l i v i o f l a m i n i o
S É R I E S N U M É R I Q U E S , I N T É G R A L E S
G É N É R A L I S É E S
S É R I E S N U M É R I Q U E S , I N T É G R A L E S G É N É R A L I S É E S
l i v i o f l a m i n i o
Année Académique 2008 – 2009
Octobre 2008
M U S É E
F ig . 1 : Colin Maclaurin ( 1698 , Kilmodan— 1746 Edinburgh)
Colin Maclaurin fut professeur de mathématiques au Marischal Col- lege à Aberdeen de 1717 à 1725 et à l’Université d’Édimbourg de 1725 à 1745 .
Il fit des travaux remarquables en géométrie, plus précisément dans l’étude de courbes planes. Il écrivit un important mémoire sur la théo- rie des marées.
Maclaurin fut élu membre de la Royal Society en 1719 et en 1724 il reçut un prix de l’Académie des Sciences pour son travail sur le choc des corps. En 1740 , il fut honoré d’un autre prix de l’Académie des Sciences pour une étude des marées. Ce prix fut décerné conjointement à Maclaurin, Leonhard Euler et Daniel Bernoulli.
Le premier travail important de Maclaurin fut Geometrica Oranica publié en 1720 .
En 1742 , il publia les deux volumes du Treatise of fluxions, le pre- mier exposé systématique des méthodes de Newton écrit en réponse aux attaques de George Berkeley relatives au manque de rigueur et de fondement.
Le Treatise of fluxions est une œuvre de 763 pages. Bien que très appréciée par ceux qui le lurent, il n’eut curieusement que peu d’in- fluence et encouragea malheureusement les mathématiciens britanniques à utiliser la géométrie au lieu de l’analyse nouvelle qui était alors dé- veloppée.
v
Maclaurin utilisait les méthodes géométriques des anciens Grecs et faisait appel au principe d’exhaustion d’Archimède. Dans le Treatise of fluxions Maclaurin utilisa un cas particulier du développement en série de Taylor qui porte à présent son nom.
Maclaurin donna également le premier test de convergence d’une série infinie. Il étudia dans le Treatise of fluxions l’attraction de deux ellipsoïdes de révolution comme application de ses méthodes.
Maclaurin joua un rôle actif dans la défense d’Edimbourg durant la rébellion jacobite de 1745 . Quand la ville tomba, Maclaurin partit pour York mais il revint à Édimbourg l’année suivante et y mourut.
Le Treatise on algebra de Maclaurin fut publié en 1748 , deux ans
après sa mort. Un autre travail Account of Sir Isaac Newton’s discove-
ries resta inachevé. (extrait de Wikipédia)
m u s é e vii
F ig . 2 : Jean le Rond d’Alembert ( 1717 Paris— 1783 Paris)
Jean le Rond d’Alembert, né le 16 novembre 1717 à Paris, est l’enfant illégitime d’un commissaire d’artillerie et d’une marquise. Abandonné à sa naissance sur les marches de l’église parisienne de Saint Jean le Rond (qui lui a donné son prénom), il est recueilli par la femme d’un artisan-vitrier qui l’élèvera comme son fils. En retour, d’Alembert vivra avec elle jusqu’à la mort de celle-ci (soit pendant 48 ans !). Secrètement, son père lui versera une pension qui subviendra à l’éducation du jeune homme. D’Alembert se révèle particulièrement doué pour les mathé- matiques, et il étudie avec succès le droit et la médecine.
Après des premiers mémoires sur la mécanique des fluides et sur le calcul intégral, il est admis à 24 ans à l’Académie des Sciences comme associé astronome adjoint. En 1743 , il publie son important Traité de la Dynamique, où il améliore la définition d’une force, et donne ce qu’on appelle désormais le principe de d’Alembert (=conservation de la quantité de mouvement). En 1747 , il écrit un article sur les cordes vibrantes, où, pour la première fois, il donne et résout l’équation aux dérivées partielles qui régit la propagation des ondes sonores. On doit aussi à d’Alembert des Réflexions sur la cause générale des vents (re- prises et généralisées par Euler), et un traité sur la précession des équi- noxes, où il donne une solution partielle au problème des 3 corps. Ces travaux de d’Alembert apparaissent comme très solides mathémati- quement, mais font parfois appel à des simplifications de problèmes physiques très discutables, voire opposées à la réalité. Cela lui vaudra de vives querelles avec Euler, Clairaut, et D. Bernoulli.
A compter de 1746 , d’Alembert se lance avec Diderot dans une
aventure monumentale, la rédaction de l’Encyclopédie, Dictionnaire
raisonné des Sciences, dont le 1 er volume parait en 1751 . Dans le Dis-
cours préliminaire qui ouvre l’Encyclopédie, d’Alembert affirme le lien
entre le progrès des sciences et le progrès social. Il s’inscrit totalement
dans le courant des Lumières, et il lutte contre l’obscurantisme reli- gieux et politique. C’est cette activité philosophique qui remplace peu à peu son travail de mathématicien.
D’Alembert n’a presque jamais quitté Paris. Il refuse notamment à Frederick II la présidence de l’Académie de Berlin ; il décline aussi l’invitation de Catherine II de devenir le précepteur de son fils (en Russie), malgré la bourse importante qu’elle propose. Au contraire, il fréquente les salons et aime la vie mondaine, parisienne. En 1754 , il de- vient membre de l’Académie Française, dont il est le secrétaire perpé- tuel à compter de 1772 . Sa domination y est alors presque despotique, et il est peu aimé par ses pairs.
La fin de la vie de d’Alembert est marqué par la maladie, et il décède
le 29 octobre 1783 des suites de ces maladies. Laissons la conclusion
à sa mère adoptive, peu satisfaite des activités de son fils : "Qu’est-ce
qu’un philosophe ? C’est un fou qui se tourmente toute sa vie pour
qu’on parle de lui lorsqu’il n’y sera plus". (extrait de bibmath.net)
m u s é e ix
F ig . 3 : Augustin Louis, baron Cauchy ( 1789 Paris— 1857 Sceaux) Augustin Louis, baron Cauchy, né à Paris le 21 août 1789 et mort à Sceaux (Hauts-de-Seine) le 23 mai 1857 , est un mathématicien français, membre de l’Académie des sciences et professeur à l’École polytech- nique. Catholique fervent, il est le fondateur de nombreuses œuvres chrétiennes, dont l’Œuvre des Écoles d’Orient. Royaliste fidèle à la dynastie des Bourbons, il s’exila volontairement après les Trois Glo- rieuses. Sa position politique et ecclésiastique lui valut nombre d’op- positions.
Il fut l’un des mathématiciens les plus prolifiques, derrière Leonhard Euler, avec près de 800 parutions et sept ouvrages ; sa recherche couvre l’ensemble des domaines mathématiques de l’époque. On lui doit no- tamment en analyse l’introduction des fonctions holomorphes et des critères de convergence des séries et des séries entières. Ses travaux sur les permutations furent précurseurs de la théorie des groupes. En optique, on lui doit des travaux sur la propagation des ondes électro- magnétiques.
Son œuvre a fortement influencé le développement des mathéma-
tiques au XIXe siècle. La négligence dont fit preuve Cauchy envers les
travaux d’Évariste Galois et de Niels Abel, perdant leurs manuscrits, a
cependant entaché son prestige. (extrait de Wikipédia)
F ig . 4 : Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( 1805 – 1859 )
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( 13 février 1805 , Düren - 5 mai 1859 , Göttingen) est un mathématicien allemand.
