II . E sp ac e pr oba bi lis é fini

(1)

ECE1-B2015-2016

C H IX :P ro ba bi lit és sur un uni ve rs fini I. E spa ce pr oba bi lis abl e fini

I.1.Notiond’expériencealéatoire Définition •Onappelleexpériencealéatoiretouteexpériencedontlerésultatne peutêtrepréditdemanièrecertaine.Autrementdit,uneexpérience dontlerésultatdépendduhasard. Commençonsparintroduire,autraversd’exemples,lesdéfinitionsque l’onvaposerparlasuite. Exemple 1)Expérience:oneﬀectueunlancerd’undé6. •Univers:⌦={1,2,3,4,5,6}. L’universd’uneexpérienceestl’ensembledesrésultatspossiblesde l’expérience. •ÉvénementA:lerésultatobtenuestpair. Unévénementestunepropriétédel’expériencequipeutêtrevé- rifiéeounon.Unévénementestdoncentièrementdéterminépar l’ensembledesrésultatspourlesquelselleestvérifiée. A={2,4,6}⇢⌦ •Notons!lerésultatdel’expérience. Onditquel’événementAestréalisésilerésultatdel’expérience vérifiel’événement.Autrementdit,si:!2A 1

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CE1-B2015-2016

2)Expérience:onconsidèreuneurnecontenant3boulesnumérotées.L’expérienceconsisteautiragesuccessifetsansremisedeces3boules.

•Univers:⌦={(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)}.L’universestl’ensembledes3-listespossibles.

•ÉvénementB:lerésultatobtenureprésenteunentierinférieurà229.B={(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3)}⇢⌦

•Notons!lerésultatdel’expérience.L’événementestnotammentréalisésisonrésultatest!=(1,3,2).3)Expérience:onconsidèreuneurnecontenant5boulesnumérotées.Oneﬀectuemaintenantuntiragesimultanédetroisboulesdansl’urne.

•Univers:⌦={{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5}}.L’universestl’ensembledes3-combinaisonspossibles:ilyena 53.

•ÉvénementB:lasommedeschiﬀresinscritssurlesboulesestunmultiplede3.B={{1,2,3},{1,3,5},{2,3,4},{3,4,5}}⇢⌦

•Notons!lerésultatdel’expérience.L’événementestnotammentréalisésisonrésultatest!={1,3,5}.

I.2.Espaceprobabilisablefini

DéfinitionOnappelleespaceprobabilisablefiniladonnéeducouple(⌦,P(⌦))où:

•⌦estensemblefiniappeléunivers(ouuniversdespossibles).C’estl’ensembledesrésultatspossiblesd’uneexpériencealéatoire.(⌦={!1,...,!n})

•P(⌦)estl’ensembledesévénements.

•Lessingletons{!i}sontappelésévénementsélémentaires.

•UnévénementA⇢⌦estditréalisésilerésultatdel’expérienceestunélémentdeA.

2

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ECE1-B2015-2016 I.3.Événements Définition(Vocabulaire) Soit(⌦,P(⌦))unespaceprobabilisablefini. Soit(A,B)2P(⌦)2uncoupled’événements. •L’événement?estl’événementimpossibleet⌦estl’événementcer- tain. •SiA\B=?,lesévénementsAetBsontditsincompatibles. •SiA⇢B,onditquel’événementAimpliquel’événementB. (siAestréalisé,Bl’estaussi) •SiC=A[B,l’événementCestréalisésiAl’estouBl’est. •SiC=A\B,l’événementCestréalisésiAl’estetBl’est. •L’événementA,événementcontrairedeA,estréalisésiAnel’estpas. Définition(Systèmecompletd’événements) Soit(⌦,P(⌦))uneespaceprobabilisablefini. Soientm2N⇤et(Ai)i2J1,mKunefamilled’événements. •Lafamille(Ai)i2J1,mKestunsystèmecompletd’événementsfini si: 1)Ai\Aj=?pourtouti6=j (lesévénementssontdeuxàdeuxincompatibles) 2)⌦=mS i=1Ai Remarque C’estuneréécrituredelanotiondepartitionaveclevocabulaireproba- biliste.Unehypothèsediﬀèrelégèrement:danslecasd’unepartition,on supposetouslesAidiﬀérentsde?,cequin’estpas(toujours)exigédans lecasd’unsystèmecompletd’événements. Exemple Si(⌦,P(⌦))estunespaceprobabilisablefiniavec⌦={!1,...,!n}. •(A,A)estunsystèmecompletd’événements. •({!1},...,{!n})estunsystèmecompletd’événements. 3

(4)

ECE1-B2015-201 1)Lasommedesprobabilitésissuesd’unmêmenœudvaut1.P(A)+P(A)=1PA\B(C)+PA\B(C)=1

2)Laprobabilitéd’uncheminestégalauproduitdesprobabilitésren-contréessurcechemin.P(A\B\C)=P(A)PA(B)PA\B(C)

P(A\B\C)=P(A)PA(B)PA\B(C)

(formuledesprobabilitéscomposées)3)Laprobabilitéd’unévénementestlasommedesprobabilitésdesche-minsquiyaboutissent.

P(C)=P(A\B)PA\B(C)+P(A\B)PA\B(C)

+P(A\B)PA\B(C)+P(A\B)PA\B(C)

(formuledesprobabilitéstotales)

Onpeutalorscomplétercetteformuleàl’aidedelaformuledespro-babilitéscomposées:

P(A\B)=P(A)PA(B)etP(A\B)=P(A)PA(B)...

