a.r.Xsuivantuneloiuniformesur[0,1](définitionàsuivre),

⇥etlav.a.r.YdonnéeparY=1X.AlorsX+Y=1,cequimontrequeX(⌦)={1}.Ainsi,X+Yn’admetpasdedensitéentantquev.a.r.discrète(finie).

•L’ensembledesv.a.r.àdensitén’estdoncpasstableparaddition.Decefait,cen’estpasunespacevectoriel.

14

ECE1-B2015-2016 Proposition4. SoitXunev.a.r.tellequeX,!E(↵). AlorssafonctionderépartitionFXestdéfiniepar: FX:R!R x7!( 0six2]1,0[ 1e↵xsix2[0,+1[ Démonstration. Faitedanslaremarqueprécédente. Théorème8. SoitXunev.a.r.tellequeX,!E(↵)(avec↵>0). Alors,ona: 1)Xadmetuneespérance. 2)E(X)=1 ↵ Démonstration. 1)NotonsU(y)=Zy 1tf(t)dt=Zy 0tf(t)dtpoury>0. Oneffectueuneintégrationparparties:u=tu0=1 v0=e↵tv=e↵t ↵. U(y)=Zy 0tf(t)dt=1 ↵⇥ te↵t⇤y 0+1 ↵Zy 0e↵t dt =1 ↵((ye↵y+0)+(e↵y+1))! y!+11 ↵ Eneffet,lim y!+1ye↵y =0etlim y!+1e↵y =0. 2)Onendéduit:E(X)=1 ↵. 34 ECE1-B2015-2016 I.3.b)Transformationpolynomiale(carré) Théorème4. SoitXunev.a.r.àdensitéfX. 1)LavarY=X2 estunev.a.r.àdensité. 2)Deplus,sadensitéestdonnéepar: fY:x7!

8 < :

0six<0 1 2p x(fX(p x)+fX(p x))six>0 Démonstration. Ladémonstrationestanalogueàladémonstrationprécédente. •Six<0:[Y6x]=⇥ X26x⇤ =?, etalors:FY(x)=P([Y6x])=P(?)=0. •Six>0:[Y6x]=⇥ X26x⇤ =[p x6X6p x]. etalors:FY(x)=P([Y6x])=P([x6X6x])=FX(p x)FX(p x). LafonctionFYestC1 sur]1,0[(carconstantesurcetintervalle). Sur]0,+1[,FYestobtenuecommecomposéedelafonctionFXquiestC1 surRsauf(éventuellement)enunnombrefinidepointsetdelafonction x7!p xquiestC1 sur]0,+1[. Ainsi,FYestC1 surRsauf(éventuellement)enunnombrefinidepoints. Enfin,entoutpointx>0oùFYestdérivable,ona: F0 Y(x)=1 2p xF0 X(p x)✓ 1 2p xF0 X(p x)◆ =1 2p xfX(p x)1 2p xfX(p x) =1 2p x(fX(p x)+fX(p x)) etF0 Y(x)=0pourtoutx<0. 15

ECE1-B2015-2016

II.2.Loiexponentielle

Définition

•Onditqu’unev.a.r.Xsuitlaloiexponentielledeparamètre↵(avec↵>0)si:

a)X(⌦)=[0,+1[

b)Xadmetpourdensitélafonctionfdéfiniepar:

f:R!R

x7! 8<

: ↵e ↵xsix2[0,+1[

0sinon

•OnutiliseralanotationX,!E(↵)poursignifierqueXsuitlaloiexponentielledeparamètre↵.

Remarque

•Onvérifieaisémentquefestbienunedensitédeprobabilité:1)festcontinuesur]1,0[[]0,+1[2)8x2R,f(x)>0

3) Z+1

1 f(t)dt= Z+1

0 f(t)dtconverge.Eneffet,siy>0:Zy

0 f(t)dt= Zy

0 ↵e ↵tdt=↵ Zy

0 e ↵tdt=↵ e↵t

↵ y

0

=e ↵y+e ↵0=e ↵y+1!y!+1 1 Onendéduit: Z+1

1 f(t)dt=1.

33 ECE1-B2015-2016

I.4.Espéranced’unev.a.r.àdensité

DéfinitionSoitXunev.a.r.dedensitéfX.

•OnditqueXadmetuneespéranceE(X)sil’intégrale Z+1

1 xfX(x)dxestabsolumentconvergente.