Il a été élevé en Allemagne puis a été ensuite envoyé en France pour suivre ses études supérieures. Il fut en contact avec les plus grands mathématiciens français de l’époque, à l’instar de Legendre, Laplace ou Fourier. Il retourne ensuite en 1825 en Allemagne où il travaillera avec Gauss, dont il reprendra la chaire à Göttingen, et Jacobi. Il eut entre autre comme élève Riemann.
Les travaux de Dirichlet ont surtout porté sur les séries de Fourier et l’arithmétique. On lui doit également des travaux sur les intégrales et la recherche de fonctions discontinues. Un problème d’analyse célèbre porte son nom : le Problème de Dirichlet. Enfin, Dirichlet a également travaillé sur le théorème de Fermat, en le démontrant pour le cas où n est égal à 14 , et en contribuant à la démonstration de Legendre pour le cas où n est égal à 5 .
On lui doit aussi le théorème des tiroirs, qui s’énonce ainsi : si on
range n+ 1 chaussettes dans n tiroirs, il y a un tiroir où il y au moins
deux chaussettes ! Malgré sa simplicité, ce résultat permet de prouver
des résultats non triviaux. (extrait de Wikipédia)
m u s é e xi
F ig . 5 : Niels Abel ( 5 août 1802 - 5 avril 1829 )
(extrait de BibMath.net) La vie de Niels Abel, mathématicien norvé- gien est marquée par la pauvreté. Son père était pourtant un éminent homme politique norvégien, mais à la fin de sa vie il est tombé en disgrâce, et quand il meurt en 1820 , c’est Abel qui doit supporter la charge de la famille. Grâce à l’aide financière de ses professeurs, il parvient cependant à poursuivre ses études et à faire ses premières dé- couvertes. Mais ses mémoires sont perdus par Cauchy, mésestimés par Gauss. Après son doctorat, Abel ne parvient pas à trouver un poste, ses conditions de vie sont de plus en plus précaires et sa santé se fait fra- gile : il est atteint de la tuberculose. Malgré des déplacements à Paris et à Berlin, ses travaux ne sont toujours pas perçus à leur juste valeur.
Dans ses dernières semaines, il n’a plus assez de force pour quitter son lit. Il décède le 5 avril 1829 , à même pas 27 ans, alors qu’un ami venait juste de lui trouver un poste à Berlin.
C’est Jacobi qui comprendra tout le génie de ce jeune mathématicien.
Abel avait notamment démontré, à l’âge de 19 ans, l’impossibilité de
résoudre par radicaux les équation algébriques de degré 5 , ce que son
contemporain Galois généralisera à tout n> 4 . A titre posthume, Abel
recevra en 1830 le grand prix de Mathématiques de l’Institut de France.
T A B L E D E S M A T I È R E S
1 s u i t e s , s é r i e s 1 1 . 1 Suites 1
1 . 1 . 1 Qu’est ce qu’une suite ? 1 1 . 1 . 2 Limites des suites 3 1 . 2 Séries 3
1 . 2 . 1 Qu’est ce qu’une série ? 3 1 . 2 . 2 Problèmes liés aux séries 4
1 . 2 . 3 Remarques sur la nature des séries 6 1 . 2 . 4 Linéarité de la somme des séries 7
1 . 2 . 5 Une condition nécessaire pour la convergence d’une série 7
1 . 3 Exercices 8
2 c r i t è r e d e c o n v e r g e n c e d e c a u c h y 11 2 . 1 Espaces métriques 11
2 . 1 . 1 Espaces métriques, isométries 11 2 . 1 . 2 Exemples d’espaces métriques 12 2 . 1 . 3 Limites dans les espaces métriques 12 2 . 2 Suites de Cauchy 12
2 . 2 . 1 Suites de Cauchy et espaces métriques complets 12 2 . 2 . 2 L’espace des nombres réels est complet 13
2 . 2 . 3 Conclusion 16
2 . 3 Critère de convergence de Cauchy pour les séries 16 2 . 4 Exercices 17
3 s é r i e s à t e r m e s p o s i t i f s 19
3 . 1 Convergence absolue, semi-convergence 19 3 . 2 Séries à termes positifs 20
3 . 2 . 1 Particularité des séries à termes positifs 20 3 . 2 . 2 Le critère de l’intégrale 20
3 . 2 . 3 Comparaison des séries à termes positifs 22 3 . 3 Exercices 23
4 l e s c r i t è r e s d e c o n v e r g e n c e a b s o l u e 25 4 . 1 Critère de la racine ou Règle de Cauchy 25 4 . 2 Critère du rapport ou Règle de d’Alembert 26
4 . 2 . 1 Les critères de la racine et du rapport ne sont pas toujours concluants 27
4 . 3 Permutation des termes d’une série 27 4 . 4 Produit de séries 28
4 . 5 Exercices 30
5 s é r i e s s e m i - c o n v e r g e n t e s 33 5 . 1 Séries alternées 33
5 . 2 Critères de Dirichlet et d’Abel 35 5 . 3 Exercices 36
6 i n t é g r a l e s g é n é r a l i s é e s 39 6 . 1 L’intégrale généralisée 39
6 . 1 . 1 Propriétés de l’intégrale généralisée 41
xiii
6 . 1 . 2 Exemples fondamentaux 42
6 . 1 . 3 Le critère de convergence de Cauchy 42 6 . 2 Fonctions positives, convergence absolue de l’intégrale
généralisée 44
6 . 2 . 1 Critères de convergence pour fonctions positives 44 6 . 2 . 2 Convergence absolue 45
6 . 3 Changement de variables dans les intégrales générali- sées 47
6 . 4 Intégration par parties 47
6 . 5 Semi-convergence et Règle d’Abel 48
6 . 6 Analogie entre les séries et les intégrales généralisées 49 6 . 7 Remarques finales 49
6 . 8 Exercices 50
7 e x e r c i c e s d e r é c a p i t u l a t i o n 53 7 . 1 Exercices sur les séries 53
7 . 2 Exercices sur les intégrales généralisées 55
a r a p p e l s s u r l e s f o n c t i o n s d i f f é r e n t i a b l e s 57 a . 1 La notation de Landau 57
a . 2 Développements limités 60
b i b l i o g r a p h i e 63
T A B L E D E S F I G U R E S
F ig . 1 Colin Maclaurin v
F ig . 2 Jean le Rond d’Alembert vii F ig . 3 Augustin Cauchy ix F ig . 4 Johann Dirichlet x F ig . 5 Niels Abel xi
xv
1
S U I T E S , S É R I E S
Dans le langage courant tout comme dans le langage scientifique les mots « suite » et « série »
1sont souvent synonymes. Par exemple : Pois- son
2écrivait ‘Une suite indéfinie d’oscillations, dont les durées sont égales. . .’ et Poincaré
3‘Une série unique d’oscillations décroissantes et non pas une suite ininterrompue d’étincelles qui useraient rapidement les électrodes . . .’ : les termes étaient parfaitement échangeables !
La première réponse à la recherche du terme « série » sur le mo- teur Google résulte en Série TV c’est-à-dire “une suite de feuilletons, de films, d’émissions liés par une unité de genre, de forme, de sujet ou de personnages”
4.