ExerciceMontrerquelafamille(A\B,A\B,A\B,A\B)estunsystèmecompletd’événements.

(ainsilaformuleprécédentedonnantP(C)estbienuneapplicationdelaformuledesprobabilitéstotales!)

33 CE1-B2015-2016

II . E sp ac e pr oba bi lis é fini

II.1.Probabilité

DéfinitionSoit(⌦,P(⌦))unespaceprobabilisablefini.UneprobabilitéestuneapplicationP:P(⌦)![0,1]telleque:

1)8A2P(⌦),06P(A)61

2)P(⌦)=1(laprobabilitédel’événementsûrest1)3)Pourtoutcouple(A,B)2P(⌦)2telsqueA\B=?,ona:

P(A[B)=P(A)+P(B)

(cettepropriétéestappeléeadditivité)Lorsqu’unetelleapplicationexiste,letriplet(⌦,P(⌦),P)estappelées-paceprobabiliséfini.

RemarqueNousavonsdéjàrencontréuneapplicationvérifiantlapropriétéd’additi-vité:lecardinal!(siA\B=?,Card(A[B)=CardA+CardB)

Engénéral,l’applicationCardn’estpasuneapplicationproba-bilité.Eneﬀet,ona:

•si⌦={!1,...,!n},onaCard(⌦)=n,

•ainsi:Card(⌦)=1,⌦={!}.(⌦estréduitàunélément)

4

(5)

CE1-B2015-2016 BONUS(bis):arbreà3niveaux A B C

P^A^\

(BC)

C

P^A

B\

(C

)

P^A(B)

B C

P^A^\

(CB)

C

P^A

B\

(C

)

PA

B (

)

P(A)

A B C

P^A^\

(CB)

C

P^A

B\

(C

)

P^A(B)

B C

P^A^\

B(C)

C

PA

B\

(C

)

AP

B (

)

( P

) A

32

ECE1-B2015-2016 II.2.Propriétésdesprobabilités Propriété Soit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfini. SoitAetBdeuxévénements(A⇢⌦,B⇢⌦). Alors: 1)P(A)=1P(A)doncP(?)=0 2)P(B\A)=P(B)P(A\B) 3)A⇢B)P(A)6P(B) 4)P(A[B)=P(A)+P(B)P(A\B) Démonstration. 1)Ona:A[A=⌦(réuniondisjointe). Ainsi,paradditivité: P(A[A)=P(A)+P(A)=P(⌦)=1 2)Ona:(B\A)[(A\B)=B(réuniondisjointe). Ainsi,paradditivité: P((B\A)[(A\B))=P(B\A)+P(A\B)=P(B) 3)D’aprèslepointprécédent:P(A\B)+P(B\A)=P(B). Or,commeA⇢B,onaA\B=A.Ainsi: P(B)=P(A)+P(B\A)>P(A) 4)Ona:A[B=A[(B\A)(ladeuxièmeréunionestdisjointe). Onendéduit,àl’aidedupoint2)que: P(A[B)=P(A[(B\A)) =P(A)+P(B\A) =P(A)+P(B)P(A\B) 5

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ECE1-B2015-201

Lalecturedesprobabilitéssefaitalorscommesuit.1)Lasommedesprobabilitésissuesd’unmêmenœudvaut1.

P(A)+P(A)=1PA(B)+PA(B)=1

2)Laprobabilitéd’uncheminestégalauproduitdesprobabilitésren-contréessurcechemin.

P(A\B)=P(A)PA(B)P(A\B)=P(A)PA(B)

(formuledesprobabilitéscomposées)3)Laprobabilitéd’unévénementestlasommedesprobabilitésdesche-minsquiyaboutissent.

P(B)=P(A)PA(B)+P(A)PA(B)

(formuledesprobabilitéstotales)ExempleDeuxtiragesconsécutifsdansuneurnecontenant8boulesnoireset5blanches.Bi:«lerésultatduièmetirageestunebouleblanche»Ni:«lerésultatduièmetirageestuneboulenoire»

N1N2PN1(N2)=

712

B2

NP

1(B

2)=

12 5

(P

1 N

= )

13 8

B1N2PB1(N2)=

812

B2

BP

1(B

2)=

12 4

P(B

1)=

13 5

31 CE1-B2015-2016

Théorème1.Formuleducrible(oudePoincaré)Soit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfini.SoitA,B,Ctroisévénements.

P(A[B[C)=P(A)+P(B)+P(C)P(A\B)P(A\C)P(B\C)

+P(A\B\C)

Démonstration.P(A[B[C)

=P(A[(B[C))

=P(A)+P(B[C)P(A\(B[C))

=P(A)+P(B)+P(C)P(B\C)P(A\(B[C))

=P(A)+P(B)+P(C)P(B\C)P((A\B)[(A\C))

=P(A)+P(B)+P(C)P(B\C)

(P(A\B)+P(A\C)P((A\B)\(A\C)))

=P(A)+P(B)+P(C)P(B\C)P(A\B)P(A\C)

+P(A\B\C)

Encoreunefois,c’estuneconséquencedirectedelapropriétéd’additivité.Ainsi,onobtientuneformuleanalogueàcelleducourssurlecardinal.