•Danscecas,E(X)= Z+1

1 xfX(x)dx

Remarque

•Ilfautbiencomprendreque,mêmesilanotationestlamêmequepré-cédemment(E(X)),nousvenonsdedéfinirunnouvelopérateurquiagitsurlesv.a.r.àdensitéetplussurlesv.a.r.discrètes.

•Iln’yadoncpasderaisonpourquelespropriétésclassiquesdel’opéra-teurespérancedesv.a.r.discrètessoientvérifiéespourl’opérateurespé-rancedesv.a.r.àdensité.

•Unepropriétéaussisimplequelalinéaritéetnotammentl’égalité:

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

estproblématique.Eneffet,onavuquemêmesiXetYsontàdensité,X+Ynel’estpasforcément.IlfautdoncsedemandercequereprésentelesdifférentssymbolesEdecetteégalité...

•Enfait,ilexisteunethéoriepermettantd’unifiersousunemêmeécriturelecasdiscretetlecascontinu.Toutefois,c’esthorsdenotreportéeetnousn’endironsdoncpasplus.

16

ECE1-B2015-2016 SiX,!U([0,1]),sescaractéristiquessontlessuivantes. •Densité:fX:R!R x7!⇢ 1six2[0,1] 0sinon •Fonctionderépartition:

FX:R!R x7!

8 < :

0six2]1,0] xsix2[0,1] 1six2]1,+1[ •EspérancedeX:E(X)=1 2 Représentationgraphique. Onconsidèreunev.a.r.XtellequeX,!U([a,b]). •ReprésentationgraphiquedeladensitéfX. 0ab •ReprésentationgraphiquedelafonctionderépartitionFX. 0ab

1 32

ECE1-B2015-2016 Méthode. MontrerqueZ+1 1tf(t)dtestabsolumentconvergente. Ils’agitdedémontrerque:Z+1 1|tf(t)|dtestconvergente. Pourcefaire,ilfautconsidérer: 1)U(y)=Z0 y|tf(t)|dt(siy60)etmontrerquelim y!1U(y)estfinie, 2)V(y)=Zy 0|tf(t)|dt(siy>0)etmontrerquelim y!+1V(y)estfinie. Étudionsprécisémentcesdeuxcas: 1)Siy60,alorst7!|tf(t)|estintégréesur[y,0]✓]1,0]. Onadonc:t60etainsi:|tf(t)|=|t||f(t)|=tf(t) carlafonctionfestpositive.Ainsi: U(y)=Z0 ytf(t)dt=Z0 ytf(t)dt 2)Siy>0,alorst7!|tf(t)|estintégréesur[y,0]✓[0,+1[. Onadonc:t>0etainsi:|tf(t)|=|t||f(t)|=tf(t) carlafonctionfestpositive.Ainsi:V(y)=Zy 0tf(t)dt SoitXunev.a.r.dedensitéf. Xadmetune espérance,

8 > > > < > > > :

1)Z0 1tf(t)dtestconvergente 2)Z+1 0tf(t)dtestconvergente 17

ECE1-B2015-2016

Théorème7.SoitXunev.a.r.tellequeX,!U([a,b])(a<b).Alors,ona:1)Xadmetuneespérance.

2)E(X)= a+b2

Démonstration.Z+1

1 tf(t)dtconvergecommeintégralesurlesegment[a,b]delarestric-tionsur[a,b]delafonctiont7!tf(t),continuesur[a,b].Eneffet:Z+1

1 tf(t)dt= Za

1 tf(t)dt+ Zb

a tf(t)dt+ Z+1

b tf(t)dt

= Zb

a tba dt= 1ba Zb

a tdt= 1ba t22 b

a

= 12 b2a2

ba = 12 (ba)(b+a)ba = a+b2 OnendéduitqueXadmetuneespéranceetqueE(X)= a+b2 .

Casparticulierdelaloiuniformesur[0,1]EnScilab,l’opérateurrandpermetdesimulerlaloiU([0,1]).Commeonl’avuenTP,cettefonctionrandpermetaussilasimulationdesloisuniformessur[a,b].Ilsuffitpourcefaired’effectuerunesimpletransfor-mationaffine.Lerésultatmathématiquecorrespondantestlesuivant.

Soit(a,b)2R2eta<b.SoitXunev.a.r.àdensité.NotonsY=a+(ba)X.

X,!U([0,1]),Y,!U([a,b])

31 ECE1-B2015-2016

ExempleSoitXunevariablealéatoirededensitéfdonnéedansl’exempleprécédent.DémontronsqueXadmetuneespérance.

