II . So us -es pa ces vec to ri el s

(1)

ECE1-B2015-201

C H X X II :E spa ce s ve ct or ie ls I. St ruc tur e vec to ri el le

I.1.Définition Définition SoitEunensemblenonvide. •Uneloidecompositioninterne>surl’ensembleEestuneapplica- tion>:E⇥E!E.Autrementdit:8(x,y)2E2 ,x>y2E. •Uneloidecompositionexterne⇤surl’ensembleEestuneapplica- tion⇤:R⇥E!E.Autrementdit:82R,8x2E,⇤x2E. Exemple NotonsE=Mn,1(R). •Cetensemblepossèdeuneloidecompositioninterne(noté+): 0 @3 5 21 A+

0 @1 0 3

1 A=

0 @4 5 1

1 A •Cetensemblepossèdeuneloidecompositioninterne(noté·): 3·⁰ @1 0 31 A=

0 @3 0 9

1 A

(2)

CE1-B2015-2016

DéfinitionUnensemblenonvideEestunespacevectorielsurRsi:1)Eestmunid’uneloi+quivérifielespropriétéssuivantes.a)+estuneloidecompositioninterne

b)8(x,y)2E2,x+y=y+x(commutativité) c)8(x,y,z)2E2,x+(y+z)=(x+y)+z(associativité) d)90E2Etelque:8x2E,x+0E=0E+x=x(élémentneutre) e)8x2E,9y2E,x+y=y+x=0E(yopposédex)

2)Eestmunid’uneloi·quivérifielespropriétéssuivantes.a)·estuneloidecompositionexterne

b)8(,µ)2R2,8(x,y)2E2,·(x+y)=·x+·y c)8(,µ)2R2,8(x,y)2E2,(+µ)·x=·x+µ·x d)8(,µ)2R2,8x2E,(µ)·x=·(µ·x) e)8(,µ)2R2,8x2E,1·x=x

VocabulaireSoitEunespacevectorielsurR.

•OnparleaussideR-espacevectoriel.Ànotreniveau,onpourramêmeomettreleRetparlersimplementd’espacevectoriel.

•LesélémentsdeEsontappelésvecteurs.

•Afindefaireladiﬀérenceentreréelsetvecteursonnotesouventlesvecteursàl’aided’uneflèche: !x.

•L’élémentneutre !0EdeEestunique.Onpourralenotersimplement !0s’iln’yapasambiguïté.

•Si !x2E,l’opposéde !xpar+estuniqueetestnoté !x.

2

(3)

ECE1-B2015-201 Exemple •RestunR-espacevectoriel. •Mn,1(R)estunespacevectorielpuisqueleslois+et·citéesprécédem- mentvérifientlespropriétésdeladéfinition. Remarque •L’ordredesélémentsdanslamultiplicationexterneestimportant: ! x··!xX •Ladéfinitiond’evnefaitpasapparaîtredeloipermettantlamultipli- cationdevecteurs.Onnepeutdonc,apriori,multiplierdeuxvecteurs entreeux.0 @1 0 31 A⇥

0 @3 0 9

1 A Proposition1. SoitEunespacevectoriel. Soit(,µ)2R2 etsoit(! x,! y)2E2 . a)·! 0E=! 0E b)0·!x=! 0E c)·(! x)=()·!x=(·!x) d)·!x=! 0E)=0OU! x=! 0E Démonstration. a)·! 0E=·(! 0E+! 0E)=·! 0E+·! 0E.Onajoutealors! ul’opposéde ! 0Edepartetd’autredel’égalité: ·! 0E+! u=·! 0E+·! 0E+! u ! 0E=·! 0E+! 0E=·! 0E b)Demême,onremarque0·!x=(0+0)·!x=0·!x+0·!xetonajoute l’opposéde0·!xdechaquecôté.

(4)

ECE1-B2015-201

RemarqueOnadéjàutilisécettepropriétésanslaciter.Eneﬀet,sil’onconsidèredenouveaul’applicationlinéairef:

f:M3,1(R)!M2,1(R)0@ xyz 1A7! ✓3x+2yx+2y+z ◆= ✓320121 ◆ 0@ xyz 1A

AlorsImfs’écritsouslaforme:

Imf={x ✓31 ◆+y ✓22 ◆+z ✓01 ◆|(x,y)2R2}

=Vect ✓✓31 ◆, ✓22 ◆, ✓01 ◆◆

qqq

=Vectf 0@ 100 1A !