RemarqueOnpeutgénéralisercetteformuleaucasd’uneuniond’unnombrefinimd’événements.Laformulegénéraleestdonnéeencopiantleschémadecelleénoncéedanslethéorème:

⇥àchaqueligneonchangedesigne(onnotepositivementlapremière),

⇥àchaqueligneonconsidèredesprobabilitésd’intersectionsregroupantunévénementdeplus.

6

(7)

CE1-B2015-2016 BONUS:probabilitésconditionnellesetarbresdeproba- bilité Aulycée,l’étudedesprobabilitésesttrèssouventabordéeàl’aided’arbres deprobabilitésquipermettentdereprésenterlesdiﬀérentsrésultats possiblesd’uneexpériencealéatoire. A B

P^A

(B)

B

P^A

B(

)

P(A)

A B

P^A

(B)

B

AP

B(

)

( P

) A

Onareprésentéiciunarbreà2niveaux.Àchaqueniveau,unealternative estproposéequitraduitlaprésenced’unsystèmecompletsd’événements: (A,A)au1er niveauet(B,B)au2ème niveau. Selonl’expériencealéatoireconsidérée,l’arbrepeutprésenterplusde2 niveauxetchaqueniveaupeutproposerdeplusde2choix(forméd’un systèmecompletàtroisévénements(A1,A2,A3)parexemple). Cettereprésentationesttrèsmarquéelycée.Auconcours,on l’utiliseradepréférenceaubrouillon.Ilfautavoirentêtequele correcteurvérifieraquelarédactioncontient: ⇥l’hypothèse«systèmecompletd’événements», ⇥lenomdesthéorèmesutilisés. (formuledesprobabilitéscomposées/totales) 30 ECE1-B2015-2016 Théorème2. Soit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfini(⌦={!1,...,!n}). Soientm2N⇤etA1,...,Amdesévénementsdeuxàdeuxincompatibles (i.e.Ai\Aj=?pourtouti6=j). Alors: P✓ mS i=1Ai◆ =mP i=1P(Ai) Onanotamment,pourtoutévénementA,P(A)=P i2J1,nKtq!i2AP({!i}) Démonstration. Conséquencedel’additivité! Corollaire1. Soit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfini. Soient(A1,...,Am)unsystèmecompletd’événements. mP i=1P(Ai)=1et8B2P(⌦),P(B)=mP i=1P(B\Ai) Démonstration. Conséquenceduthéorème2etdeladéfinitiondesystèmecompletd’évé- nements.Ilsuffitderemarquerque: B=B\⌦=B\✓ mS i=1Ai◆ =mS i=1(B\Ai) C’estuneuniond’événementsincompatibles:eneffet,sii6=j, (B\Ai)\(B\Aj)=B\Ai\B\Aj=B\B\Ai\Aj =(B\B)\(Ai\Aj)=B\?=? Ilsuffitalorsd’utiliserlapropriétéd’additivité. 7

(8)

ECE1-B2015-201 Théorème10.Soit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfinietsoitm2N⇤.Soit(A1,...,Am)unefamilled’événements.NotonsBi2{Ai,Ai}pourtouti2J1,mK.(autrementditBi=AiouBi=Ai).

1)SiA1,...,Amsontdeuxàdeuxindépendants,alorsB1,...,Bmsontdeuxàdeuxindépendants.2)SiA1,...,Amsontmutuellementindépendants,alorsB1,...,Bmsontmutuellementindépendants.

Démonstration.1)C’estuncorollairedirectdelaProposition1.2)OncommencepardémontrerquesiA1,...,Amsontmutuellementindépendants,ilenestdemêmepourA1,...,Ak1,Ak,Ak+1,...,Amoùk2J1,mK.Pourcefaire,onprendI⇢J1,mKetondistingue:

•lecasoùk62I(facile!),

•lecasoùk2I(plustechnique).contrairesapparaissantdanslafamille(B1,...,Bm).ExerciceSoientA,BetCdesévénementsmutuellementindépendants.MontrerqueAetB[Csontindépendants.

29 CE1-B2015-2016

II.3.Lecasdel’équiprobabilité

DéfinitionSoit(⌦,P(⌦))unespaceprobabilisablefini.Onnote⌦={!1,...,!n}.

•OnappelleprobabilitéuniformelaprobabilitéPvérifiant:

P({!1})=...=P({!n})= 1n

•Lorsqu’unespaceprobabilisable(⌦,P(⌦))estmunidelaprobabilitéuniforme,onditqu’ilyaéquiprobabilité.

Cetteprobabilitéestgénéralementdéfinieàl’aidedel’applicationCardcommelestipulel’énoncésuivant.

Théorème3.Soit(⌦,P(⌦))unespaceprobabilisablefini.

•IlexisteuneuniqueprobabilitéPprenantlamêmevaleursurtouslesévénementsélémentaires.