En mathématiques, par contre, les termes suite et séries ne sont pas échan- geables et leurs définitions ne doivent pas être confondues. Dans ce chapitre, après avoir rapidement evoqué la notion de suite, nous illustrerons la notion de série.
1 . 1 s u i t e s
Il ne s’agît pas de développer un cours sur les suites, mais unique- ment de rappeler la définition et l’idée, fondamentale, de limite d’une suite.
1 . 1 . 1 Qu’est ce qu’une suite ?
Le terme suite, en mathématiques, traduit l’idée intuitive de liste in- finie et ordonnée.
Quand nous avons une liste finie et ordonnée d’objets, nous pouvons écrire les membres de cette liste dans l’ordre donné : par exemple les lettres de l’alphabet dans l’ordre alphabétique sont
a, b, c, d, e , . . ., x, y, w, z.
Pour une liste infinie de nombres, une telle écriture est évidemment impossible : pour assigner une telle liste, nous devons avoir une façon de déterminer le n
ièmeterme de la liste ; nous devons associer à l’entier n un nombre qui sera le n
ièmeterme de la liste.
Ceci nous amène au concept de fonction, car une fonction est, par définition, une règle qui associe à un élément d’un ensemble—le do- maine de définition de la fonction—un élément d’un autre ensemble.
Notre définition préliminaire du terme « suite » est donc la suivante : une suite est une fonction dont le domaine est l’ensemble des entiers positifs N
+. En particulier, une suite réelle ou complexe est une application de N
+dans R ou dans C, respectivement.
1 On pourrait ajouter à cette liste le terme « succession » 2 Poisson, Mécan., t.1,1811, p.393.
3 H. Poincaré, Théorie Maxwell,1899, p.65. 4 Centre de Ressources Textuelles et Lexicales
1
Nous pouvons assigner une suite en donnant une formule qui nous permet de calculer le terme associé à l’entier n ; par exemple les termes
1 , 1 2 , 1
3 , 1 4 , 1
5 , 1 6 , . . .
sont les premiers termes de la suite u définie par u(n) = 1
n , pour tout n ∈ N
+.
Mais nous pouvons aussi définir une suite de façon récursive, c’est-à- dire en donnant des règles pour calculer les termes d’une suite à partir d’autres termes : un exemple fameux de suite définie récursivement est la suite de Fibonacci F dont voici les premiers termes :
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , . . . ;
la définition récursive de la suite de Fibonacci est la suivante : F(1) = 1 , F(2) = 1 , et
F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), si n ∈ N
+et n > 2;
le premiers deux termes nous ont été donnés ; et les suivantes se cal- culent à l’aide de la dernière formule. (De toute évidence, derrière une définition récursive d’une suite se cache le principe de récurrence).
Il est quelquefois pratique de considérer des suites dont le domaine n’est pas l’ensemble des entiers positifs N
+mais l’ensemble des nom- bres naturels N ou toute autre segment final de Z, c’est-à-dire un inter- valle infini d’entiers
{ k ∈ Z | k > ` } = [`, ∞ [ ∩ Z . (Par exemple les suites
1, 2, 4, 8, 16, . . . et
1
log (2) , 1
log (3) , 1
log (4) , 1 log (5) , . . .
sont aisément définies par les formules 2
net 1/log(n) avec domaine, respectivement, N et [2, ∞ [ ∩ Z).
On utilise, pour les suites, une notation un peu différente de la nota- tion usuelle pour les fonctions : si u est une suite, on dénote l’élément associé à l’entier n par u
nau lieu de u(n) ; le nombre n est dit le rang du terme u
n; enfin, la suite réelle ou complexe u de domaine N est notée
(u
n)
au lieu de u : N → R ou u : N → C, respectivement ; si le domaine est [` , ∞ [ ∩ Z on désigne la suite u par une des notation suivantes :
(u
n)
n∈[`,∞[∩Z, (u
n)
∞n=`, ou (u
n)
n>`. Nous résumons tout cela dans la définition suivante.
Définition 1.1.1. Une suite réelle ou complexe est une fonction à va- leurs dans R ou C, respectivement, et dont le domaine est un segment final de Z. Si u est une suite dont le domaine est [` , ∞ [ ∩ Z, on désigne l’image de l’entier n par u par le symbole u
net la suite par (u
n)
∞n=`ou (u
n)
n>`.
1 . 2 s é r i e s 3
1 . 1 . 2 Limites des suites
Nous rappelons qu’une suite (u
n) converge vers le nombre L si, quel que soit le nombre positif , tous les termes u
nde rang assez grand diffèrent de L moins que . De façon plus formelle on dira : la suite (u
n) converge vers le nombre L si, pour tout nombre positif , il existe un entier m tel que les termes u
nde rang n > m satisfont | u
n− L | < .
Pour indiquer que la suite (u
n) converge vers le nombre L on écrit lim
nu
n= L .
On dit aussi que une suite réelle (u
n) tend vers + ∞, et on écrit lim
nu
n= + ∞ ,
si, quel que soit le nombre réel M, à partir d’un certain rang, tous les termes u
nsont plus grand que M . Symétriquement, on dit que une suite réelle (u
n) tend vers − ∞, et on écrit lim
nu
n= − ∞, si , pour tout nombre réel M , il existe un entier m tel que les termes u
nde rang n > m satisfont u
n< M .
Exemple 1 . 1 . 2 . On a lim
n(n − 1)/(n + 1) = 1 car si > 0 et n > 1 + 2/
on obtient | (n − 1)/(n + 1) − 1 | < .
Exemple 1 . 1 . 3 . On a lim
nn
2/(2n − 1) = + ∞ car si M > 0 et n > 2M on obtient n
2/(2n − 1) > M .
1 . 2 s é r i e s
1 . 2 . 1 Qu’est ce qu’une série ?
Si nous avons une liste finie de nombres réels ou complexes u
0, u
1, u
2, . . . , u
kleur somme
S = u
0+ u
1+ u
2+ · · · + u
kest bien définie ; en plus, les propriétés de l’addition nous disent que cette somme ne dépend ni de l’ordre dans lequel les opérations sont effectuées ni de l’ordre de la liste des nombres.
Pour une liste infinie de nombres, c.-à-d. pour une suite (u
n)
n∈N, nous nous posons le problème de considérer « la somme » de tous les membres de cette suite de nombres
u
0+ u
1+ u
2+ · · · + u
k+ . . .
Comment peut-on donner une signification à une telle somme ? Une façon de le faire c’est de considérer la suite des sommes partielles
S
0= u
0, S
1= u
0+ u
1, S
2= u
0+ u
1+ u
2,
. . . ,
S
k= u
0+ u
1+ u
2+ · · · + u
k,
. . . ;
si la suite (S
n), formée par les sommes partielles, converge vers une limite S on considérera que le nombre S est la somme des tous les membres de la suite (u
n) .
On formalise tout cela dans les deux définitions suivantes.
Définition 1.2.1. Soit (u
n)
n∈Nune suite de nombres réels ou com- plexes. La série de terme général u
nest la suite (S
n)
n∈Ndéfinie par
S
N= u
0+ u
1+ · · · + u
N, N ∈ N.
Le nombre S
Nest dit la somme partielle d’ordre N de la série de terme général u
n.
Notation. La série de terme général u
nest désignée par le symbole P u
n; la somme partielle d’ordre d’ordre N par P
Nn=0
u
n.
Définition 1.2.2. On dit que la série de terme général u
nconverge si la suite des sommes partielles (S
N)
N∈Nconverge. Sinon, on dit qu’elle diverge.