,f 0@ 010 1A !

,f 0@ 001 1A !!

III.4.Conclusion:montrerqu’unensembleFestunev

Nouspouvonsmaintenantcompléternotrelistedeméthodespermet-tantdemontrerqu’unensembleFestunespacevectoriel.1)Reveniràladéfinitionetvérifiertouslesaxiomes.Longetpénible–àéviter.2)MontrerqueFestunsous-espacevectorielFd’unevE.Méthodeclassique(fonctionnetoujours!)àconnaîtreabsolument.3)MontrerqueFs’écritsouslaforme:F=Vect( !a1,..., !am).Plusélégantetrapide.4)MontrerqueFs’écritsouslaforme:F=Kerfoùfestuneapplicationlinéaire.Plusélégantetrapide.5)MontrerqueFs’écritsouslaforme:F=Imfoùfestuneapplicationlinéaire.Toutaussiélégantetrapide.

25 CE1-B2015-2016

c) !0E=

· ! 0E=·( !x+( !x))=

de · !x+·(x)etonajoutel’opposé ! Demême,0=O ! · !xdechaquecôté.

· !x=(+())

d)Supposons · !x=x+()x. !!

E· !x=0et6=0.Onauraalors:·( 1!

· ! x)= 1

· ! 0E= !0Ed’où1

· ! x= !0Eet !x= !0E. Illustrationsurunexemple.Pourcomprendreplusfacilementcequereprésententcespropriétés,traduisons-lessurl’exemplesimpledeE=M3,1(R).

Notonstoutd’abordque: !0E= 0@ 000 1A a)· 0@ 000 1A= 0@ 000 1A b)0· 0@ x1x2x3 1A= 0@ 000 1A c)· 0@ x1x2x3 1A=()· 0@ x1x2x3 1A=· 0@ x1x2x3 1A ! d)· 0@ x1x2x3 1A= 0@ 000 1A)=0OU 0@ x1x2x3 1A= 0@ 000 1A

DéfinitionSoitEunR-espacevectorieletm2N⇤.Soit( !u1,..., !um)unefamilledevecteursdeE.

•Unvecteur !v2Eestunecombinaisonlinéairedesvecteurs !u1,..., !ums’ilexiste(1,...,m)2Rmtelque

!v=1 !u1+2 !u2+···+m !um

4

(5)

ECE1-B2015-2016 Onpeutécrirecetteimagecommeespacevectorielengendréparune partie. Imf={x✓ 3 1◆ +y✓ 2 2◆ +z✓ 0 1◆ |(x,y)2R2} =Vect✓✓ 3 1◆ ,✓ 2 2◆ ,✓ 0 1◆◆ =Vect✓✓ 3 1◆ ,✓ 0 1◆◆ =R2 Théorème6. SoientEetFdeuxespacesvectorielsetsoitf2L(E,F). fsurjective,Imf=F Démonstration. OnnefaitquerappelericilerésultatobtenudanslechapitreEnsembles etapplications. Remarque Évidemment,danslecasoùl’applicationlinéairefestàlafoisinjective etbijective,onditquefestbijective.Uneapplicationlinéaireestavant toutuneapplication(toutcourt)etlesrésultatsobtenusdanslechapitre Ensemblesetapplicationss’appliquentauxapplicationslinéaires. Théorème7. SoientEetFdeuxespacesvectorielsetsoitf2L(E,F). SoitB=(! e1,...,! en)unebasedeE. AlorsImfestlesous-espacevectorieldeFengendréparlafamille(f(! e1),...,f(! en)). Imf=Vect(f(! e1),...,f(! en)) Démonstration. (✓)Soit! y2Imf.Alorsilexiste! x2Etelque! y=f(! x).Dansla baseB,! xs’écrit:! x=x1·!e1+···+xn·!en Onadonc:f(! x)=x1·f(! e1)+···+xn·f(! en). Ainsi,! y2Vect(f(! e1),...,f(! en)) (◆)Chacundesvecteursf(! ei)estdansImf,cequisuﬃtàdémontrer l’inclusion. 24 ECE1-B2015-201