•Cetteprobabilitéestappeléeprobabilitéuniformeetestdéfiniepar:

P:P(⌦)![0,1]

A7!P(A)= CardACard⌦ = nombredecasfavorablesnombredecaspossibles

(lenombredecasfavorablesestlenombredecasréalisantA)

Démonstration.Ilsuﬃtdevérifierlesaxiomesdesprobabilités.L’additivitéprovientdel’additivitédel’applicationCard.Sil’universfini⌦estmunidelaprobabilitéuniforme,lescalculsdesprobabilitésseramènentàdescalculsdedénombrement

8

(9)

CE1-B2015-2016 Exemple Onconsidèredenouveaul’expériencealéatoireconsistantàlancerdeux foisundé6.Onrappelleetcomplètelalistedesévénementsconsidérés. OnnoteA:«lepremierchiffreestpair». OnnoteB:«lesecondchiffreestimpair». OnnoteC:«lasommedeschiffresestpaire». 1)DémontronsqueA,BetCsontdeuxàdeuxindépendants. •OnadéjàdémontréqueAetBsontindépendants. •P(A\C)=Card(A\C) Card(⌦)=3⇥3 6⇥6=1 2⇥1 2=1 4 •P(B\C)=Card(B\C) Card(⌦)=3⇥3 6⇥6=1 2⇥1 2=1 4 •Lafamille(A,A)formeunsystèmecompletd’événements. Parlaformuledesprobabilitéstotales,ona: P(C)=P(A\C)+P(A\C) =1 4+1 4=1 2 •Onaalors:P(A\C)=1 4=1 2⇥1 2=P(A)⇥P(C) •Onaalors:P(B\C)=1 4=1 2⇥1 2=P(B)⇥P(C) 2)DémontronsqueA,BetCnesontpasmutuellementindépendants. •OnaA\B\C=?doncP(A\B\C)=P(?)=0. •OrP(A)P(B)P(C)=1 2⇥1 2⇥1 2=1 8. 28 ECE1-B2015-2016 Exemple Onpeutreprendrelesexemplesducoursprécédent. 1)Onconsidèreunjeude32cartes. L’expérienceconsisteàeffectueruntiragede5cartes. L’univers⌦esticil’ensembledespartiesà5élémentsdel’ensemble des32cartes.Autrementdit⌦contienttouteslesmainspossibles. Ainsi,Card⌦=32 5. Lestiragesétantconsidéréscommeéquiprobables,l’univers⌦estmuni delaprobabilitéuniforme,notéeP. a.Quelleestlaprobabilitéd’obteniruntiragecontenantuncarré? Démonstration. OnnoteAl’événement:«letirageobtenucontientuncarré». •LenombredecasfavorablesestdonnéparCardA=8⇥28(choix delahauteurducarréetchoixdeladernièrecarte). •Onadonc: P(A)=CardA Card⌦=8⇥28 32! 5!27!=8⇥28 32⇥31⇥30⇥29⇥28 5! =8⇥5! 32⇥31⇥30⇥29=8⇥5⇥4⇥3⇥2 32⇥31⇥30⇥29 =5⇥3⇥2 31⇥30⇥29=1 31⇥29 Ainsi,laprobabilitédeAestde1 899=0,0011. b.Etcelled’obteniruntiragecontenantexactementunpique? Démonstration. OnnoteB:«letirageobtenucontientexactementunpique». •OnaCardB=8⇥24 4(choixdelahauteurdupiqueetchoix des4cartesrestantes). 9

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ECE1-B2015-201

Pourbiencomprendreladiﬀérenceentrecesdeuxnotions,intéressons-nousàcequ’ellessignifientpourunepetitevaleurdem.

Casparticulier:m=3Soit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfini.1)LesévénementsA1,A2,A3sontdeuxàdeuxindépendantssi:a)P(A1\A2)=P(A1)P(A2)b)P(A1\A3)=P(A1)P(A3)c)P(A2\A3)=P(A2)P(A3)2)LesévénementsA1,A2,A3sontmutuellementindépendantssi:a)P(A1\A2)=P(A1)P(A2)b)P(A1\A3)=P(A1)P(A3)c)P(A2\A3)=P(A2)P(A3)d)P(A1\A2\A3)=P(A1)P(A2)P(A3)

RemarqueSidesévénementssontmutuellementindépendants,alorsilssontdeuxàdeuxindépendants.Laréciproqueestfausse.(onauraitsinondeuxnomsdiﬀérentspourlamêmenotion!)

indépendancemutuelle)indépendance2à2

indépendancemutuelle6(indépendance2à2

27 CE1-B2015-2016

•Ainsi:

P(B)= CardBCard⌦ = 8⇥24!4!20!32!5!27! = 8⇥24⇥23⇥22⇥214!32⇥31⇥30⇥29⇥285!

= 8⇥24⇥23⇥22⇥21⇥5!32⇥31⇥30⇥29⇥28⇥4! = 24⇥23⇥22⇥2131⇥29⇥28⇥4!

= 23⇥22⇥2131⇥29⇥28 = 23⇥22⇥331⇥29⇥4 = 23⇥11⇥331⇥29⇥2

LaprobabilitédeBestdoncde 23⇥11⇥331⇥29⇥2 '0,42. 2)Oneﬀectue6lancersd’undécubiqueéquilibré.L’universestici⌦=J1,6K 6.Ainsi,Card(⌦)=6 6.Ilestmunidelaprobabilitéuniforme(dénontruqué).Onconsidèrelesévénements:A:«Onn’obtientaucun6lorsdeslancers»B:«Onobtientles6chiﬀres(dansunordrequelconque)lorsdeslancers»Calculerlaprobabilitédecesdeuxévénements.