Si la série de terme général u
nconverge, la limite S des sommes partielles est dite la somme de la série P
u
net on note : S = P
∞n=0
u
n. Le reste d’ordre N de la série P
u
nest le nombre R
N= S − S
N.
Exemple 1 . 2 . 3 . Soit u
n= n. La série de terme général u
nest la suite (n(n + 1)/2)
n∈Ncar la somme partielle d’ordre d’ordre N vaut
S
N= 0 + 1 + · · · + N =
N(N+1)2, ∀ N ∈ N.
Remarque 1 . 2 . 4 . Souvent le terme général d’une série n’est défini qu’à partir d’un certain rang n
0; dans ce cas la somme partielle S
Nest définie par P
Nn=n0
u
net la série P
u
nest la suite de ces sommes. Par exemple, soit u
n= 1/n(n − 1), avec n > 2. La série P
1/n(n − 1) est alors la suite des sommes partielles S
N= P
Nn=2
1/n(n − 1) . 1 . 2 . 2 Problèmes liés aux séries
Pour une série on peut se poser deux types de problèmes :
– Établir la nature de la série, c’est-à-dire si elle converge ou diverge.
– Dans le cas d’une série convergente, déterminer sa somme.
Nous allons présenter deux exemples dans lesquels ces problèmes ont une solution facile : les séries géométriques et les séries télescopiques.
Les séries géométriques
La série géométrique de raison z ∈ C et de premier terme a ∈ C est la série de terme général az
n.
Proposition 1.2.5. La série géométrique de raison z ∈ C et de premier terme a ∈ C \ { 0 } converge si et seulement si | z | < 1 . Dans ce cas, on a
X
∞ n=0az
n= a 1 − z .
Démonstration. Rappelons l’identité
(1 − z)(1 + z + z
2+ · · · + z
k) = 1 − z
k+1.
1 . 2 s é r i e s 5 Pour z = 1, on a S
N= P
Nn=0
a = a(N + 1) et la série diverge. L’asser- tion est démontrée dans ce cas.
Soit, donc, z 6= 1 . Grâce à l’identité rappelée nous avons S
N=
X
N n=0a z
n= a(1 + z + z
2+ · · · + z
N) = a 1 − z
N+11 − z . Pour | z | < 1 nous obtenons
lim
Na 1 − z
N+11 − z = a
1 − z , (car lim
N
z
N+1= 0 );
nous concluons que, pour | z | < 1 , la série P
az
nconverge et sa somme vaut P
∞0
az
n= a/(1 − z) . Si | z | > 1 on a
| S
N− S
N−1| = | a | | z
N+1− z
N+2|
| 1 − z | = | a | | z |
N+1| 1 − z |
| 1 − z | > | a |.
Cette inégalité implique que la limite lim
NS
Nn’existe pas, et donc, pour | z | > 1 , la série P
az
ndiverge.
Séries télescopiques
Considérons la série P
u
net supposons que son terme général u
nait la forme
u
n= v
n+1− v
npour une certaine suite (v
n). Un petit calcul de la somme partielle S
N= P
Nk=0
u
knous donne
S
N= u
0+ u
1+ u
2+ · · · + u
N= (v
1− v
0) + (v
2− v
1) + (v
3− v
2) + · · · + (v
N+1− v
N)
= v
N+1− v
0.
Nous concluons que la série P
u
ndiverge ou converge selon que la suite (v
n) diverge ou converge ; dans ce dernier cas nous avons
5X
∞ k=0u
k= lim
n
v
n− v
0. On dira que la série P
u
nde terme général u
nest la série télescopique associée à la suite (v
n) si
u
n= v
n+1− v
n.
La discussion précédente nous dit que la la suite (v
n) et la série téles- copique associée à la suite (v
n) ont la même nature, c.-à-d. convergent ou divergent simultanément.
5 Plus généralement on a X∞
k=j
uk=lim
n vn−vj.
Exemple 1 . 2 . 6 . Soit P
n>1 1
n(n+1)
. Puisque 1
n(n + 1) = − 1 n + 1 + 1
n = v
n+1− v
nnous voyons que, si on pose v
n= −1/n , la série P
n>1 1
n(n+1)
est la série télescopique associée à la suite (v
n)
n>1. Puisque lim v
n= 0 la série P
n>1 1
n(n+1)
converge et X
∞1
1
n(n + 1) = lim v
n− v
1= 1 . Exemple 1 . 2 . 7 . Soit P
n>1
log 1 +
n1. On pose v
n= log (n) et on re- marque que
log
1 + 1 n
= log(n + 1) − log(n) = v
n+1− v
n; puisque lim
nlog (n) = + ∞, la série P
log 1 +
n1diverge.
1 . 2 . 3 Remarques sur la nature des séries Séries coïncidentes à partir d’un certain rang
La nature d’une série P
u
nne dépend que de la “queue” de la suite (u
n) ; plus exactement on a :
Proposition 1.2.8. Si deux suites (u
n) et (v
n) coïncident à partir d’un certain rang, alors les séries P
u
net P
v
non la même nature.
Démonstration. Supposons que u
n= v
npour n > n
0. Soient S
n= P
ni=0
u
net T
n= P
ni=0
v
nles sommes partielles d’ordre n des séries P u
net P
v
n, respectivement. De l’hypothèse u
n= v
npour n > n
0, de la formule
S
n= S
n0+ u
n0+1+ u
n0+2+ · · · + u
n, et de la formule analogue pour T
non déduit que
S
n− T
n= S
n0− T
n0, si n > n
0. Donc les séries P
u
net P
v
nconvergent ou divergent simultanément.
Regroupement des termes d’une série Soient P
u
nla série de terme général u
net S
nla somme partielle d’ordre n de cette série. Pour toute suite croissante de nombres natu- rels (K
j) nous pouvons considérer la suite (v
n) définie par
v
0= u
0+ u
1+ · · · + u
K0
= S
K0
v
1= u
K0+1+ u
K0+2+ · · · + u
K1= S
K1− S
K0. . .
v
n= u
Kn−1+1+ u
Kn−1+2+ · · · + u
Kn= S
Kn− S
Kn−1. . .
1 . 2 s é r i e s 7 La série P
v
nest dite obtenue de la série P
u
npar regroupement des termes selon la suite (K
j) ; en effet le terme v
0est la somme des pre- miers K
0termes de la suite (u
n) ; le terme v
1est la somme des suivants K
1− K
0termes, etc.
Puisque T
n=
X
n i=0v
i= S
Kn;
les sommes partielles T
nde la série P
v
nforment une suite extraite de la suite des sommes partielles S
nde la série P
u
n. Nous arrivons au résultat suivant.
Proposition 1.2.9. En regroupant les termes d’une série convergente on ne change ni la nature ni la somme de la série.
1 . 2 . 4 Linéarité de la somme des séries
Théorème 1.2.10 (Linéarité de la somme). Si P
u
net P
v
nconvergent alors :
1. P
(u
n+ v
n) converge et X
∞n=0
(u
n+ v
n) = X
∞ n=0u
n+ X
∞ n=0v
n;
2. P
λu
nconverge et X
∞n=0
λu
n= λ X
∞ n=0u
n, pour tout λ in C.
Corollaire 1.2.11. Une série à termes complexes converge si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire convergent.