II . So us -es pa ces vec to ri el s

II.1.Définition Définition SoitEunR-espacevectorielmunideslois+et· UnepartienonvideFdeEestunsous-espacevectorieldeEsi: a)8(! x,! y)2F2,! x+! y2F(Feststablepourlaloi+) b)82R,8!x2F,! x2F(Feststablepourlaloi·) Propriété SoitEunR-espacevectoriel. FestunsevdeE)! 0E2F Remarque Onutiliseraparticulièrementlacontraposéedecettepropriété. ! 0E62F)Fn’estpasunsevdeE NotonsF={⁰ @x y z1 A2M3,1(R)|x+y+z=1}. AlorsFn’estpasunsevdeE.Eneﬀet,! 0E=

0 @0 0 0

1 A62F. Proposition2(CaractérisationdessevdeE). SoitEunR-espacevectoriel. Festunsous-espacevectorieldeE: ssi8(,µ)2R2,8(! x,! y)2F2,·!x+µ·!y2F ssi82R,8(! x,! y)2F2,·!x+! y2F (Feststableparcombinaisonlinéaired’élémentsdeF)

(6)

ECE1-B2015-201

III.3.Imaged’uneapplicationlinéaire

DéfinitionSoientEetFdeuxespacesvectorielsetsoitf2L(E,F).OnappelleimagedefetonnoteImfl’ensemble:

Imf=

{ !y2F|

9 !x2E,y=f(x)} !

Théorème5.SoientEetFdeuxespacesvectorielsetsoitf2L(E,F).AlorsImfestunsous-espacevectorieldeF.

Démonstration.

•Imf✓F(évident)etImf6=?:f( !0E)= !0Fdonc !0F2Imf.

•Si2Ret( !y1, !y2)2(Imf) 2,alorsilexiste( !x1, !x2)2E 2telquey1=f( !x1)ety2=f( !x2).Alors !y1+

· ! y22Imfcar:!y1+

· ! y2=f( !x1)+·f( !x2)=f( !x1+·f( !x2)).

ExempleReprenonsl’exemplefondamental.

•SoitM2Mp,n(R)et f:Mn,1(R)!Mp,1(R)X7!MX . AlorsImf={Y2Mp,1(R)|9X2Mn,1(R),Y=MX}.Ainsi,Imfestl’ensembledessecondsmembresYtelsquelesystèmeMX=Yadmetunesolution.

•Ilfautsavoirreconnaîtrelesensemblesécritscommedesimages.

Parexemple,F={ ✓3x+2yx+2y+z ◆2M2,1(R)| 0@ xyz 1A2M3,1(R)}=

Imfoùl’applicationlinéairefestdéfiniepar:

f:M3,1(R)!M2,1(R)0

@ xyz 1A7! ✓3x+2yx+2y+z ◆= ✓320121 ◆ 0@ xyz 1A

23 CE1-B2015-2016

Démonstration.1)())Soit(,µ)2R2et( !x, !y)2F2.CommeFeststableparlaloi·,ona

· !x2Fetµ

a · !y2F.CommeFeststableparlaloi+,on

· !

x+µ

2)Démonstrationsimilaire. seulementµ=0,onprouvequeFeststablepourlaloi· =µ=1,cequimontrelastabilitédeFparlaloi+.Enprenant (()Lapropriétéétantvraiepourtoutcouple(,µ)ellel’estpour · !y2F.

Proposition3.SoitEunR-espacevectoriel.

Fsous-espacevectorieldeE)Festunespacevectoriel

Démonstration.+estuneloidecompositioninternepourF(parstabilité).·estuneloidecompositionexternepourF(parstabilité).Deplus,cesdeuxloisvérifientlesaxiomesdesespacesvectorielspuis-qu’ellesfontdéjàdeEunespacevectoriel.

Exemple

•SiEestunev,

{ ! 0E}etEsontdessevdeE.

•L’ensembledesfonctionsdeRdansR,notéF(R,R),estunR-espacevectoriel(pourledémontrer:montrerquetouslesaxiomessontvéri-fiés).L’ensembledesfonctionsréellesbornées/polynômes/pairessontdessous-espacesvectorielsdeF(R,R)etsontdonceux-mêmesdesespacesvectoriels.

•{ 0@ x1x2x3 1A2M3,1(R)|3x1+2x2x1=0}estunsevdeM3,1(R).