Démonstration.Onaalors:

P(A)= CardACard⌦ = 5 6

66= 1562546656 '0,33

P(B)= CardBCard⌦ = A6666 = 6!66 = 53⇥3⇥62 = 5324 '0,015

10

(11)

CE1-B2015-2016 Proposition1. Soit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfini. SoientAetBdeuxévénementsindépendants. 1)LesévénementsAetBsontindépendants. 2)LesévénementsAetBsontindépendants. 3)LesévénementsAetBsontindépendants. Démonstration. 1)DémontronsqueAetBsontindépendants. P(A\B)=P(A)P(A\B) =P(A)P(A)P(B) =P(A)(1P(B))=P(A)P(B) 2)SupposonsAetBindépendants. OnaévidemmentBetAindépendants. Ainsi,parlapropriété1),onobtientqueBetAsontindépendants. 3)SupposonsAetBindépendants. Parlapropriété1),ona:AetBindépendants. Parlapropriété2),ona:AetBindépendants. IV.2.Indépendancemutuelle Définition Soit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfini. Soitm2N⇤.Soit(A1,...,Am)unefamilled’événements. 1)A1,...,AmsontdeuxàdeuxindépendantspourlaprobabilitéPsi: 8(i,j)2J1,mK2 ,i6=j)P(Ai\Aj)=P(Ai)P(Aj) 2)A1,...,AmsontmutuellementindépendantspourlaprobabilitéPsi: 8I⇢J1,mK,P✓ T i2IAi◆ =Q i2IP(Ai) 26 ECE1-B2015-2016

II I. P ro ba bi lit é co ndi ti onnel le

III.1.Définition Théorème4. Soit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfini. SoitAunévénementtelqueP(A)6=0. Onconsidèrel’applicationPAsuivante: PA:P(⌦)![0,1] B7!PA(B)=P(A\B) P(A) •PAestuneprobabilité,appeléeprobabilitéconditionnellerelativeà A. •PourtoutévénementB,PA(B)désignelaprobabilitédeBsachantA. Démonstration. Ils’agitdevérifierquePAvérifielesaxiomesd’uneprobabilité. 1)SoitB2P(⌦). •CommeP(A\B)>0etP(A)>0(carP(A)6=0),ona:P(A\B) P(A)> 0 •CommeA\B⇢A,onaP(A\B)6P(A)etdonc:P(A\B) P(A)61 2)PA(⌦)=P(A\⌦) P(A)=P(A) P(A)=1 3)SoitCetDdeuxévénementstelsqueC\D=?.Alors: PA(C[D)=P(A\(C[D)) P(A)=P((A\C)[(A\D)) P(A) =P(A\C)+P(A\D)P((A\C)\(A\D)) P(A) =P(A\C) P(A)+P(A\D) P(A)P(A\A\C\D) P(A) 11

(12)

ECE1-B2015-201

ExerciceSoit(⌦,P(⌦))unespaceprobabilisablefini.Onmunit⌦delaprobabilitéuniforme,notéeP.Démontrerque:

AetBsontincompatiblesA6=?etB6=? ) AetBnesontpasindépendantspourPSil’universfini⌦estmunidelaprobabilitéuniforme,deuxévénementsincompatiblesettousdeuxdiﬀérentsde?nesontjamaisindépendants.

Démonstration.Ilsuﬃtderemarquerque:

•P(A\B)=P(?)=0,

•P(A)= CardACard⌦ 6=0etP(B)= CardBCard⌦ 6=0.

Ainsi,P(A\B)=06=P(A)⇥P(B).

ExerciceSoit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfini.

P(A)=0)8B2P(⌦),AetBsontindépendantsP

Démonstration.Eneﬀet,onaA\B⇢A.Onendéduitdoncque:P(A\B)6P(A)=0.Ainsi,P(A\B)=0=P(A)⇥P(B).CequidémontrequeAetBsontindépendantspourP.

25 CE1-B2015-2016

CommeA\A\C\D=A\?=?,onobtient:PA(C[D)=PA(C)+PA(D)

ExempleOnconsidèrelerésultatd’undé6équilibré.L’universestdoncJ1,6KetestmunidelaprobabilitéuniformenotéeP.Onconsidèrelesévénementssuivants.

•A:«onobtientunnombreinférieurouégalà3»,

•B:«onobtient5»,

•C:«onobtient2».CalculerPA(B)etPA(C).

Démonstration.

•ConcernantPA(B),deuxmanièresdevoirleschoses.1)Onpeuttoutd’abordréaliserlecalcul:

PA(B)= P(A\B)P(A) = P(?)P(A) =0

2)Onpeutaussivoircerésultatcommesuit.PA(B)estlaprobabilitéquel’événementBsoitréalisésachantquel’événementAestréalisé.Sachantquelerésultatdutirageestin-férieurà3,iln’yaaucunechancepourquelerésultatsoitégalà5.

•ConcernantPA(C),deuxmanièresdevoirleschoses.1)Onpeuttoutd’abordréaliserlecalcul:

PA(C)= P(A\C)P(A) = P(C)P(A) = 1616+ 16+ 16 = 1636 = 13

2)Onpeutaussivoircerésultatcommesuit.SiAestréalisé,c’estquelerésultatdulancerestunélémentde{1,2,3}.Lesrésultatsétantéquiprobables,laprobabilitédetirer2aveccetuniversdespossiblesest 13 .