1 . 2 . 5 Une condition nécessaire pour la convergence d’une série
La proposition suivante est utilisée fréquemment pour établir la di- vergence d’une série :
Proposition 1.2.12 (Condition nécessaire pour la convergence d’une série). Si la série P
u
nconverge, alors lim u
n= 0.
Démonstration. Supposons que la série de terme général u
nconverge et soit S
N= P
Nn=0
u
n. On a alors lim
NS
N= S , où S est la somme de la série. Donc lim
nu
n= lim
n(S
n− S
n−1) = S − S = 0 .
On peut paraphraser la proposition précédente en disant que, si la limite lim u
nn’existe pas ou n’est pas égale à zéro, la série P
u
ndiverge.
Dans ce cas, on dira que la série diverge grossièrement.
Exemple 1 . 2 . 13 . La série P
nn+1
diverge grossièrement car lim
n n n+1= 1 6= 0.
Exemple 1 . 2 . 14 . La série P
(−1)
ndiverge grossièrement car la suite
((−1)
n) n’a pas de limite.
La Proposition 1 . 2 . 12 ne permet jamais d’établir la convergence d’une série car la condition lim u
n= 0, bien que nécessaire, n’est pas suffi- sante pour garantir la convergence de la série P
u
n. L’exemple suivant montre qu’il existe bien des séries divergentes dont le terme général converge vers zéro.
Exemple 1 . 2 . 15 . Soit u
n= ( √
n + 1 + √
n)
−1. La série P
u
ndiverge, bien que lim
nu
n= 0 .
Démonstration. En rationalisant le dénominateur nous trouvons que
u
n= 1
√ n + 1 + √ n = √
n + 1 − √ n . Donc la série P
u
nest la série télescopique associée à la suite v
n= √ n.
Puisque lim v
n= + ∞ la série P
u
ndiverge. De l’autre coté il est évident que lim u
n= 0 .
1 . 3 e x e r c i c e s
Exercice
1 . 1
.Pour chacune des suites suivantes déterminer, quand il est pos- sible, un majorant, un minorant, le plus grand et le plus petit élément, la borne inférieure, la borne supérieure et la limite. (Note : pour la suite ( 3 ), observer que
2 < 2/ln(2)
< 3)1 .
(cos(nπ/6)/n)n>12 .
(n2/en)n>13 .
(n2/2n)n>04 .
((−1)narctg
n)n>05 . tg
π41+ (−1)n n−1n
n>1
6 .
n2
sin
2πn!12n>0
Exercice
1 . 2
.Dans chacun des cas suivants, donner les premiers six termes de la série de terme général
un, c.-à-d. écrire les sommes partielles d’ordres
n < 6de la série.
1 .
un= (−1)n2 .
un=n23 .
un=cos(2πn/3)
4 .
un=eπin/35 .
un=10−n6 .
un= (n2−1)/(n2+1) Exercice1 . 3
.Pour chacune des séries de l’exercice précedent établir la nature de la série, c.-à-d. déterminer si la série converge ou diverge ; si la série converge déterminer sa somme et le reste d’ordre
n∈N.Exercice
1 . 4
.Les séries suivantes soit sont banalement divergentes, soit téles- copiques, soit des séries géométriques, ou liées à celles-ci. Dans chaque cas, détérminer la nature de la série et, pour le séries convergentes, déterminer la somme de la série.
1 .
Xn>1
1 (n+3)(n+2)
2 .
0,123123123 . . .3 .
X nlog
1−2
n
4 .
Xn>0
1 n2+7n+12
5 .
Xn>2
2 (2n+1)(2n+3)
6 .
Xn>0
3n+5n 7n
1 . 3 e x e r c i c e s 9
7 .
Xlog
2n−1 n+18 .
Xsinh
n 3n9 .
Xn>1
1 4n2−1
10 .
Xn>2
1 n2−1
11 .
Xcosh
n 2n12 .
Xn>1
n
sin
1 n13 .
Xn>2
1 n(n2−1)
14 .
Xn>2
1
n(n+1)(n+2)(n+3)
15 .
Xn>2
log
n2−1 n2Exercice
1 . 5
.Quelle est la série téléscopique associée à la suite
vn=n2−n? En déduire la somme de la série
Pn/2n
.
Exercice
1 . 6
.Pour tout entier
d>1, calculer la somme X∞n=1
1
n(n+1)(n+2)(n+3)· · ·(n+d)
Exercice
1 . 7
.Nous avons vu que, en regroupant les termes d’une série
conver- gente, on obtient une série convergente et de même somme. Montrer que, enregroupant opportunément les termes de la série divergente
P(−1)n
, on peut
obtenir une série convergente.
2
C R I T È R E D E C O N V E R G E N C E D E C A U C H Y
Dans ce chapitre, on introduit la notion de suite de Cauchy et on démontre qu’une suite de Cauchy de nombres réels converge ; plus exactement, on démontre que cette propriété des nombres réels — que toute suite de Cauchy de nombres réels converge — est équivalente à bien d’autres propriétés qui sont souvent prises comme axiomes de R.
La construction des nombres réels — c.-à-d. la démonstration qu’il existe bien un corps ordonnée archimédien qui vérifie ces axiomes — est au delà de nos buts. Nous invitons le lecteur intéressé à consulter [Lelong-Ferrand and Arnaudiès( 1977 )].
Nous présentons la notion de suite de Cauchy dans le cadre des es- pace métriques car elle se formule sans effort majeure dans ce contexte.
Enfin, nous appliquerons la notion de convergence de Cauchy aux séries en obtenant le critère de convergence de Cauchy pour le séries.
Bien que les notions présentées dans ce chapitre soient d’utilité plus théorique que pratique, nous invitons les étudiants qui ont l’intention de continuer leurs études en mathématiques à ne pas sous-estimer leur importance.
2 . 1 e s p a c e s m é t r i q u e s 2 . 1 . 1 Espaces métriques, isométries
Un espace métrique (X , d) est un ensemble X muni d’une distance d c.-à-d. d’une fonction
d : X × X → [0 , ∞ [
satisfaisant, pour tout x , y , et z ∈ X : 1 . la propriété de symétrie :
d(x , y) = d(y , x) 2 .
d(x , y) = 0 ⇐⇒ x = y 3 . l’inégalité triangulaire
d(x , y) 6 d(x , z) + d(z , y)
Observons que, si (X , d) est un espace métrique, alors pour tout sous- ensemble Y ⊂ X la restriction de d à Y × Y est une distance sur Y dite distance induite sur Y. Donc tout sous-ensemble d’un espace métrique est canoniquement un espace métrique.
Deux espaces métriques (X
1, d
1) et (X
2, d
2) sont isométriques s’il existe une bijection φ : X
1→ X
2qui préserve les distances, c’est à dire telle que d
2(φ(x) , φ(y)) = d
1(x , y) pour tout x , y ∈ X
1.
Les espaces métriques feront l’objet d’études approfondies dans d’autres cours où l’on découvrira que ces espaces sont très nombreux et variés. Nous en parlons ici — en nous limitant aux définitions de base et à quelques exemples assez banals — car ils constituent le cadre naturel pour introduire la notion de suite de Cauchy.
11
2 . 1 . 2 Exemples d’espaces métriques
Exemple 2 . 1 . 1 . Les ensembles N, Z, Q, R et C, munis de la distance usuelle
1d(x , y) = | x − y |, sont des espaces métriques.