6

(7)

ECE1-B2015-2016 Onpeutécrirecenoyaucommeespacevectorielengendréparunepar- tie. Kerf={⁰ @2y y y1 A|y2R}={y⁰ @2 1 11 A|y2R}=Vect

0 @2 1 1

1 A! •L’ensembleF={⁰ @x1 x2 x31 A2M3,1(R)|3x1+2x2x3=0}estunev. Eneﬀet,c’estlenoyaudel’applicationlinéaire f:M3,1(R)!R 0 @x1 x2 x31 A7!3x1+2x2x3=321

0 @x1 x2 x3

1 A Onpeutécrirecenoyaucommeespacevectorielengendréparunepar- tie. F={⁰ @x1 x2 3x1+2x21 A2M3,1(R)} ={x10 @1 0 31 A+x20 @0 1 21 A|(x1,x2)2R2 }=Vect

0 @1 0 3

1 A,

0 @0 1 2

1 A! Théorème4. SoientEetFdeuxespacesvectorielsetsoitf2L(E,F). finjective,Kerf={! 0E} Démonstration. ())Commeflinéaire,f(! 0E)=! 0F.Commefestinjective,s’ilexisteun autrevecteurf(! x)telquef(! x)=! 0F,c’estque! x=! 0E. (()Soit(! x,! y)2E2telquef(! x)=f(! y).Onaalors:f(! x)f(! y)= ! 0F,cequis’écritf(! x! y)=! 0F.Ainsi,! x! y2Kerf,d’où! x! y=! 0E et! x=! y. 22 ECE1-B2015-201 Montrerqu’unensembleFestunespacevectoriel AfindemontrerqueFestunev,ilexistedeuxgrandesméthodes. 1)Vérifiertouslesaxiomesd’espacevectoriel:plutôtlongetpénible. 2)MontrerqueFestenfaitunsevd’unevE:plussimpleetrapide! Ondoitalorsdémontrerque: (i)F✓E (ii)F6=?:onmontregénéralementque! 0E2F (iii)Si(! x,! y)2F2,! x+! y2F (iv)Si2Ret! x2F,·!x2F Étantdonnéelapropriétéprécédente,lespoints(iii)et(iv)peuvent êtreremplacésparlapropriétééquivalente: (iii)Si2Ret(! x,! y)2F2,·!x+! y2F Illustrationsurunexemple(fondamental!) •Montrerque{⁰ @x1 x2 x31 A2M3,1(R)|3x1+2x2x1=0}estunev. •Généralisation.Soitn2NetsoitM2Mp,n(R).Onconsidère: F={X2Mn,1(R)|MX=0} Montronsquel’ensembleFestunsevdeMn,1(R)(etdoncunev). (i)F✓E. (ii)Festnonvide:eneﬀetlevecteurnuldeMn,1(R)estune solutiondusystèmeMX=0. (iii)SiX1etX2sontdeuxsolutionsdusystèmes,alorsX1+X2est aussisolutiondusystèmecarM(X1+X2)=MX1+MX2=0. (iv)Si2RetX2Mn(R)solutiondusystèmealorsXestune solutiondusystèmecarM(X)=MX=0.

(8)

ECE1-B2015-201

III.2.Noyaud’uneapplicationlinéaire

DéfinitionSoientEetFdeuxespacesvectorielsetsoitf2L(E,F).OnappellenoyaudefetonnoteKerfl’ensemble:

Kerf=

{ ! x2E|f( !x)= !0F}

Théorème3.SoientEetFdeuxespacesvectorielsetsoitf2L(E,F).AlorsKerfestunsous-espacevectorieldeE.

Démonstration.

•Kerf✓E(évident)etKerf6=?:f( !0E)= !0Fdonc !0E2Kerf,

•Si2Ret( !x, !y)2(Kerf)2,alors !x+

f(x+ ! · !y2Kerfcar:

F· !y)=f(x)+·f(y)=0+ !!!

· ! 0F= !0F.

ExempleReprenonsl’exemplefondamental.

•SoitM2Mp,n(R)et f:Mn,1(R)!Mp,1(R)X7!MX .AlorsKerf={X2Mn,1(R)|MX=0}.Ainsi,Kerfestl’ensembledessolutionsdusystèmehomogèneMX=0.(ninconnuesetpéquation)

•Ilfautsavoirreconnaîtrelesensemblesreprésentantdesnoyaux.

Parexemple,F={ 0@ xyz 1A2M3,1(R)|x=2yetz=y}=Kerfoùl’applicationlinéairefestdéfiniepar:

f:M3,1(R)!R20

@ xyz 1A7! ✓x2yy+z ◆= ✓120011 ◆ 0@ xyz 1A

21 CE1-B2015-2016

II.2.Sous-espacevectorielengendréparunepartie

DéfinitionSoitEunR-espacevectoriel.SoitAunepartienonvidedeE(A✓E).