12

(13)

CE1-B2015-2016 Remarque Considérons(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfini. •Ilnefautsurtoutpasconfondre: 1)AetBsontincompatibles:notionintrinsèqueauxévénements, (nedépendd’aucuneprobabilitéP!) 2)AetBsontindépendants:notionquidépenddelaprobabilitéP choisie. •Plusprécisémentona: AetBincompatibles6)AetBindépendants(pourP) L’exempleprécédentestuneillustrationdecettepropriétépuisqueA etBsontincompatiblesmaisnonindépendantspourlaprobabilitéP1. AetBincompatibles6(AetBindépendants(pourP) Illustronscettepropriétédansl’exemplesuivant. Exemple Onconsidèrel’expériencealéatoireconsistantàlancerdeuxfoisundé6. OnnoteA:«lepremierchiﬀreestpair». OnnoteB:«lesecondchiﬀreestimpair». L’universest⌦=J1,6K2. Ledéestsupposééquilibré:onmunit⌦delaprobabilitéuniformenotée P. Dém

ontronsqueA,Bsontindépendants. •P(A)=Card(A) Card(⌦)=3⇥6 6⇥6=3 6=1 2 Demême:P(B)=Card(B) Card(⌦)=3⇥6 6⇥6=1 2. •P(A\B)=Card(A\B) Card(⌦)=3⇥3 6⇥6=1 2⇥1 2=P(A)⇥P(B). Eneﬀet:A\B={(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5),(6,1),(6,3),(6,5)}. OnendéduitaupassagequeAetBnesontpasincompatibles. 24 ECE1-B2015-2016 L’applicationPAétantuneprobabilité,ellevérifiel’ensembledesproprié- téslistéesauparagrapheII.2. Propriété Soit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfini. SoitA2P(⌦)unévénementtelqueP(A)6=0. PourtoutévénementBetC,ona: 1)PA(B)=1PA(B)doncPA(?)=0 2)PA(B\C)=PA(B)PA(B\C) 3)SiB⇢C,PA(B)6PA(C) 4)PA(B[C)=PA(B)+PA(C)PA(B\C) III.2.Formulesliéesàlaprobabilitéconditionnelle III.2.a)Formuledesprobabilitéscomposées Théorème5.(Formuledesprobabilitéscomposéesaurang2) Soit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfini. SoientAetBdeuxévénements. 1)siP(A)6=0,onpeutécrireP(A\B)=P(A)PA(B) 2)siP(B)6=0,onpeutécrireP(A\B)=P(B)PB(A) 3)Onaalors,siP(A)⇥P(B)6=0: P(B)PB(A)=P(A)PA(B) Démonstration. Sousréserved’existence(i.e.P(A)6=0etP(B)6=0),ona: PA(B)=P(A\B) P(A)etPB(A)=P(B\A) P(B) EtcommeA\B=B\A,onaP(A\B)=P(B\A). 13

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ECE1-B2015-201 Cas1:dééquilibréL’espaceprobabilisable(⌦,P(⌦))estdoncmunidelaprobabilitéuni-formeP1déterminéepar:

P 1({1})=...=P 1({6})= 16

OnaP1(A)= CardACard⌦ = nombredecasfavorablesnombredecaspossibles = 26 = 13 6=0.

•OnpeutdonccalculerP1A(B),probabilitéd’obtenirunrésultatsupé-rieurà4sachantquelerésultatobtenuestinférieurà2.OnadoncP1A(B)=0.

•OrP1(B)= 36 = 12 6=P1A(B). Ainsi,lesévénementsAetBsont«dépendants»pourlaprobabilitéP1. Cas2:dépipéLedéconsidérépermetd’obtenir1aveclaprobabilité1.Autrementdit,l’espaceestmunidelaprobabilitéP2déterminéepar:

P 2({1})=1etP 2({2})=...=P 2({6})=0

•OnaP2(A)=1,onpeutdonccalculerP2A(B),probabilitéd’obtenirunrésultatsupérieurà4sachantquelerésultatobtenuestinférieurà2.OnadoncencoreP2A(B)=0.

•Or,étantdonnéledéconsidéré,laprobabilitéd’obtenirunrésultatsupérieur4estP2(B)=0=P2A(B).Ainsi,lesévénementsAetBsontindépendantspourlaprobabilitéP2.

Lanotiond’indépendancedépendfortementdelaprobabilitéchoisie.Autrementdit,deuxévénementspeuventêtre«dépen-dants»pouruneprobabilitéetindépendantspouruneautre.

23 CE1-B2015-2016

Théorème6.(Formuledesprobabilitéscomposées)Soit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfinietm2N\{0,1}.Soit(A1,...,Am)unefamillefinied’événements.Onsupposedeplusque:P(A1\···\Am1)6=0.Onaalors:

P(A1\···\Am)=P(A1)PA1(A2)PA1\A2(A3)...PA1\···\Am1(Am)

Démonstration.

•Onnotetoutd’abordque,pourtoutk2J1,m1K:

Bm1=A1\···\Am1⇢A1\···\Ak=Bk

OnadoncP(Bk)>P(Bm1)>0(carP(Bm1)6=0)etainsiP(Bk)6=0.OnpeutdoncconsidérerPBkpouttoutk2J1,m1K.