Exemple 2 . 1 . 2 . Sur tout ensemble X , on peut définir la distance discrète
d(x, y) =
1 , si x 6= y , 0 , si x = y
Exemple 2 . 1 . 3 . Sur l’ensemble des entiers positifs N
+, on peut définir une distance en posant
d(n , m) = 1 n − 1
m
2 . 1 . 3 Limites dans les espaces métriques
Définition 2.1.4. On dit que une suite (x
n) dans un espace métrique (X , d) converge vers x si lim d(x
n, x) = 0 . Dans on dit que x est la limite de la suite (x
n) et nous écrivons
x = lim x
n.
Quand X = R ou X = C, munis de la distance usuelle, on retrouve les notions habituelles de convergence et de limite d’une suite.
Exemple 2 . 1 . 5 . Dans les espaces considérés aux Exemples 2 . 1 . 2 et 2 . 1 . 3 , une suite converge si et seulement si elle est stationnaire.
Définition 2.1.6. Une partie Y d’un espace métrique (X, d) est dense (dans X) si pour tout x ∈ X il existe une suite (y
n) d’éléments de Y avec x = lim y
n.
Exemple 2 . 1 . 7 . Les nombres rationnels Q sont denses dans dans les nombres réels R (pour la distance usuelle). Les réels ne sont pas denses dans C.
2 . 2 s u i t e s d e c a u c h y
2 . 2 . 1 Suites de Cauchy et espaces métriques complets
Une suite de Cauchy dans un espace métrique est, grosso-modo, une suite telle que tous ses termes sont très proches quand leurs rangs deviennent assez grands.
Définition 2.2.1. On dit que une suite (x
n) dans un espace métrique (X, d) est une suite de Cauchy si pour tout > 0 il existe N ∈ N tel que pour tous les entiers n, m satisfaisants n > N et m > N on a d(x
m, x
n) < .
1 Le symbole|z|, pourz∈C, dénote le module dezmais quandzest un nombre réel ce module coïncide avec la valeur absolue dez.
2 . 2 s u i t e s d e c a u c h y 13 Exemple 2 . 2 . 2 . Considérons l’espace métrique ( N
+, d), où d est la dis- tance définie dans l’exemple 2 . 1 . 3 . Dans cet espace la suite x
n= n est une suite de Cauchy ; en effet, en choisissant N > 2/ , si n > N et m > N , on a
d(x
n, x
m) = d(n , m) = 1 n − 1
m
< 2 N < .
Proposition 2.2.3. Toute suite convergente est une suite de Cauchy Démonstration. Supposons que lim x
n= x . Pour tout positif il existe N ∈ N tel que d(x
n, x) < /2 si n > N . Donc si m > N et n > N on a d(x
m, x
n) < d(x
m, x) + d(x, x
n) < .
En général, l’implication opposée est fausse : il existe des espaces métriques qui possèdent des suites de Cauchy non convergentes.
Définition 2.2.4. Un espace métrique (X , d) pour lequel toute suite de Cauchy converge est dit complet.
Exercice 2 . 1 . Montrer que la suite de Cauchy de l’exemple 2 . 2 . 2 ne converge pas vers un élément de N
+.
Mais l’exemple classique d’un espace non complet, i.e. possédant des suites de Cauchy non convergentes, est l’ensemble des nombres rationnels Q : soit x
nl’expansion décimale de √
2 tronquée à la n
eplace décimale, ( x
0= 1 , x
1= 1 , 4 , x
2= 1 , 41 , etc.) ; cette suite de nombres rationnels est une suite de Cauchy — car, si n > m , on a 0 < x
n− x
m< 10
−m— ; pourtant elle ne converge pas vers un nombre rationnel — car elle converges dans R vers √
2 et √
2 n’est pas un nombre rationnel — .
2 . 2 . 2 L’espace des nombres réels est complet
En effet la vraie raison d’être des nombres réels, celle qui motive leur construction, est la suivante.
Théorème 2.2.5. L’ensemble de nombres réels R (ainsi que l’ensemble de nombres complexes C) est complet et Q est dense dans R.
La preuve de ce théorème est à la base de la construction même des nombres réels. Sur le mêmes lignes de cette construction on peut démontrer un théorème plus général.
Théorème 2.2.6. Soit (X , d) un espace métrique. Il existe un espace métrique ( X ¯ , ¯ d) , unique à une isométrie près, tel que
1. X est une partie de X ¯
2. la distance induite par d ¯ sur X coïncide avec la distance d 3. X est une partie dense de X ¯
4. ( X, ¯ ¯ d) est complet.
Le fait que l’ensemble de nombres réels soit complet, nous l’avons dit, est une propriété fondamentale de R ; cette propriété est équiva- lente à d’autres propriétés qu’on a déjà rencontré dans le cours d’ana- lyse de première année.
Théorème 2.2.7. Les propriétés suivantes de R sont équivalentes :
1. (Existence de la borne supérieure) Tout sous-ensemble majoré de R pos- sède une borne supérieure.
2. (Principe des intervalles emboîtés) L’intersection de toute suite d’in- tervalles fermés et emboîtés
2est non vide. Si, en plus, la longueur des intervalles converge vers zéro, alors les extrémités droites et gauches des intervalles des des intervalles convergent vers un seul nombre c ∈ R.
3. (La propriété de Bolzano-Weierstrass) De toute suite bornée de nombres réels on peut extraire une sous-suite qui converge vers un nombre réel.
4. (R est complet) Toute suite de Cauchy de nombres réels converge vers un nombre réel.
5. Toute suite croissante et majorée converge vers un nombre réel.
Démonstration. 1 . = ⇒ 2 .
Supposons l’existence de la borne supérieure de toute partie majorée de R (ce qui implique l’existence de la borne inférieure pour toute par- tie minorée de R). Soit I
n= [a
n, b
n] une suite d’intervalles emboîtés.
Pour tout couple d’entiers entier m , n on a
a
n6 a
m6 b
m6 b
n, si m > n . ( 2 . 1 ) La suite (a
n) est donc majorée car a
n6 b
0pour tout n ; de même, la suite (b
n) est minorée. Par hypothèse, on peut poser c = sup a
net d = inf b
n.
Les inégalités ( 2 . 1 ) impliquent que a
m6 b
n, pour tout couple d’en- tiers entier m , n tel que m > n et donc c 6 b
n, pour tout entier n ; on conclut que c 6 d , ce qui nous dit que l’intervalle [c , d] n’est pas vide.
Puisque pour tout entier n on a a
n6 c et d 6 b
non obtient
∅ 6= [c , d] ⊂ \
n
[a
n, b
n] ,
ce qui démontre que l’intersection des intervalles [a
n, b
n] est non vide.
(Une analyse plus détaillée montre que [c , d] = T
n
[a
n, b
n] ). On a aussi 0 6 d − c 6 b
n− a
n∀n ∈ N;
sous l’hypothèse lim b
n− a
n= 0, en passant à la limite, on obtient c = d. Il reste à démontrer que c = lim a
n= limb
n. Mais pour tout m ∈ N on a
0 6 c − a
n6 b
n− a
net 0 6 b
n− c 6 b
n− a
net, en passant à la limite, on obtient c = lim a
net lim b
n= c . 2. = ⇒ 3.
Supposons le Principe des intervalles emboîtés.