•Onappellesous-espacevectorielengendréparAetonnoteVect(A)l’ensembledesvecteursdeEquis’écriventcommecombinaisonlinéaired’élémentsdeA.Autrementdit:

Vect(A)={ pP

i=1 i !ai|p2N ⇤,(1,...,p)2R p,( !a1,..., !ap)2A p}

•Sideplus,A=

{ ! a1,..., !am}(i.e.Afini), Vect(A)=Vect( !a1,..., !am)= ⇢mP

i=1 i !ai|(1,...,m)2R m

(onnoteVect( !a1,..., !am)enlieuetplacedeVect(

{ ! a1,..., !am}))

OnsupposeseulementqueAestunepartienonvidedeE.EnaucuncasonnesupposequeAestunespacevectoriel.Vect(A)estlevectorialisédeA.Partantd’unepartieA,onluiajoutetouslesélémentsluipermettantd’obtenirunestructurevectorielle:

•pourtouta2A,onajoutetouslesaavec2R,

•unefoiscesajoutseﬀectués,onajoutetouteslessommesfiniesd’élémentsdecettenouvellepartie.Ensomme,partantdeA,onajoutetouteslescombinaisonsli-néairesd’élémentsdeA.Onobtientainsiunespacevectoriel:c’estVect(A).

8

(9)

ECE1-B2015-2016 •Exemplefondamental.SiM2Mp,n(R),alors: L’applicationfdéfinieparf:Mn,1(R)!Mp,1(R) X7!MXestlinéaire. Théorème2. Soitnetpdeuxentiersnaturelsnonnuls. TouteapplicationlinéairefdeMn,1(R)dansMp,1(R)estdelaforme: f:Mn,1(R)!Mp,1(R) X7!MX Démonstration. NotonsBE=(! e1,...,! en)labasecanoniquedeE=Mn,1(R). NotonsBF=(! f1,...,! fp)labasecanoniquedeF=Mp,1(R). ToutvecteurX=

0 B @

x1 . . . xn

1 C A

deMn,1(R)sedécomposedemanièreunique surlabaseBE:X=x1·⁰ ^{B B B @}

1 0 . . . 0

1 C C C A

+...+xn·

0 B B B @

0 . . . 0 1

1 C C C A

=x1·!e1+...+xn·!en Parapplicationdelafonctionf,linéaire,onobtient: f(X)=x1·f(! e1)+...+xn·f(! en) Ainsi,f(X)nedépendquedesvaleursdesf(! ei):l’imagedelafonction festuniquementdéterminéeparlavaleurdefsurlesvecteurs! ei.En fait,fpeuts’écriresouslaformematriciellef:X7!MXoùMestla matriceobtenueenconcaténantlesvecteursf(! ei). M=(f(! e1),...,f(! en)) qq (

0 B @

a11 . . . ap1

1 C A

,...,

0 B @

a1n . . . apn

1 C A

) Eneﬀet,aveccettenotation,ona:M! ei=f(! ei). 20

ECE1-B2015-201 Propriété SoitEunR-espacevectoriel. SoitAunepartienonvidedeE(A✓E). 1)! 0E2Vect(A). 2)A✓Vect(A). 3)Vect(A)estlepluspetitsevdeEcontenantA. 4)Aestunev,A=Vect(A). 5)Onanotamment:Vect(Vect(A))=Vect(A). 6)A✓B)Vect(A)✓Vect(B). Démonstration. 1)Enprenantp=1,1=0,! a2A,onobtient0·!a=! 0E2Vect(A). 2)Enprenantp=1,1=1,! a2A,onobtient1·!a=! a2Vect(A). 3)Vect(A)estbienunsevdeEcarc’estunepartienonvidedeE,stable par+et·.Deplus,onremarquequetoutsevdeEquicontientA doitcontenirtouteslescombinaisonslinéairesd’élémentsdeA(par définitiond’ev)etdoitdonccontenirVect(A). 4)())SiAestunev,alorsAestlepluspetitevdeAcontenantA. Ainsi,Vect(A)=A. (()SiA=Vect(A),commeVect(A)estunev,alorsAestunev. 5)Vect(A)estunevdoncVect(Vect(A))=Vect(A). 6)SupposonsA✓Betsoit! x2Vect(A). Alors! x=pP i=1i! aipour(1,...,p)2Rpet(! a1,...,! ap)2Ap. CommeA✓B,pourtoutiona! ai2Betdonc! x2Vect(B).