1)Siy61,onnoteU(y)= Z0

y tf(t)dt= Z1

y t⇥0dt+ Z0

1 t(1+

t)dt

Onadonc:limy!1 U(y)= Z0

1 t(1+t)dt,limitefiniecommeintégraled’unefonctioncontinuesurunsegment.

2)Siy>1,onnoteV(y)= Zy

0 tf(t)dt= Z1

0 t⇥(1t)dt+ Zy

1 t⇥0dt Onadonc:limy!+1 V(y)= Z1

0 t(1t)dt,limitefiniecommeintégraled’unefonctioncontinuesurunsegment.OnendéduitqueXadmetuneespérance.Deplus,ona:

E(X)= Z+1

1 tf(t)dt= Z0

1 t(1+t)dt+ Z1

0 t(1t)dt

= Z0

1 u(1u)(du)+ Z1

0 t(1t)dt

= Z1

0 u(1u)du+ Z1

0 t(1t)dt=0

Ainsi:E(X)=0.(note:ladensitéfconsidéréeiciestpaire;lecalculeffectuétirepartieducaractèreimpairedelafonctiont7!tf(t))

18

ECE1-B2015-2016 •Ondéfinitdemêmelaloiuniformesur]a,b[,[a,b[,]a,b]. Proposition3. SoitXunev.a.r.tellequeX,!U([a,b]). AlorssafonctionderépartitionFXestdéfiniepar: FX:R!R x7!

8 > > < > > :

0six2]1,a[ xa basix2[a,b] 1six2]b,+1[ Démonstration. Soitx2R.OnétudielavaleurdeFX(x)enfonctiondex. •Six<a: FX(x)=Zx 1f(t)dt=Zx 10dt=0 •Six2[a,b]: FX(x)=Zx 1f(t)dt=Za 1f(t)dt+Zx af(t)dt =Za 10dt+Zx a

1 badt =0+xa ba •Six>b: FX(x)=Za 1f(t)dt+Zb af(t)dt+Zx bf(t)dt =Za 10dt+Zb a

1 badt+Zx a0dt =0+ba ba+0=1 30

ECE1-B2015-2016 Proposition1. Onconsidèrelafonctionfdéfiniepar: f:R!R x7!1 ⇡(1+x2) 1)Alorsfestunedensitédeprobabilité(densitédelaloiditedeCauchy). 2)SiXestunev.a.r.dedensitéfalorsXn’admetpasd’espérance. Ilexistedesv.a.r.àdensitén’admettantpasd’espérance Démonstration. (i)festcontinuesurRcommeinversed’unefonctioncontinuequine s’annulepassurR. (ii)8x2R,f(x)>0. (iii)Z+1 1f(t)dt=1(onl’admetici). Onendéduitquefestunedensitédeprobabilitéd’unev.a.r.X.Intéressons- nousmaintenantàl’espérance,sielleexiste,decettev.a.r.X.Onvaprou- verqueZ+1 1xf(x)dxdivergeetdoncqueZ+1 1xf(x)dxdiverge.Ce quidémontrequeXn’admetpasd’espérance. Pourtoutx>1,ona:x 1+x2>1 2x>0. Or,parlecritèredeRiemann,l’intégraleZ+1 1

1 2xdxestdivergente. OnendéduitqueZ+1 1

x 1+x2dxetdoncZ+1 1xf(x)dxestdivergente. Ainsi,Xn’admetpasd’espérance. 19

ECE1-B2015-2016

II . L ois à dens ité us uel les

II.1.Loiuniformesurunintervalleréel

Définition

•Onditqu’unev.a.r.Xsuitlaloiuniformesur[a,b](pouraetbdeuxréelstelsquea<b)si:

a)X(⌦)=[a,b]

b)Xadmetpourdensitélafonctionfdéfiniepar:

f:R!R

x7! 8<

: 1ba six2[a,b]

0sinon

•OnutiliseralanotationX,!U([a,b])poursignifierqueXsuitlaloiuniformesur[a,b].

Remarque

•Onvérifieaisémentquefestbienunedensitédeprobabilité:1)festcontinuesur]1,a[[]a,b[[]b,+1[2)8x2R,f(x)>0

3) Z+1

1 f(t)dtconvergeentantqu’intégralesurlesegment[a,b]delafonctionf[a,b]continuesur[a,b].Eneffet:Z+1

1 f(t)dt= Za

1 f(t)dt+ Zb

a f(t)dt+ Z+1

b f(t)dt

= Zb

a 1ba dt= baba =1

29 ECE1-B2015-2016

Proposition2.SoitXunev.a.r.àdensitéfadmettantuneespérance.Soit(a,b)2R2telsquea6=0.1)Lav.a.r.Y=aX+bestunev.a.r.àdensitéetadmetuneespérance.