•Démontronsparrécurrenceque:8m2N\{0,1},P(m)oùP(m):«toutefamille(A1,...,Am)tellequeP(A1\···\Am1)6=0vérifie:P(A1\···\Am)=P(A1)⇥PA1(A2)⇥...⇥PA1\···\Am1(Am)»1.Initialisation:Lapropriétéestvraieaurang2,c’estlerésultatduThéorème5.Ainsi,P(2).2.Hérédité:soitm2N\{0,1}.SupposonsP(m)etdémontronsP(m+1).Onconsidèredoncunefamille(A1,...,Am+1)dem+1événementstellequeP(A1\···\Am)6=0.Aveclesnotationsprécédentes:

A1\···\Am\Am+1=Bm\Am+1

Onendéduitque:

P(A1\···\Am\Am+1)=P(Bm\Am+1)=P(Bm)⇥PBm(Am+1)

(parapplicationduThéorème5sachantqueP(Bm)6=0)

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CE1-B2015-2016

IV . Indép en da nc e en pr oba bi lit é

IV.1.Indépendancededeuxévénements Définition Soit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfini. LesévénementsAetBsontditsindépendantspourlaprobabilitéP si: P(A\B)=P(A)⇥P(B) Théorème9. Soit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfini. SoientAetBdeuxévénements. 1)SiP(A)6=0alorsona: AetBsontindépendantspourP,P(B)=PA(B) 2)SiP(B)6=0alorsona: AetBsontindépendantspourP,P(A)=PB(A) Exemple Onconsidèrel’expériencealéatoireconsistantàlancerundé6: •⌦={1,2,3,4,5,6} •OnnoteA:«lerésultatobtenuestinférieuràdeux» •OnnoteB:«lerésultatobtenuestsupérieuràquatre» OnchercheàdéterminersiAetBsontindépendantssuivantdeuxpro- babilitésdiﬀérentes. 22 ECE1-B2015-2016 Or,parhypothèsederécurrence,ona: P(Bm)=PA1(A2)⇥...⇥PA1\···\Am1(Am) CequidémontreP(m+1)enréinjectantdansl’identitéprécédente. Parprincipederécurrence,onadonc:8m2N\{0,1},P(m). Exemple Uneurnecontient5boulesblancheset8boulesnoires. L’expérienceconsisteàtirersuccessivement3boules. 1)Quelleestlaprobabilitéquelestroisboulestiréessoientblanches? Démonstration. •OnnoteBil’événement:«laièmebouletiréeestblanche». •OnnoteNil’événement:«laième bouletiréeestblanche». Sousréservequel’onpuisseécrirechacundeséléments,laformuledes probabilitéscomposéesdonne: P(B1\B2\B3)=P(B1)PB1(B2)PB1\B2(B3) Ona:P(B1)=5 13(6=0). LetermePB1(B2)représentelaprobabilitédetirerunebouleblanche dansuneurnecontenant4blancheset8noires.Ainsi,PB1(B2)=4 12. Onaalors: P(B1\B2)=P(B1)PB1(B2)=5⇥4 13⇥126=0 etonpeutcalculerPB1\B2(B3),laprobabilitédetireruneboule blanchedansuneurnecontenant3blancheset8noires.D’oùPB1\B2(B3)= 3 11. Onadonc: P(B1\B2\B3)=5⇥4⇥3 13⇥12⇥11=5 11⇥13'0,035 15

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ECE1-B2015-201

ExerciceOnconsidèreunepopulationtouchéeparunemaladieraretouchantunepersonnesur10000.Untestdedépistageestproposéetdonnelesrésultatssuivants:

⇥siunepersonneestmalade,letestestpositifà99%,

⇥siunepersonneestsaine,letestpeutaussiserévélerpositifàhauteurde0,1%(onparledefauxpositif).A-t-onintérêtàsefierauxrésultatsdecetest?Plusprécisément,oncalculeralaprobabilitéqu’unepersonnesoitmaladesachantqueletestestpositif.

Démonstration.Cetyped’exercice,trèsclassique,suitleschémasuivant.1)Nommagedesévénements

•OnnoteMl’événement:«lapersonneestmalade».

•OnnoteTl’événement:«letestestpositif».2)Récupérationdesdonnéesdel’énoncéD’aprèsl’énoncé,ona:P(M)=110000etPM(T)=99100etPM(T)=0,1100.3)Annoncedel’hypothèseLafamille(M,M)formeunsystèmecompletd’événements.4)Conclusionàl’aidedelaformuleducoursLaformuledeBayesdonne:

PT(M)= P(M)PM(T)P(T) = P(M)PM(T)P(M)PM(T)+P(M)PM(T)

= 110000⇥ 99100110000⇥99100+999910000⇥ 0,1100 = 9910000⇥100 ⇥ 10000⇥10099+999,9

= 991098,9 6 991000 =9,9%

Ainsi,moinsde10%despersonnespositivesautestsontréellementatteintesparlamaladie.Ilnefautdoncpassefieràcetest.

21 CE1-B2015-2016

2)Quelleestlaprobabilitéqu’uneboulenoireapparaissepourlapre-mièrefoisaudeuxièmetirage?