(10)

ECE1-B2015-201 PropriétéSoientEetFdeuxespacesvectoriels.Soitf2L(E,F)uneapplicationlinéaire.Alors:1)f( !0E)= !0F2)

1n1n3)8(,...,)2R,8(x,...,x)2E,nn!! 8 !x2E,f(x)=f(x) !!

f(1

· ! x1+···+n

· ! xn)=1·f( !x1)+···+n·f( !xn)

(compatibilitédefaveclescombinaisonslinéaires)

RemarqueUneapplicationlinéaireestdoncàlafoisconvexeetconcave.

Exemple

•L’applicationnulledeEdansF,définieparf( !x)= !0Fpourtout!x2Eestuneapplicationlinéaire.

•L’applicationidentitédeE,définieparf( !x)= !xpourtout !x2Eestuneapplicationlinéaire.

•ConsidéronsE=Retdesapplicationsf:E!E.

a)L’application f:R!Rx7!0 estlinéaire.

b)L’application f:R!Rx7!1 n’estpaslinéaire.

Eneﬀet,f(0)=16=0.

c)L’application f:R!Rx7!3x estuneapplicationlinéaire.

Eneﬀet,f(0)=16=0.

d)L’application f:R!Rx7!3x+2 n’estpaslinéaire.

Eneﬀet,f(0)=26=0.

19 CE1-B2015-2016

Exemple

•SiA=

{ !0},onaVect(A)=A=

{ !0}.

•SiA=

OnnoterasimplementVect(a)aulieudeVect( ! { !a}aveca6=0alorsVect(A)={a|2R}. !!!

{ !a}).

•SiA=

OnnoterasimplementVecta,baulieudeVect !! ⇣⌘⇣ Vect(A)={a+b|(,)2R}.2!! { !a,b}aveca6=0etb6=0alorsona: !!!!!

{ !a,b}. ! ⌘

•Onanotamment:

{ 0@ xyz 1A2M3,1(R)|x=2yetz=y}

={ 0@ 2yyy 1A|y2R}={y 0@ 211 1A|y2R}=Vect 0@ 211 1A !

•Etaussi:{ ✓3x+2yx+2y+z ◆2M2,1(R)|(x,y,z)2M3,1(R)}

={x ✓31 ◆+y ✓22 ◆+z ✓01 ◆|(x,y)2R 2}

=Vect ✓✓31 ◆, ✓22 ◆, ✓01 ◆◆

=Vect ✓✓31 ◆, ✓11 ◆, ✓01 ◆◆

=Vect ✓✓11 ◆, ✓01 ◆◆

=R2

Proposition4.SoitEunR-espacevectoriel.SoitAunepartienonvidedeE(A✓E).1)Si !a6= !0E,onaVect ⇣!a, !0E ⌘=Vect( !a).2)Demanièregénérale,ona:

!um+12Vect( !u1,..., !us)) Vect( !u1,..., !us, !us+1)=Vect( !u1,..., !us) 3)82R:Vect( !u1,..., !ui,..., !us)=Vect( !u1,..., !ui,..., !us)

10

(11)

ECE1-B2015-2016

II I. A ppl ic at io n linéa ir es

III.1.Définition Définition SoientEetFdeuxespacesvectoriels. •Uneapplicationf:E!Festditelinéairesi:

8 <!!!!!!28(x,y)2E,f(x+y)=f(x)+f(y) !:282R,8!x2E,f(·!x)=·f(x) (compatibilitépourleslois+et·) •L’ensembledesapplicationslinéairesdeEdansFestnotéL(E,F). •LorsqueE=F,onnoterasimplementL(E). Proposition7(Caractérisationdesapplicationslinéaires). SoientEetFdeuxespacesvectoriels. Uneapplicationf:E!Festlinéairessi: 2!!2!! 8(,µ)2R,8(x,y)2E,f(·!x+µ·!y)=·f(x)+µ·f(y) Onpeutaussiénoncerlapropriétééquivalente: !!2!!! 82R,8(x,y)2E,f(·!x+y)=·f(x)+f(y) Démonstration. C’estunbonexercice.Laméthodeestsimilaireàcelleutiliséedansla démonstrationdelaproposition2. 18