2)E(aX+b)=aE(X)+b

Démonstration.Pouraméliorerlalisibilitédeladémonstration,onchoisita>0.Onauradonc|a|=a(lecasa60setraitedemanièreanalogue).1)OnadéjàdémontréquesiXapourdensitéfalorsY=aX+bestunev.a.r.àdensitéetfY(x)= 1|a| fX ✓xba ◆= 1a fX ✓xba ◆.

Ils’agitdoncdedémontrerquel’intégrale Z+1

1 tfY(t)dtestabsolu-mentconvergente.

•siy60,notonsU(y)= Z0

y tfY(t)dt.Onaalors:

U(y)= 1|a| Z0

y tfX ✓tba ◆

dt= 1a Zba

yba (au+b)fX(u)adu

=a Zba

yba ufX(u)du+b Zba

yba fX(u)du

!y!1 a Zba

1 ufX(u)du+b Zba

1 fX(u)du Orl’intégrale Zba

1 ufX(u)duestconvergentecar,parhypothèse,X admetuneespérance.D’autrepart, Zba

1 fX(u)duestaussiconver- gente(c’estFX( ba)).Ainsi, Z0

1 tfY(t)dtestconvergente.

20

ECE1-B2015-2016 ParhypothèseXadmetuneespérancedoncZ+1 1xfX(x)dxestconver- genteetvautE(X).D’autrepart,Z+1 1fX(x)dxestconvergenteetvaut 1.OnendéduitqueZ+1 1(xE(X))2 fX(x)dxestabsolumentconver- gentesiZt sx2 fX(x)dxl’est,cequidémontrelerésultat. Encasdeconvergence,ona: V(X)=Z+1 1x2 fX(x)dx2E(X)⇥E(X)+(E(X))2 ⇥1 =E(X2)2(E(X))2+(E(X))2 =E(X2 )(E(X))2 DéfinitionVariablescentréesréduites SoitXunev.a.r.àdensité. a)SiXadmetuneespéranceégaleà0onditqueXestunevariable centrée. b)SiXadmetunevarianceégaleà1onditqueXestunevariableréduite. c)SiXadmetunevariance,lavariableX⇤=XE(X) (X)estappelée variablecentréeréduiteassociéeàX. Remarque Onpeutconsidérercecicommeuneopérationdenormalisationdelava- riance(plussimplepourraisonnerdanslesthéorèmes). 28

ECE1-B2015-2016 •siy>0,notonsV(y)=Zy 0tfY(t)dt.Onaalors: V(y)=1 |a|Zy 0tfX✓ tb a

◆ dt=1 aZyb a b a(au+b)fX(u)adu ! y!1aZ+1 b aufX(u)du+bZ+1 b afX(u)du OnconclutdemêmequeZ+1 0tfY(t)dtestconvergente. Ainsi,Z+1 1tfY(t)dtestabsolumentconvergentecequipermetde conclurequeXadmetuneespérance. 2)Parladémonstrationprécédente: E(X)=Z0 1tfY(t)dt+Z+1 0tfY(t)dt =aZb a 1ufY(u)du+Z+1 b aufY(u)du! +bZb a 1fY(u)du+Z+1 b afY(u)du! =aZ+1 1ufY(u)du |{z} E(X)

+bZ+1 1fY(u)du |{z} 1 21

ECE1-B2015-2016

Remarque

•Lethéorème5peutêtrevucommeuncasparticulierduthéorèmedetransfertenprenantl’applicationg:x7!(xE(X)) 2.

Théorème6.FormuledeKœnig-HuygensSoitXunev.a.r.àdensité.OnsupposequeXadmetuneespéranceE(X).

Lav.a.r.Xadmetunevariance , Lav.a.r.Xadmetunmomentd’ordre2 Etdanscecas:V(X)=E(X2)(E(X))2

Démonstration.Lav.a.r.XadmetunevarianceSSIlav.a.r.Y=XE(X)admetunmomentd’ordre2

SSI Z+1

1 (xE(X)) 2fX(x)dxestabsolumentconvergente

SSI Z0

s (xE(X)) 2fX(x)dxadmetunelimitequands!1

et Zt

0 (xE(X)) 2fX(x)dxadmetunelimitequandt!+1. OnnotealorsU(s,t)= Zt

s (xE(X)) 2fX(x)dxetonremarqueque: (xE(X))2=x22E(X)x+(E(X))2.Onendéduit: U(s,t)= Zt

s (x 22E(X)x+(E(X)) 2)fX(x)dx

= Zt

s x 2fX(x)dx+ Zt

s 2E(X)xfX(x)dx+ Zt

s (E(X)) 2fX(x)dx

= Zt

s x 2fX(x)dx2E(X) Zt

s xfX(x)dx+(E(X)) 2 Zt

s fX(x)dx

27 ECE1-B2015-2016

Remarque

•Onpeutpensercettepropriétécommeuneversionfaibledelapropriétédelinéarité.