Démonstration.Aveclesmêmesnotations,etsousréservequel’onpuisseécrirechacundestermes,ona:

P(B1\N2)=P(B1)PB1(N2)LetermePB1(N2)représentelaprobabilitédetireruneboulenoiredansuneurnecontenant4blancheset8noires.Ainsi,PB1(N2)= 812 .Onadonc:

P(B1\N2)= 5⇥813⇥12 = 5⇥213⇥3 = 1039 '0,256

III.2.b)Formuledesprobabilitéstotales

Théorème7.(Formuledesprobabilitéstotales)Soit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfinietm2N⇤.Soit(A1,...,Am)unsystèmecompletd’événements.Onsupposedeplusque:8k2J1,mK,P(Ak)6=0.PourtoutévénementB,ona:

P(B)= mP

i=1 P(Ai\B)= mP

i=1 P(Ai)PAi(B)

Démonstration.

•Lapremièrepartieestunerediteducorollaire1:

P(B)=P(B\⌦)=P(B\( mS

i=1 Ai))=P( mS

i=1 (B\Ai))

= mP

i=1 P(Ai\B)

•Onconclutàl’aidedelaformuledesprobabilitéscomposées:P(Ai\B)=P(Ai)⇥PAi(B)

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CE1-B2015-2016 Casparticulierdusystèmecomplet(A,A) •Soit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfinietsoitAunévénement. •Lafamille(A,A)estalorsunsystèmecompletd’événementsfini. •SupposonsdeplusqueP(A)6=0etP(A)6=0. Alors,pourtoutévénementBtelqueP(B)6=0,onpeutécrire: PB(A)=P(A)PA(B) P(B)=P(A)PA(B) P(A)PA(B)+P(A)PA(B) Exemple Onconsidèredenouveaul’urneprécédente. Lesecondtirageayantdonnéunebouleblanche,quelleestlaprobabilité quelapremièrebouletiréeaitétéblanche? Démonstration. Lafamille(B1,N1)formeunsystèmecompletd’événements(B1=N1). PB2(B1)=P(B1)PB1(B2) P(B2)=P(B1)PB1(B2) P(B1)PB1(B2)+P(N1)PN1(B2) =5 13⇥4 12 5 13⇥4 12+8 13⇥5 12=5 13⇥3⇥13⇥3 5+10=5 15=1 3 Formuledescauses LaformuledeBayesestconnueaussisouslenomde«formuledes causes». •Sil’onreprendl’exempleprécédent,l’événementB2estpostérieurà l’événementB1.OnchercheàconnaîtrelaprobabilitédeB1quiest unecausepossibledel’événementB2sachantquelaconséquenceB2a étéréalisée. •Cetteformulepeutdoncparaîtreétonnantepuisqu’ellenesuitpas l’ordrechronologique. 20 ECE1-B2015-2016 Casparticulierdusystèmecomplet(A,A) •Soit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfinietsoitAunévénement. •Lafamille(A,A)estalorsunsystèmecompletd’événementsfini. •SupposonsdeplusqueP(A)6=0etP(A)6=0. Alors,pourtoutévénementB,onpeutécrire: P(B)=P(A)PA(B)+P(A)PA(B) Exemple Onreprendl’exempleprécédent. 1)Quelleestlaprobabilitéd’obteniruneboulenoireaudeuxièmetirage? Lafamille(B1,N1)formeunsystèmecompletd’événements(B1= N1). P(N2)=P(B1)PB1(N2)+P(N1)PN1(N2) =5 138 12+8 137 12 =5⇥2+2⇥7 3⇥13=24 3⇥13=8 13 2)Quelleestlaprobabilitéd’obtenirunebouleblancheaudeuxième tirage? Lafamille(B1,N1)formeunsystèmecompletd’événements(B1= N1). P(B2)=P(B1)PB1(B2)+P(N1)PN1(B2) =5 134 12+8 135 12 =5⇥1+2⇥5 3⇥13=15 3⇥13=5 13 17

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ECE1-B2015-201 RemarqueL’idéederrièrelaformuledesprobabilitéstotalesestcelledel’étudedecas.Dansl’exempleprécédent,ontestel’événementN2selonlesdeuxcaspossiblesaupremiertirage:soitonaobtenuuneboulenoire,soitonaobtenuunebouleblanche.

•L’étudedecassedoitd’êtreexhaustivei.e.incluretouslescaspossibles.

,!ceciestassuréparlefaitquelaréuniondetouslesévénementsd’unSCEforme⌦,universdespossibles.

•Chaquecasn’empiètesuraucunautre.

,!ceciestassuréparlefaitquelesévénementsd’unSCEsont2à2incompatibles.III.2.c)FormuledeBayes

Théorème8.FormuledeBayesSoit(⌦,P(⌦),P)unespaceprobabiliséfinietm2N⇤.Soit(A1,...,Am)unsystèmecompletd’événements.Onsupposedeplusque:8k2J1,mK,P(Ak)6=0.Pourtoutj2J1,mK,pourtoutévénementBtelqueP(B)6=0,ona:

PB(Aj)= P(Aj)PAj(B)P(B) = P(Aj)PAj(B)mP

i=1 P(Ai)PAi(B)

Démonstration.

•Lapremièreégalités’obtientpardéfinitiondePBetàl’aidedelafor-muledesprobabilitéscomposées(aurang2):

PB(Aj)= P(B\Aj)P(B) = P(Aj\B)P(B) = P(Aj)PAj(B)P(B)

•Lasecondeégalitéestl’écrituredeP(B)àl’aidedelaformuledesprobabilitéstotales.

19 CE1-B2015-2016

Cettedémonstrationestjustemaistémoigned’unmanquederecul.Eneﬀet,B2=N2.Onadoncdirectement:P(B2)=P(N2)=1P(B2).

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