ECE1-B2015-201 Démonstration. 2)(◆)Évident. (✓)Si! u2Vect(! a1,...,! am,! am+1),alors! us’écrit! u=m+1P i=1i! ai.Or ! am+12Vect(! a1,...,! am)donc! am+1=mP i=1µi! ai.Ainsi: ! u=✓ mP i=1i! ai◆ +m+1! am+1 =✓ mP i=1i! ai◆ +m+1✓ mP i=1µi! ai◆ =mP i=1(i+m+1µi)! ai etdonc! u2Vect(! a1,...,! am). II.3.Based’unsous-espacevectoriel Définition SoitEunespacevectoriel. •Ondiraqu’unefamilleB=(! e1,...,! en)2EnestunebasedeEsi pourtoutvecteur! xdeE,ilexisteununiquen-uplet (x1,...,xn)2Rntelsque: ! x=nP i=1xi! ei •Autrementdit,! xsedécomposedemanièreuniquesousforme d’unecombinaisonlinéairede(! e1,...,! en). •Lesréels(x1,...,xp)sontlescoordonnéesde! xdanslabaseB. 11

(12)

ECE1-B2015-201

Théorème1.SoitEunespacevectorielnonréduità

{ ! 0E}.

•SiEadmetunebaseBdecardinalfinin2N,alorstouteslesbasesdeEsontfiniesetdecardinaln.

•Cenombrenestappelédimensiondel’espacevectorielE,notédimE.

•Parconvention,onnotedim(

{ ! 0E})=0.

Démonstration.Cen’estpasunattenduduprogrammedepremièreannée.Onnedévelopperadoncpasladémonstrationici.

Remarque

•dim(M2,1(R))=2.

•dim(M3,1(R))=3.

•dim(M4,1(R))=4.

17 CE1-B2015-2016

Exemplea)SionprendE=M2,1(R).

•Lafamille ✓✓10 ◆◆n’estpasunebasedeE. Eneﬀet, !x= ✓01 ◆nepeuts’écriresouslaforme ✓10 ◆.

•Lafamille ✓✓10 ◆, ✓01 ◆◆estunebasedeM2,1(R).ElleestappeléebasecanoniquedeM2,1(R).

•Lafamille ✓✓10 ◆, ✓11 ◆◆estelleaussiunebasedeM2,1(R).

•Lafamille ✓✓10 ◆, ✓11 ◆, ✓01 ◆◆n’estpasunebasedeE. Eneﬀet, ✓21 ◆=2 ✓10 ◆+ ✓01 ◆=2 ✓11 ◆✓01 ◆. b)SionprendE=M3,1(R).

•Lafamille 0@ 100 1A !n’estpasunebasedeE. Eneﬀet, !x= 0@ 010 1Anepeuts’écriresouslaforme 0@ 100 1A.

•Lafamille 0@ 100 1A, 0@ 010 1A, 0@ 001 1A !estunebasedeM3,1(R). ElleestappeléebasecanoniquedeM3,1(R).

•Lafamille 0@ 100 1A, 0@ 011 1A, 0@ 001 1A !estelleaussiunebasedeM3,1(R).

•Lafamille 0@ 100 1A, 0@ 010 1A, 0@ 011 1A, 0@ 001 1A !n’estpasunebasedeE.

12

(13)