Soit (x
n) une suite bornée de nombres réels et soient a
0et b
0deux nombres réels tels que a
06 x
n6 b
0pour tout n ∈ N. Posons I
0= [a
0, b
0] . Soit X = { x
n| n ∈ N} l’ensemble des valeurs de la suite. Si l’ensemble X est fini, i.e. si la suite (x
n) prend seulement un nombre fini de valeurs, il existe une valeur y ∈ X telle que x
n= y pour une infinité de n ∈ N ; il existe alors une sous-suite (x
ni) de la suite (x
n) avec x
ni= y pour tout i ∈ N ; la sous-suite (x
ni) est constante et donc convergente. Si, au contraire, l’ensemble X est infini, l’intersection de X avec un des deux intervalles [a
0, (a
0+ b
0)/2] et [(a
0+ b
0)/2 , b] ,
2 Les intervalles d’une suite(In)sont emboîtes siIn+1⊂In, pour tout entiern.
2 . 2 s u i t e s d e c a u c h y 15 est infinie. Ayant choisi, par récurrence, un intervalle I
n= [a
n, b
n] tel que l’ensemble X ∩ I
nest infini, on définit I
n+1comme l’un des deux sous-intervalles [a
n, (a
n+ b
n)/2] ou [(a
n+ b
n)/2 , b
n] , tel que l’intersection X ∩ I
n+1est infinie. A l’étape j de la récurrence on prend garde de choisir un élément x
nj∈ I
javec n
j> n
j−1(on peut faire cela car I
jcontient un infinité d’élément de X ). Observons que b
n− a
n= (b
0− a
0)/2
n. Les intervalles I
nétant emboîtés, leur intersection est non vide et en effet elle consiste d’un seul point y. Or lim x
nj= y car
| y − x
nj| 6 (b
0− a
0)/2
j. 3 . = ⇒ 4 .
Supposons la propriété de Bolzano-Weierstrass : de toute suite bor- née on peut extraire une sous-suite convergente.
Soit (x
n) une suite de Cauchy. La suite (x
n) est bornée car il existe N ∈ N tel que | x
n− x
m| < 1 si n > N et m > N ; si on pose B = max
06i6N| x
i| on a | x
n| 6 B + 1 pour tout entier n ∈ N. Par hypothèse, on peut extraire de la suite (x
n) une sous-suite (x
nj)
j∈Nconvergente vers une limite y . Soit > 0 ; d’un coté il existe un M tels que m > M et n > M implique que | x
n− x
m| < . De l’autre coté, in existe L tel que j > L implique n
j> M et | x
nj− y | < . Donc pour tout m > L on a | x
m− y | 6 | x
m− x
nL| + | x
nL− y | 6 2.
4. = ⇒ 5.
Supposons que R est complet : toute suite de Cauchy de nombres réels converge.
Soit (x
n) une suite croissante et et majorée de R. Montrons que (x
n) est une suite de Cauchy : cela fera l’affaire. Dans l’hypothèse contraire, il existe > 0 satisfaisant : quel que ce soit N ∈ N il existe deux entiers n, m tels que n > N, m > N et | x
n− x
m| > ; donc on peut trouver deux suites d’entiers (m
i) , (n
i) satisfaisant m
1< n
1< m
2< n
2< . . . et telles que x
ni− x
mi> . Alors
x
ni> x
mi+ > x
ni−1+ > x
ni−2+ 2 > . . . x
n1+ (i − 1) ce qui démontre que la suite (x
n) n’est pas majorée, contrairement aux hypothèses.
5 . = ⇒ 1 .
Supposons que toute suite (x
n) croissante, i.e. x
n+1> x
net majo- rée converge ; cela implique que toute suite décroissante et minorée converge. Soit A une partie majorée de R, et m
0un majorant de A . Nous définissons, par récurrence, une suite décroissante de majorants de A : supposons d’avoir déjà choisi m
0> m
1> · · · > m
j, majorants de A ; si m
j= sup A nous nous arrêtons car nous avons obtenons l’existence de sup A ; si m
j6= sup A , il existe un autre majorant de A , m
0, satisfaisant m
0< m
j. En effet nous pouvons choisir
3un majorant m
j+1de A satisfaisant m
j+1< m
jet tel que m
j+1− (m
j− m
j+1) ne majore pas A. Soit a
j∈ A tel que a
j> m
j+1− (m
j− m
j+1).
La suite (m
j) est soit stationnaire — et dans ce cas sup A existe — soit strictement décroissante et minorée par les éléments de A . Sup- posons le dernier cas ; la suite converge alors vers un nombre réel M . Nous affirmons que M = sup A , ce qui conclut la preuve.
3 Voila comment : Soitm0un majorant deAsatisfaisantm0< mj. Soit∆=mj−m0 et soitkle plus grand entier positif tel quemj−k∆est un majorant deA. On pose mj+1 = mj−k∆, de façon que∆ = (mj−mj+1)/k. Par définition, le nombre mj− (k+1)∆et donc le nombreyj=mj−2k∆n’est pas un majorant deA; or
yj=mj−2k(mj−mj+1)/k=mj+1− (mj−mj+1).
En effet puisque pour tout a ∈ A et pour tout n ∈ N on a a 6 m
n, en passant à la limite, nous obtenons que, pour tout a ∈ A, on a a 6 M.
Donc M est un majorant de A . Si M 6= sup A il existe un majorant de A , m
0, satisfaisant m
0< M . Soit 0 < < M − m
0et soit N ∈ N tel que j > N implique que 0 < M − m
j< . Puisque M < m
j+1< m
j, on a aussi m
j− m
j+1< pour tout entier j > N . On a
a
j> m
j+1− (m
j− m
j+1) > m
j+1− > M − > m
0, en contradiction avec l’assomption que m
0majore A . 2 . 2 . 3 Conclusion
Le fait fondamentale qu’il faut retenir de cette section est que l’en- semble des nombres réels — ainsi que l’ensemble des nombres com- plexe — muni de la distance usuelle est complet. Donc
Une suite (x
n) de nombres réels ou complexes converge si et seulement si elle est une suite de Cauchy, c.-à-d. si et seulement si pour tout > 0 il existe un entier N ∈ N tel que pour tout n > N et m > N on a | x
m− x
m| < ε.
2 . 3 c r i t è r e d e c o n v e r g e n c e d e c a u c h y p o u r l e s s é r i e s En appliquant ce critère à la suite des sommes partielles de la série de terme général u
nnous avons
Théorème 2.3.1 (Critère de convergence de Cauchy pour les séries). La série de terme général u
nconverge si et seulement si
∀ε > 0 ∃N ∈ N t.q. ∀n > N, ∀p > 0 | u
n+ u
n+1+ · · · + u
n+p| < ε.
Démonstration. Par définition la série de terme général u
nconverge si (et seulement si) la suite des sommes partielles S
n= P
ni=0
x
icon- verge, et donc si et seulement si la suite des sommes partielles est une suite de Cauchy :
∀ε > 0 ∃N ∈ N t.q. ∀n > N, ∀m > N | S
m− S
n| < ε. ( 2 . 2 ) Un des deux rangs n et m dans la formule ci-dessus est plus grand que l’autre : disons m > n ; dans ce cas, on peut écrire m = n + p, avec p > 0 et
S
m− S
n= X
m i=0x
i− X
n i=0x
i= x
n+1+ x
n+2+ · · · + x
n+pDonc la ( 2 . 2 ) devient
∀ε > 0 ∃N ∈ N t.q. ∀n > N , ∀p > 0 | x
n+1+ x
n+2+ · · · + x
n+p| < ε . Quitte à remplacer N par N + 1, on a démontré l’assertion du théorème.