•Lapropriétédelinéaritéexistemaisdemandelecadredelathéorieunificatricecitéeprécédemment.

DéfinitionVariablecentréeSoitXunev.a.r.àdensité.

•OnditquelavariableXestunevariablecentréesi:1)Xadmetuneespérance,2)E(X)=0.

•SiXadmetuneespérance,alorslav.a.r.XE(X)estcentrée.Elleestappeléev.a.r.centréeassociéeàX.

Remarque

•SoitXunev.a.r.àdensitéadmettantuneespérance.Alorsona:1)lav.a.r.XE(X)estunev.a.r.àdensitéetadmetunedensité(cfProposition2).2)d’aprèscettemêmeproposition,lav.a.r.Y=XE(X)(Y=aX+baveca=1etb=E(X))admetpourespérance:E(Y)=E(XE(X))=E(X)E(X)=0.

•Cetyped’opérationestàcomprendrecommeunopérateurdenormali-sation.Pourdémontrercertainsrésultats,ilestutiledeseplacerdanslecasoùlav.a.r.Xestcentrée.Onnepeutsupposer,entoutegénéralité,qu’unev.a.r.estcentrée.Parcontre,onpeutmontrerlerésultatsurlav.a.r.centréeY=XE(X)puisendéduireunrésultatanaloguesurX.

22

ECE1-B2015-2016 Ainsi,ona: U(s)=1 2Zp s 0u(fY(u)+fY(u))(2udu) =Zp s 0u2 fY(u)du+Zp s 0u2 fY(u)du =Zp s 0u2 fY(u)duZp s 0(v)2 fY(v)dx Ladernièrequantitéétantobtenuegrâceauchangementdevariable: •v=udoncdv=duetdu=dv •Siu=0alorsv=0=0 •Siu=p salorsv=(p s)=p s Onpeutalorsfinirlecalcul. U(s)=Zp s 0u2 fY(u)du+Z0 p sv2 fY(v)dv=Zp s p st2 fY(t)dt =Zp s p st2 fX(t+E(X))dx=Zp s+E(X) p s+E(X)(xE(X))2 fX(x)dx ! s!+1

Z+1 1(xE(X))2 fX(x)dx LaconvergenceestobtenueparlefaitqueU(s)admetunelimitefinieen +1(quiestV(X))etquep s+E(X)!+1quands!+1. Ladernièreégalité,quantàelle,aétéencoreunefoisobtenuegrâceàun changementdevariable: •x=t+E(X)doncdx=dt •Sit=p salorsx=p s+E(X) •Sit=p salorsx=p s+E(X) D’oùlerésultat. 26 ECE1-B2015-2016 I.5.Varianced’uneloiàdensité DéfinitionMomentsd’ordrer SoitXunev.a.r.dedensitéfXetsoitr2N⇤ . •OnditqueXadmetunmomentd’ordrer,notémr(X),sil’intégrale Z+1 1xr fX(x)dxestabsolumentconvergente. •Sousréserved’existence,ona:mr(X)=E(Xr )=Z+1 1xr fX(x)dx Remarque •Sir=0,onaX0 =1etdoncm0(X)=E(1)=1. •Sir=1,onaX1 =Xetdoncm1(X)=E(X). •LefaitqueE(Xr )puisses’écriresouslaformed’uneintégralen’estpas évident.Pourledémontrer,onpeutconsidérerlavariableY=Xr , montrerqu’elleestàdensitéfYetdémontrerparunchangementde variableque:Z+1 1xfY(x)dx=Z+1 1xr fX(x)dx(cfdémonstration duthéorème5) •Onpeutaussiutiliserlethéorèmedetransfert(admis).Sousleshypo- thèses: ⇥Xv.a.r.dedensitéf, ⇥gcontinuesurRprivéd’unnombrefinidepoints, ⇥Z+1 1g(t)f(t)dtestabsolumentconvergente. Alors 1)lav.a.r.g(X)admetuneespérance 2)E(g(X))=Z+1 1g(t)f(t)dt 23