ECE1-B2015-2016 Démonstration. ())Si(! e1,...,! en)estunebasedeE,alorselleestgénératrice(c’est l’objetdelaproposition5).Ilrestedoncàdémontrerquecettefamille estlibre.Supposonsqu’ilexisteunerelationdedépendancelinéaireentre les! ei;soit(1,...,n)2Rnunn-uplettelque: 1! e1+···+n! en=! 0 Onexprimeainsi! 0commecombinaisonlinéaired’élémentsde(! e1,...,! en). Lafamille(! e1,...,! en)étantunebasedeE,levecteur! 0admetdé- compositionuniquedans(! e1,...,! en).Or! 0s’écritaussicomme:! 0= 0! e1+···+0! en.Onendéduitquecesdeuxdécompositionssontidentiques. Ainsi,1=···=n=0etlafamille(! e1,...,! en)estbienlibre. (()Silafamille(! e1,...,! en)estgénératricealorstoutélément! xde Es’écritcommecombinaisonlinéairedesvecteurs(! e1,...,! en).Ilsuﬃt doncdemontrerquecettedécompositionestunique.Supposonsdoncque ! x2Eadmettentdeuxdécompositionsdiﬀérentes: ! x=1! e1+...+n! en ! x=1! e1+...+n! en oùlesietisontdesréels.Parsoustraction,onaalors: ! 0=(11)! e1+...+(nn)! en Comme(! e1,...,! en)estunefamillelibreonobtientque:11= ···=nn=0.D’oùi=ipourtouti2J1,nKcequiconclutla démonstration. 16 ECE1-B2015-201 Interprétationgraphique. a)L’ensembleM2,1(R)«n’estriend’autre»queR2. (note:onpourraitexprimercettecorrespondanceentermesmathé- matiquesprécis) •Levecteur✓ 1 0◆ peut-êtrevucommelevecteurdirecteurdel’axe desabscisses(! i).Vect✓✓ 1 0◆◆ estalorsladroitevectorielledirigée par! i:c’estl’axedesabscisses. •Levecteur✓ 0 1◆ peut-êtrevucommelevecteurdirecteurdel’axe desordonnées(! j).Vect✓✓ 0 1◆◆ estalorsladroitevectoriellediri- géepar! j:c’estl’axedesordonnées. •Lafamille✓✓ 1 0◆ ,✓ 0 1◆◆ constitueunebaseduplan(vectoriel) R2.ToutpointPdeR2s’écritdemanièreuniquesouslaforme: x! i+y! j.x(abscisse)ety(ordonnée)sontlescoordonnéesdupoint P. b)L’ensembleM3,1(R)«n’estriend’autre»queR3. •Levecteur⁰ @1 0 01 Apeut-êtrevucommelevecteurdirecteurdel’axe desabscisses(! i).Vect✓✓ 1 0◆◆ estalorsladroitevectorielledirigée par! i:c’estl’axedesabscisses. •Demême,! j=

0 @0 1 0

1 Aet! k=

0 @0 0 1

1 A. •Vect

0 @1 0 0

1 A,

0 @0 1 0

1 A! etVect

0 @0 1 0

1 A,

0 @0 0 1

1 A! sontdeuxplansdont l’intersectionestladroitevectorielleVect

0 @0 1 0

1 A! . 13

(14)

ECE1-B2015-201 DéfinitionSoitEunespacevectoriel.Soit( !e1,..., !en)unefamilledevecteursdeE.

•Lafamille( !e1,..., !en)estditegénératricesi:

E=Vect( !e1,..., !en)

Autrementdit,sitoutvecteurdeEpeuts’écrirecommecombinaisonlinéairedevecteursdelafamille.

•Lafamille( !e1,..., !en)estditelibresi:

8(1,...,n)2R n, ✓nP

i=1 i !ei= !0)1=···=n=0 ◆ Ondiraaussiquelesvecteurs( !e1,..., !en)sontlinéairementindé-pendants:aucundes !einepeuts’exprimercommecombinaisonli-néaire(nontriviale)desautresvecteurs.

Proposition6.SoitEunespacevectoriel.

Lafamille( !e1,..., !en)deEestunebasedeE , 1)C’estunefamillegénératrice.2)C’estunefamillelibre.

15 CE1-B2015-2016

• 0@ 100 1A, 0@ 010 1A, 0@ 001 1A !constitueunebasedel’espaceR3.Tout pointPdeR3s’écritdemanièreuniquesouslaforme:x !i+y !j+z !kavecx(abscisse),y(ordonnée)etz(cote),coordonnéesdupointP.

c)Demême,R4s’identifieàVect 0B@ 0BB@ 1000 1CCA, 0BB@ 0100 1CCA, 0BB@ 0010 1CCA, 0BB@ 0001 1CCA 1CA,es-pacededimension4.d)EtaussiR5espacevectorieldedimension5.e)...

Proposition5.SoitEunespacevectoriel.

B=( !e1,..., !en)2E nunebasedeE)E=Vect( !e1,..., !en) Démonstration.CommeBestunebasedeE,toutélément !xsedécompose(demanièreunique)commecombinaisonlinéaired’élémentsdeBdoncappartientàVect( !e1,..., !en).

RemarqueIln’yapaséquivalence.Parexemple,sionprendE=M2,1(R). AlorsE=Vect ✓✓10 ◆, ✓11 ◆, ✓01 ◆◆et ✓✓10 ◆, ✓11 ◆, ✓01 ◆◆n’estpasunebasedeE.

14