Remarque 2 . 3 . 2 . La Proposition 1 . 2 . 12 est aussi une conséquence immé- diate du Critère de convergence de Cauchy pour les séries
Comme application du critère de convergence de Cauchy démon-
trons le théorème suivant
2 . 4 e x e r c i c e s 17
Théorème 2.3.3. Pour s 6 1, la série P
1ns
diverge. En particulier P
1n
diverge.
Démonstration. Si s 6 0 alors lim
n 1ns
6= 0 et la série P
1ns
diverge par la proposition 1 . 2 . 12 . Supposons alors 0 < s 6 1 .
Soit k > 1 un entier. Considérons la sommes des termes u
n= n
−spour n de k + 1 à 2k . Observons que cette somme contient k termes dont le plus petit est le dernier, u
2k= (2k)
−s(la fonction x 7→ x
−sest décroissante sur R
+). On a alors
X
2k n=k+1n
−s> k(2k)
−s= 2
−sk
1−s> 2
−s. ( 2 . 3 )
Par le critère de Cauchy, si P
1ns
converge il existe un entier N ∈ N tel que
| 1
(n + 1)
s+ 1
(n + 2)
s+ · · · + 1
(n + p)
s| < 2
−spour tout n > N et p > 0 .
Cela contredit l’inégalité ( 2 . 3 ). Donc la série P
1ns
diverge.
Notation. La série divergente P
1n
est dite série harmonique.
2 . 4 e x e r c i c e s
Le critère de convergence de Cauchy affirme que une série
Pun
converge si et seulement si pour tout
ε > 0il existe un entier
N(ε)tel que
|un+un+1+· · ·+un+k|< ε, ∀n > N(ε),∀p>0
Utiliser ce critère pour résoudre les exercices suivants.
Exercice
2 . 2
.Montrer que pour tout naturel
kla série
Pnk3n
converge. À ce but :
– démontrer que pour tout
a > 1la fonction
x 7→ xk/axest majorée sur
[0,∞[par une constante qui ne dépend que de
ket
a;
– démontrer que pour tout
n∈Non a
n3nk 6C(23)n, où
Cest une constante qui ne dépend que de
k;
– estimer des sommes
Pn+k n nk3n
.
Exercice2 . 3
.Montrer que la série
Plog
1+n1diverge. À ce but : – démontrer que pour tout
n > 0on a log
1+n1
> n+11
.
Rappels : la fonction log est concave et log
(1+a) =R1+a1 dt/t
. – utiliser l’estimation faite en cours de la somme
P2kp=k+11/p
pour démon- trer que la série
Plog
1+n1ne satisfait pas le critère de convergence de Cauchy.
Exercice
2 . 4
.Établir la nature de la série
1−12+2 3−1
3+2 4−1
4+ +. . .
3
S É R I E S À T E R M E S P O S I T I F S
3 . 1 c o n v e r g e n c e a b s o l u e , s e m i - c o n v e r g e n c e Définition 3.1.1. On dit qu’une série P
u
nest absolument convergente si la série P
| u
n| est convergente.
La convergence absolue est une propriété plus forte que la conver- gence :
Théorème 3.1.2. Toute série absolument convergente est convergente.
Démonstration. La démonstration est une simple application du cri- tère de Cauchy. Soit P
u
nune série absolument convergente. Puisque la série P
| u
n| converge, elle satisfait le critère de Cauchy : pour tout ε > 0 , il existe un entier N(ε) satisfaisant
| u
n| + | u
n+1| + . . . | u
n+p| 6 ε , ∀p > 0 , ∀n > N(ε) . ( 3 . 1 ) Observons que, par l’inégalité de Minkowski, pour tout n , p > 0 , on a
| u
n+ u
n+1+ . . . u
n+p| 6 | u
n| + | u
n+1| + . . . | u
n+p|. ( 3 . 2 ) De ( 3 . 2 ) et ( 3 . 1 ), on obtient que, pour tout ε > 0, il existe un entier N(ε) tel que
| u
n+ u
n+1+ . . . u
n+p| 6 ε ∀p > 0 , ∀n > N(ε) . Le condition de Cauchy est donc satisfaite pour la série P
u
net nous pouvons conclure que cette série converge.
Exemple 3 . 1 . 3 . Puisque la série P
1n(n+1)
converge (cf. Exemple 1 . 2 . 6 ), la série
X e
2inθn(n + 1)
converge absolument quel que soit θ ∈ R. En particulier les séries X cos(nθ)
n(n + 1) et X sin(nθ) n(n + 1) convergent pour tout θ ∈ R.
Exemple 3 . 1 . 4 . La série harmonique P
1/n diverge (cf. Théorème 2 . 3 . 3 ).
Nous montrerons dans la suite que la série P
(−1)
n+1/n converge.
Cela nous donne un exemple d’une série convergente qui ne converge pas absolument.
Définition 3.1.5. Une série convergente P
u
ntelle que P
| u
n| diverge est dite semi-convergente.
Pour décider si une série P
u
nest absolument convergente (et donc convergente) il faut, par définition, étudier la nature de la série P
| u
n| ; celle-ci est une série à termes positifs. Pour cette raison nous nous penchons maintenant vers l’étude des séries à termes positifs.
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3 . 2 s é r i e s à t e r m e s p o s i t i f s
3 . 2 . 1 Particularité des séries à termes positifs
Soit (u
n) une suite de nombres réels positifs. Les sommes partielles S
n= u
1+ u
2+ · · · + u
nforment alors une suite croissante (S
n) ; ceci implique que lim S
n= sup S
n. On obtient
Proposition 3.2.1. Une série à termes réels positifs P
u
nconverge (absolu- ment) si et seulement si les sommes partielles S
nde la série sont majorées et dans ce cas la somme de la série vaut P
∞n=0
u
n= sup S
n.
Évidemment pour une série à termes réels positifs, les notions de convergence et de convergence absolue coïncident.
3 . 2 . 2 Le critère de l’intégrale
Théorème 3.2.2 (Le critère de l’intégrale (Maclaurin-Cauchy)). Soit f une fonction réelle positive et décroissante sur [0 , ∞ [ .
La série P
f(n) diverge ou converge selon que la limite L = lim
TR
T0
f(t) dt diverge ou converge. Dans ce dernier cas, on a :
L 6 X
∞ n=0f(n) 6 L + f(0) ( 3 . 3 )
Remarque 3 . 2 . 3 . Si f est strictement décroissante les inégalités précé- dentes sont strictes.
Démonstration. Observons d’abord que L = lim
T
Z
T 0f(t) dt = sup
TZ
T0
f(t) dt
et donc cette limite est finie ou infinie selon que les intégrales R
T0
f(t) dt sont majorées ou non.
Pour tout entier n, si t ∈ [n, n + 1] on a f(n + 1) 6 f(t) 6 f(n)
et donc
f(n + 1) 6 Z
n+1n
f(t) dt 6 f(n) .
En additionnant membre à membre ces inégalités pour n = 0, 1, . . . , N on obtient
N+1
X
n=1
f(n) 6 Z
N+10
f(t) dt 6 X
N n=0f(n)
On voit alors que les sommes partielles P
N+1n=1
f(n) sont majorées si et seulement si les intégrales R
T0
f(t) dt sont majorées. Dans ce cas, en posant S = P
∞n=0